Equações Diferenciais final

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APRESENTAÇÃO 
 
Este texto é destinado aos estudantes do curso de Física que 
participam do programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do 
Piauí (UAPI), vinculado ao consórcio formado pela Universidade Federal do 
Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI), Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí, com apoio do Governo do Estado 
do Piauí, através da Secretaria de Educação, e tem por objetivo introduzir de 
forma sucinta um estudo de equações diferenciais, concentrado em vários 
exemplos simples de equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda 
ordem, além de mostrar exemplos de problemas da Física, que envolvem 
esses tipos de equações, de forma que iniciantes nessa área tenham total 
compreensão do assunto em estudo. 
O texto é composto de 07 unidades, contendo itens e subitens que 
discorrem sobre: 
Na Unidade 1: História das Equações Diferenciais 
Na Unidade 2: Conceitos Fundamentais 
Na Unidade 3: Equações de Primeira Ordem e Primeiro Grau 
Na Unidade 4: Equações Homogêneas 
Na Unidade 5: Equações Diferenciais Exatas 
Na Unidade 6: Equações Lineares de Primeira Ordem 
Na Unidade 7: Equações Lineares de Segunda Ordem 
 
 
 
 
 
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Unidade 1 - História das equações diferenciais ...................................... 7 
 
Unidade 2 - Conceitos fundamentais ....................................................... 18 
2.1 Equação diferencial ............................................................................. 18 
2.1.1 Equação Diferencial Ordinária e Parcial.............................................. 18 
2.2 Ordem de uma equação diferencial ................................................... 19 
2.3 Grau de uma equação diferencial ....................................................... 19 
 2.4 Solução de uma equação diferencial .................................................. 20 
 2.5 Resolução de uma equação diferencial ............................................. 21 
2.6 Tipos de solução .................................................................................. 21 
2.7 Interpretação geométrica .................................................................... 22 
2.8 Bibliografia ........................................................................................... 32 
2.9 Web – Bibliografia ................................................................................ 33 
 
Unidade 3 – Equações de 1ª ordem e 1º grau ............................................ 36 
3.1 Definição ............................................................................................... 36 
3.2 Equações de variáveis separáveis ..................................................... 36 
3.3 Resolução de equações diferenciais de variáveis 
 Separáveis ................................................................................................. 37 
 
 
 
 
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3.4 Aplicações: Problemas Geométricos ................................................. 45 
3.5 Trajetórias ortogonais .......................................................................... 56 
3.6 Bibliografia ............................................................................................ 67 
 
3.7 Web-Bibliografia ................................................................................... 67 
 
Unidade 4 - Equações homogêneas ......................................................... 70 
4.1 Definição: Equação homogênea ......................................................... 70 
4.2 Definição: Equação Diferencial Homogênea ...................................... 70 
4.3 Resolução de uma equação diferencial homogênea ........................ 70 
4.4 Equações redutíveis às homogêneas ................................................. 77 
4.5 Bibliografia ............................................................................................ 92 
4.6 Web-Bibliografia ................................................................................... 92 
 
Unidade 5- Equações diferenciais exatas ................................................ 96 
5.1 Definição: Equação Diferencial Exata ................................................ 96 
5.2 Teorema: Caracterização de diferenciais exatas ............................... 96 
5.3 Fator integrante .................................................................................... 102 
5.4 Pesquisa do fator integrante ............................................................... 102 
5.5 Bibliografia ............................................................................................ 111 
5.6 Web-bibliografia ................................................................................... 111 
 
 
 
 
 
5 
 
Unidade 6- Equações lineares de primeira ordem .................................. 114 
6.1 Definição: Equações lineares ............................................................. 114 
6.2 Métodos de resolução ......................................................................... 114 
 6.2.1 Método da Substituição ou Método de Lagrange ............................... 114 
6.2.2 Método do Fator Integrante ................................................................. 117 
6.3 Equação de Bernoulli ............................................................................. 126 
 6.4 Bibliografia ........................................................................................... 141 
6.5 Web-Bibliografia ..................................................................................... 142 
 
Unidade 7- Equações lineares de segunda ordem .................................. 146 
7.1 Definição ............................................................................................... 146 
7.2 Equação diferencial com coeficientes constantes ........................... 147 
 7.3 Equação característica ....................................................................... 148 
7.4 Solução de uma equação homogênea com coeficientes 
constantes .................................................................................................. 149 
7.5 Solução de uma equação não homogênea com coeficientes 
constantes .................................................................................................. 153 
7.5.1 Método dos Coeficientes a Determinar ............................................... 153 
7.5.2 Método da Variação dos Parâmetros de Lagrange ............................. 158 
7.6 Bibliografia ........................................................................................... 165 
7.7 Web-bibliografia ................................................................................... 165 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
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Unidade I 
 
HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
De várias maneiras, equações diferenciais são o coração da 
análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática 
nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou 
um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma 
ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação 
diferencial não tem igual. Assim, é amplamente aceito que equações 
diferenciais são importantes em matemática pura e aplicada. A história sobre 
este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isso que estaremos 
olhando aqui. 
Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas 
contribuições de um homem, Leonhard Euler, já que podemos dizer que 
a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isso 
seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem 
vários contribuintes importantes, e aquelesque vieram antes de Euler 
foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise 
necessários para desenvolver muitas das ideias fundamentais. Os 
contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram ideias 
inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século 18 de Euler e 
sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa. 
Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. 
Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na 
teoria e nas aplicações. 
A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton e 
Leibniz. A partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram 
entendimento suficiente e notação para a derivada, esta logo apareceu em 
equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as soluções 
para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas e 
 
Texto retirado 
do endereço 
abaixo: 
www.ufmt.br/ma
tematica/geraldo
/histed. html 
webmaster:Gera
ldo L. Diniz 
 
 
 
 
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simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral 
(antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo 
ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em 
circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi 
desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim, estes 
pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes casos especiais e 
deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas para 
aqueles que os seguiram. 
Ao redor do início do século 18, a próxima onda de pesquisadores de 
equações diferenciais começou a aplicar esses tipos de equações a 
problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou 
cuidadosamente e escreveu equações diferenciais para o movimento 
planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por 
Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o 
uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais 
estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para 
resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos 
princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O 
irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático 
a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar 
matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a 
encontrar suas soluções. Ricatti (1676-1754) começou um estudo sério de 
uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para 
casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, 
Johann e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. 
Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros 
desenvolveram e usaram estas séries para vários propósitos. Contudo, o 
desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da 
matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações 
diferenciais. No início do século 18, este e muitos outros matemáticos tinham 
acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver 
muitas variedades de equações diferenciais. Contudo, muitas equações 
ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de 
 
 
 
 
9 
resolução. Cinquenta anos de equações diferenciais trouxeram progresso 
considerável, mas não uma teoria geral. 
O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre 
para consolidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e mais 
poderosas técnicas para atacar grandes famílias de equações. Muitas 
equações pareciam amigáveis, mas tornaram-se decepcionantemente 
difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludiram perseguidores por 
cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das equações 
diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave 
para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Euler 
entendeu o papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades e 
definições. Rapidamente achou que funções eram a chave para entender 
equações diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando 
seu conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções de 
muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e os 
papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas 
outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções 
novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações 
diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes 
indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. 
Em 1739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho 
também incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de 
métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para quase 
todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica 
que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era o mestre 
de que este assunto necessitava para se desenvolver além de seu início 
primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da 
matemática aplicada moderna. 
Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou 
estenderam muitas das ideias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os 
métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as equações 
diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O trabalho de D'Alembert 
em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações 
 
 
 
 
10 
por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange 
seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e 
estendendo resultados em mecânica, especialmente equações de 
movimento (problema dos três corpos) e energia potencial. As maiores 
contribuições de Lagrange foram, provavelmente, na definição de função e 
propriedades, o que manteve o interesse em generalizar métodos e analisar 
novas famílias de equações diferenciais. Lagrange foi, provavelmente, o 
primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes 
para ser um verdadeiro analista de equações diferenciais. Em 1788, ele 
introduziu equações gerais de movimento para sistemas dinâmicos, hoje 
conhecidas como equações de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a 
estabilidade do sistema solar levou a mais avanços, incluindo técnicas 
numéricas melhores e um melhor entendimento de integração. Em 1799, 
introduziu as ideias de um laplaciano de uma função. Laplace claramente 
reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia 
Euler, ele é nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equações 
diferenciais foi motivado pelo movimento de projéteis, pela primeira vez 
levando em conta novos fatores tais como resistência do ar e velocidades 
iniciais. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca. Trabalhou em avanços nas 
equações diferenciais parciais e incorporou muitos dos avanços desde os 
tempos de Euler ao seu livro. A contribuição principal de Lacroix foi resumir 
muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace e Legendre. O próximo 
na ordem foi Fourier. Sua pesquisa matemática trouxe contribuições ao 
estudo e cálculos da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. 
Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria 
Analítica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da série 
que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o 
estudo de oscilações. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria 
matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, 
Daniel Bernoulli e Lagrange. As contribuições de Charles Babbage vieram 
por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma máquinade calcular chamada 
de Máquina de Diferença, que usava diferenças finitas para aproximar 
soluções de equações. 
 
