Tensões Principais e Dimensionamento na Flexão

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Capítulo Quarto: Tensões nas vigasUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
4 – Tensões Principais na Flexão
4.1- Estados de tensão reinantes nos pontos de uma peça em flexão
simples
P
x
S
y
P
V
M
+
VM
P
x
σx σx
xyτσx σx
xyτ
xyτ
xyτ
xyτσx σx
xyτ
σx σx
y
0>= y
S
y QQ
0>= z
S
z MM
2
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Cada ponto se encontra em um estado tensional distinto e, assim, são 
associadas a estes distintas tensões principais dadas por:
Pontos de uma seção 
transversal de uma
 peça em flexão simples
Submetidos a um estado de 
tensões no qual:
0=τ=τ=σ=σ yzxzzy
( )
( )
2
2
1
2
2
2
2 2
2 2
x y x y
xy
x y x y
xy
σ σ σ σ
σ τ
σ σ σ σ
σ τ
+ −    = + +   
    

+ −   
= − +    
    
y
xyτ
σx
σy
σx
xyτ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Para os elementos de tensão utilizados na viga apresentada em 4.1, adotou-
se seguinte convenção:
xyτ
σxσx
xyτ
Assim, τxy entra com sinal negativo nas expressões anteriores, o que não 
modifica em nada o resultado final.
Da mesma forma, em cada ponto da seção existe a direção, defasada de 
45º em relação às direções principais, no qual ocorre um valor máximo de 
τxy , dado por:
( )
2
2
max 2
x
xy
σ
τ τ = ± + 
 
3
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
P
x
y
σx σx
xyτ
xyτ
σx σx
LN
• Ponto sobre a Linha Neutra � cisalhamento simples � τmáx coincide com 
o valor de τxy neste ponto.
• Ponto na extremidade da seção transversal � Estado simples de tensões 
� σ1 ou σ2 coincide com σx
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
5 - Considerações sobre peças submetidas à flexão simples
5.1- Características gerais da flexão simples
• Presença de Mz e Qy nas seções transversais
• Em consequência do Momento Fletor:
• Em consequência do Esforço Cortante:
• Estado de tensões definido em cada ponto da peça:
• Em cada ponto:
y
I
MM
z
z
xz =σ→
→yQ *z
z
y
yx SIt
Q
⋅
⋅
=τ
,x xyσ τ
( )
2
2
1,2 2 2
x x
xy
σ σ
σ τ = ± + 
 
( )
2
2
max 2
x
xy
σ
τ τ = ± + 
 
4
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
5.2- Condições gerais para o dimensionamento:
1)
2) 
≤ flexão fσ σ=
≤ τ
5.3- Determinação de e de da peça:
Para cada caso de carregamento e seção transversal, existem pontos 
passíveis à ocorrência de máximas componentes de tensões normais e 
cisalhantes. 
peça na ocorre que máxσ
peça na ocorre que máxτ
máxσ máxτ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Vigas com seção retangular
� Tensão normal σmáx : Ocorre na seção de Mzmáx em módulo, nos extremos da 
seção:
P
y
τ( máx) seção
Tensões norm ais
na seção
Tensões de cisalha-
mento na seção
xmáx σ=σ
� Duas possibilidades para τmáx :
1ª possibilidade: pontos da LN na seção de Qymáx em módulo:
xymáx τ=τ
2ª possibilidade: pontos extremos da seção de Mzmáx em
24
2
xx
máx
σ±=σ±=τ
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Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Vigas com seção transversal em I
� Tensão normal máxima σmáx :
1ª possibilidade: Pontos extremos da seção de Mzmáx em módulo
2ª Possibilidade: Pontos extremos da alma seção de Mzmáx em módulo
3ª Possibilidade: Pontos extremos da alma seção de Qymáx em módulo
xmáx σ=σ
2
2
22 xy
xx
máx τ+




 σ±σ=σ
2
2
22 xy
xx
máx τ+




 σ±σ=σ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
� Tensão de cisalhamento máxima τmáx :
1ª possibilidade: Pontos extremos da seção de Mzmáx em módulo
2ª possibilidade: Pontos extremos da alma seção de Mzmáx em módulo
3ª Possibilidade: Pontos extremos da alma seção de Qymáx em módulo
4ª Possibilidade: Pontos da LN da seção de Qymáx em módulo
24
2
xx
máx
σ±=σ±=τ
xymáx τ=τ
( )
2
2
max 2
x
xy
σ
τ τ = ± + 
 
( )
2
2
max 2
x
xy
σ
τ τ = ± + 
 
Vigas com seção transversal em I
Ilustração: (No quadro)