2ª+parte+Apostila+Fenômenos+de+Transporte1

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RELAÇÕES PARA UM VOLUME DE 
CONTROLE 
 
 Na analise do movimento dos fluidos, 
podemos seguir dois caminhos: (1) procurar 
descrever os detalhes do escoamento em 
cada ponto (x, y, z) do campo ou (2) trabalhar 
com uma região finita, fazendo um balanço 
dos escoamentos que entram e saem, e 
determinando os seus efeitos globais, tais 
como a força ou o torque sobre um corpo, ou 
a troca total de energia. Esse segundo 
caminho apresenta o método do volume de 
controle. A abordagem de problemas de 
engenharia utilizando o volume de controle é 
uma ferramenta valiosa para o engenheiro 
para a analise de escoamentos. Ela fornece 
respostas de engenharia frequentemente 
globais e não-refinadas, mas sempre úteis. 
 
 
Sistema 
 
 Todas as leis da mecânica são 
definidas para um sistema, que é uma 
porção do universo sob análise de massa de 
identidade fixa, que interage com suas 
vizinhanças. Tipos de Sistemas são sistemas 
fechados, abertos e isolados. 
 Sistema fechado Tem como principais 
características nato trocar massa com o meio 
externo, mas troca energia com o meio 
externo ou entorno, que é a parte do 
universo próximo ao sistema que é afetada 
por ele. 
 Sistema aberto ou volume de controle 
tem como principal característica a 
transferência de massa e energia através de 
seus limites. Troca massa e energia com o 
meio. 
 Sistema Isolado este tipo de sistema 
não transfere massa nem energia para o 
meio externo. Todas as leis da mecânica são 
escritas para um sistema, tido que for 
externo a esse sistema é designado pelo 
termo vizinhanças. Sendo o sistema 
separado de suas vizinhanças por uma 
fronteira. 
 O sistema é uma quantidade fixa de 
massa, denotada por m. Logo, a massa do 
sistema conserva-se e não se altera. Esta é 
uma lei da mecânica e assume uma forma 
matemática muito simples, chamada 
conservação da massa. 
 
 msist = const. 
 
Se a vizinhança exerce uma força F sobre o 
sistema, a segunda lei de Newton estabelece 
que a massa comece a acelerar. 
 
 F = ma 
 
No caso da mecânica dos fluidos a lei de 
Newton é chamada de relação de quantidade 
de movimentos linear. Agora se as 
vizinhanças exercem um momento 
resultante M em relação ao centro de massa 
do sistema, haverá um efeito de rotação. 
 
 M = dH/dt 
 
Onde H representa a quantidade de 
movimento angular do sistema em relação ao 
seu centro de massa. 
 
O teorema de transporte de Reynolds 
 
 Para converter uma analise de 
sistema em uma analise de volume de 
controle, devemos transformar nossa 
matemática de modo a aplicá-la a uma 
região fixa, em vez de as massas individuais. 
Essa transformação, chamada teorema de 
transporte de Reynolds, pode ser aplicada a 
todas as leis básicas que são a conservação 
da massa, conservação da quantidade de 
movimento linear e quantidade de 
movimento angular. Considerando a figura 
abaixo um volume de controle fixo que 
engloba uma região estacionaria de interesse 
para um projetista de bocais. 
 
 
 
 
 A superfície de controle é um conceito 
abstrato e não interfere no escoamento de 
nenhum modo. Ela corta o jato que sai do 
bocal, circunda a atmosfera circundante e 
corta os parafusos dos flanges e o fluido 
dentro do bocal. Esse volume de controle 
particular evidencia as tensões nos 
parafusos dos flanges, que contribuem para 
as forças envolvidas em uma analise de 
quantidade de movimento. Afigura abaixo 
ilustra um volume de controle móvel. Nesse 
caso, o interesse está no navio, não no 
oceano, de modo que a superfície de controle 
persegue o navio a velocidade V. O volume 
do volume de controle é constante, mas o 
movimento relativo entre a água e o navio 
deve ser levado em conta. 
 
 
 
 Se V é constante, esse movimento 
relativo assume um padrão de escoamento 
permanente, o que simplifica a analise. Se v 
é variável, o movimento relativo é não 
permanente, de modo que os resultados 
calculados variam com o tempo, e certos 
termos entram na analise de quantidade de 
movimento para representar o referencial 
não-inercial. 
 
Exemplo: Um volume de controle fixo tem 
três seções unidimensionais na fronteira, 
como pode-se observa na figura abaixo. O 
escoamento no interior do volume é 
permanente. As propriedades em cada seção 
estão tabuladas a seguir. Determine a taxa 
de variação da energia do sistema que 
ocupar o volume de controle nesse instante. 
 
