Aps Haste de Madeira(Flambagem Unip)

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UNIP-UNIVERSIDADE​ ​PAULISTA 
 
 
 
 
​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​Cinthia​ ​Siqueira​ ​de​ ​Paiva​ ​T738342 
Felipe​ ​Menezes​ ​de​ ​Araújo​ ​C54EFJ5 
Rafael​ ​Fernando​ ​Frigo​ ​C690CE5 
Roberta​ ​Rosa​ ​Siqueira​ ​T584450 
Thamiris​ ​Caroline​ ​Camargo​ ​B792GG4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLAMBAGEM​ ​HASTE ​ ​DE​ ​MADEIRA 
 
 
ARARAQUARA 
2017 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
1. INTRODUÇÃO 1 
1.1. MADEIRAS 1 
1.2. INTRODUÇÃO​ ​DO​ ​TRABALHO 8 
2. OBJETIVO 11 
3. MATERIAIS​ ​E​ ​MÉTODOS 12 
3.1. MATERIAIS​ ​UTILIZADOS 12 
3.2. REALIZAÇÃO 15 
3.3. CÁLCULOS​ ​E​ ​FORMULAÇÕES 18 
4. CONCLUSÕES 24 
5. REFERÊNCIA​ ​BIBLIOGRÁFICA 41 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
1.1. ​ ​MADEIRAS 
 
 
MADEIRA​ ​GARAPEIRA 
 
Popularmente conhecida como amarelinho, a garapeira é encontrada no Brasil nos 
estados de Amazônia, Mata Atlântica, Acre, Amapá, Amazonas, Bahia, Espírito Santo, Mato 
Grosso, Mato Grosso do Sul, Minas Gerais, Pará, Paraná, Rio Grande do Sul, Rondônia e São 
Paulo,​ ​ainda​ ​existem​ ​relatos​ ​de​ ​ocorrência​ ​na​ ​Argentina,​ ​Paraguai​ ​e​ ​Uruguai. 
Floresce nos meses de agosto e setembro, quando a planta está completamente sem 
folhas.​ ​Seus​ ​frutos​ ​amadurecem​ ​em​ ​janeiro​ ​e​ ​fevereiro. 
 
Madeira​ ​Garapeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Google​ ​Imagens,​ ​2017) 
 
Seu cerne e alburno são distintos pela cor, cerne variando de bege-amarelado a 
 
 
castanho amarelado, superfície lustrosa e lisa ao tato, cheiro e gosto imperceptíveis, densidade 
média, dura ao corte, grã revessa e textura média. O cerne apresenta resistência moderada ao 
ataque de fungos apodrecedores e alta resistência ao cupim-de-Madeira-seca. Em ensaio 
laboratorial, esta Madeira foi considerada resistente aos fungos apodrecedores Glocophyllum 
trabum, Coriolus versicola e Poria monticola. Em ensaio de campo, com estacas em contato 
com​ ​o​ ​solo, ​ ​esta​ ​Madeira​ ​apresentou​ ​vida​ ​média​ ​inferior​ ​a​ ​9​ ​anos. 
 
 
TRABALHABILIDADE 
 
A Madeira de garapa é fácil de ser trabalhada desde que se use ferramentas 
apropriadas​ ​devido​ ​à​ ​presença​ ​de​ ​sílica;​ ​porém​ ​cola​ ​bem​ ​e​ ​proporciona​ ​bom​ ​acabamento. 
Quanto a secagem, é difícil de secar ao ar, a secagem deve ser lenta e bem controlada 
para ​ ​evitar​ ​alta​ ​incidência​ ​de​ ​defeito 
 
PROPRIEDADE 
 
Densidade​ ​de ​ ​massa​ ​(r): 
 
•Aparente​ ​a​ ​15%​ ​de​ ​umidade: ​ ​830​ ​kg/m³ 
•Básica:​ ​670​ ​kg/m³ 
•Radial:​ ​4,4​ ​% 
•Tangencial:​ ​8,5​ ​% 
•Volumétrica:​ ​14,0 
 
Flexão: 
 
•Resistência: 
•Madeira​ ​verde: ​ ​93,8​ ​MPa 
•Madeira​ ​a​ ​15%​ ​de ​ ​umidade: ​ ​125,3 ​ ​MPa 
•Limite​ ​de​ ​proporcionalidade-​ ​Madeira​ ​verde:​ ​43,1​ ​MPa 
 
 
•Módulo​ ​de​ ​elasticidade-​ ​Madeira​ ​verde:​ ​14107​ ​MPa 
 
Compressão​ ​paralela​ ​às​ ​fibras: 
 
•Resistência​ ​(fc0): 
•Madeira​ ​verde: ​ ​37,3​ ​MPa 
•Madeira​ ​a​ ​15%​ ​de ​ ​umidade: ​ ​54,3​ ​MPa 
•Coeficiente​ ​de​ ​influência​ ​de​ ​umidade:​ ​5,1​ ​% 
•Limite​ ​de​ ​proporcionalidade​ ​-​ ​Madeira​ ​verde:​ ​29,7​ ​MPa 
•Módulo​ ​de​ ​elasticidade​ ​-​ ​Madeira​ ​verde:​ ​14460​ ​MPa 
•Resistência​ ​ao​ ​impacto​ ​na​ ​flexão ​ ​-​ ​Madeira​ ​a​ ​15% ​ ​(choque): 
•Trabalho​ ​absorvido: ​ ​40,0 
•Cisalhamento​ ​-​ ​Madeira​ ​verde: ​ ​12,7​ ​MPa 
•Dureza​ ​janka​ ​-​ ​Madeira​ ​verde: ​ ​7257​ ​N 
•Tração ​ ​normal ​ ​às​ ​fibras​ ​-​ ​Madeira​ ​verde:​ ​9,6​ ​MPa 
•Fendilhamento​ ​-​ ​Madeira​ ​verde: ​ ​1,0​ ​MPa 
Resultados​ ​obtidos​ ​de​ ​acordo​ ​com​ ​a​ ​Norma​ ​ABNT​ ​MB26/53​ ​(NBR​ ​6230/85). 
 