 
 
 
11 
O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do 
século 19, quando as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas 
se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento 
foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equações diferenciais para melhorar as 
teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss estabeleceu a teoria do 
potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que 
a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para entender 
muitos dos resultados necessários em equações diferenciais aplicadas. 
Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas 
sobre a superfície de um líquido. Os resultados são agora clássicos em 
hidrodinâmica. Inventou o método das características, o qual é importante na 
análise e solução de várias equações diferenciais parciais. Cauchy foi o 
primeiro a definir completamente as ideias de convergência e convergência 
absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e 
equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria 
sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de 
Fourier para prover soluções algébricas para equações diferenciais. 
Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros 
puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da 
ciência. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Traité 
de mécanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equações diferenciais 
a aplicações em física e mecânica, incluindo elasticidade e vibrações. Muito 
de seu trabalho original foi feito na solução e análise de equações 
diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de 
Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e 
magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of 
Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de Green 
proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros 
construíram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e 
aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à astronomia. Seu 
trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações 
planetárias. Posteriormente estas construções foram usadas para resolver 
equações diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, 
 
 
 
 
12 
Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para 
desenvolver teorias sobre a condução do calor. Joseph Liouville foi o 
primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equações integrais 
equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da década 
de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções 
elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações 
diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram 
hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física 
solar. Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de 
estudo. 
Na metade do século 19, uma nova estrutura era necessária para 
atacar sistemas de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos 
vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e 
transformações em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas 
e resolver equações diferenciais. A estrutura do jacobiano foi desenvolvida 
em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hábil e um perito 
numa variedade de campos aplicados. Cayley também trabalhou com 
determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. 
Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para 
lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou 
mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica 
e astronomia. Cayley criou a noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa 
parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores. Josiah Gibbs fez 
contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu 
trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é conhecido 
como o pai da análise vetorial. 
À medida que o final do século 19 se aproximava, os principais 
esforços em equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 
1876, Lipschitz (1832-1903) desenvolveu teoremas de existência para 
soluções de equações diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite 
foi desenvolver a teoria de funções e soluções de equações. À medida que a 
teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas básicas foram 
provadas transcendentais, assim como as inversas das funções 
 
 
 
 
13 
trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas. Hermite mostrou 
que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. 
Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios de Hermite e as funções de 
Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação 
de onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. O próximo a 
construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi 
obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. 
Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. 
O trabalho de Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados 
em dinâmica e física. No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo 
que descreveu a convergência e o "fenômeno de Gibbs" da série de Fourier. 
O próximo contribuinte teórico importante foi Kovalevsky, a maior 
matemática antes do século 20. Depois de vencer dificuldades consideráveis 
por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade de estudar 
com Weierstrass. No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre 
equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de 
Saturno, ela se apoiou nas contribuições de Laplace, cujo trabalho ela 
generalizou. Basicamente, o estudo de Kovalevsky era sobre a teoria de 
equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a existência de 
soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigos sobre equações 
diferenciais parciais. Posteriormente, no século 20, trabalhos teóricos de 
Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas 
classificações para o entendimento posterior de algumas das mais 
complicadas famílias de equações diferenciais. 
O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais 
robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para 
resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro 
atômico. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. Ele usou tanta 
matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático, e 
fez tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Hoje seu 
nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver 
equações diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é 
lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação 
 
 
 
 
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de aerofólios em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na 
última metade do século 20, muitos matemáticos e cientistas da computação 
implementaram métodos numéricos para equações diferenciais em 
computadores para dar soluções rápidas e eficientes para sistemas 
complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard 
Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem- sucedidos neste esforço. 
Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o 
maior matemático de sua geração, produziu mais de 30 livros técnicos sobre 
física matemática e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o 
uso e análise de equações diferenciais.Em mecânica celeste, trabalhando 
com os resultados do astrônomo americano George Hill, conquistou a 
estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais 
não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram as sementes de novas 
maneiras de pensar, as quais floresceram, tais como análise de séries 
divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré entendeu e 
contribuiu em quatro áreas principais da matemática - análise, álgebra, 
geometria e teoria de números. Ele tinha um domínio criativo de toda a 
matemática de seu tempo e foi, provavelmente, a última pessoa a estar 
nesta posição. No século 20, George Birkhoff usou as ideias de Poincaré 
para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para a 
análise das propriedades das soluções destas equações. Na década de 
1980, a teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por 
Poincaré e seus seguidores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Unidade2. Conceitos fundamentais ......................................................... 18 
2.1 Equação diferencial ............................................................................. 18 
2.1.1 Equação Diferencial Ordinária e Parcial.............................................. 18 
2.2 Ordem de uma equação diferencial ................................................... 19 
2.3 Grau de uma equação diferencial ....................................................... 19 
 2.4 Solução de uma equação diferencial .................................................. 20 
 2.5 Resolução de uma equação diferencial ............................................. 21 
2.6 Tipos de solução .................................................................................. 21 
2.7 Interpretação geométrica .................................................................... 22 
2.8 Bibliografia ........................................................................................... 32 
2.9 Web – Bibliografia ................................................................................ 32 
 
 
 
OBJETIVO: Estudar os métodos básicos de resolução de equações 
diferenciais. Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular 
problemas que envolvam equações diferenciais, com técnicas específicas de 
abordagem, adequadas à resolução de cada um. 
 
 
 
 
 
 
 
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2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
2.1 Equação diferencial: Equação diferencial é toda equação que 
envolve uma função incógnita e suas derivadas. 
Exemplos: As equações 1. 2. 3. 4. a seguir são equações envolvendo a 
função incógnita y de uma variável x, exceto o exemplo 5, cuja função 
incógnita é z e as variáveis são x e y. 
 
 
 
 
 
2.1.1 Equação Diferencial Ordinária e Parcial 
 Uma equação diferencial é dita ordinária ( EDO ) quando a função 
incógnita depende apenas de uma variável independente. E é dita equação 
diferencial parcial ( EDP ) quando a função incógnita depende de duas ou 
mais variáveis independentes. 
Exemplos: As equações 1. 2. 3. e 4. do exemplo anterior são equações 
diferenciais ordinárias, enquanto que a equação do exemplo 5 é uma 
equação diferencial parcial, pois z = z ( x, y ) 
 
12 += x
dx
dy
02
2
=− y
dx
yd
3
4
4
2
22
3
3
1 





+=−





−
dx
yd
x
dx
ydy
dx
yd
x
4
2
22
3
3
1 





−=





+
dx
yd
dx
ydyx
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
x
z
 
 
 
 
19 
 
 
2.2 Ordem de uma equação diferencial 
DEFINIÇÃO: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais 
alta derivada contida na equação. 
2.3 Grau de uma equação diferencial 
DEFINIÇÃO: Supondo a equação escrita sob forma racional inteira em 
relação às derivadas, chamamos de grau da equação o maior dos expoentes 
a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação. 
Exemplos: Analisando as equações do exemplo anterior podemos 
classificá-las quanto à ordem e ao grau em : 
Exemplo 1 : 1ª ordem e 1º grau 
Exemplo 2 : 2ª ordem e 1º grau 
Exemplo 3 : 4ª ordem e 3º grau 
Exemplo 4 : 3ª ordem e 2º grau 
Exemplo 5 : 2ª ordem e 1º grau 
NOTA: Observemos, pelos exemplos a seguir, que nem sempre, à 
primeira vista, podemos classificar a equação de imediato quanto à ordem e 
grau. 
Exemplo 6. é de 3ª ordem e 2º grau pois ela é 
equivalente a 
1
3
33
3
=−
dx
yd
y
dx
yd
x
3
32
3
3
dx
ydy
dx
yd
x =−





Saiba Mais: 
Logaritmos e 
propriedades 
operatórias 
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20 
Exemplo 7. é de 1ª ordem e 1º grau, pois ela é 
equivalente ou ou 
Casos particulares 
(1) é a equação diferencial ordinária de 1ª ordem e 
1º grau que descreve a carga em um circuito RC que tem resistor de 
resistência , um capacitor de capacitância e um gerador que gera uma 
diferença de potencial 
( 2 ) é a equação diferencial ordinária de 2ª ordem e 
1º grau que descreve o movimento de um pêndulo simples de massa e 
comprimento . 
( 3 ) é a equação diferencial ordinária de 2ª 
ordem e 1º grau que descreve um sistema massa-mola composto de uma 
massa presa a uma mola com constante elástica , sujeita a uma força 
de atrito e uma força externa 
( 4 ) é a equação diferencial parcial de 2ª ordem e 1º 
grau que descreve o potencial elétrico de uma região em que não 
há cargas elétricas. 
2.4 Solução de uma equação diferencial 
DEFINIÇÃO: Solução de uma equação diferencial na função incógnita 
y e na variável independente x, definida em um intervalo I, é toda função y(x) 
que verifica a equação diferencial identicamente para todo x, x I. 
yx
dx
dy
=−
2lnln
y
x
dx
dy
=2ln
ye
dx
dy
x
=.
1
2
yex
dx
dy 2
=
)(1 0 tVQCdt
dQR =+
)( tQ
R C
)(0 tV
02
2
=+ θθ sen
l
g
dt
d
m
l
)(2
2
tFky
dt
dy
dt
yd
m e=++ γ
m k
dt
dyFa γ−= )( tFe
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
y
u
dx
u
),,( zyxu
∈
 
 
 
 
21 
Exemplo 1. é uma solução da equação diferencial 
 
 Exemplo 2. y = é uma solução da equação 
 , pois e daí 
temos que + 4y = + 4( ) = 0 
2.5 Resolução de uma equação diferencial 
 Resolver ou integrar uma equação diferencial é determinar todas 
as funções que sob a forma finita verificam a equação, ou seja, é obter uma 
função de variáveis livres que substituídas na equação transforme-a numa 
identidade. 
Exemplo: Obtenha uma solução para a equação diferencial 
 
Solução: Da equação podemos escrever e 
integrando fica e daí temos . 
 