Seção Tipo Ρ, 
kg/m3 
V, 
m/s 
A 
m2 
e, 
J/kg 
1 Entrada 800 5,0 2,0 300 
2 Entrada 800 8,0 3,0 100 
3 saída 800 17,0 2,0 150 
 
 
 
 
Como o escoamento é permanente a integral 
de volume se anula. A integral da área 
consiste em duas seções de entrada e uma 
seção de saída. Sendo assim podemos usar a 
equação: 
 
(dE/dt)sistema = -e1ρ1A1V1-e2ρ2A2V2+e3ρ3A3V3 
 
(dE/dt)sistema = -(300 J/kg)(800 kg/m3)(2 m2)(5 
m/s) – 100(800)(3)(8) +150(800)(2)(17) 
 
(dE/dt)sistema = (-2400000-1920000+4080000) 
J/s 
(dE/dt)sistema = -240000J/s = -0,24 MJ/s. 
 
Logo, o sistema está perdendo energia a uma 
taxa de 0,24 MJ/s = 0.24MW. 
 
 Conservação da Massa – 
Considere um volume de controle tendo 
apenas certo número de entradas e saídas 
unidimensionais para o escoamento 
permanente, a quantidade de massa que 
entra neste volume de controle é igual a 
quantidade de massa que sai, logo 
 
 Σ (ρ.A.V)ent = Σ (ρ.A.V)sai 
 
 
 
 Esta simples aproximação é 
largamente utilizada em análises de 
engenharia. Observando a figura acima, 
vemos que os três fluxos de massa de saída 
contrabalançam os dois fluxos de entrada. 
 
ρ2 A2V2+ρ3 A3V3 +ρ5 A5.V5 = ρ1 A1V1 + ρ4 A4V4 
 
a quantidade ρAV é tem o nome de fluxo de 
massa m que atravessa a seção transversal 
unidimensional, e cujas unidades 
consistentes são kg/s, podendo ser escrita da 
seguinte forma também: 
 
 m2 + m3 + m5 = m1 + m4 
 
Exemplo: escreva a relação de conservação 
da massa para o escoamento permanente 
através de um tubo de corrente (escoamento 
paralelo às paredes em todos os locais) com 
uma única saída 1 e uma única entrada 2, 
unidimensionais. 
 
Para o escoamento permanente que 
apresenta apenas uma entrada e uma saída, 
aplicaremos a conservação da massa. 
 
 m= ρ1 A1V1 = ρ2 A2V2 = constante 
 
Em um tubo de corrente em regime 
permanente, o fluxo de massa através de 
cada seção do tubo é constante. Se a 
densidade for constante, então. 
 
 Q = A1V1 =A2V2 = constante 
Ou 
 V2 = (A1/A2)V1 
 
Para escoamento permanente incompressível 
a vazão volumétrica no tubo é constante, e a 
velocidade aumenta se a área da seção 
diminui. 
 
Equação da Energia – Pode-se a energia 
de um sistema por unidade de massa, e, 
sendo vários tipos de energia: 
 
 e = einterna+ecinética+epotencial 
 
Onde e = û + ½V2+gz 
 
 Temos relacionado também a esta 
equação o trabalho de eixo que é aquela 
porção de trabalho que é deliberadamente 
realizada por uma máquina (rotor de uma 
bomba, pá de um ventilador, pistão), 
prolongando através da superfície de 
controle para dentro do volume de controle, 
sendo assim. 
 
 Q – W = W 
 
Onde Q positivo é o calor adicionado ao 
sistema e Q negativo é o calor retirado do 
sistema. W positivo é o trabalho realizado 
pelo sistema, e W negativo é o trabalho 
adicionado ao sistema e E e o somatório de 
energias, cinética, interna e potencial. 
 
Exemplo: Uma máquina de escoamento 
permanente como mostra na figura abaixo 
recebe ar na seção 1 e o descarreganas 
seções 2 e 3. As propriedades de cada seção 
são demonstrado na tabela. E fornecido 
trabalho para a máquina a uma taxa de 150 
hp. Encontre a pressão p3 em kPa absoluta e 
a transferência de calor Q em Watts. 
Considere que o ar é um gás perfeito com R 
= 287 m2/(s2.K) e cp = 1004 m2/(s2.K). 
 