UTILIZAÇÃO 
 
CONSTRUÇÃO​ ​CIVIL: 
 
• ​ ​Pesada​ ​externa: 
-pontes 
-estacas 
-dormentes​ ​ferroviários 
-cruzetas 
-mourões 
-postes 
• ​ ​Pesada​ ​interna: 
-vigas 
 
 
-caibros 
• ​ ​Leve​ ​em​ ​esquadrias: 
-portas 
-venezianas 
-caixilhos 
• ​ ​Leve​ ​interna,​ ​decorativa: 
-cordões 
-guarnições 
-forros 
-rodapés 
 
OUTROS​ ​USOS 
 
-tacos 
-tábuas 
-parquetes 
-degraus​ ​de​ ​escada 
-móveis​ ​decorativos 
-cabos​ ​de​ ​ferramentas 
-transporte 
 
 
MADEIRA​ ​PEROBA 
 
Peroba-rosa é um dos nomes comuns da espécie ​Aspidosperma polyneuron​. Essa 
espécie​ ​encontra-se ​ ​na​ ​lista​ ​das​ ​espécies​ ​para​ ​conservação​ ​no​ ​​Brasil​ ​​e​ ​na​ ​​Venezuela​. 
Árvore brasileira caducifólia, de desenvolvimento lento, de madeira dura, que chega a 
atingir de 20 a 30 m de altura com o tronco ereto o que lhe confere a categoria de madeira de 
corte. 
Tem folhas elípticas. As flores são esbranquiçadas ou esverdeadas. Apresenta folículos 
clavado-oblongos. 
 
 
Nativa da ​floresta clímax ​, mas que também pode ser encontrada em formações 
vegetais abertas, a peroba fornece madeira de cor rosa, embora conste outro tipo de tonalidade 
alaranjado. 
Ocorre nos estados da ​Bahia​, ​Espírito Santo​, ​Rio de Janeiro​, ​Minas Gerais​, ​São Paulo​, 
Goiás​,​ ​​Mato​ ​Grosso​ ​do ​ ​Sul​, ​ ​Paraná​ ​e​ ​​Rondônia​. 
Embora mais densa (afunda) do que a água é muito solicitada na construção de 
embarcações​ ​marítimas​ ​por​ ​não​ ​ser​ ​facilmente​ ​atacada​ ​por​ ​​gusanos​. 
A super-exploração econômica levou a peroba-rosa ao estado de perigo. Para isso 
contribuiu a destruição dos ecossistemas da ​Mata Atlântica​, seu bioma de origem, onde ocorre 
nas​ ​florestas​ ​latifoliadas​ ​semidecídupluvial​ ​atlântica. 
Os frutos da peroba-rosa dispersam suas ​sementes imediatamente após a modificação 
da coloração do verde para o marrom escuro. Por isso, devem ser coletados antes da dispersão 
para evitar a perda de sementes. A coleta dos frutos geralmente é trabalhosa devido à altura 
das​ ​árvores. 
 
MADEIRA​ ​PEROBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Google​ ​Imagens,​ ​2017) 
 
 
UTILIZAÇÃO 
 
 
 
 
A madeira de PEROBA-ROSA, por ser de resistência mecânica e retraibilidade 
médias, é indicada , principalmente, em construção civil, como vigas, caibros, ripas, marcos 
de portas e janelas, venezianas, portas, portões, rodapés, molduras, tábuas e tacos para 
assoalhos, degraus de escadas, móveis pesados, carteiras escolares, produção de folhas 
faqueadas, construção de vagões, carrocerias, dormentes, formas para calcados. Dormentes 
dessa ​ ​madeira,​ ​sem​ ​tratamento ​ ​preservante​ ​apresentam​ ​uma​ ​vida​ ​útil​ ​média​ ​de​ ​6​ ​anos. 
 
CURIOSIDADE 
 
A árvore é ornamental, podendo ser usada no paisagismo em geral. Também não deve 
faltar nos reflorestamentos mistos destinados à recomposição de áreas degradadas de 
preservação​ ​permanente. 
 
 
ÁRVORE​ ​MADEIRA​ ​PEROBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Google​ ​Imagens,​ ​2017) 
 
 
​ ​MADEIRA​ ​CEDRINHO 
 
 
 
Popularmente conhecida como Bruteiro ou Jaboti, a madeira cedrinho é encontrada no 
Brasil na Amazônia, Acre, Amapá, Mato Grosso, Pará e Rondônia, também há ocorrência em 
outro ​ ​países​ ​como​ ​Guiana,​ ​Guiana​ ​Francesa,​ ​Suriname,​ ​Venezuela 
 
MADEIRA​ ​CEDRINHO 
 
 
 
 
 
 
(Google ​ ​Imagens,​ ​2017) 
 
CARACTERÍSTICASCaracterísticas sensoriais: cerne e alburno pouco distintos pela cor, cerne bege rosado 
tendendo para castanho, em alguns espécimes observam-se pequenas manchas longitudinais 
de coloração castanha mais escura, cheiro e gosto imperceptíveis, densidade média, 
moderadamente​ ​dura ​ ​ao​ ​corte,​ ​grã​ ​irregular;​ ​textura​ ​média;​ ​superfície​ ​lustrosa. 
Madeira susceptível ao ataque de perfuradores marinhos, mas moderadamente 
resistente aos térmitas.Moderadamente resistente aos organismos xilófagos. Boa resistência 
aos fungos de podridão parda e branca, não susceptível ao ataque de Lyctus e baixa a média 
resistência ao cupim subterrâneo (Reticulitermes santonensis). Alburno permeável à 
impregnação​ ​e​ ​cerne​ ​impermeável. 
 
UTILIZAÇÃO 
 
É utilizada na construção de telhados, forros, assoalhos, paredes de madeira, tem uma 
alta durabilidade, porém é uma madeira que exige um pouco mais de trabalho na sua 
utilização, é uma madeira de grande beleza, e que vem a substituir a imbuia nos tempos 
atuais. Atualmente é uma das madeiras de maior custo, porém sua relação custo beneficio é 
 
 
uma​ ​das​ ​maiores. 
Semelhante à madeira de teca, com ampla aplicação para fins nobres como na 
carpintaria onde não se exige alta existência mecânica, na construção naval, na produção de 
peças para uso em ambientes expostos, e na confecção de móveis finos, peças torneadas, 
pisos,​ ​lâminas​ ​para ​ ​o​ ​interior​ ​de​ ​compensados ​ ​e​ ​muitas ​ ​outras 
Um madeiramento muito utilizado nas aplicações em marcenaria, como também na 
construção​ ​civil, ​ ​industrial ​ ​e​ ​residencial. 
Pode ser utilizado na forma “bruta” ou “aparelhada”, o que lhe proporciona uma 
infinidade em utilizações. O cedrinho possui uma boa aceitação em pregos e parafusos, por se 
tratar​ ​de​ ​um​ ​madeiramento​ ​leve​ ​e​ ​macio. 
A madeira de Cedrinho é alternativa para madeiramento de telhados com preço mais 
acessível, também é utilizada em obras e estruturas à serem revestidas, disponibilizada em 
tábuas,​ ​vigas, ​ ​pernas,​ ​etc.​ ​Aceita​ ​acabamentos​ ​com​ ​corantes​ ​e​ ​vernizes. 
 