2.6 Tipos de solução 
Solução Geral: é a solução da equação que contém tantas constantes 
arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação. 
Exemplo 1. é a solução geral da equação diferencial 
de primeira ordem 
53 2 ++= xxy
16 += x
dx
dy
xxsen 2cos2 +
042
2
=+ y
dx
yd
xsenx
dx
dy 222cos2 −= xxsen
dx
yd 2cos4242
2
−−=
2
2
dx
yd
xxsen 2cos424 −− xxsen 2cos2 +
12 += x
dx
dy
12 += x
dx
dy
dxxdxdy += 2
∫ ∫ ∫+= dxxdxdy 2 Cxxy ++= 2
Cxxy ++= 23
16 += x
dx
dy
 
 
 
 
22 
Exemplo 2. é a solução geral da equação 
diferencial de segunda ordem 
Solução Particular: é a solução da equação deduzida da solução geral, 
atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias. 
Exemplo 1. é uma solução particular da equação 
diferencial ( tomamos no exemplo1 anterior ) 
Exemplo 2. é uma solução particular da equação 
diferencial ( tomamos no exemplo 2 anterior e ) 
2.7 Interpretação geométrica 
 Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial 
representa uma família de curvas, que recebem o nome de curvas integrais. 
Essa solução denomina-se também de primitiva ou integral da equação 
diferencial. 
Exemplo: Seja a equação: 
 
 A sua solução geral nos fornece uma família de 
parábolas de concavidade voltada para cima, como mostra a figura a seguir 
y
=
xCxsenC 2cos2 21 +
042
2
=+ y
dx
yd
53 2 ++= xxy
16 += x
dx
dy
5=C
y
=
xxsen 2cos2 +
042
2
=+ y
dx
yd
11 =C 12 =C
x
dx
dy 2=
Cxy += 2
 
 
 
 
23 
 
Lista de exercícios resolvidos 
 Determine para cada uma das curvas dadas a seguir a equação 
diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante 
arbitrária: 
Exemplo1. 
Solução: Graficamente temos 
 
Derivando, temos: 
Exemplo 2. 
Solução: Graficamente temos 
Cxxy ++=
2
5 2
15 += x
dx
dy
xCsenxCy cos21 +=
 
 
 
 
24 
 
Derivando, temos: 
Como as constantes não foram eliminadas, devemos derivar mais uma 
vez, daí: ou 
É fácil ver que o valor entre parênteses corresponde ao próprio 
dado, o que permite escrever: 
 
Exemplo 3. 
Solução: Graficamente temos 
 
senxCxC
dx
dy
21 cos −=
xCsenxC
dx
yd
cos212
2
−−= ( )xCxsenC
dx
yd
cos212
2
+−=
y
02
2
=+ y
dx
yd
2
xCy =
 
 
 
 
25 
 Derivando, temos e observando que e em seguida, 
substituindo na derivada, obtemos e simplificando temos 
 
Exemplo 4. y = C1x2 + C2 
Solução: Graficamente temos 
 
Derivando, temos . Como as constantes não foram todas 
eliminadas, derivamos novamente e obtemos .Daí, substituindo o 
valor de na igualdade anterior, fica : 
 ou 
Exemplo 5. , onde A e B são constantes. 
Solução: Graficamente temos 
Cx
dx
dy 2= 2x
yC =
22 x
y
x
dx
dy
=
x
y
dx
dy 2
=
xC
dx
dy
12=
12
2
2C
dx
yd
=
12C
x
dx
yd
dx
dy
2
2
= 02
2
=−
dx
dy
dx
yd
x
)(cos BxAy +=
 
 
 
 
26 
 
Derivando duas vezes, temos 
e 
Observando que o segundo membro é , temos: 
 ou 
Exemplo 6. 
Solução: Graficamente temos 
 
Multiplicando ambos os membros por e2x, temos: 
( )BxsenA
dx
dy
+−= )cos(2
2
BxA
dx
yd
+−=
y−
y
dx
yd
−=2
2
02
2
=+ y
dx
yd
xx eCeCy 22
3
1
−+=
2
5
1
2 CeCye xx +=
 
 
 
 
27 
Derivando, obtemos : , e daí temos 
 
Multiplicando por , temos e derivando de novo 
fica 
 Assim, agrupando, fica ou 
, o que nos permite escrever 
 
pois 
Exemplo 7. 
 
 
Solução: Graficamente temos 
xxx eCye
dx
dy
e 51
22 52 =+
xx eCy
dx
dy
e 51
2 5)2( =+
xe 5−
1
3 52 Cy
dx
dy
e x =





+−
0232 32
2
3
=





+−





+ −− y
dx
dy
e
dx
dy
dx
yd
e
xx
06322
2
3
=





−−+− y
dx
dy
dx
dy
dx
yd
e
x
062
2
3
=





−−
− y
dx
dy
dx
yd
e
x
062
2
=−− y
dx
dy
dx
yd
03 ≠− xe
ln
Cy
y
x
+=1
 
 
 
 
28 
 
Usando propriedades operatórias dos logaritmos, temos 
 e isolando o valor de obtemos 
Derivando, temos 
Substituindo C pelo seu valor obtido acima temos: 
 
Multiplicando ambos os membros por fica: 
 ou ou 
 
 E assim podemos escrever 
Exemplo 8. Determine a equação diferencial da família de círculos de 
raio 2 e cujos centros estejam sobre o eixo dos . 
Solução: Graficamente temos 
Cyyx +=− 1lnln C y
nynxC 111 −−=
dx
dyC
y
dx
dy
x
=−
1
dx
dy
y
yx
y
dx
dy
x
.
1lnln1 −−
=−
xy
dx
dy
nynxx
dx
dy
xy )111( −−=−
dx
dy
x
dx
dyynx
dx
dy
xnx
dx
dy
xy −−=− 1.1
( )ynxn
dx
dy
xy 11 −=
y
x
n
dx
dy
xy 1=
x
 
 
 
 
29 
 
A família de círculos é dada por onde é a 
abscissa do centro. 
Daí, temos e derivando obtemos 
 e elevando a dois temos . 
Desenvolvendo, fica , e substituindo por 
 temos ; 
Simplificando, fica 
e daí a equação diferencial procurada é 
 
 
Lista de exercícios propostos 
01. Nas equações diferenciais a seguir determine, de cada uma delas: 
(i) a ordem, (ii) o grau, (iii) a função incógnita, (iv) a variável independente. 
 
 
222 2)( =+− yax a
22 )(4 axy −−=
dxaxydy )(22 −−= 22 ])(2[)2( dxaxydy −=
2222 )()(4)(4 dxaxdyy −= 2)( ax −
24 y− 2222 ))(4(4)(4 dxydyy −=
2222 ))(4()( dxydyy −=
=





2
dx
dy
2
24
y
y−
03
2
2
2
=+−





xy
dx
dyy
dx
yd
tsen
dt
ds
t
dt
sd
t −=− 12
2
2
 
 
 
 
30 
 
02. Quais, dentre as funções abaixo, são soluções da equação 
diferencial 
(i) (ii) (iii) 
03. Eliminando as constantes, forme as equações diferenciais das 
famílias de curvas a seguir: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Solução da lista 
01. a) (i) 2 (ii) 2 (iii) (iv) 
 b) (i) 2 (ii) 1 (iii) (iv) 
 c) (i) 1 (ii) 7 (iii) (iv) 
02. (i) Analisando a função do item (i), isto é, verificando se ao 
substituirmos na equação obtemos uma identidade. Devemos 
inicialmente derivar .Daí temos e derivando novamente 
obtemos . Substituindo os valores de e temos 
Logo é solução da equação dada. 
p
dp
db 3
7
=





?02
2
=− y
dx
yd
x
ey = xseny = 0=y
Cyx =+ 22
xeCy =
321 )( CexCCy x ++=
xx eCeCy −+= 2
2
1
y x
s t
b p
xey =
x
ey =
xe
dx
dy
=
xe
dx
yd
=2
2
2
2
dx
yd
y
.02
2
=−=−
xx
eey
dx
yd
x
ey =
 
 
 
