Engenharia Econômica

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UNIVERSIDADE IGUAÇU 
FACULADE DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – FACET 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Investimentos 
Taxa Interna de Retorno 
 
 
Trabalho Acadêmico 
 
 
Deyvid Renato 
Everton Silva de Lima 
Fernanda Emilião 
João Candido 
Olindino Cerqueira 
Sulimar Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nova Iguaçu, 01/2010 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica 
7º Período 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho acadêmico apresentado para 
obtenção de nota da P2, curso de 
Eng.Produção, Faculdade de Ciências 
Exatas e Tecnológicas – FACET 
Universidade Iguaçu – UNIG. 
Prof: Ricardo Freitas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nova Iguaçu, 01/2010 
3 
 
 
 
RESUMO 
 
 
Investimento é um sacrifício hoje em prol da obtenção de uma série de benefícios 
futuros. Sob o enfoque das finanças sacrifícios e benefícios futuros dizem respeito a 
fluxos de caixa necessários e gerados pelo Investimento. A missão da administração de 
uma empresa é criar valor para os acionistas. 
Criar valor para os acionistas significa valorizar a empresa (fazer com que a empresa 
valha mais, ou deixar o acionista mais rico). O conceito de Análise de Investimentos 
pode ser considerado como um conjunto de técnicas que permitem a comparação entre os 
resultados de tomada de decisões referentes a alternativas diferentes de forma científica. 
Nessas comparações, as diferenças que marcam as alternativas devem ser expressas tanto 
quanto possível em termos quantitativos. Para expressar em termos quantitativos as 
diferenças entre as alternativas em uma tomada de decisão usa-se basicamente da 
Matemática Financeira. 
A Engenharia Econômica é, em boa parte, uma aplicação das técnicas de Matemática 
Financeira nos problemas de tomada de decisões. É um conjunto dos métodos utilizados 
nas análises de investimentos e das técnicas empregadas na escolha da melhor 
alternativa. Neste trabalho estaremos analisando uma das técnicas utilizadas para esta 
escolha: a taxa interna de retorno (TIR). 
A taxa interna de retorno de um investimento é a taxa de juros para a qual o valor 
presente dos recebimentos resultantes do projeto é exatamente igual ao valor presente dos 
desembolsos, ou seja, é a obtenção de uma taxa de juros que zere o valor presente do 
fluxo de caixa. Assim o critério para a decisão de investimento com base na TIR é aceitar 
um projeto de investimento se o custo de oportunidade do capital for menor do que a taxa 
interna de retorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1- INTRODUÇÃO________________________________________________ Pág. 5 
2- VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO____________________________ Pág. 6 
3- FLUXO DE CAIXA ____________________________________________Pág. 6 
 4- MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE PROJETOS_________________ Pág. 7 
 5- A TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR ________________________ Pág. 7 
 6- CALCULANDO A TIR COM HP E EXCEL _______________________ Pág. 9 
7- INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DO VALOR DA TIR_____________ Pág. 11 
 8- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS _____________________________ Pág. 12 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é conhecida também como taxa de desconto do fluxo 
de caixa. A TIR é uma taxa de juros implícita numa série de pagamentos (saídas) e 
recebimentos (entradas), que tem a função de descontar um valor futuro ou aplicar o fator 
de juros sobre um valor presente, conforme o caso, para trazer ou levar cada valor do 
fluxo de caixa para uma data focal (data base de comparação de valores correntes de 
diversas datas). Geralmente, adota-se a data de início da operação – momento zero – 
como a data focal de comparação dos fluxos de caixa. A soma das saídas deve ser igual à 
soma das entradas, em valor da data focal, para se anularem. 
Normalmente, o fluxo de caixa no momento zero (fluxo de caixa inicial) é representado 
pelo valor do investimento, ou empréstimo ou financiamento; os demais fluxos de caixa 
indicam os valores das receitas ou prestações devidas. 
O conceito de TIR é utilizado para calcular a taxa de “i” quando existe mais de um 
pagamento e mais de um recebimento ou quando as parcelas de pagamento ou 
recebimento não são uniformes. 
O método da Taxa de Retorno, usado para análise de investimentos, assume 
implicitamente que todos os fluxos intermediários de caixa são reinvestidos à própria 
TIR calculada para o investimento. O critério de decisão, quando a TIR é usada para 
tomar decisões do tipo “aceitar-rejeitar”, é o seguinte: Se a TIR for maior que o custo de 
capital (taxa mínima de atratividade), se aceita o projeto; se for menor, rejeita-se o 
projeto. Esse critério garante que a empresa esteja obtendo, pelo menos, sua taxa 
requerida de retorno. Tal resultado deveria aumentar o valor de mercado da empresa e, 
conseqüentemente, a riqueza dos seus proprietários. Entre duas alternativas econômicas 
com TIR diferentes, a que apresentar maior taxa representa o investimento que 
proporciona o maior retorno. A TIR não deve ser confundida com a taxa mínima de 
atratividade que o valor investido deverá proporcionar para que o investimento seja 
interessante. 
A taxa interna de retorno, apesar de ser consideravelmente mais difícil de calcular à mão 
do que o VPL (Valor Presente Líquido – outro método de análise de investimentos) é 
possivelmente a técnica sofisticada mais usada para a avaliação de alternativas de 
investimentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
2-VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
 