 
 
 
1.2. ​ ​​INTRODUÇÃO​ ​DO ​ ​TRABALHO 
 
JAREK, A. ressalta que o estudo da flambagem vem sendo desenvolvido desde o 
século XVIII, quando obteve a primeira carga crítica de uma barra biapoiada sob a ação de 
uma carga axial de compressão aplicada no seu topo. A partir daí,o estudo da estabilidade 
vem sendo realizado para diversos tipos de estruturas, sob vários tipos de carregamento e 
condições de contorno, uma questão de grande importância para o desenvolvimento de um 
projeto​ ​estrutural. 
SANTOS,W. fala em sua dissertação de mestrado que na maior parte das estruturas, os 
pilares são elementos de fundamental importância. A resistência dos pilares na estrutura que 
os contêm, pode ser determinista no colapso da mesma como um todo. Ele nos diz que a 
flambagem é uma curva de deformação do lado de um elemento estrutural comprimido pela 
carga​ ​pesada. 
 
 
Tomamos dois pedaços de barra como exemplo, assumiremos que cada barra é um 
pilar e iremos colocar uma pressão vertical sobre eles, com a mesma intensidade de pressão 
em cada um até vermos como eles começam a deformar-se, assim é um exercício de 
flambagem. 
Nota se que, ​PFEIL,W. ​e PFEIL​, M. definiram curvaturas iniciais em peças esbeltas 
sob compressão axial ou deslocamentos laterais realizados por ação de um momento 
fletor aplicado, ampliados pelo esforço de compressão em um processo denominado 
flambagem por flexão, o qual reduz a resistência da peça. Como as formas de equilíbrio 
instável não se mantêm a barra, se encurva e adquire então uma outra forma de 
equilíbrio estável. O valor de P para o qual ocorre a passagem entre as duas formas 
de ​ ​equilíbrio​ ​estável ​ ​chama-se​ ​carga​ ​de​ ​flambagem. 
R.C. Hibbeler, acredita que sempre que se projeta um elemento estrutural, é necessário 
que ele satisfaça requisitos epecíficos de resistência, deflexão e estabilidade. Alguns 
elementos estruturais no entanto, podem estar sujeitos a cargas de compressão e, se forem 
comprimidos e esbeltos, a carga poderá ser grande o suficiente para provocar uma deflexão ou 
uma oscilação lateral. Mais especificamente, elementos estruturais compridos e esbeltos 
sujeitos​ ​a​ ​uma​ ​força ​ ​de​ ​compressão​ ​axial,​ ​são​ ​denominados ​ ​flambagem. 
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na iminência de 
sofrer flambagem é denominada carga crítica, assim sendo, qualquer carga adicional 
provocará​ ​flambagem​ ​na​ ​coluna​ ​e,​ ​portanto,​ ​deflexão​ ​lateral. 
Tentando imaginar e colocando em prática a idéia de R.C. Hibbeler, uma barra na 
vertical, a mola de rigidez k não está sendo esticada e uma pequena força vertical P é aplicada 
ao topo dela, perturbando esta posição de equilibrio, ao deslocar o pino até uma distancia, 
percebendo que quando a barra é deslocada, a mola produz uma força de recuperação F=K/\, 
enquanto a carga P desenvolve duas componentes horizontais, Px=Ptg, que tende a empurrar o 
pino ainda mais para fora da posição de equilibrio. Visto que o equilibrio estavél seria P<kl/4 
e​ ​P>kl/4​ ​equilibrio​ ​instavél. 
O valor intermediário de P=kl/4 seria o equilibrio neutro. Esta carga representa um 
caso de mecanismo que está em equilibrio neutro. Como P é independente do (pequeno) 
deslocamento das barras, qualquer leve perturbação aplicada ao mecanismo não fará com que 
eles​ ​se ​ ​afaste​ ​mais​ ​do​ ​equilíbrio,​ ​nem​ ​que​ ​retorne​ ​a​ ​sua​ ​posição​ ​original​ ​defletida. 
 
 
O ponto de transição onde a carga é igual ao valor crítico P=Pcr, é denominado ponto 
de bifurcação. Neste ponto o mecanismo estará em equilibrio para qualquer valor pequeno, 
medido​ ​para​ ​a​ ​direita​ ​ou​ ​para​ ​a​ ​esquerda​ ​da​ ​vertical. 
Em termos físicos Pcr representa a carga sob a qual o mecanismo está na iminência de 
sofrer​ ​flambagem. 
É bastante válido determinar esse valor considerando pequenos deslocamentos, 
entretanto, é preciso entender que Pcr pode não ser o maior valor de P que o mecanismo pode 
suportar. De fato, se uma carga maior for colocada nas barras, pode ser que o mecanismo 
tenha de sofrer uma deflexão adicional, antes que a mola seja comprimida ou alongada o 
suficiente para manter o mecanismo de equilibrio. Assim, podemos obter as cargas de 
flambagem​ ​críticas​ ​para ​ ​colunas​ ​suportadas ​ ​de​ ​vários​ ​modos. 
Apesar de no projeto de engenharia a carga crítica possa ser considerada como a maior 
carga que a coluna possa suportar, se uma coluna estiver em posição fletida ou flambada, ela 
poderá suportar uma carga maior ainda do que Pcr, embora, infelizmente esta carga pode 
exigir que a coluna sofra uma grande deflexão que, em geral, não é tolerada em estruturas de 
engenharia. Por exemplo, pode ser que apenas alguns newtons de força bastem para provocar 
flambagem em uma barra demedição, mas a carga adicional que ela pode suportar só pode ser 
aplicada,​ ​após​ ​ela​ ​ter​ ​sofrido ​ ​uma​ ​deflexão​ ​lateral​ ​relativamente​ ​grande. 
R.C. Hibbeler, ainda argumenta que a coluna a ser considerada é uma coluna ideal, 
significando uma coluna perfeitamente reta antes da carga, feita de material homogêneo e na 
qual a carga é aplicada no centróide da seção transversal. Consideramos ainda que o material 
comporta se de uma maneira linear elástica e que a coluna sofre flambagem ou flexão em 
único plano. Na realidade, as condições de perfeita retidão da coluna e aplicação de carga 
nunca são cumpridas; todavia, a análise a ser realizada em uma coluna ideal é semelhante à 
usada para analisar colunas inicialmente fletidas(tortas) ou sobre as quais são aplicadas cargas 
excêntricas. Visto que uma coluna ideal é reta, teoricamente a carga axial P, poderia ser 
aumentada até ocorrer falha por ruptura ou escoamento do material. Contudo, quando a carga 
crítica Pcr é atingida, a coluna está na iminência de tornar-se instavél, de modo que pequena 
força lateral F, fará com que ela permaneça na posição defletida quando F for removida. 
Qualquer ligeira redução na carga axial P em relação a Pcr, fará com que a coluna 
 
