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estudo. 
 O problema de uma carga móvel foi resolvido, primeiramente, para o caso 
onde a massa da viga é considerada pequena em relação à massa da carga que a 
percorre com velocidade constante. A solução deste problema deve-se a R. Willis 
(WILLIS et al. 1849), que deduz uma expressão, aproximada, para a equação do 
movimento fundamentada em um modelo de uma massa que desloca com 
velocidade constante por uma viga simplesmente apoiada, flexível e massa 
desprezível. 
 Para o caso em que a massa da carga é assumida como pequena frente à 
massa da viga, foi tratado originalmente, para uma viga simplesmente apoiada e 
carga pontual constante, por A. N. Krylov (KRΫLOV, 1905) e S. P. Timoshenko 
(TIMOSHENKO, 1908 e 1922), que utilizaram o método da expansão das funções 
de autovalor. 
 É também creditada a Timoshenko a solução para o problema dos efeitos de 
um carregamento harmônico movendo sobre uma viga com velocidade constante. 
 A resolução do problema considerando as massas da viga e da carga móvel, 
na qual foi obtida uma resposta satisfatória, deve-se a A. Schallenkamp 
(SCHALLENKAMP, 1937), o qual utilizou uma série de Fourier com coeficientes 
desconhecidos para o trajetória de uma carga concentrada com magnitude 
constante. 
 Cabe lembrar que todos os exemplos mencionados até esse ponto do texto 
utilizaram um veículo idealizado por uma massa pontual. 
 
12 
 Modelos com veículos idealizados de forma mais complexa e pontes 
modeladas de forma mais refinada somente foram possíveis com o desenvolvimento 
das ferramentas computacionais. Para o problema de vibrações em pontes 
identificam-se duas abordagens para o problema de interação veículo-estrutura: 
modelos analíticos simplificados do veículo e da estrutura e modelos numéricos 
complexos em elementos finitos (Melo, 2007). 
 Utiliza-se nesse trabalho um modelo em elementos finitos no qual a massa do 
veículo é considerada distribuída em dois graus de liberdade e a ponte é modelada 
através de elementos de viga. 
 Os resultados dinâmicos obtidos com esse modelo são comparados com as 
analises pseudo-estáticas, prescritas na NBR 7187 visando avaliar a adoção de 
coeficientes de impacto no cálculo de pontes em alguns casos específicos. 
 
 
13 
3. Características e propriedades dos veículos e pontes no 
Brasil 
3.1. Veículos rodoviários 
 Os veículos rodoviários, segundo o DNER, podem ser divididos em: leves e 
comerciais (ou de carga). Os veículos de carga mais freqüentes no tráfego 
rodoviário brasileiro, conforme o item 3.1.2 deste trabalho, são: 2C, 3C e 2S3. Estes 
podem ser descritos da seguinte forma: 
• Caminhões de dois eixos, em uma só unidade (2C): caminhões basculantes, 
de carroceria, baú e tanque, veículos de camping e de recreação, veículos 
moradia, etc., tendo dois eixos com rodas simples no dianteiro e rodas duplas 
na traseira (6 pneus); 
• Caminhões de três eixos, em só unidade (3C): caminhões betoneira, 
caminhões basculantes pesados, caminhões de carroceria e baús longos, 
etc., tendo três eixos: dianteiro de rodas simples e traseiros (tandem duplo ou 
não) de rodas duplas (10 pneus); 
• Caminhões com semi-reboque, com cinco eixos (2S3): veículos com cinco 
eixos, constituídos por duas unidades, uma das quais é um cavalo motor 
(com dois eixos), e o reboque com 3 eixos (tandem triplo), com 18 pneus; 
Segundo a Resolução CONTRAN n° 12/98 o comprimento máximo autorizado 
para estes veículos são: 14,00m (2C e 3C) e 18,50m (2S3). 
3.1.1. Lei da balança 
 Um conjunto de artigos do Código de Transito Brasileiro (CTB) e de 
Resoluções do Conselho Nacional de Transito (CONTRAN), que regulamentam as 
configurações dos veículos nas rodovias brasileiras, é conhecido como Lei da 
Balança. Alguns dos aspectos mais relevantes a este trabalho serão destacados a 
seguir. 
 O Peso Bruto Total (PBT), referido aos veículos monolíticos, é definido pela 
soma algébrica das cargas máximas permitidas em todos os seus eixos 
componentes. Quando se trata de veículos compostos, usa-se o Peso Bruto Total 
Combinado (PBTC), tendo a mesma definição do PBT. 
 