 
31 
 (ii) Procedendo de modo análogo para temos = 
 e . Substituindo, temos 
. Logo não é solução da 
equação dada. 
(iii) Do mesmo modo para temos e e 
Substituindo, temos . Logo é também 
solução da equação dada. 
03.a) Derivando , temos , e dividindo por 2 
obtemos , que é a equação procurada 
 b) Derivando , temos , e substituindo o valor de 
 fica ou ou . 
 c) Derivando , temos 
e multiplicando por fica 
, e derivando pela segunda vez temos 
.Como ainda não eliminamos todas as constantes, 
derivamos mais uma vez e obtemos 
 ou . 
Daí, como podemos escrever . 
xseny = dx
dy
xcos
xsen
dx
yd
−=2
2
022
2
≠−=−−=− xsenxsenxseny
dx
yd
xseny =
0=y 0=dx
dy 02
2
=
dx
yd
0002
2
=−=− y
dx
yd
0=y
Cyx =+ 22 022 =+ ydyxdx
0=+ ydyxdx
x
eCy = dxCedy x=
y ydxdy = ydx
dy
= 0=− y
dx
dy
321 )( CexCCy x ++=
xxx exCCCeCexCC
dx
dy )()( 221221 ++=++= xe−
)( 221 xCCCdx
dy
e x ++=−
22
2
C
dx
yd
e
dx
dy
e xx =+− −−
03
3
2
2
2
2
=+−− −−−−
dx
yd
e
dx
yd
e
dx
yd
e
dx
dy
e xxxx 02 2
2
3
3
=+− −−−
dx
dy
e
dx
yd
e
dx
yd
e xxx
0≠−xe
02 2
2
3
3
=+−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 
 
 
 
32 
 d) Multiplicando ambos os membros de por 
obtemos e derivando temos . 
Multiplicando agora por obtemos e derivando 
novamente, pois devemos eliminar a constante , temos 
ou 
.Como 0, podemos escrever 
 
 
 
 
 
2.8 BibliografiaC. H. Edwards Jr. e D. E. Penney. Equações Diferenciais 
Elementares com Problemas de Valores de Contorno. Prentice–Hall do 
Brasil, (1995) 
D. G. Figueiredo e A. F. Neves. Equações Diferenciais Aplicadas. 
IMPA, (1997). 
F. Ayres Jr. Equações Diferenciais. Coleção Schaum, Ao livro Técnico, 
(1963). 
S. Abunahman. Equações Diferenciais. EDC, (1991). 
W. E. Boyce R. e C. DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e 
Problemas de Valores de Contorno. LTC, (2002). 
 
xx eCeCy −+= 2
2
1
xe
2
3
1 CeCye
xx +=
xxx eC
dx
dy
eye 313=+
xe 3−
1
22 3C
dx
dy
eye xx =+ −−
1C
022 2
2
2222
=+−+− −−−−
dx
yd
e
dx
dy
e
dx
dy
eye xxxx
02 222
2
2
=−−
−−− ye
dx
dy
e
dx
yd
e xxx xe 2− ≠
022
2
=−− y
dx
dy
dx
yd
 
 
 
 
33 
2.9 Web – bibliografia 
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edogeral.htm
> 
<http://www.ime.uerj.br/~calculo/LivroIV/apli2.pdf> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
Unidade 3 – Equações de 1ª ordem e 1º grau .......................................... 36 
3.1 Definição ............................................................................................... 36 
3.2 Equações de variáveis separáveis ..................................................... 36 
3.3 Resolução de equações diferenciais de variáveis 
 Separáveis ................................................................................................. 37 
3.4 Aplicações: Problemas Geométricos ................................................. 45 
3.5 Trajetórias ortogonais ......................................................................... 56 
3.6 Bibliografia ........................................................................................... 67 
3.7 Web-Bibliografia ................................................................................... 67 
 
 
 
 
OBJETIVO 
Desenvolver no aluno a percepção da importância e do grau de 
aplicabilidade das equações diferenciais na modelagem matemática de 
situações concretas. 
 
 
 
 
 
 
 
36 
3. EQUAÇÕES DE 1ª ORDEM E 1º GRAU 
 
3.1 Definição: Equações de 1ª ordem e 1º grau são todas as 
equações da forma , chamada forma padrão, ou 
chamada forma diferencial, em que e 
 
Exemplos: 
1) ou 
2) ou 
3) = 0 ou – = 0 
 
3.2 Equações de variáveis separáveis 
Definição: Uma equação do tipo é dita de variáveis 
separáveis se e forem: 
 a) Funções de apenas uma variável, isto é: e 
. 
 b) Produtos com fatores de uma só variável 
e . 
 
 
 
),( yxF
dx
dy
=
0=+ dyNdxM ),( yxMM =
),( yxNN =
15 += x
dx
dy
0)15( =−+ dydxx
0=+ xdyydx x
y
dx
dy
−=
xtgy
ytgx
dx
dy
sec
sec
=
yxtg sec dx ytgxsec dy
0=+ dyNdxM
M N
)(),( xAyxM =
)(),( yByxN =
)()(),( 21 yAxAyxM =
)()(),( 21 yBxByxN =
 
 
 
 
37 
 
3.3 Resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis 
a) Se a equação de variáveis separáveis é do 
tipo , separando as variáveis x e y, de 
forma que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e 
de y, resulta uma equação de variáveis separáveis. 
Assim, vem: 
E integrando, temos 
A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis 
separáveis. 
 
Lista de exercícios resolvidos 
Para as equações a seguir, mostre que são do tipo variáveis 
separáveis e obtenha uma solução para as mesmas 
Exemplo 1. . 
Solução: Observe que esta equação é de variáveis separáveis, pois 
uma vez escrita na forma diferencial, temos , onde 
 e . E para obtermos a 
solução basta integrar. Desta forma temos: 
 e portanto é a solução geral da 
equação diferencial . 
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
0)()()()( 2121 =+ dyyBxBdxyAxA
0)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
=+ dy
yB
yAdx
xB
xA
Cdy
xB
xAdx
xB
xA
=+∫ ∫ )(
)(
)(
)(
2
2
1
1
15 += x
dx
dy
( ) 015 =−+ dydxx
15)(),( +== xxAyxM 1)(),( −== yByxN
( ) Cdydxx =∫−+∫ 15 Cyx
x
=−+
2
5 2
15 += x
dx
dy
 
 
 
 
38 
 Exemplo 2. 
Solução: É fácil ver que tal equação é de variáveis separáveis, pois, 
para tanto, basta dividirmos os membros por , chamado fator de 
integração, e daí temos a equação equivalente , onde 
 e . Integrando, temos: 
 ou . Usando as propriedades dos 
logaritmos temos e daí temos a solução procurada, que é 
. 
 Exemplo 3. – = 0 
 Solução: Tal equação é de variáveis separáveis, pois é da forma 
, 
onde = e = 
. 
Dividindo-se ambos os membros da equação por , fica 
 
Simplificando obtemos , e daí temos 
. 
 Integrando , o que nos leva à solução 
 
Exemplo 4. 
0=+ xdyydx
xy
011 =+ dy
y
dx
x
x
xAyxM 1)(),( ==
y
yByxN 1)(),( ==
Cdy
y
dx
x
=∫+∫
11
Cyx =+ lnln
KCxy lnln ==
Kxy =
yxtg sec dx ytgxsec dy
0=+ dyNdxM
)()(),( 21 yAxAyxM = yxtg sec )()(),( 21 yBxByxN =
ytgxsec
yx secsec
0
sec.sec
sec.
sec.sec
sec.
=− dy
xy
xytgdx
xy
yxtg
0
secsec
=− dy
y
ytgdx
x
xtg
0=− dyysendxxsen
Cdyysendxxsen =∫−∫
Cyx =+− coscos
( ) 011 222 =−−− dyxdxyx
 
 
 
 
39 
 
Solução: Tal equação é de variáveis separáveis, pois é da forma 
 
Onde = e 
= 
 Dividindo-se ambos os membros da equação por , fator 
integrante, fica, e integrando temos 
 = C. Assim sendo, temos 
 
Exemplo 5. 
Solução: É imediato ver que tal equação é de variáveis separáveis e 
que tem como fator integrante . Daí, dividindo todos os termos por 
este fator obtemos . Integrando, fica e assim 
temos e, portanto, podemos escrever que a solução 
geral procurada é 
Exemplo 6. 
Solução: Reescrevendo a equação, temos , que é 
equivalente à anterior e portanto temos uma equação do tipo 
, onde e 
0=+ dyNdxM
)()(),( 21 yAxAyxM = ( ) 22 11 yx −− )()(),( 21 yBxByxN =
2x−
22 1 yx −
0
1
1
22
2
=
−
−
−
y
dydx
x
x
dy
y
dx
x
x
∫∫
−
−
−
22
2
1
11
Cysenarc
x
x =−+
1
0)1( =++ dyxdxy
)1( +xy
0
1
=+
+ y
dy
x
dx C
y
dy
x
dx
=∫+
+
∫
1
Kyx lnln)1(ln =++
Kyx =+ )1(
xyx
y
dx
dy
)1(
1
2
2
+
+
=
xx
dx
y
dyy )1(1 22 +=+
0=+ dyNdxM 21
1)(),(
x
xAyxM
+
== 2!
)(),(
y
yyByxN
+
==
Saiba mais: 
Métodos de 
integração 
http:// 
www.somatema
tica.com.br/sup
erior/integrais2/
integrais4. php 
 
 
 
 
40 
.Desta forma temos uma equação de variáveis separáveis, e integrando 
temos 
 ou 
Decompondo a segunda integral usando as somas parciais 
escrevemos: 
 
 
 
 
Assim , 
Desta forma, 
 = = 
E daí temos = , e multiplicando por 
2 e também usando as propriedades dos logaritmos temos : 
 ou ou 
 