 
endireite-se, e qualquer ligeiro aumento em P, que ultrapasse Pcr, provocará aumentos 
adicionais​ ​na​ ​deflexão​ ​lateral. 
O fato de a coluna continuar estavél ou tornar se instavél quando sujeita a uma carga 
axial​ ​dependerá​ ​de​ ​sua​ ​capacidade​ ​de​ ​restauração,​ ​que​ ​é​ ​baseada​ ​em​ ​sua​ ​resistência​ ​a​ ​flexão. 
Nas construções, as peças que compõem as estruturas devem possuir geometria 
adequada e adaptadas, para que possam resistir às forças existentes e peso e a ações naturais, 
como o vento, sobre elas, desta maneira, ​MASCIA, T​. diz que as paredes precisam ter 
resistência apropriada para suportar a pressão interna e que um pilar de um edifício tem 
resistência para suportar as cargas das vigas, fazendo uma analogia a asa de um avião, que 
deve suportar com segurança as cargas aerodinâmicas que surgem durante o voo ou sua 
decolagem. 
Continuando seu raciocínio, se o material não resistir às ações, atingirá um Estado 
Limite Último por Ruptura, sendo que da mesma forma, um piso de edifício deve ser rígido 
para evitar uma flecha excessiva, o que em alguns casos pode provocar fissuras no teto, 
tornando-se​ ​inadequado​ ​em​ ​seu​ ​aspecto​ ​funcional​ ​(Estado​ ​Limite​ ​de​ ​Utilização). 
Por fim, uma peça pode ser tão delgada que submetida a uma ação compressiva 
atingirá ​ ​o​ ​colapso​ ​por​ ​perda​ ​de​ ​estabilidade​ ​(flambagem). 
Na engenharia, tais requisitos acima devem ser preenchidos com a máxima habilidade 
e o menor custo, pois MASCIA, T. nos conta em sua pesquisa, que a seleção dos elementos 
estruturais de uma construção se baseia nas três seguintes características: • Resistência; • 
Rigidez;​ ​•​ ​Estabilidade. 
O Conceito de resistência e rigidez já abordado, observando que o conceito de 
estabilidade Elástica, denota a estabilidade, ou seja, a propriedade do sistema (estrutura) de 
manter​ ​o​ ​seu​ ​estado​ ​inicial ​ ​de​ ​equilíbrio​ ​nas​ ​condições​ ​de​ ​aplicação​ ​de​ ​ações. 
Quando​ ​um​ ​sistema​ ​não​ ​tem​ ​esta​ ​propriedade,​ ​ele​ ​é​ ​considerado​ ​instável. 
Definimos dois estados de equilíbrio, o equilíbrio estável, quando um sistema sofre 
uma pequena perturbação, após eliminada suas causas de perturbação, o sistema volta ao seu 
estado inicial de equilíbrio. E o equilíbrio instável, onde um sistema sofre uma pequena 
perturbação, e após eliminada sua perturbação, o sistema não volta ao seu estado inicial, como 
já​ ​citado​ ​em​ ​Hebbeler. 
 
 
MASCIA T. reafirma os autores anteriores que dizem que, na ​engenharia estrutural, o 
fenômeno surge principalmente nos pilares e colunas, e possuí a aparência de um adicional de 
flexão ​ ​no​ ​pilar​ ​quando​ ​este​ ​sofre ​ ​a​ ​ação​ ​de​ ​um​ ​esforço​ ​axial​ ​de​ ​alguma​ ​importância. 
O valor de uma carga axial de compressão, é chamado de carga crítica de flambagem, 
e gera instabilidade elástica com alguma deformação, gerando tensões adicionais que 
excedem ​ ​a​ ​tensão​ ​de​ ​ruptura,​ ​tendo​ ​como​ ​resultado​ ​a​ ​ruína​ ​do​ ​elemento​ ​estrutural. 
R,J, PIMENTA, apresenta em sua tese de mestrado, o comportamento, a resistência e 
projeto de barras submetidas à compressão, como constituintes a área que tem recebido ao 
longo do tempo, a maior atenção por parte dos pesquisadores da engenharia estrutural. Tais 
elementos estruturais são raramente encontrados suportando apenas carga axial, visando que, 
estão interligados a elementos que induzem o surgimento de outras solicitações, como a 
flexão e torção, entretanto, quando o sistema estrutural sofre a restrição à rotação das 
extremidades da coluna e desprezível carregamento, seja simetricamente aplicado por meio 
dos outros elementos que estão ligados às suas extremidades, a barra poderá ser projetada 
como​ ​elemento​ ​sujeito ​ ​apenas​ ​à​ ​carga​ ​axial. 
 
​ ​​D 
 
2. OBJETIVO 
 
Este experimento visa à análise de uma coluna, representada por três madeiras 
diferentes,​ ​sujeitas​ ​a​ ​uma​ ​carga​ ​axial​ ​que​ ​irá​ ​provocar​ ​o ​ ​fenômeno​ ​da​ ​flambagem. 
Será possível calcular a tensão crítica e a carga crítica que a coluna suporta sem sofrer 
flambagem de forma teórica e prática, além da determinação do gráfico de Euler, que 
relaciona​ ​a​ ​tensão​ ​com​ ​o​ ​índice​ ​de​ ​esbeltez​ ​da​ ​coluna. 
 