Seção A cm2 Q l/s T ºC p kPa 
abs 
Z cm 
1 371,6 2832 21 137,90 30,5 
2 929 1133 38 206,84 121,9 
3 232,3 1416 93 ? 45,7 
 
 
Solução: O volume de controle escolhido 
corta as três seções desejadas e no mais, 
segue as paredes sólidas da máquina. Logo, o 
trabalho de cisalhamento W é desprezível. 
Temos informação suficiente para calcular V 
= Q/A imediatamente. 
 
V1=2,832/0,03716 = 76,21 m/s 
V2=1,131/0,0929 = 12,17 m/s 
V3=1,416/0,02323 = 60,96 m/s 
 
e as massas específicas ρ=p/(RT) 
 
ρ1 =137900/287(21+273) = 1,63 kg/m3 
ρ2 = 206840/287(38+273)= 2,32 kg/m3 
 
mas ρ3 é determinado pela relação de 
continuidade para escoamento permanente: 
 
 m1 = m2 + m3 
 
 ρ1Q1 = ρ2Q2 +ρ3Q3 
 
 1,63 (2,832) = 2,32(1,133) + ρ3(1,416) 
(1,416) ρ3=4,616 – 2,629 = 1,987 m3/s 
 
 ρ3 = 1,40 kg/m3 = p3/ 287(93+273) 
 p3 = 147,44 kPa absoluta 
 
Observe que o fluxo de volume Q1 ≠ Q2 + Q3 é 
devido à variação de densidade. Para 
escoamento permanente com uma entrada e 
duas saídas, obtemos: 
 
Q - W= m1(h1+1/2V21+gz1) + 
 m2 (h2+1/2V22+gz2)+ 
 m3(h3+1/2V23+gz3) 
 
Onde W é dado em hp e pode ser 
rapidamente convertido para unidades do SI 
 
 W = -150 hp [745,7 W/hp] = -111855 W 
(trabalho negativo sobre o sistema). 
Para um gás perfeito com cp constante, a 
entalpia h = mcpT. E instrutivo separar os 
termos de fluxo examinando suas 
magnitudes e unidades. Sendo assim 
calcula-se: 
 
 
Fluxo de entalpia: 
h = cp(-m1T1 + m2T2 + m3T3) 
h = 1004 m2/(s2 . K) * [-4,616 m3/s . 
(273+21)K + 2,629 . (273+38) + 
1,987(273+93)] 
h = +188508 W 
 
Fluxo de energia cinética: 
Ec = -m1(½V12) + m2(½V22) + m3(½V32) = 
½ [-4,616 (76,21)2 + 2,629(12,17)2 + 
1,987(60,96)2] 
Ec = -9515 W 
 
Fluxo de energia potencial: 
Ep= g(-m1z1 + m2z1 m3z3) = 
= 9,81 [-4,616(0,305) + 2,629(1,219) + 
1,987(0,457)] 
Ep = 27W 
 
 Esses efeitos são típicos: o fluxo de 
energia potencial é desprezível em 
escoamentos de gases, o fluxo de entalpia 
cinética é pequeno em escoamentos a baixas 
velocidades e o fluxo de entalpia é 
dominante. Apenas quando desprezamos os 
efeitos de troca de calor é que a energias 
cinética e potencial tornam-se importantes. 
De qualquer modo, podemos agora obter o 
fluxo de calor. 
 
Q = -111855 + 188508 – 9515 + 27 = 67165 
W = 67 kW. 
 
 
Equação da Energia no Escoamento 
Permanente - Para um escoamento 
permanente com uma entrada e uma saída, 
ambas consideradas unidimensionais, sendo 
a seção 1 a entrada e a seção 2 a saída 
apresentam-se a equação. 
 
Q - W = -m1 (h+½V2+gz)1+ m2 (h+½V2+gz)2 
 
Mas como a equação da continuidade, m1 = 
m2 já é conhecida podemos arrumar a 
equação acima e deixa-la da seguinte forma: 
 
 h1 + ½V12+gz1 = (h1 + ½V12+gz1)-q+w 
 
Onde q = Q/m é o calor transferido por 
unidade de massa. Analogamente w = W / m 
valendo a pena salientar que q é positivo 
quando é adicionado ao volume de controle. 
Cada termo da equação tem a dimensão de 
energia por unidade de massa, ou velocidade 
ao quadrado. Mas se dividirmos tudo por g 
(gravidade) cada termo torna-se um 
comprimento, ou altura, onde o símbolo 
tradicional para altura é h, mas o mesmo 
não se pode confundir com a entalpia, sendo 
assim usaremos energia interna ao 
reescrever a equação da energia em termos 
de altura. 
 
