Força Cortante e Momento Fletor combinados

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Capítulo Terceiro: 
Efeitos da Força Cortante e Momento Fletor Combinados
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Capítulo Terceiro: 
Efeitos da Força Cortante e Momento Fletor Combinados
1. Considerações gerais sobre flexão
� É o tipo de solicitação que ocorre em peças compridas e finas
submetidas a cargas transversais
� A influência do Momento Fletor predomina em relação à influência de
qualquer outro tipo de esforço interno que atue na seção reta da peça
�Numa peça em flexão a tendência de deformabilidade é um
encurvamento longitudinal segundo um plano que pode ou não coincidir
com o próprio plano de cargas.
2. Vigas
2.1 Definição
� São peças estruturais lineares que trabalham essencialmente
submetidas a cargas transversais. São o exemplo mais típico de peça
estrutural solicitada à flexão, de modo que o estudo da solicitação à flexão
se confunde com o próprio estudo das vigas.
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2.2 Classificação
� Existem dois critérios principais para classificação das vigas
1º Critério: De acordo com a natureza de seus apoios, tem-se:
I) Vigas simplesmente apoiadas (com ou sem balanço) � Tem como
vínculos um apoio de segundo gênero e outro de primeiro gênero.
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II) Vigas bi-apoiadas (com ou sem balanço) � Tem como vínculos
dois apoios de segundo gênero
III) Vigas contínuas � Seus vínculos correspondem a um apoio de
segundo gênero e dois ou mais apoios de primeiro gênero
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IV) Vigas engastadas em balanço � Apresentam um engaste perfeito
em uma das extremidades e a outra completamente livre
V) Vigas engastadas numa extremidade e apoiadas num outro
ponto � Apresentam um engaste perfeito numa das extremidades e
um apoio de 1º gênero em qualquer ponto.
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VI) Vigas bi-engastadas � Apresentam dois engastes perfeitos em
suas extremidades
2º Critério: De acordo com a suficiência ou não das equações de
equilíbrio estático para sua resolução, tem-se:
I) Vigas Isostáticas: As equações de equilíbrio da estática são
suficientes para o cálculo das reações.
Exemplos: vigas simplesmente apoiadas (com ou sem balanço); vigas
engastadas em balanço.
II) Externamente Hiperestáticas: As equações de equilíbrio da estática
são em número insuficiente para o cálculo das reações.
Exemplos: viga contínua; viga engastada e apoiada; viga bi-engastada.
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3. Esforços Internos nas Vigas
3.1 Natureza dos Esforços Internos
� Dependendo do tipo e da posição do carregamento externo atuante
sobre uma viga, podem atuar nas suas seções retas, qualquer um dos
esforços internos existentes: esforço normal, esforço cortante, momento
fletor e momento torsor.
� Para os casos mais comuns, de cargas transversais propriamente
ditas situadas sobre um plano longitudinal que contém o próprio eixo da
viga, os únicos tipos de esforços internos que atuam em suas seções
retas são esforço o cortante e momento fletor. Estes esforços
apresentam a seguinte definição:
• Esforço Cortante: É a resultante de todas as forças que se situam de
um mesmo lado da seção reta considerada e atuam paralelamente ao
plano dessa seção. É geralmente representado por Q ou V.
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• Momento Fletor: É o momento resultante de todas as cargas que se
situam de um mesmo lado da seção reta considerada e que tende a girá-
la em torno de um eixo contido no próprio plano da seção. É geralmente
representado por M ou MF.
OBSERVAÇÃO:
A linha neutra da seção reta de uma peça em flexão é o eixo contido no
próprio plano dessa seção em torno do qual ela tende a girar por flexão.
Esse eixo é perpendicular ao plano de encurvamento longitudinal da peça
(plano de flexão) e, para os casos mais simples de flexão, passa pelo
centro geométrico da seção.
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Utiliza-se a seguinte convenção de sinais para o EC e MF
Para o EC:
Para o MF:
+
E
Q
D
Q
-
E
Q
D
Q
+
E
M
D
M
-
E
M
D
M
3.2 Cálculo de Esforço Cortante e do Momento Fletor
Capítulo Terceiro: 
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� Para o cálculo do Esforço Cortante ou Momento Fletor numa seção
reta, procede-se do seguinte modo:
• Calculam-se as reações de apoio
• Prepara-se o diagrama de corpo livre correspondente, colocando as
reações de apoio com seus sentidos corretos
• Calcula-se o esforço cortante ou momento fletor procurado,
considerando as cargas que se situam de um mesmo lado da seção
destacada (no caso das vigas, as cargas que se encontram somente
à esquerda ou somente à direita da seção reta destacada.
OBSERVAÇÃO:
Para o cálculo do esforço cortante em uma seção reta que é ponto de
aplicação de força transversal concentrada, deve-se desmembrá-la em
duas seções, sendo uma imediatamente à esquerda e a outra
imediatamente à direita, e calcular o esforço cortante nestas duas novas
seções.