 
3. MATERIAIS​ ​E ​ ​MÉTODOS 
 
 
 
 
3.1.​ ​​MATERIAIS​ ​ULTILIZADOS 
 
 
 
CELULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRENSA​ ​HIDRÁULICA 
 
 
 
 
 
 
RÉGUA 
 
 
 
 
​ ​​ ​PAQUIMETRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MADEIRA​ ​GARAPEIRA 
 
 
MADEIRAS​ ​PEROBA 
 
 
 
 
MADEIRA​ ​CEDRINHO 
 
 
 
 
3.2.​ ​REALIZAÇÃO 
 
Primeiro escolhemos para o teste três tipos de madeiras sendo ( Peroba, Cedrinho e 
Garapeira),em seguida medimos largura, base e comprimento tirando três vezes essas medidas 
para tirar a média das dimensões. Depois colocamos as madeiras em uma prensa hidráulica 
para verificar o Pcr (Ponto Crítico) de cada madeira. E em qual momento ocorre a flambagem. 
Como a prensa exerce uma carga axial que irá provocar o fenômeno da flambagem na 
madeira​ ​levando​ ​a​ ​ruptura. 
Depois que se obtém o Pcr junto com as medidas da área transversal conseguimos 
achar o momento de Inércia das madeiras e com isso jogamos na formula conseguindo o 
modulo ​ ​de​ ​elasticidade​ ​da​ ​madeira​ ​é​ ​possível​ ​também​ ​calcular​ ​a​ ​tensão ​ ​crítica​ ​e​ ​a​ ​carga​ ​crítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.CÁLCULOS​ ​E​ ​FORMULAÇÕES 
 
● P < 4
KL Equilíbrio​ ​estável 
● P > 4
KL Equilíbrio​ ​instável 
● ​ ​Equilíbrio​ ​neutrocrP = 4
KL 
 
Carga​ ​crítica​ ​para​ ​coluna​​é​ ​definida​ ​pela​ ​equação. 
● crP =
L2
π EI2 
● xI = 12bh
3
 ​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​Para​ ​seção​ ​retangular.yI = 12
hb3 
 
 
Onde: 
Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes do ìnicio daP = 
flambagem. Essa carga não deve bastar para que a tensão na coluna exceda o limite de 
proporcionalidade. 
​ ​Módulo​ ​de​ ​elasticidade​ ​para​ ​o​ ​material.E = 
Menor​ ​momento​ ​de ​ ​inércia​ ​para​ ​a​ ​área​ ​da​ ​seção​ ​transversal​ ​da​ ​coluna. I = 
Comprimento​ ​da​ ​coluna​ ​sem​ ​apoio,​ ​cujas ​ ​extremidades​ ​estejam​ ​presas​ ​por​ ​pinos.L = 
● crσ = ( L
r)2
π E2 hA = b 
Tensão crítica que é uma tensão média na coluna imediatamente antes da flambagem.σ = 
Essa​ ​é​ ​uma​ ​tensão​ ​elástica​ ​e​ ​portanto​ ​ cr≤σeσ 
​ ​Módulo​ ​de​ ​elasticidade​ ​para​ ​o​ ​material.E = 
​ ​Comprimento ​ ​da​ ​coluna​ ​sem​ ​apoio,​ ​cujas​ ​extremidades​ ​estejam​ ​presas​ ​por​ ​pinos.L = 
Menor raio de giração da coluna, determinado por , onde ​I ​é o menor momentor = r = √ IA 
de ​ ​inércia​ ​da​ ​área​ ​da​ ​seção​ ​transversal​ ​da​ ​coluna,​ ​​A. 
A​ ​relação​ ​geométrica​ ​ ​ ​na​ ​equação​ ​acima​ ​é​ ​conhecida​ ​como​ ​​índice​ ​efetivo​ ​de​ ​esbeltez​.r
L 
 
Deformação​ ​Específica 
● ε = σE 
Fórmula​ ​de​ ​Euler​ ​para​ ​Colunas​ ​com​ ​variações​ ​de​ ​apoios 
 
● A única alteração para esta formula da anterior, é Le= comprimentocrP =
Le2
π EI2 
efetivo​ ​de​ ​flambagem​ ​estará ​ ​relacionado​ ​a​ ​variações ​ ​de​ ​extremidade. 
 
 
A figura abaixo indica vários casos de condição de extremidade considerados nesta seção e os 
correspondentes​ ​comprimentos​ ​efetivos​ ​de​ ​flambagem. 
 
 
TESTE ​ ​PRÁTICO​ ​DE​ ​FLAMBAGEM​ ​HASTE​ ​DE​ ​MADEIRA. 
Determinar uma força axial de ruptura por flambagem em hastes bi – articulada de três 
amostras de madeiras (Garapeira, Cedrinho, Peroba) com seção transversal retangular. 
Utilizamos a fórmula de força crítica ( ) essa fórmula relaciona momento de inércia crP =
Le2
π EI2 
da seção transversal, módulo de elasticidade, e comprimento equivalente sendo assim 
seguiremos​ ​com​ ​os​ ​cálculos​ ​a​ ​seguir. 
 
1- GARAPEIRA 
 
Dados​ ​Coletados 
​ ​​ ​L=0,343m​ ​​ ​ ​ ​cr 30 kgP = 4 , g = 9 8 s²
m eção b , 6×10 m e h , 193 mS = 9 8 −3 = 0 0 
Área​ ​Transversal ​ ​e​ ​Pcr 
● hA = b 
, 6×10 m×(0, 193)m , 0298×10 m²A = 9 8 −3 0 = 1 9 −4 
 
 
● °lei de Newton F ×g 2 = m 
Portanto​ ​como​ ​temos​ ​Pcr​ ​=​ ​kg​ ​e g , = 9 8 s²
m 
​ ​​ ​​ ​​ ​temos:cr 30 kg×9, 214Kg×P = 4 8 s²
m = 4 s²
m 
214Kg× 214N 4 s²
m = 4 
Momento​ ​de​ ​Inércia​ ​Seção​ ​Retangular 
​ ​ x , 8×10 mI = 12
bh3 = 12
9,86×10 ×(0,0193)−3 3 = 5 8 −9 4 
y , 417×10 mI = 12
hb3 = 12
0,0193×(9,86×10 )−3
3
= 1 5 −9 4 
Módulo ​ ​de​ ​Elasticidade 
​ ​​ ​​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​ .crP =
Le2
π EI2 E 
● ​ ​​ ​​ ​E =
π I2
P crLe2 
​ ​ , 5×10E =
π I2
P crLe2 = 4214×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 Nm2 
Tensão ​ ​Crítica 
● crσ = ( L
r)2
π E2 
​ ​ cr 2030864σ =
( 0,343
2,846×10 )−3 2
π ×3,25×102 10 = 2 Nm2 
Raio​ ​de​ ​Giração 
​ ​ , 46×10 m r = √ IA = √ 1,5417×10−91,90298×10−4 = 2 8 −3 
Deformação​ ​Específica 
● ε = Eσcr 
 
