Progressao aritmetica

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PRÉ ENEM FACULDADE PITÁGORAS
MATEMÁTICA- PROF. MARCO TULIO
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
P.A
Chama-se Progressão Aritmética (PA) à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. 
Exemplos: 
(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3
(25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r = - 5
(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0
Definição:
TERMO GERAL: an = a1 + (n – 1) . r 
an é o termo de ordem n (n-ésimo termo)
n é a posição descrita
r é a razão 
a1 é o primeiro termo
Fórmulas de uma PA
A diferença entre dois termos consecutivos é constante e igual à razão da P.A., ou seja:
Se r > 0, então a P.A. é crescente;
Se r = 0 , então a P.A. é constante;
Se r < 0, então a P.A. é decrescente. 
 Classificação da razão
Exemplos
Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. 
Substituindo na fórmula do termo geral teremos:
a10 =3 + (10–1).(-2)
a10 = 3 + 9.(-2)
a10 = 3 - 18
a10 = - 15
Aplicando na fórmula temos:
30 = a1 + (20–1).3
30 = a1 + 19.3
30 = a1 + 57
a1 = - 27
 Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e
 200 termo igual a 30.
Substituindo os valores na fórmula temos:
- 21 = 5 + (14 – 1) . r
- 21 = 5 + 13 . r
- 21 – 5 = 13. r
- 26 = 13 . r
r = - 2
Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21.
Sn → é o valor da soma dos termos da sequência
a1 → é o primeiro termo escolhido da sequência
an → é o último termo escolhido da sequência
n → é a posição do último termo escolhido da sequência 
 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA
Exemplo:
2) Em relação a sequência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos.
 A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2.
Calculando a20 temos:
a20 = 1 + 19.2 = 1 + 38 
Então, a20 = 39
Assim: 
Logo, S20 = 400
Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir:
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C = 4Q.
b) C = 3Q + 1.
c) C = 4Q – 1
d) C = Q + 3.
e) C = 4Q – 2.
Enem 2010
 ​ 
Para formar um quadrado, é necessário utilizar quatro canudos. Para formar dois quadrados, sete canudos e, para formar três quadrados, 10 canudos. Vejamos na tabela a seguir a distribuição dos canudos em relação à quantidade de quadrados:
an = a1 + (n – 1).r
an = 4 + (n – 1).3
Mas de acordo com o problema, podemos reescrever essa fórmula. Considerando que Q representa as posições n da progressão e C representa cada termo an da PA, temos:
C = 4 + (Q – 1).3
C = 4 + 3Q – 3
C = 3Q + 1
Resolução:
N° de quadrados (Q)
Quantidade de Canudos (C)
1
4
2
7
3
10
As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.
Enem 2013
Ano
Projeto da Produção (t)
2012
50,25
2013
51,50
2014
52,75
2015
54,00
Através do quadro, podemos identificar uma progressão aritmética formada pelos números que compõem a coluna “Projeto da Produção (t)”. 
O a1 = 50,25 e o a2 = 51,50, sendo que o a1 refere-se ao ano de 2012, o a2, ao ano de 2013 e assim por diante. Precisamos identificar o 10° termo, aquele que se refere ao ano de 2021. Vamos procurar a razão (r) dessa PA:
r = a2 – a1
r = 51,50 – 50,25
r = 1,25
Agora que conhecemos a razão, vamos identificar o termo a10 através da fórmula do termo geral:
an = a1 + (n – 1).r
a10 = 50,25 + (10 – 1).1,25
a10 = 50,25 + 9.1,25
a10 = 50,25 + 11,25
a10 = 61,50
Sn = (a1 + an).n
      2
S10 = (50,25 + 61,50).10
         2
S10 = 111,75.10
        2
S10 = 1117,5
         2
S10 = 558,75
Identificado que o a10 é 61,50, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PA finita para saber a produção total do período 2012 – 2021:
Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é: 
a) 1300 
b) 1100 
c) 1600 
d) 900 
e) 1200
O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? 
A) 38 000. 
B) 40 500. 
C) 43 400. 
D) 42 000. 
E) 48 000. 
Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é
a) 21.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 31.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
 P.G
a1  
a2
a3
...
a20
...
an
...
A1
a1xq
a1xq2
...  
a1xq19
 
a1xqn-1 
...
Cálculos do termo geral
an = a1 x qn-1
Oscilante
Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a sequência numérica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando.
(3, -6, 12, -24, 48, -96, 192, -384, 768,...), em que a razão é -2
Crescente
Uma PG é considerada crescente quando q > 1 e a1 > 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 < 0:
(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3 e a1 > 0 (primeiro caso)
(-4, -2, -1, -0,5, -0,25, -0,125 ...), onde a razão é 0,5 e a1  < 0 (segundo caso)
Constante
Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os mesmos números. Para isso, a razão deve ser sempre 1:
(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...) onde a razão é 1
Decrescente
Uma PG é considerada decrescente quando q > 1 e a1 < 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 > 0. Assim, os números da sequência são sempre menores do que o número anterior:
(-4, -8, -16, -32 ...), razão = 2
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
(ENEM, 2008) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) – objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais – objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
1. Comece com um triângulo equilátero (Figura 1);
2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a Figura 2;
4. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (Figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a Figura 4 da sequência apresentada acima é:
a)
b)
c)
d)
e)
FIM