p1/γ +û1/g+V21/2g+z1 = p2/γ +û2/g+V22/2g+z2 – 
 
q/g+w/g 
 
 
Perdas por Atrito em Escoamentos a 
Baixas Velocidades – Uma aplicação 
muito comum para equação da energia para 
escoamento permanente ocorre para 
escoamentos a baixas velocidades, sem 
trabalho de eixo, como ocorre em 
escoamentos de líquidos em tubos. Neste 
caso a equação da energia pode ser escrita 
na seguinte forma: 
 
p1/γ +V21/2g+z1 = (p2/γ +V22/2g+z2 )+(û2-û1-
q)/g 
 
 O termo (p2/γ +V22/2g+z2 ) é chamado 
altura útil ou altura disponível ou altura 
total do escoamento, sendo muito indicado 
por ho. Logo no escoamento a baixas 
velocidades (aproximadamente 
incompressível), com uma entrada e uma 
saída, pode-se escrever: 
 
(p/γ +V2/2g+z)entr. = (p/γ +V2/2g+z)sai + hperdas 
– hbomba + hturbina. 
 
 A maioria dos nossos problemas de 
escoamento interno será resolvida com o 
auxílio da equação acima. Os termos em h 
são todos positivos; isto é, a perda por atrito 
é sempre positiva em escoamentos reais 
(viscosos), uma bomba adiciona energia 
(aumenta o lado esquerdo da equação acima) 
e uma turbina extrai energia do escoamento. 
 
Exemplo: gasolina a 20 ºC é bombeada 
através de um tubo liso de 120 mm de 
diâmetro, com 10 km de comprimento, a uma 
vazão de 75 m3/h. A entrada é alimentada 
por uma bomba à pressão absoluta de 24 
atm. A saída está à pressão atmosférica 
padrão, 150 m mais alta. Calcule a perda por 
atrito hp, e compare-a com a altura de 
velocidade V2/2g. Esses números são bem 
realísticos para o escoamento de líquidos 
através de tubulações longas. (ρ = 680 
kg/m3). 
 
(pentr./γ) + (V2entr./2g) + zsai = (psai./γ) + 
(V2sai./2g) + zsai. + hp. 
 
Um tubo que possui seção transversal 
uniforme e, assim, a velocidade média em 
todo lugar é: 
 
Ventr. = Vsai = Q/A = (75/3600)m3 / 
(¶/4)(0,12m)2 =1,84 m/s. 
 
Os termos de altura de velocidade são iguais 
na entrada e na saída, portanto os mesmos 
se cancelam, mas vamos calcular essa altura 
com propósito de comparação: 
 
 
V2entr./2g =(1,84 m/s)2 / 2(9,81 m/s2) = 0,173 m 
 
Reagrupando os termos na equação 
principal, temos: 
 
(24)(101350 N/m3) / 6670 N/m3 + 0,173 m + 0 
m = (101350 N/m3) / 6670 N/m3 + 0,173 m + 
150 m + hp. 
 
hp = 364,7 – 15,2 – 150 = 199 m 
 
A razão entre as alturas de atrito e de 
velocidade é: 
 
hp / (V2/2g) = 199 m / 0,173 m = 1,150 
 
Essa alta razão é típica das tubulações 
longas. (Observe que não fizemos uso direto 
do comprimento de 10000 m do tubo, cujo 
efeito está implícito em hp). 
 
Exemplo: Ar [R = 287 e cp = 1004m2/(s2K)] 
escoa em regime permanente, através de 
uma turbina que produz 700 hp. Para as 
condições de entrada e saída mostradas, 
calcule. 
(a) A velocidade V2 na saída e 
(b) (b) o calor transferido Q em Watts. 
 
Temos que o diâmetro D1 = 150 mm, p1 = 
1034 kPa, T1 = 149 ºC, V1 = 30 m/s. 
 
D2=150 mm, p2 = 276 kPa, T2 = 1,7 ºC. 
 
 
 
Como já foi explicado as massas específicas 
na entrada e na saída podem ser calculadas 
a partir da lei dos gases perfeitos: 
 
ρ1 = p1/RT1 = 1034000 / 287(273+149) = 8,54 
kg/m3 
ρ2 = p2/RT2 = 276000 / 287(273+1,7) =3,50 
kg/m3. 
 
O fluxo de massa é determinado pelas 
condições de entrada. 
 
 
m1 = ρ1V1A1 = (8,54)¶/4(0,15)2((30,5) = 4,60 
kg/s 
 
m2= 4,60 = ρ2V2A2 = (3,50) )¶/4 (0,15)2V2 
 
V2 = 74,37 m/s 
 
Assim sendo pode-se aplicar a equação da 
energia par escoamento permanente. 
 