 
 
​ ​ , 94×10 mε = 220308643,25×1010 = 6 7
−4 
 
2- CEDRINHO 
Dados​ ​Coletados 
​ ​​ ​​ ​L=0,343m​ ​​ ​ ​ ​cr 20kgP = 3 , g = 9 8 s²
m eção b , 1073m e h , 224mS = 0 0 = 0 0 
Área​ ​transversal ​ ​e​ ​Pcr 
● hA = b 
, 1073m×0, 224m , 0×10 mA = 0 0 0 = 2 4 −4 
● °lei de Newton F ×g 2 = m 
Portanto​ ​como​ ​temos​ ​Pcr​ ​=​ ​kg​ ​e g , = 9 8 s²
m 
​ ​​ ​​ ​temos:cr 20kg×9, 136Kg×P = 3 8 s²
m = 3 s²
m 
136Kg× 136N 3 s²
m = 3 
Momento​ ​de​ ​Inércia​ ​Seção​ ​Retangular 
x , 04×10 mI = 12
bh3 = 12
0,01073×(0,0224)3 = 1 0 −8 4 
y , 06×10 mI = 12
hb3 = 12
0,0224×(0,01073)3 = 2 3 −9 4 
Módulo ​ ​de​ ​Elasticidade 
, 21×10E =
π I2
P crLe2 = 3136×0,343
2
π ×2,306×102 −9
= 1 6 10 Nm2 
Tensão ​ ​Crítica 
​ ​ cr 2984762, 2σ =
( 0,343
3,09×10 )−3 2
π ×1,621×102 10 = 1 4 Nm2 
Raio​ ​de​ ​Giração 
 
 
​ ​ , 9×10 m r = √ IA = √ 2,40×10−42,306×10−9 = 3 0 −3 
Deformação​ ​Específica 
, 1×10 mε =
1,621×1010
12984762,42 = 8 0 −4 
 
3- PEROBA 
Dados 
​ ​​ ​​ ​L=0,345m​ ​​ ​ ​ ​cr 90 kgP = 3 , g = 9 8 s²
m eção b , 3×10 m e h , 203mS = 9 8 −3 = 0 0 
Área​ ​transversal ​ ​e​ ​Pcr 
● hA = b 
, 3×10 m×0, 203m , 9549×10 mA = 9 8 −3 0 = 1 9 −4 
● °lei de Newton F ×g 2 = m 
Portanto​ ​como​ ​temos​ ​Pcr​ ​=​ ​kg​ ​e g , = 9 8 s²
m 
​ ​​ ​​ ​temos:cr 90kg×9, 822Kg×P = 3 8 s²
m = 3 s²
m 
822Kg× 822N 3 s²
m = 3 
Momento​ ​de​ ​Inércia​ ​Seção​ ​​ ​Retangular 
x , 5×10 mI = 12
bh3 = 12
9,83×10 ×(0,0203)−3 3 = 6 8 −9 4 
y , 06×10 mI = 12
hb3 = 12
0,0203×(9,83×10 )−3
3
= 1 6 −9 4 
Módulo ​ ​de​ ​Elásticidade 
​ ​ , 7×10E =
π I2
P crLe2 = 3822×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 Nm2 
Tensão ​ ​Crítica 
 
 
cr 9190892, 6σ =
( 0,345
2,84×10 )−3 2
π ×2,87×102 10 = 1 4 Nm2 
Raio​ ​de​ ​Giração 
, 4×10 m r = √ IA = √ 1,99×10−41,606×10−9 = 2 8 −3 
Deformação​ ​Específica 
, 86×10 mε =
2,87×1010
19190892,46 = 6 6 −4 
 
 
4. CONCLUSÕES 
 
Em relação aos dados fornecidos ao teste prático no laboratório cada madeira 
obteve-se, força axial crítica (Pcr), módulo de elasticidade (E), menor momento de inércia da 
área transversal (I), e a tensão crítica ( . O Pcr obtido de cada madeira analisa –se uma cr)σ 
condição de relação de tensão crítica com o módulo de elasticidade ( .Considerando cr×E)σ 
uma variação de apoio com perfil bi- articulado , o teste de flambagem na haste de madeira, 
com​ ​a​ ​prensa​ ​hidráulica​ ​apoio​ ​fixo​ ​nas​ ​extremidades​ ​e​ ​móvel​ ​no​ ​topo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. GARAPEIRA 
 
 
CRÍTICO(1) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 214N P = 4 , 0298×10 m²A = 1 9 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 44×10σ = 42141,90298×10−4 = 2 1
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 58×10E = 4214×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 
 
crítico (2) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​​ ​cr 204N P = 4 , 0298×10 mA = 1 9 −4 2 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 91×10σ = 42041,90298×10−4 = 2 0
6 N
m² 
 
 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 50×10E = 4214×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 
 
crítico(3) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 194N P = 4 , 0298×10 m²A = 1 9 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 39×10σ = 41941,90298×10−4 = 2 0
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 42×10E = 4194×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 
crítico (4) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 184N P = 4 , 0298×10 m²A = 1 9 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 1, 86×10σ = 41841,90298×10−4 = 2 9
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2, 35×10E = 4184×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 
crítico (5) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 174N P = 4 , 0298×10 m²A = 1 9 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 1, 34×10σ = 41741,90298×10−4 = 2 9
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 27×10E = 4174×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 
crítico (6) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 164N P = 4 , 0298×10 m²A = 1 9 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 1, 81×10σ = 41641,90298×10−4 = 2 8
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 19×10E = 4164×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 
crítico (7) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 154N P = 4 , 0298×10 m²A = 1 9 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
 
 
● crσ = A
P cr 
cr 1, 28×10σ = 41541,90298×10−4 = 2 8
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 11×10E = 4154×0,343
2
π ×1,5417×102 −9
= 3 2 10 
 
IAGRAMA T ENSÃO E DEF ORMAÇÃO ELÁST ICA DA MADEIRA D 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. CEDRINHO 
 
CRÍTICO(1) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 136N P = 3 , 0×10 m²A = 2 4 −4 x , 04×10 mI = 1 0 −8 4 e , 43mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
 
