EEAR ESA funçao quadrática

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 CURSOPROGRESSÃO CENTRO 
 
Prof:Rodrigo 
01/02/2012 
 
Funçao quadrática 
Definiçao – Uma aplicação de f de R em R recebe o 
nome de função quadrática ou função do segundo grau 
quando associa a cada elemento x R o elemento 
( R, onde a ≠ 0. Isto é: f: R R 
 
 
 
Parábola – O gráfico da função quadrática é uma 
parábola. 
Exemplos 
*Para se construir o gráfico de uma função quadrática 
são necessários no mínimo 5 pontos. 
1 – Construir o gráfico de y = 
 
2 – Construir o gráfico de y = 
 
Concavidade – A parábola representativa da função 
quadrática y = pode ter concavidade 
voltada para “cima”ou para “baixo”. 
 
Se a > 0, a concavidade está voltada para cima 
 
Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma canônica – A construção do gráfico da função 
do segundo grau com o auxílio de uma tabela, como 
nos exemplos anteriores, as vezes torna-se um trabalho 
impreciso, pois na tabela atribuímos alguns valores 
inteiros a x e pode acontecer que em determinada 
função quadrática os valores de abcissa (valores de x) 
onde a parábola intercepta o eixo dos x ou a abcissa 
do ponto da parábola de maior ou menor ordenada não 
são inteiros. 
Entao para um estudo mais detalhado iremos 
apresentar a forma canônica da função quadrática. 
 
 
 
 
Representando de (delta) também 
chamado de discriminante do trinômio do segundo 
grau, temos a forma canônica 
 
 
 
Zeros – Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = 
 são os valores de x reais tais que f(x) = 
0 e, portanto, as soluçoes da equação do segundo grau 
 . 
Utilizando a forma canônica 
 
 
 
 
 
 
Discussao – Observe que a existência da raiz da 
equação do segundo grau fica 
condicionada ao fato de R. Assim temos 3 
possibilidades distintas. 
1 - > 0, a equação apresentará duas raízes reais e 
distintas. 
2 - = 0, a equação apresentará duas raízes reais e 
iguais. 
3 - < 0, a equação não apresentará raízes reais. 
 
Resumo 
 
 
Interpretando graficamente, dizemos que os zeros da 
função quadrática são as abcissas dos pontos que o 
gráfico corta o eixo dos x. 
Exemplo – Construindo o gráfico da função y = 
 podemos notar que a parábola corta o 
eixo dos x nos pontos 1 e 3, que são os zeros da 
função. 
 
Vértice da parábola – O ponto V 
 
 
 
 
 
 é chamado 
vértice da parábola representativa da função 
quadrática. 
 
Máximo e mínimo – O ponto do vértice da parábola é 
o ponto onde a imagem (ordenada eixo y) e o x são 
máximos para a > 0 e são mínimos para a < 0. 
 
Eixo de simetria – O gráfico da função quadrática 
admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos 
x e (paralelo a y) que passa pelo vértice. 
Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos x são 
todos da forma 
 
 
 pois todos os pontos dessa reta 
tem abcissa 
 
 
. 
 
Gráfico – Seguem os tipos de gráficos que podemos 
obter. 
 
 
Esses foram os gráficos para a < 0, agora veremos para 
a > 0. 
 
 
 
Sinal – Consideremos a função quadrática f(x) = 
 , e vamos resolver o problema “para que 
valores de x R temos: 
a) f(x) > 0 b) f(x) < 0 c) f(x) = 0 
Resolver este problema significa estudar o sinal da 
funçao quadrática para cada x R. 
Na determinação do sinal da função quadrática, 
devemos começar pelo cálculo do determinante , 
quando três casos distintos podem aparecer. 
a) b) c) 
 
1 caso - 
Teremos que 
 
 
 
A representação gráfica confirma a dedução acima 
 
 
 
2 caso - 
Teremos que 
 
 
 
 
3 caso - > 0 
Teremos que 
 
 
Exemplo – f(x) = , apresenta 
 Entao f(x) tem dois zeros reais e 
distintos. 
 
 
e a = 1 > 0, concluímos que 
 
 
Inequaçoes do segundo grau – Se a ≠ 0 as inequaçoes 
 < 0, 
 são denominadas 
inequaçoes do segundo grau. 
Resolver por exemplo a inequaçao 
 
é responder a pergunta “existe x R tal que f(x) = 
 seja positiva?” 
A resposta a essa pergunta encontra-se na análise do 
sinal de f(x), que pode, inclusive ser feito pelo gráfico 
de f(x). 
 
 
 
Exemplo – Resolver a inequaçao 
Considerando f(x) = temos a = 1 > 0 e 
 < 0 entao f(x) > 0 para qualquer x R. 
Como a inequaçao é 
f(x) > 0 vem S = R. 
 
Resolver a inequaçao 
Considerando f(x) = , temos a = 1 > 0, 
 , e uma raiz dupla igual a 1entao 
 
 
Como a inequaçao é f(x) ≤ 0, temos S = {1}. 
 
Comparaçao de um número real e as raízes da função 
quadrática – Compara um número real com as raízes 
reais da equação do segundo grau 
 
 = 0 é verificar se 
 
sem calcular as raízes 
Sendo f(x) = uma função quadrática, 
cuja regra de sinal já estudamos, temos que 
 
a) se estiver a esquerda de ou a direita de , o 
produto a.f( é positivo, isto é, a (coeficiente de ) 
e f( = tem o mesmo sinal. 
 
 
 
b) Se estiver entre as raízes e ( ≠ ) o 
produto a.f( é negativo, isto é, a e f( tem sinais 
contrários. 
 
 
c) Se é zero de f(x), então, a.f( = 0, pois f( = 0. 
 
Conhecendo a posição de em relação as raízes temos 
 
 
 
Sinais das raízes da função quadrática – Estudar o sinal 
das raízes é comparar o número zero as raízes e . 
Podem ocorrer três situaçoes. 
 
1) as raízes são positivas 
Neste caso temos 
 
 
De acordo com a teoria anterior temos 
 
 
de uma maneira mais prática 
 
2) as raízes são negativas 
Neste caso temos 
 
 
 
 
3) As raízes tem sinais contrários 
Neste caso temos 
e assim 
P < 0 
 
Exemplo – Determinar os valores de m na equação 
 para que as raízes 
reais sejam distintas e positivas. 
 
Soluçao – Como a equação é do segundo graus 
devemos ter primeiro. 
m – 1 ≠ 0, m ≠ 1 
e se as raízes são distintas e positivas (0 < < ), 
então 
 
 , (pelo fato de as raízes serem reais e distintas) e 
S > 0 e o P > 0, para que as raízes sejam positivas. 
Analisando cada condição 
 
 
 
Para a soma maior que zero (S > 0) 
 
 
 
Para o produto maior que zero (P > 0) 
 
 
 
Fazendo a interseção dos 3 intervalos vem 0 < m < 1 
que é a resposta.