Exemplo 7. 
Solução: Reescrevendo a equação dada temos que 
é equivalente à anterior e, portanto, temos uma equação do tipo 
∫ ∫ ++
=
+
K
xx
dxdy
y
y
)1(1 22 ∫ ++=+ Kxx
dxy )1()1(ln2
1
2
2
)1(1)1(
1
2
22
22 +
+++
=
+
+
+=
+ xx
ACxBxAx
x
CBx
x
A
xx
0=+ BA
0=C
11 −=∴= BA
1
1
)1(
1
22 +
−=
+ x
x
xxx
∫ + xx
dx
)1( 2 ∫ ∫ +− 12x
xdx
x
dx
1
2 ln)1ln(
2
1ln Kxx ++−
)1(ln
2
1 2y+ 1
2 ln)1ln(
2
1ln Kxx ++−
2
22 ln)1(lnln2)1(ln Kxxy ++−=+ 1ln)1ln( 2
2
2
2
+
=+
x
Kx
y
1
1 2
2
22
+
=+
x
xK
y
0)1( 2 =+− dyxdxxy
0
1 2
=−
+ y
dydx
x
x41 
, onde e . 
Desta forma temos uma equação de variáveis separáveis, e integrando 
temos , o que nos dá ou 
 ou ou ou 
 
Exemplo 8. 
Solução: Para constatarmos que esta equação é do tipo variáveis 
separáveis basta multiplicar todos os termos por e daí temos 
 
que é uma equação da forma , onde 
 e . E para obter solução, 
devemos integrar, e desta forma fica 
 ou ou ou 
 , pois é uma constante K. 
Exemplo 9. 
 
Solução:Usando o fator de integração podemos reescrever a 
equação obtendo e daí constatar que temos uma 
equação de variáveis separáveis. 
0=+ dyNdxM 21
)(),(
x
x
xAyxM
+
==
y
yByxN 1)(),( ==
∫ ∫ =−+
Kdy
y
dx
x
x 1
1 2 Cyx lnln)1ln(2
1 2
=−+
Cyx lnln1ln 2 =−+ Cxy ln1lnln 2 ++= 1lnln 2 += xCy
12 += xCy
0cos =+ xy
dx
dy
y
dx
0cos =+ dxx
y
dy
0=+ dyNdxM
xxAyxM cos)(),( == yyByxN
1)(),( ==
Csenxy =+ln senxCy −=ln senxCey −=
xsene
ky = Ce
0secsec 22 =+ dytgxydxtgyx
tgxtgy
0secsec
22
=+ dy
ytg
ydx
xtg
x
 
 
 
 
42 
Integrando, temos e, portanto, 
 ou , e assim 
 
Exemplo 10. 
Solução: Desenvolvendo a equação dada e escrevendo na forma 
, obtemos e daí temos 
 e . Portanto temos uma 
equação de variáveis separáveis e, desta forma, integrando, temos: 
 ou ou 
 ou ou ou 
 
 
Lista de Exercícios Propostos 
 
Para as equações a seguir, mostre que são do tipo variáveis 
separáveis e obtenha uma solução para as mesmas. 
1) 
2) 
3) 
Kdy
ytg
ydx
xtg
x
=+ ∫∫
22 secsec
Cytgxtg lnlnln =+ 1lnlnln Cytgxtg =+ 1. Cytgxtg =
dx
dy
xyy
dx
dy
xa =





+ 2
0=+ dyNdxM 0)1(
2
=−+ dy
y
adx
x
a
x
a
xAyxM 2)(),( == 1)(),( −==
y
ayByxN
∫ ∫∫ =−+ Cdyy
dy
a
x
dx
a2
Kyyaxa lnlnln2 =−+
yyaKxa +−= lnlnln2
y
y
k
xa
a
+= lnln2 y
y
k
x
a
a += lnln 2
y
y
K
a aex
+
=
ln
2
0=− dyytg
x
dx
0)1(4 22 =++ dyxdxxy
0
2
=+ − dyeydxx x
 
 
 
 
43 
4) 
5) 
 
Solução da lista 
1) 
Solução: É fácil ver que esta é uma equação do tipo , 
onde e . E, portanto, integrando, temos 
 ou ou . Daí temos que 
a solução geral é dada por , cuja representação gráfica é como 
abaixo 
 
2) 
Solução: Neste caso temos uma equação do tipo , onde 
e e daí, 
dividindo por ( fator de integração ) obtemos a equação 
0)3()2( =−++ dyxdxy
0)1( 2 =+− dxydyx
0=− dyytg
x
dx
0=+ NdyMdx
x
yxM 1),( = ytgyxN =),(
Cdyytg
x
dx
=− ∫∫ Kyx lncoslnln =+ Kyx =cos
Kyx =cos
0)1(4 22 =++ dyxdxxy
0=+ NdyMdx
2
21 4)()(),( xyyAxAyxM == 1)()(),( 221 +== xyBxByxN
)1( 22 +xy
 
 
 
 
44 
, e integrando fica , que é a solução 
geral solicitada e cuja representação gráfica é 
 
3) 
Solução: Multiplicando os membros por obtemos a equação 
, e integrando temos e daí obtemos
ou 
4) 
Solução: Separando as variáveis temos , e 
integrando podemos escrever ou 
 ou . Daí, temos que a solução 
geral é e cuja representação gráfica é 
01
1
4
22 =++
dy
y
dx
x
x
C
y
x =−+
1)1(ln2 2
0
2
=+ − dyeydxx x
2x
e
0
2
=+ dyydxex x Cdyydxex x =+ ∫∫
2
Cye x =+ 2
2
1
2
1 2
1
2 2 Cey x =+
0)3()2( =−++ dyxdxy
0
2
1
3
1
=
+
+
−
dy
y
dx
x
Kyx ln)2(ln)3(ln =++−
Kyx ln)2)(3(ln =+− Kyx =+− )2)(3(
Kyx =+− )2)(3(
 
 
 
 
45 
 
5) 
Solução: Separando as variáveis temos , e 
integrando podemos escrever ou ou 
 
3.4 Aplicações: Problemas Geométricos 
 Dada uma curva plana C, em um ponto P(x, y) desta curva, 
consideremos os chamados “segmentos notáveis,” a saber: 
 
= comprimento da tangente 
0)1(2 =−+ dyxdxy
01
1
1
2 =+
−
dy
y
dx
x
K
y
x ln1)1(ln =−−
yK
x 11ln =−
11ln =−
K
xy
PT
 
 
 
 
46 
= comprimento da normal 
= comprimento da subtangente 
= comprimento da subnormal 
Seja o ângulo formado pela reta tangente a curva no ponto P e o 
eixo dos x 
Analisando a figura acima, temos: 
 Assim ( 1 ) 
 Assim ( 2 ) 
 
Assim ( 3 ) 
 
Assim, ( 4 ) 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Determinar a equação das curvas que têm a subnormal constante. 
Solução: 
PN
TM
MN
α
.
dx
dy
y
tg
PMTM ==
α
)/( dxdy
yTM =
..
dx
dyytgPMMN == α
dx
dyyMN .=
2
2
222 )()(






+=+=
dx
dy
yyMTMPPT
2)/(
11
dxdy
yPT +=
2
2222 )()( 





+=+=
dx
dyyyMNMPPN
2
1 





+=
dx
dyyPN
 
 
 
 
47 
Sabemos de (2) que a subnormal é dada por = , e daí 
devemos ter = , uma constante. Reescrevendo esta equação 
obtemos , e integrando temos ou , que 
representa a família de curvas de subnormal constante. 
A representação gráfica da família cuja constante é é 
 
Para o caso particular e sendo P1( , ) e P2(
temos a representação a seguir: 
 
e podemos ver nos dois casos que 
2) Determinar a equação das curvas que têm a subtangente constante. 
MN dx
dyy
dx
dyy
k k
dxkydy = Ckx
y
+=
2
2
Ckxy += 22
3=k
xy 62 = 2 32 )23,3
3=MN
 
 
 
 
48 
Solução: Sabemos de (1) que a subtangente é dada por e 
daí devemos ter = , uma constante. Reescrevendo esta equação 
obtemos ou , e integrando temos ou 
 ou que representa a família de curvas de 
subtangente constante. 
A representação gráfica da família cuja constante é é 
 
3) Escrever a equação de uma curva sabendo que a normal em cada 
ponto dela e o segmento de reta que une este ponto à origem formam um 
triângulo isósceles de base no eixo dos x. 
Solução: 
dx
dy
yTM =
dx
dy
y
k k
y
dx
dyk =
y
dykdx =
Cxyk +=ln
1ln Ck
xy += 1Ck
x
ey
+
=
2=k
 
 
 
 
49 
Como o triângulo OPN é isósceles, temos e daí,
. Deste modo ou , e integrando temos 
 ou . 
Assim sendo, podemos ver que tais curvas são hipérboles como as da 
figura a seguir: 
 
4) Determinar a equação das curvas que têm o comprimento da normal 
constante. 
Solução: 
Sabemos que a normal é dada por e como por 
hipótese ela é constante e sendo tal constante, temos 
ou ou ou . 
∆ OPPN =
xMNOM ==
x
dx
dyy = dxxdyy =
Cxy +=
22
22
Cxy 222 =−
2
1 





+=
dx
dyyPN
k
2
2
2 1 k
dx
dyy =














+
22
2
2 yk
dx
dyy −=





2
222
y
yk
dx
dy −
=




 221 yk
ydx
dy
−±=
 
 
 