● crσ = A
P cr 
cr 3, 66×10σ = 31362,40×10−4 = 1 0
6 N
m² 
 
​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​Módulo ​ ​de​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 23×10E = 3136×0,343
2
π ×1,004×102 −8
= 3 7 9 
 
 
 
crítico (2) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 126N P = 3 , 0×10 m²A = 2 4 −4 x , 04×10 mI = 1 0 −8 4 e , 43mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
 
● crσ = A
P cr 
cr 3, 25×10σ = 31262,40×10−4 = 1 0
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 11×10E = 3126×0,343
2
π ×1,004×102 −8
= 3 7 9 
 
crítico(3) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 116N P = 3 , ×10 m²A = 2 4 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 84×10σ = 31162,4×10−4 = 1 9
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 99×10E = 3116×0,343
2
π ×1,004×102 −8
= 3 6 9 
critico (4) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 106N P = 3 , ×10 m²A = 2 4 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
 
 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 41×10σ = 31062,4×10−4 = 1 9
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 87×10E = 3106×0,343
2
π ×1,004×102 −8
= 3 6 9 
crítico (5) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 096N P = 3 , ×10 m²A = 2 4 −4 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 00×10σ = 30962,4×10−4 = 1 9
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 27×10E = 3096×0,343
2
π ×1,004×102 −8
= 3 2 9 
crítico (6) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 086N P = 3 , ×10 mA = 2 4 −4 2 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 58×10σ = 30862,4×10−4 = 1 8
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
 
 
, 19×10E = 3086×0,343
2
π ×1,004×102 −8
= 3 2 9 
crítico (7) P 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 076N P = 3 , ×10 mA = 2 4 −4 2 y , 417×10 mI = 1 5 −9 4 e , 43mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 2, 16×10σ = 30762,4×10−4 = 1 8
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 52×10E = 3076×0,343
2
π ×1,004×102 −8
= 3 6 9 
IAGRAMA T ENSÃO E DEF ORMAÇÃO ELÁST ICA DA MADEIRA D 
 
 
 
 
 
 
 
3. PEROBA 
CRITICO(1) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 822N P = 3 , 9549×10 mA = 1 9 −4 2 y , 06×10 mI = 1 6 −9 4 e , 45mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 9, 53×10σ = 38221,99549×10−4 = 1 1
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 70×10E = 3822×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 
crítico(2) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 812N P = 3 , 9549×10 mA = 1 9 −4 2 y , 06×10 mI = 1 6 −9 4 e , 45mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
 
 
● crσ = A
P cr 
cr 9, 03×10σ = 38121,99549×10−4 = 1 1
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 62×10E = 3812×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 
 
crítico(3) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 802N P = 3 , 9549×10 mA = 1 9 −4 2 y , 06×10 mI = 1 6 −9 4 e , 45mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 9, 53×10σ = 38021,99549×10−4 = 1 0
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 55×10E = 3802×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 
 
 
crítico(4) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 792N P = 3 , 9549×10 mA = 1 9 −4 2 y , 06×10 mI = 1 6 −9 4 e , 45mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
 
 
● crσ = A
P cr 
cr 9, 00×10σ = 37921,99549×10−4 = 1 0
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 47×10E = 3792×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 
crítico(5) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 782N P = 3 , 9549×10 mA = 1 9 −4 2 y , 06×10 mI = 1 6 −9 4 e , 45mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 8, 53×10σ = 37821,99549×10−4 = 1 9
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 39×10E = 3782×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 
 
crítico(6) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 772N P = 3 , 9549×10 mA = 1 9 −4 2 y , 06×10 mI = 1 6 −9 4 e , 45mL = 0 3 
Tensão​ ​Crítica 
● crσ = A
P cr 
cr 8, 02×10σ = 37721,99549×10−4 = 1 9
6 N
m² 
 
 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 32×10E = 3772×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 
critico(7) P 
 
​ ​​ ​​ ​ ​ ​ ​ ​cr 762N P = 3 , 9549×10 mA = 1 9 −4 2 y , 06×10 mI = 1 6 −9 4 e , 45mL = 0 3 
 
Tensão​ ​Crítica 
 
● crσ = A
P cr 
cr 8, 52×10σ = 37621,99549×10−4 = 1 8
6 N
m² 
Módulo​ ​de ​ ​Elasticidade 
​ ​Manipulando​ ​a​ ​fórmula​ ​para​ ​isolar​ ​o​ ​crP =
Le2
π EI2 E 
● E =
π I2
P crLe2 
, 25×10E = 3762×0,345
2
π ×1,606×102 −9
= 2 8 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
IAGRAMA T ENSÃO E DEF ORMAÇÃO ELÁST ICA DA MADEIRA D 
 
 
 
 
 
 
Módulo​ ​de​ ​Young​ ​ou​ ​Módulo​ ​de​ ​Elasticidade​ ​(Y​ ​ou​ ​E) 
É​ ​uma ​ ​grandeza​ ​proporcional​ ​à​ ​rigidez​ ​de​ ​um​ ​material​ ​quando​ ​este​ ​é​ ​submetido​ ​a​ ​uma 
tensão​ ​externa​ ​de​ ​tração ​ ​ou​ ​compressão.​ ​Basicamente,​ ​é​ ​a​ ​razão​ ​entre​ ​a​ ​tensão​ ​aplicada​ ​e​ ​a 
deformação​ ​sofrida​ ​pelo​ ​corpo,​ ​quando​ ​o​ ​comportamento​ ​é​ ​linear,​​como​ ​mostra​ ​a​ ​equação 
E=δ/ε, ​ ​em​ ​que: 
E=​ ​Módulo​ ​de​ ​elasticidade​ ​ou​ ​módulo​ ​de​ ​Young​ ​(Pascal) 
δ=​ ​Tensão ​ ​aplicada​ ​(Pascal) 
ε=​ ​Deformação​ ​elástica​ ​longitudinal​ ​do​ ​corpo​ ​de​ ​prova​ ​(adimensional). 
Em​ ​um​ ​teste​ ​de​ ​tração,​ ​se​ ​a​ ​deformação​ ​observada​ ​no ​ ​material​ ​for​ ​do​ ​tipo​ ​elástica, 
então​ ​a​ ​relação ​ ​entre​ ​a​ ​tensão​ ​e ​ ​a​ ​deformação​ ​é​ ​dada​ ​pela​ ​lei​ ​de​ ​Hook. 
O​ ​que ​ ​acontece​ ​quando​ ​um​ ​material​ ​é​ ​deformado? 
 