Q – W = m(cpT2 + ½V22 – cpT1 + ½V21 ) 
 
Sabendo que 1 hp = 745,5 Watts, pode-se 
calcular o calor transferido. 
 
Q – 700(745,7) = 4,60[1004(274,7) + ½ 
(74,37)2 -1004(422)- ½ (30,5)2] 
 
Q = - 147719 W 
 
O sinal negativo indica que calor está sendo 
retirado do sistema, neste caso é um 
desaproveitamento de energia em forma de 
calor. 
 
Exercícios 
 
1) Água a 20 ºC escoa em regime 
permanente com 40 kg/s através do bocal da 
figura abaixo. Se D1=180 mm e D2 = 50 mm, 
calcule a velocidade média, em na seção 1 e 
na seção 2. 
 
 
 
 
2) Água escoa em regime permanente 
através da bifurcação de tubulação mostrada 
abaixo, entrandona seção 1 com 76 l/min. A 
velocidade média na 2 é 2,5 m/s. Uma porção 
do escoamento é desviada para um chuveiro, 
que contém 100 orifícios de 1 mm de 
diâmetro. Considerando uniforme o 
escoamento na ducha, calcule a velocidade 
de saída dos jatos do chuveiro. 
 
 
 
 
 
 
3) O bocal convergente-divergente mostrado 
na figura abaixo expande e acelera ar seco 
até velocidades supersônicas na saída, onde 
p2 = 8 kPa e T2 = 240 K. Na garganta, p1 = 
284 kPa, T1 = 665 K e V1 = 517 m/s. Para 
escoamento compressível permanente de um 
gás perfeito, calcule o fluxo de massa em 
kg/h, e a velocidade V2. 
 
 
 
4) O tanque aberto da figura abaixo contém 
água a 20 ºC e está sendo enchido através da 
seção 1. Considere o escoamento 
incompressível. Considerando que o nível da 
água seja constante, determine a velocidade 
na saída, V2, para os dados V1 = 3 m/s e Q3 = 
0,01 m 3/s. 
 
 
 
 
5) Água a 20 ºC escoa em regime permanente 
através de um tanque fechado, como na 
figura abaixo, D1 = 60 mm e a vazão 
volumétrica são de 100 m3/ h. Na seção 2, D2 
= 50 mm e a velocidade media é de 8 m/s. Se 
D3 = 40 mm, qual é a vazão em Q3 em m3/h e 
a velocidade média V3 em m/s? 
 
6) Óleo (d = 0,89) entra na seção 1 (fig 
abaixo) com uma vazão em peso de 250 N/h 
para lubrificar um mancal de escora. O 
escoamento permanente de óleo sai 
radialmente através da folga estreita entre 
as placas de escora. Calcule a vazão 
volumétrica na saída em m3/s 
 
 
 
 
 
7) Em alguns túneis de vento, a seção de 
teste é perfurada para se fazer a sucção de 
ar e manter uma camada limite viscosa fina. 
A parede da seção de teste contém 1.200 
orifícios de 5 mm de diâmetro em cada metro 
quadrado de área da parede. A velocidade de 
sucção através de cada orifício é de Vs = 8 
m/s e a velocidade na entrada da seção de 
teste é V1= 35 m/s. Admitindo escoamento 
permanente e incompressível de ar a 20 ºC. 
Calcule Vo, V2 e Vf. 
 
 
 
 
8) Um motor de foguete opera em regime 
permanente, como mostra a figura. Os 
produtos da combustão que escoam através 
do bocal de descarga aproximam-se de um 
gás perfeito com peso molecular 28. Para as 
condições dadas, calcule V2 em m/s. 
 
 
 
9) Em contraste com o foguete de 
combustível líquido, o foguete abaixo opera 
com propelente sólido e o mesmo é auto-
contido e não tem dutos de entrada. 
Aplicando uma análise de volume de controle 
para as condições mostradas pela figura 
abaixo calcule a taxa de perda de massa do 
propelente, considerando que o gás de 
descarga tem um peso molecular 28. 
 
 
 
10) A bomba de jato da figura abaixo injeta 
água a U1 = 40 m/s através de um tubo de 75 
mm e promove um escoamento secundário de 
água, U2 = 3 m/s, na região anular em torno 
do tubo pequeno. Os dois escoamentos ficam 
completamente misturados a jusante, onde 
U3 é aproximadamente constante. Para 
escoamento incompressível permanente, 
calcule U3 em m/s.