 
50 
Separando as variáveis tem-se , e integrando obtemos 
. 
 Fazendo a mudança encontramos ou 
e daí temos ou ou 
 ou ou , cujas 
curvas são circunferências com centro no eixo dos x, como mostra a figura 
abaixo para as constantes 
 
 
 
dx
yk
ydy ±=
−
22
∫ ∫ +±=±=
−
Cxdxdy
yk
y
22
222 ykz −= ydyzdz 22 −=
ydyzdz =− ∫ ∫ +±=±=
− Cxdxdz
z
z
Cxz +±=−
Cxyk +±=−− 22 222 )( Cxyk +=− 222)( kyCx =++
.2;1 == kk
 
 
 
 
51 
5) Obter as equações das curvas sabendo que as partes de todas as 
tangentes situadas entre os eixos coordenados tenham o ponto de tangência 
como o ponto médio. 
Solução 
Por hipótese temos e chamaremos de o ângulo externo Â, 
e o ângulo DÂP, daí temos e deste modo , o 
que nos leva a , e separando as variáveis, fica . 
Integrando ou ou ou . 
Daí temos que ascurvas são hipérboles equiláteras como as da figura 
a seguir: 
PBAP = α
β °=+ 180βα βα tgtg −=
x
y
dx
dy
−=
x
dx
y
dy
−=
Cxy +−= lnln Cxy +−= lnln 




=
x
Cy lnln
x
Cy =
 
 
 
 
52 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Determinar a equação da curva que passa pelo ponto ( 4, 4 ), 
sabendo que a declividade de sua tangente num ponto qualquer é: 
 
2) Achar a equação da curva sabendo que a subtangente é igual ao 
dobro da abscissa do ponto de contacto. 
 
3) Sabendo que a curva é tal que a distância de um ponto qualquer à 
origem é igual ao comprimento da tangente, determinar a curva. 
 
Solução da lista 
1) Por hipótese sabemos que , o que nos leva a e 
integrando temos ou . Como passa pelo ponto 
y
x
dx
dy
3
=
y
x
dx
dy
3
=
xdxydy =3
Cxy +=
22
3
22
Cxy 23 22 +=
 
 
 
 
53 
(4, 4), podemos substituir por 4 e por 4, obtendo e daí a curva 
procurada tem equação e cuja representação gráfica é como 
segue 
 
2) Sabemos que a subtangente é dada por e como por 
hipótese a subtangente é igual ao dobro da abscissa do ponto de contacto, 
devemos ter ou , e separando as variáveis fica 
. Integrando, temos ou 
ou ou ou . Tais curvas têm 
representação gráfica como segue: 
x y 16=C
323 22 += xy
dx
dy
yTM =
x
dx
dy
y 2=
xdyydx 2=
dy
y
dx
x
1
2
1
= 1lnlnln2
1 Cyx +=
1ln2ln2ln Cyx +=
2
1
2 lnlnln Cyx += Cyx 2lnln = Cyx 2=
 
 
 
 
54 
 
3) Observando o gráfico abaixo 
 
E da hipótese temos , e como sabemos que o comprimento da 
tangente é dado por e que , temos 
 ou ou ou 
 , e separando as variáveis fica . Integrando, obtemos 
 ou e daí temos: i) ou 
 ou retas que passam pela origem. ii) 
ou ou ou hipérboles eqüiláteras. 
PTP =0
2
1 





+=
dx
dy
dx
dy
yPT
22 yxOP +=














+






=+
2
2
2
22 1
dx
dy
dx
dy
yyx 22
2
22 y
dx
dy
yyx +






=+
2
2
2 y
dx
dy
x =





y
dx
dy
x ±=
x
dx
y
dy ±=
Cxy +±= lnln kxy lnlnln +±= kxy lnlnln +=
kxy lnln = kxy = kxy lnlnln +−=
kxy lnlnln =+ kxy lnln = kyx =
 
 
 
 
55 
 
Graficamente temos: 
 
retas passando pela origem 
 
Hipérboles eqüiláteras 
 
3.5 Trajetórias ortogonais 
 Em muitos problemas de física, por exemplo, assim como em outras 
áreas, conhecida uma família de curvas , busca-se uma outra família de 
curvas que interceptam perpendicularmente as curvas da família inicial. 
As curvas dessa segunda família são denominadas trajetórias ortogonais 
das curvas da família 
Γ
Τ
Γ
 
 
 
 
56 
 
 trajetórias em preto e trajetórias em azul 
Definição: Diz-se que duas curvas 1 e 1 são ortogonais em um 
ponto se, e somente se, suas retas tangentes t1 e t2 são perpendiculares no 
ponto de interseção. 
 
Exemplo: 
Analisando o gráfico seguinte podemos observar que as curvas 1:
 e 1: são ortogonais no ponto . 
 
 
Γ Τ
Γ Τ
Γ
x
y 2=
Τ 122 =− yx )1,2(P
Veja Mais 
www.pucrs.br/fa
mat/elieteb/equac
oes.../trajetorias_
ortogonais.doc 
 
 
 
 
57 
NOTA: Exceto no caso em que t1 e t2 são paralelas aos eixos 
coordenados, queremos dizer que os coeficientes angulares m1 e m2 das 
retas tangentes t1 e t2 são tais que m1.m2 = -1. 
 DEFINIÇÃO: Diz-se que duas famílias de curvas e são trajetórias 
ortogonais uma da outra quando todas as curvas da família interceptam 
ortogonalmente todas as curvas da família . 
OBSERVAÇÃO: Trajetórias ortogonais ocorrem na construção de 
mapas meteorológicos e no estudo de eletricidade e magnetismo. Por 
exemplo, em um campo elétrico em volta de dois corpos de cargas opostas, 
as linhas de força são perpendiculares às curvas equipotenciais. 
Exemplo: 
1) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas , para 
qualquer valor de p. 
Solução: Graficamente temos que a família é representada 
como segue 
 
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtemos . Mas 
 e, portanto, ou que são as declividades da 
família . Assim sendo, para determinarmos as trajetórias ortogonais, 
Γ Τ
Γ
Τ
2pxy =
2pxy =
px
dx
dy 2=
2x
yp = x
x
y
dx
dy
22= x
y
dx
dy 2
=
2pxy =
 
 
 
 
58 
devemos ter curvas cujas declividades sejam . Separando as 
variáveis temos . Integrando, temos , que são as 
trajetórias ortogonais da família , cujas representações gráficas são 
elipses como as do gráfico a seguir ( representadas em vermelho ) 
 
 
2) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas , para 
qualquer valor de p. 
Solução: Graficamente temos que a família é representada 
como segue 
y
x
dx
dy
2
−=
02 =+ ydyxdx Cy
x
=+ 2
2
2
2pxy =
x
py =
x
py =
 
 
 
 
59 
 
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtemos . 
Mas e, portanto, ou que são as declividades da 
família . Assim sendo, para determinarmos as trajetórias ortogonais, 
devemos ter curvas cujas declividades sejam . Daí, separando as 
variáveis temos . Integrando temos , que são as 
trajetórias ortogonais da família , cujas representações gráficas são 
hipérboles como as do gráfico abaixo (representadas em vermelho ) 
 
2x
p
dx
dy
−=
xyp = 2x
xy
dx
dy
−=
x
y
dx
dy
−=
x
py =
y
x
dx
dy
=
0=− ydyxdx Cyx =− 22
x
py =
 
 
 
 
60 
 
3) Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas por 
 
Solução: Graficamente temos que a família de curvas é 
representada por 
 
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtemos , que 
são as declividades da família . Assim sendo, para 
determinarmos as trajetórias ortogonais, devemos ter curvas cujas 
declividades sejam . Separando as variáveis, temos . 
pyx =+ 22 3
pyx =+ 22 3
y
x
dx
dy
3
−=
pyx =+ 22 3
x
y
dx
dy 3
=
y
dy
x
dx
3
=
 
 
 
 
61 
Integrando, temos ou ou ou 
, que são as trajetórias ortogonais da família cujas 
representações gráficas são como as do gráfico abaixo ( representadas em 
vermelho ) 
 
4) Achar as trajetórias ortogonais da família de curvas , 
para qualquer valor de p. 
Solução: Graficamente temos que a família é 
representada como segue 
 
Cxy lnlnln
3
1
+= Cxy lnln 3
1
= Cxy =3
1
3Kxy = pyx =+ 22 3
pxyx =+ 22
pxyx =+ 22
 
 
 
 
62 
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtemos 
. Mas e, portanto, ou 
, que são as declividades da família . Assim 
sendo, para determinarmos as trajetórias ortogonais, devemos ter curvas 
cujas declividades sejam ou , cuja solução 
como será vista no próximo ponto (equações diferenciais homogêneas) é 
, que são as trajetórias ortogonais da família , 
cujas representações gráficas são circunferências como as do gráfico a 
seguir (representadas em vermelho) 
 
5) Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas por 
 
Solução: Graficamente temos que a família de curvas é 
representada por 
p
dx
dyyx =+ 22
x
yxp
22 +
=
x
yx
dx
dyyx
22
22 +=+
xy
xy
dx
dy
2
22
−
=
pxyx =+ 22
22
2
xy
xy
dx
dy
−
−= 22
2
yx
xy
dx
dy
−
=
kyyx =+ 22 pxyx =+ 22
xpey 2=
xpey 2=
 