 
Quando​ ​uma​ ​força​ ​é​ ​aplicada​ ​em​ ​um​ ​material,​ ​o​ ​material​ ​pode​ ​esticar​ ​ou ​ ​comprimir 
como​ ​resultado​ ​da​ ​força.​ ​Estamos​ ​acostumados ​ ​com​ ​materiais​ ​que​ ​podem​ ​esticar​ ​facilmente, 
como​ ​a​ ​borracha. 
Em​ ​mecânica,​ ​o​ ​que​ ​realmente​ ​importa​ ​é​ ​a​ ​​tensão​,​ ​definida​ ​como​ ​a​ ​força​ ​aplicada​ ​por 
unidade ​ ​de​ ​área,​ ​sendo​ ​comumente​ ​representado​ ​pela​ ​letra​ ​grego​ ​sigma​ ​(σ\sigma).​ ​A 
magnitude​ ​do​ ​alongamento/compressão​ ​produzido​ ​a​ ​medida​ ​que​ ​o​ ​material​ ​responde​ ​a​ ​tensão 
aplicada​ ​é​ ​chamada​ ​de​ ​​deformação​​ ​,​ ​comumente​ ​representada​ ​pela​ ​letra​ ​grega​ ​epsilon​ ​(ϵ). ​ ​A 
deformação​ ​é​ ​medida ​ ​pela​ ​razão​ ​entre​ ​a​ ​variação​ ​do ​ ​comprimento​ ​ ​ ​e​ ​o​ ​comprimento​ ​inicialLo
∆L 
do ​ ​objeto​ ​L0,​ ​ao​ ​longo ​ ​da​ ​direção​ ​de​ ​aplicação​ ​da​ ​tensão,​ ​​i.e.​​ ​ L/L0 ϵ = Δ 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPARAÇÃO​ ​DE​ ​RESISTÊNCIA. 
 
Imaginando-se a madeira garapeira e a madeira cedrinho, e aplicando-se a tensão nas 
suas respectivas área transversal, verificamos uma deformação elástica muito maior por parte 
da madeira garapeira comparada ao da madeira cedrinho. Isto mostra que o módulo de 
elasticidade é mais alto por causa da intensidade da força aplicada entre ambos e, portanto, é 
necessário aplicar uma força axial sem ocorrer ruptura maior na madeira cedrinho para que 
ela sofra a mesma deformação verificada na madeira garapeira. Nos gráficos obtidos pode se 
verificar que a madeira garapeira começa a sofrer elasticidade com uma tensão de 
e módulo , já no gráfico da madeira cedrinho obteve-se umacr 2, 50σ = 2 1 Nm² 000E = 3 
tensão e módulo , portanto em anexo a deformação longitudinalσcr 3, 51 = 1 0 Nm² , 00E = 3 6 
em ​ ​relação​ ​ao​ ​ponto ​ ​de​ ​maior​ ​tensão​ ​crítica​ ​no​ ​gráfico​ ​( )cr×Eσ 
Deformação​ ​Específica​ ​Garapeira 
● ​ ​assim​ ​temos:ε = Eσcr 
=7,38mε = 3000
22,150 Nm² 
Deformação​ ​Específica​ ​Cedrinho 
● ​ ​assim​ ​temos:ε = Eσcr 
 
 
=3,62mε = 3,600
13,051 Nm² 
Entende- se que a madeira garapeira sofre mais deformação ao longo da seção 
transversal por que sua tensão axial critica tem maior intensidade no ponto do gráfico e isso 
faz com que haste bi articulada de madeira sofra uma força axial maior de ruptura em relação 
e comparação com a madeira cedrinho. Quanto maior a tensão critica aplicada no gráfico 
maior as deformações então concluíram através dos gráficos que a madeira com mais 
resistência de flambagem, deformação e tensão é a madeira Garapeira. Tudo o que se falou 
sobre o módulo de elasticidade se baseia no comportamento linear dos materiais. Isso 
somente acontece para valores pequenos das tensões aplicadas. A realidade se mostrou muito 
diferente para tensões maiores do que 50 % das tensões de ruptura. Para a madeira cedrinho, 
em particular, a falta de linearidade começa com valores muito menores de tensões. Por isso 
atualmente se prefere falar em “módulo de deformação” e não em “módulo de elasticidade”. 
O conceito de elasticidade não depende do comportamento linear, se bem que muitas vezes é 
assim confundido. A elasticidade pressupõe que, cessada a solicitação, a deformação 
desaparece em qualquer nível de carregamento. O diagrama tensão-deformação pode ser 
curvo (não linear) mas é descrito pela mesma curva tanto na aplicação das tensões crescentes 
como decrescentes. Não havendo resíduos com a supressão do carregamento, o material é 
denominado elástico. Se, além disso, o diagrama for retilíneo, o material é elástico linear. 
Somente neste caso é que se pode falar de módulo de elasticidade. Madeira Peroba sofre 
menos variações de deformação por isso seu gráfico tem perfil tensional constante em relação 
ao módulo de elasticidade pelo fato de que a madeira peroba sofre menos linearidade ao 
decorrer de sua seção transversal, porque a diferença entre a tensão e o módulo de elasticidade 
está variando pouco assim mesmo sem que o gráfico apresentado ofereça qualquer 
inconformidade​ ​de​ ​deformação ​ ​específica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. REFERÊNCIA​ ​BIBLIOGRÁFICA 
 
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<http://www.bibliotecadigital.ufmg.br/dspace/bitstream/handle/1843/PASA->.​ ​Acesso​ ​em​ ​25 
de ​ ​outubro​ ​de​ ​2017 
http://livros01.livrosgratis.com.br/cp036863.pdf 
 
CARVALHO,​ ​Paulo​ ​Ernani​ ​Ramalho​ ​de.​ ​Peroba-Rosa​ ​-​ ​Aspidosperma​ ​polyneuron. 
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<​http://www.atacadaodamadeira.com.br/produtos/materiais-pre-obra/tabuas-para-construcao/t
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Acesso​ ​em​ ​28​ ​de​ ​outubro​ ​de​ ​2017. 
 
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em ​ ​28​ ​de​ ​outubro​ ​de​ ​2017. 
 
 
 
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Acesso​ ​em​ ​28​ ​de​ ​outubro​ ​de​ ​2017. 
 
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