14 
 Segundo a Resolução n° 12 do CONTRAN (06/02/1998), consideram-se eixos 
em tandem os eixos de quatro pneumáticos cada, que constituam um conjunto 
integral de suspensão, podendo qualquer um deles ser ou não motriz. O conjunto de 
dois eixos consecutivos em tandem é chamado tecnicamente de eixo tandem duplo 
(TD), e o de três, eixo tandem triplo (TT). Não se faz o uso de configurações em 
tandem com mais de três eixos, tampouco de eixos tandem triplo em veículos 
rebocados. Considera-se eixo duplo especial (DE) o conjunto de dois eixos, 
interligados por suspensão especial, no qual um deles é dotado de quatro 
pneumáticos e o outro de dois pneumáticos, os eixos isolados de dois pneumáticos 
são chamados de eixos simples de rodas simples (SRS) e os isolados de quatro 
pneumáticos, eixos simples de rodas duplas (SRD). Estes eixos têm seus limites de 
carga descriminados na Tabela 1. 
Eixo Carga máxima (kN) 
SRS 60 
SRD 100 
TD 170 
TT 255 
DE 135 
Tabela 1: Configurações de eixo e seus limites de peso. 
 
 Os limites de PTB/PBTC das classes de veículos constantes na base de 
dados do DNIT são apresentados na Tabela 2. 
N° de eixos de cada tipo Classe SRS SRD DE TD TT 
Limite de Peso 
(kN) 
O2C 1 1 0 0 0 160 
O3C 1 0 1 0 0 195 
O4CD 2 0 1 0 0 255 
2C 1 1 0 0 0 160 
3C 1 0 0 1 0 230 
4C 1 0 0 0 1 315 
4CD 2 0 0 1 0 290 
2C2 1 3 0 0 0 360 
2C3 1 2 0 1 0 430 
3C2 1 2 0 1 0 430 
3C3 1 1 0 2 0 500 
2S1 1 2 0 0 0 260 
2S2 1 1 0 1 0 330 
2I2 1 3 0 0 0 360 
2S3 1 1 0 0 1 415 
2I12 1 2 0 1 0 430 
2I3 1 4 0 0 0 460 
3S1 1 1 0 1 0 330 
3S2 1 0 0 2 0 400 
3I2 1 2 0 1 0 430 
3S3 1 0 0 1 1 485 
3I12 1 1 0 2 0 500 
3I3 1 3 0 1 0 530 
Tabela 2: PBT/PBTC das classes de veículos. 
 
15 
3.1.2. Monitoramento do tráfego rodoviário 
 O tráfego é avaliado através dos Postos de Pesagem, de Contagem e de 
Monitoramento. Sendo que nos Postos de Pesagem os veículos são avaliados em 
baixas velocidades, logo sem efeitos dinâmicos, já os Postos de Contagem tem 
como objetivo coletar dados sobre o fluxo de veículos em trânsito. Hoje, dos vinte e 
seis Postos de Contagem existentes no Brasil nenhum se encontra em operação. Os 
Postos de Monitoramento levantam dados relativos ao volume de tráfego, velocidade 
e cargas por eixo. 
 Os dados colhidos pelo DNIT, no período de dezembro de 1999 e outubro de 
2002, e sintetizados por Rossigali, permitem chegar à distribuição de freqüências 
relativas das diferentes classes de veículos apresentada na Figura 5. 
46
,
2%
7,
2%
3,
4%
2,
4%
0,
0%
7,
8%
11
,
5%
0,
0%
0,
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0,
0%
0,
0%
0,
0%
0,
0%
0,
2%
2,
8%
0,
1%
7,
2%
0,
1%
0,
0%
0,
0%
0,
1%
0,
0%
0,
9%
0,
0%
0,
0%
0,
2%
0,
1%
0,
1%
9,
6%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
LE
VE
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U
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O
2C
O
3C
O
4C
D 2C 3C 4C 4C
D
2C
2
2C
3
3C
2
3C
3
2S
1
2S
2
2I
2
2S
3
2I
12 2I
3
3S
1
3S
2
3I
2
3S
3
3I
12 3I
3
7R
O
D
8R
O
D
9R
O
D
OU
TR
OS
 
Figura 5: Distribuição de freqüências relativas das classes de veículos. (Adaptado de ROSSIGALI, 
2006) 
 Da inspeção do gráfico da Figura 5, se concluí que os veículos pesados mais 
freqüentes nas rodovias brasileiras são os dos tipos 3C, 2C e 2S3. Por este motivo, 
as análises desenvolvidas neste trabalho terão como foco os veículos: 3C, 2C e 
2S3. 
 Com estes dados, coletados pelo DNIT, pode-se também conhecer a 
distribuição de carga entre os eixos dos veículos. A Figura 6 mostra a distribuição de 
carga para os veículos utilizados neste trabalho. 
 
 
16 
 
Figura 6: Percentuais de peso total em cada eixo dos veículos de configuração mais freqüente

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