 
 
 
63 
 
Diferenciando a equação dada em relação a x, obtemos , que 
são as declividades da família . Assimsendo, para determinarmos 
as trajetórias ortogonais, devemos ter curvas cujas declividades sejam 
. Daí, separando as variáveis, temos . Integrando, 
temos , que são as trajetórias ortogonais da família , 
cujas representações gráficas são parábolas como as do gráfico abaixo 
(representadas em vermelho) 
 
 
 
 
y
dx
dy 2=
xpey 2=
ydx
dy
2
1
−= 02 =+ ydydx
Cyx =+ 2 xpey 2=
 
 
 
 
64 
Lista de Exercícios Propostos 
Determine as trajetórias ortogonais das famílias seguintes e faça o 
esboço gráfico da família e das trajetórias (p = parâmetro). 
1) 
2) 
Solução da lista 
1) Graficamente temos que a família de curvas é 
representada por 
 
Diferenciando obtemos e daí temos que 
. Desta forma temos que as trajetórias ortogonais terão 
declividades , o que nos leva a . Separando as 
variáveis obtemos e integrando fica ou 
 ou ou ou 
Representando graficamente a família (preto) e as trajetórias 
(representadas em vermelho), temos 
222 pyx =+
222 pyx =−
222 pyx =+
222 pyx =+ 022 =+ ydyxdx
y
x
dx
dy
−=
x
y
dx
dy
= 0=− ydxxdy
011 =− dx
x
dy
y Cxy =− lnln
C
x
y
=ln Ce
x
y
= k
x
y
= kxy =
 
 
 
 
65 
: 
2) Derivando obtemos e daí temos que 
. Desta forma temos que as trajetórias ortogonais terão declividades 
, o que nos leva a , e separando as variáveis fica 
 e integrando fica ou ou ou 
 ou . 
Desta forma, representando a família (preto) e as trajetórias ortogonais 
(vermelho), temos 
 
 
222 pyx =− 022 =− ydyxdx
y
x
dx
dy
=
x
y
dx
dy
−= 0=+ ydxxdy
011 =+ dx
x
dy
y Cxy =+ lnln Cyx =ln Ceyx =
kyx = x
ky =
 
 
 
 
66 
 
3.6 Bibliografia 
M. P. Matos. Séries e Equações Diferenciais. Prentice Hall. 
W. Leighton. Equações Diferenciais Ordinárias. LTC. 
 
 
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edo1ord.htm
> 
<http://www.pucrs.br/famat/luizedu/equacoes_dif/VAR_SEPAR.pdf> 
<http://w3.ualg.pt/~mgameiro/Aulas_2006_2007/A_Matematica_I/8_aul
a.pdf> 
<http://www.somatematica.com.br/superior/integrais2/integrais4.php> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
69 
 
 
 
Unidade 4 - Equações homogêneas ......................................................... 70 
4.1 Definição: Equação homogênea ......................................................... 70 
4.2 Definição: Equação Diferencial Homogênea ..................................... 70 
4.3 Resolução de uma equação diferencial homogênea ........................ 70 
4.4 Equações redutíveis às homogêneas ................................................ 77 
4.5 Bibliografia ........................................................................................... 92 
4.6 Web-Bibliografia ................................................................................... 92 
 
OBJETIVO 
Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular problemas 
que envolvam equações diferenciais homogêneas, com técnicas específicas 
de abordagem, adequadas à resolução de cada um. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
4 - Equações homogêneas 
4.1 Definição: Equação Homogênea 
 Uma função é dita homogênea de grau de 
homogeneidade se , para todo real . 
Exemplos: são homogêneas de 
grau 2, pois e 
 
 
4.2 Definição: Equação Diferencial Homogênea 
Uma equação diferencial dada por 
 
é dita homogênea se forem funções 
homogêneas e de mesmo grau. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
4.3 Resolução de uma equação diferencial homogênea 
Seja a equação diferencial homogênea , onde e 
 têm grau igual a m. 
),( yxFz =
m ),(),( yxFkkykxF m= k
22),(2),( yxyxNexyyxM −==
),(222),( 22 yxMkxykkykxkykxkykxM ====
),()()()(),( 222222 yxNkyxkkykxkykxN =−=−=
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
),(),( yxNeyxM
0)(2 22 =−+ dyyxdxxy
0)2()42( =−+− dyxydxxy
0)2( 344 =++ dyxydxxy
02)2( 2 =−−− dyxyxdxyx
0=+ NdyMdx M
N
Veja Mais 
www.ceset.unicam
p.br/.../Equa%E7%
F5es%20Diferencia
is%20de%20Primei
ra%20Orde1.do... 
 
 
 
 
71 
Temos: 
Podemos observar que se dividirmos o numerador e o denominador do 
segundo membro por resultará em função de . Isto é, 
(1) 
E daí, substituindo por , temos 
 (2) 
E derivando (2) em relação a x, temos: 
 
Desta forma a equação (1) será transformada em: 
 
que é uma equação de variáveis separadas. 
Exemplos 
Obtenha a solução geral da equação homogênea 
 
Solução: 
Substituindo e obtemos 
ou ou 
 ou 
Separando as variáveis, temos 
N
M
dx
dy
−=
mx x
y






=
x
yF
dx
dy
x
y
t
xty =
dx
dt
xt
dx
dy
+=
x
dx
ttF
dt
outtF
dx
dt
xoutF
dx
dt
xt =
−
−==+ )()()(
02)( 22 =−− dyxydxyx
xty = tdxdtxdy +=
0)(.2)( 222 =+−− dxtdtxxtxdxtxx 0)(2)1( 2 =+−− tdxdtxtdxt
02)21( 22 =−−− dttxdxtt 02)31( 2 =−− dttxdxt
 
 
 
 
72 
 e integrando, fica: 
Multiplicando por 3, obtemos ou 
 ou 
 ou 
 
Daí, 
Retornando à relação , fica ou 
 
2) Obter a solução geral e a solução particular para da 
equação homogênea 
Solução: 
Substituindo e , obtemos 
 ou 
ou 
Separando as variáveis, temos , e integrando 
temos 
Multiplicando por 2 fica ou 
 ou . Daí, 
. 
0
31
2
2 =
−
− dt
t
t
x
dx Ctx ln)31ln(
3
1ln 2 =−+
Ctx ln3)31ln(ln3 2 =−+
323 ln)31ln(ln Ctx =−+
323 ln))31((ln Ctx =−
ktx ln))31((ln 23 =−
ktx =− )31( 23
t
x
y
=
k
x
y
x =





− 2
2
3 31
kxyx =− 23 3
21 == yex
( ) ( ) .042 =+−− dyyxdxyx
xty = tdxdtxdy +=
( ) ( )( ) 042 =++−− tdxdtxxtxdxxtx ( ) ( )( ) 0412 =++−− tdxdtxtdxt
( ) ( ) 04142 2 =+−−−− dtxtdxttt
0
422
41
2 =
−−
+
− dt
tt
t
x
dx
( ) Cttx ln422ln
2
1ln 2 =−−+
( ) Cttx ln2422lnln2 2 =−−+
( ) 222 ln422lnln Cttx =−−+ ( )( ) 222 ln422ln Cttx =−− kln=
( ) kttx =−− 22 422
 
 
 
 
73 
Retornando à relação temos ou 
 que é a solução geral. 
Para obtermos uma solução particular para , substituímos 
estes valores na solução geral e obtemos k = -18. Daí, a solução particular é 
 ou 
 
3) Resolva a equação homogênea 
Solução: 
Substituindo e , obtemos 
 ou 
 ou 
Separando as variáveis, fica e integrando, temos 
. Fazendo e retornando à relação obtemos 
 ou ou ou ou 
 ou e assim temos a solução geral 
4) Resolva a equação homogênea 
Solução: 
Substituindo e , obtemos 
 ou 
t
x
y
=
k
x
y
x
y
x =





−− 2
2
2 422
kyxyx =−− 22 422
2,1 == yx
18422 22 −=−− yxyx
092 22 =+−− yxyx
( ) 022 =−+ dyxydxyx
xty = dxtdtxdy +=
( ) ( ) 02222 =+−+ xdttdxtxdxxtx
( ) 01 22 =−−+ dxtxdxtdxt 0=− dttxdx
0=− dtt
x
dx
Ctx =−
2
ln
2
1ln CC =
t
x
y
=
12
2
ln
2
ln C
x
y
x =− 2
2
1 2
lnln
x
yCx =− 2
1 2
ln
x
y
C
x
= 2
1
ln2
x
y
C
x
=
2
2
1
)(ln
x
y
C
x
= 2
1
2
/ 2
C
x
e xy = 2/2 xyekx =
( ) ( ) 0=+−− dyyxdxyx
xty = dxtdtxdy +=
( ) ( )( ) 0=++−− xdttdxtxxdxtxx
 
 
 
 
74 
 ou 
 ou 
 ou 
 
Separando as variáveis, obtemos e em seguida, 
integrando, fica: 
Multiplicando por dois temos ou 
 e retornando àrelação , fica 
 ou e fazendo 
temos que a solução é 
 
Lista de Exercícios Propostos 
1) Resolva as equações 
 a) 
 b) 
2) Determine as trajetórias ortogonais da família de circunferências: 
 
