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DETERMINANTES 
1 – PERMUTAÇÕES PARES E PERMUTAÇÕES ÍMPARES	 
Consideremos o número 1234.
São permutações de 1234.
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312 
1432 2431 3421 4321
3214
3 2 4
1
1
1 2 4
3
3
2 pulos
(duas inversões)
1 pulos
(uma inversão)
Temos um total de 3 inversões. Esta permutação e ímpar.
uma
uma
duas
duas
zero
três
quatro
quatro
cinco
cinco
seis
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2 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 
A cada  matriz A = [aij], quadrada de ordem n, pode-se associar um número
simbolizado por   det(A) chamado determinante da matriz A.
Este número é definido por:
Onde
 i1, i2, ..., in são as permutações pares de 1234 e
 j1, j2, ..., jn são as permutações ímpares.
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MATRIZ 2 X 2
Permutações de 12: 
12 (zero inversão – par) e 21 (uma inversão – ímpar)
Det = a1 . a2 - a1 . a2 
det(A) =
ad 
-
bc 
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MATRIZ 3 X 3
Permutações de 1 2 3
1 2 3 (zero inversão – par)
2 3 1 (duas inversões – par)
3 1 2 (duas inversões – par)
1 3 2 (uma inversão – ímpar)
2 1 3 (uma inversão – ímpar)
3 2 1 (três inversões – ímpar)
Det(A) =
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a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a21
a31 a32
det(A) = S1 – S2
MATRIZ 3 X 3
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P1 - Det ( A ) = Det ( AT ) 
P2 - Det (k . A) = kn . Det ( A ). 
P3 - Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ). 
P4 – É nulo o determinante da matriz que
 (a) tem um fila cujos elementos são todos nulos.
 (b) tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais.
 (c) tem uma fila que é uma combinação linear de outras duas filas
 paralelas.
P5 – O determinante de uma matriz é igual ao produto dos elementos da 
 diagonal principal, quando todos os elementos de um ou dos dois
 lados da diagonal principal forem nulos.
P6 – O determinante de uma matriz não altera quando trocamos a 
 posição de duas filas paralelas de mesma paridade. 
 Ex. trocar fila 1 com fila 5, ou fila 2 com fila 6.
 Se as paridades forem diferentes o determinante fica 
 multiplicado por -1.
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P7 – O determinante de uma matriz não altera quando substituímos 
 uma fila pela combinação linear desta fila com filas paralelas.
P8 – Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz 
 quadrada se descompõem em duas somas, então seu 
 determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa 
 linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, 
 sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais. 
P8 – Se uma fila de uma matriz for decomposta na soma de duas 
 ou mais parcelas, o determinante é igual à soma dos 
 determinantes das matrizes que se obtêm mantendo as demais 
 as demais linhas e substituindo a linha decomposta pelas 
 parcelas obtidas na decomposição.
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Exercícios:  1. Calcule o determinante das seguintes matrizes
2 – Para que valor de “x” o determinante da matriz M é nulo?
3 – Para que valor de “a” o determinante da matriz N é igual a 12?