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O mesmo procedimento deve ser obedecido para se calcular o
momento fletor em uma seção reta que é ponto de aplicação de carga
momento concentrada sobre a viga.
3.3 Expressão Geral de Correlação entre Esforço Cortante e
Momento Fletor
( NO QUADRO)
4 Diagramas dos Esforços Internos
4.1 Definição
���� Os diagramas de esforços internos ou linhas de estado de uma peça 
estrutural são a representação gráfica dos valores de cada tipo de 
esforço interno em cada seção reta da referida peça.
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4.2 Classificação
1º Critério: Quanto à natureza do esforço interno, tem-se:
• Diagrama de Esforço Normal – DEN
• Diagrama de Esforço Cortante – DEC
• Diagrama de Momento Fletor – DMF
• Diagrama de Momento Torsor – DMT
2º Critério: De acordo com a procedência (ou origem) do valor do 
esforço interno em consideração para traçado do diagrama, pode-se ter:
• Diagramas Solicitantes
���� São traçados a partir dos valores atuantes do esforço interno em 
estudo sobre cada seção reta de peça, em consequência das 
solicitações externas que a submetem. Esses diagramas dependem, 
portanto, da natureza do carregamento sobre a peça e da sua situação 
de vínculos.
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• Diagramas Resistentes 
���� São traçados a partir dos valores resistentes do esforço interno em 
análise, apresentados por cada seção reta da peça.
� O valor resistente, apresentado por uma seção reta de peça para um 
determinado tipo de esforço interno, significa o maior valor desse 
esforço que ela pode suportar de modo que as tensões geradas por este 
esforço, em todos os pontos dessa seção, não ultrapassem os valores 
admissíveis.
� Para se calcular o valor resistente de um certo esforço interno numa 
seção reta de peça, é necessário conhecer:
I) A lei de distribuição ou expressão de cálculo das tensões que esse 
esforço interno faz surgir na seção reta da peça.
II) As expressões dos valores máximo e mínimo das referidas tensões
III) Os valores admissíveis para estas tensões, conforme o material de
que a peça se constitui
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OBSERVAÇÕES:
1) Os diagramas resistentes dependem das características geométricas
da seção reta da peça, das propriedades mecânicas de seu material
constituinte e da lei de distribuiçãodas tensões que o esforço interno
considerado faz surgir nos pontos dessa seção.
2) Para cada peça estrutural em trabalho podem existir quatro
diagramas solicitantes e quatro diagramas resistentes de modo que o
equilíbrio interno dessa peça só será possível se os diagramas
resistentes cobrirem inteiramente os diagramas solicitantes
correspondentes
3) Os diagramas resistentes das peças estruturais são preparados a
partir da resistência dos materiais, enquanto os diagramas solicitantes
são fornecidos pela estática ou hiperestática em consequência das
cargas externas aplicadas sobre essas peças
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5 – Traçado dos Diagramas Solicitantes de Esforço Cortante e
Momento Fletor
� Para o traçado do DEC e DMF solicitantes, utiliza-se o seguinte
procedimento:
I) Calculam-se as reações de apoio sobre a viga
II) Prepara-se o DCL a ela correspondente colocando todas as reações
com seus sentidos corretos
III) Analisa-se a viga segundo os seus trechos homogêneos de
carregamento, ou de total descarregamento, e determina-se para cada um
deles as expressões de cálculo do Q(x) e do MF(x)
IV) Calcula-se o valor do EC e do MF nos seguintes tipos de seções:
- Seções extremas
- Seções dos apoios
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- Seções que são ponto de aplicação de carga externa concentrada
- Seções que são ponto inicial ou final de um carregamento distribuído
- Seções de transição entre carregamentos distribuídos diferentes
V) Marcam-se os valores obtidos para o EC e o MF em cada uma das
seções escolhidas, partindo do eixo da viga e segundo a direção
perpendicular a esse eixo, obedecendo para isso as seguintes
convenções:
- EC positivo para baixo ou para cima
- EC negativo para baixo ou para cima
- MF positivo para baixo
- MF negativo para cima
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VI) Ligam-se cada dois valores de seções consecutivas por meio de
segmentos de reta que passam a constituir a chamada Linha de
Fechamento do Diagrama. A linha de fechamento coincidirá com a
própria linha do diagrama se no trecho considerado não houver nenhum
carregamento sobre a viga.
VII) Havendo carregamento em algum trecho da viga, a linha de
fechamento poderá ou não coincidir com a linha do diagrama desse
trecho, dependendo tanto do tipo de diagrama traçado quanto da
natureza do carregamento no trecho. Quando não coincidir a linha do
diagrama será obtida por procedimentos que dependem dessas duas
últimas características.
Exemplo 1
( NO QUADRO)