Solução da lista 
 1) a) Substituindo e , na equação 
, obtemos 
( ) ( )( ) 011 =++−− dtxdxttdxt
02 =−−−−− dttxdxtxdttdxtdxdx
( ) ( ) 021 2 =+−−− dttxxdxtt
( ) ( ) 0121 2 =+−−− dttxdxtt
0
21
1
2 =
−−
+
− dt
tt
t
x
dx
( ) Cttx =−++ 12ln
2
1ln 2
( ) Cttx 212lnln2 2 =−++
( ) Cttx 212lnln 22 =−++ txy =
C
x
y
x
y
x 212lnln 2
2
2
=





−++ ( ) Cxxyy 2.2ln 22 =−+ kC ln2 =
kxxyy =−+ 22 2
( ) ( ) 0222 =+++ ydyyxdxyx
0)()( =−++ dyxydxyx
axyx 222 =+
xty = tdxxdtdy +=
( ) ( ) 0222 =+++ ydyyxdxyx
 
 
 
 
75 
 e daí temos 
 ou 
 
Separando as variáveis, fica: 
Integrando, temos: ou 
 ou 
Retornando à relação , obtemos ou 
 
Desta forma, a solução procurada é 
1) b) Substituindo e , na equação 
, obtemos ou 
 
 ou 
Separando as variáveis, temos: ou 
, e integrando, temos 
. Retornando à relação , obtemos 
 ou 
( ) ( ) ( ) 02222 =++++ xdtdxttxtxxdxxtx
( ) ( )( ) 021 22 =++++ dtxdxtttdxt
( ) ( ) 0221 2322 =+++++ dtxttxdxttt
( ) 031
2
32
2
=
++
+
+ dt
tt
tt
x
dx
( ) Cttx ln13ln
3
1ln 23 =+++
( ) Cttx ln313lnln3 23 =+++ ( ) 3233 ln13lnln Cttx =+++
txy =
k
x
y
x
y
x ln13lnln 2
2
3
3
3
=





+++
k
x
y
x
y
x ln13.ln 2
2
3
3
3
=











++
kxxyy =++ 323 3
xty = tdxxdtdy +=
0)()( =−++ dyxydxyx ( ) ( )( ) 0=+−++ xdtdxtxtxdxtxx
( ) ( )( ) 011 =+−++ dtxdxttdxt
02 =−−+++ dtxdxtdttxdxttdxdx ( ) ( ) 011 2 =−++ dttxdxt
0
1
11
2 =+
−
+ dt
t
tdx
x
0
1
1
1
1
22 =+
−
+
+ dt
t
dt
t
tdx
x
karctgttx =−++ )1ln(
2
1ln 2
txy =
k
x
y
tgarc
x
y
x +=





++ 1ln
2
1ln 2
2
VEJA MAIS: 
arquivos.unama.br/n
ead/gol/gol.../MS_imp
resso_aula13.pdf 
 
 
 
 
76 
 . Daí, a solução procurada é: 
 
2) Para determinar as trajetórias ortogonais da família de 
circunferências, derivamos em relação a x, obtendo 
 
Eliminando-se , vem: ou . 
E para obtermos as trajetórias ortogonais, substituímos por , e 
deste modo temos: , o que nos leva a 
, que é uma equação homogênea. 
Substituindo e obtemos: 
 
ou 
 ou 
Separando as variáveis, temos 
 ou , e integrando, temos 
 ou 
k
x
y
tgarc
x
y
x +=





++
2
1
2
2
1lnln
k
x
y
tgarcyx +=+ 22ln
axyx 222 =+
a
dx
dyyx 222 =+
a






+=+
dx
dyyxxyx 2222 





+=+
dx
dyyxxyx 222
dx
dy
dy
dx
−
dy
dx
xyxyx 22 222 −=+
( ) 02 22 =−+ dyxydxxy
xty = tdxdtxdy +=
( )( ) 0.2 222 =+−+ tdxdtxxtxdxxtx
( )( ) 012 2 =+−+ tdxdtxtdxt 02 32 =−+−+ dxtdxtdtxdtxtdxt
( ) ( ) 02 23 =−++− dtxxtdxttt ( ) ( ) 0123 =−++ dttxdxtt
dt
tt
t
x
dx
3
21
+
−
= 1
2
2 +
−
+=
t
tdt
t
dt
x
dx
Cttx ln)1ln(lnln 2 −+−= Cttx )1ln(lnln 2 +−= Ctxt )1ln(lnln 2 +=−
 
 
 
 
77 
ou ou . Retornando à relação , 
obtemos ou 
Daí, temos que a família de trajetórias ortogonais a é 
 e a representação gráfica das duas famílias é como abaixo 
 
 
4.4 Equações redutíveis às homogêneas 
Definição: São todas as equações da forma onde 
 são constantes. 
Exemplos: 
1) ou 
2) ou 
Afirmação: Para obtermos solução para estas equações devemos 
considerar os dois casos a seguir: 
)1(lnln 2 += tC
x
t )1( 2 += tC
x
t
txy =
)1(
2
2 += x
yC
x
x
y
)( 22 xyCy +=
axyx 222 =+
yxyC =+ )( 22






++
++
=
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
212121 ,,,, cecbbaa
42
52
+−
+−
=
yx
yx
dx
dy
( ) ( ) 05242 =−+−++− dxyxdyyx
23
139
−+−
+−
=
yx
yx
dx
dy
( ) ( ) 013923 =+−++− dyyxdxyx
 
 
 
 
78 
a) O determinante é diferente de zero. 
Neste caso temos o sistema 
 
cuja solução é dada pelas raízes e fazemos a seguinte 
substituição: 
 
que geometricamente equivale a uma translação dos eixos 
coordenados para o ponto que é a interseção das retas que compõem 
o sistema, e esta interseção é sempre possível uma vez que o determinante 
considerado é diferente de zero. 
Desta forma, após a substituição, a equação transformada será: 
 
Como e são raízes do sistema, teremos: 
, que é uma equação homogênea 
 
Lista de Exercícios Resolvidos 
Resolver as seguintes equações redutíveis às homogêneas 
1) 
22
11
ba
ba



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
βα == yex



=∴+=
=∴+=
dvdyvy
dudxux
β
α
( )βα ,






++++
++++
=
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
βα
βα
α β






+
+
=
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
23
132
−+
−−
=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
79 
Solução: Neste caso temos 
Daí, formamos o sistema: cuja solução é 
e assim, a substituição a ser feita é 
e a equação é transformada em 
 ou 
Que é uma equação homogênea de grau 1. 
Usando o método anterior fazemos a substituição: 
, sendo 
daí obtemos a equação 
 ou 
 ou 
 
Separando as variáveis, temos , e integrando 
obtemos 
 ou 
 ou 
011
13
32
≠=
−



=+
=−
23
132
yx
yx






=
=
11
1
11
7
β
α






=∴+=
=∴+=
dvdyvy
dudxux
11
1
11
7
vu
vu
du
dv
+
−
=
3
32
( ) ( )duvudvvu 323 −=+
utv = ( ) tduudtdveuft +==
( )( ) ( )duutudutdtuutu 323 −=++
( )( ) ( )dutdutdtut 323 −=++
( ) ( )dutttudtt 23323 −−−=+
dt
tt
t
u
du
262
3
−−
+
=
( ) Cttu ln62ln
2
1ln 2 +−−−=
( ) Cttu ln262lnln2 2 +−−−=
 
 
 
 
80 
. 
Daí, sendo 
Substituindo pelo seu valor fica: 
 ou 
Substituindo pelo seu valor e por temos 
 e desenvolvendo fica 
 
2) 
Solução: Neste caso temos: e o sistema formado é 
cuja solução é e deste modo a 
Substituição a ser feita é 
E a equação é transformada em: 
 
que é uma equação homogênea. Fazendo a substituição 
( ) 222 ln262lnln Cttu +−−−=
( ) Kttu =−− 22 62 2CK =
t u
v
K
u
v
u
v
u =





−− 2
2
2 62
Kvuvu =−− 22 62
u 11
7
−x
v 11
1
−y
Kyyxx =





−−





−





−−





−
22
11
1
11
1
11
76
11
72
04262 22 =++−−− Fyxyxyx
0)13()32( =−−−− dyyxdxyx
07
13
32
≠=
−
−



=−
=−
13
032
yx
yx






=
=
7
2
7
3
β
α






=∴+=
=∴+=
dvdyvy
dudxux
7
2
7
3
( ) ( ) 0332 =−−− dvvuduvu
 
 
 
 
81 
 obtemos 
 ou 
 
Separando as variáveis, fica 
e integrando, temos 
 
 
 
ou 
 
Daí, retornando à relação , temos: 
Substituindo pelo seu valor e por fica 
 
E assim 
 
 
3) 
dutdtudvutv +=∴=
( ) ( )( ) 0332 =+−−− dutdtutdut
( ) ( ) 03332 2 =−−+−− dtutduttt
0
26
3
2 =+−
−
+ dt
tt
t
u
du
( ) Cttu ln26ln
2
1ln 2 =+−+
( ) Cttu ln226lnln2 2 =+−+
)26ln(ln 22 +−+ ttu ( )[ ] 2222 ln26lnln CttuouC =+−=
( ) ( )222 26 Ckkttu ==+−
u
v
t = k
u
v
u
v
u =





+− 262