A noção de que um Real hoje é preferível a um Real em algum momento no futuro é bastante 
intuitiva para a maioria das pessoas compreenderem, sem usarem modelos e matemática. 
Entretanto, os princípios de valor presente fornecem apoio adicional a esta declaração, e 
permitem-nos calcular quanto exatamente um Real daqui a algum tempo no futuro vale em 
reais de hoje e, ainda, mover o fluxo de caixa no tempo. O valor presente é um conceito, 
intuitivamente atraente, simples de computar, e tem uma gama extensa de aplicações. Ele é 
útil no ato de tomar decisões, indo de decisões pessoais simples – comprarem uma casa, 
poupança para a educação das crianças e estimar o rendimento na aposentadoria, para 
decisões complexas de finanças corporativas – escolhendo em qual projeto investir, como 
também o correto financiamento combinando com estes projetos. 
 
 
 
3- FLUXO DE CAIXA 
 
É a previsão de entradas e saídas de recursos monetários, por um determinado período. Essa 
previsão deve ser feita com base nos dados levantados nas projeções econômico-financeiras 
atuais da empresa, levando, porém em consideração a memória de dados que respaldará essa 
mesma previsão. O principal objetivo dessa previsão é fornecer informações para a tomada de 
decisões, tais como: prognosticar as necessidades de captação de recursos bem como prever 
os períodos em que haverá sobras ou necessidades de recursos; aplicar os excedentes de caixa 
nas alternativas mais rentáveis para a empresa sem comprometer a liquidez. 
Resumidamente, podemos afirmar que FLUXO DE CAIXA é a demonstração visual das 
receitas e despesas distribuídas pela linha do tempo futuro. 
Para a montagem da projeção do fluxo de caixa devemos considerar os seguintes dados: 
Entradas: 
 a) contas a receber 
 b) empréstimos 
 c) dinheiro dos sóciosSaídas: 
 a) contas a pagar 
 b) despesas gerais de administração 
 c) pagamento de empréstimos 
 d) compras à vista 
 
Convencionou-se que as linhas apontadas para cima representam entradas de caixa e as linhas 
apontadas para baixo, saídas de caixa: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Se o tempo zero for 01/01/2010 e o 
fluxo de caixa for anual, temos: 
Tempo 1 = 01/01/2011 
Tempo 2 = 01/01/2012 
Tempo 3 = 01/01/2013 
7 
 
 
4- MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE PROJETOS 
 
A avaliação de projetos de investimentos comumente envolve um conjunto de técnicas que 
buscam determinar sua viabilidade econômica e financeira, considerando uma determinada 
Taxa Mínima de Atratividade. Desta forma, normalmente esses parâmetros são medidos 
pelo Payback (prazo de retorno do investimento inicial), pela TIR (Taxa Interna de Retorno) 
e/ou pelo VPL (Valor Presente Líquido). 
 
5- A TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 
 
A TIR – Taxa Interna de Retorno é aquela taxa de desconto que iguala os fluxos de entradas 
com os fluxos de saídas de um investimento. Com ela procura-se determinar uma única taxa 
de retorno, dependente exclusivamente dos fluxos de caixa do investimento, que sintetize os 
méritos de um projeto. 
Contextualizando, a Taxa interna de retorno, ou a TIR, é uma metodologia para analisar 
investimentos. 
O papel do administrador de empresas, dentro das finanças da organização é fazer que a 
empresa crie valor para os acionistas. O calculo da TIR de um investimento indica se este 
investimento vai ou não valorizar a empresa. Através da TIR podemos decidir fazer, ou não 
fazer um investimento. 
Para o calculo da TIR é necessário projetar um fluxo de caixa que aponte as entradas e saídas 
de dinheiro provocadas pelo investimento. 
Os componentes necessários para projetar um fluxo de caixa são: 
• O programa de investimentos (Capital fixo mais capital de giro) 
• O Capital e o custo do capital utilizado para realizar o investimento 
• Os benefícios estimados do investimento (receitas menos gastos do projeto) 
• A vida útil do projeto (geralmente expressa em numero de anos) 
• O valor residual do investimento ao término da vida útil do projeto 
 
Como a TIR é a taxa de desconto que faz com que o VPL de uma oportunidade de 
investimento iguale-se a zero (já que o valor presente das entradas de caixa é igual ao 
investimento inicial), matematicamente, a TIR é obtida resolvendo-se a Equação 1 para o 
valor de k que torne o VPL igual a zero 
 
VPL = 
  01 1
I
k
FC
t
t
n
t




 (1) 
 
0 = 
  01 1
I
TIR
FC
t
t
n
t




 (2) 
 
Onde: FCt – valor presente das entradas de caixa; 
I0 – investimento inicial; 
k – taxa de desconto (igual ao custo de capital de empresa); 
t – tempo de desconto de cada entrada de caixa; 
n – tempo de desconto do último fluxo de caixa. 
 
8 
 
A TIR pode ser calculada tanto por tentativa e erro como se recorrendo a uma calculadora 
financeira sofisticada ou a um computador. Como será demonstrado a seguir, o cálculo da 
TIR à mão, empregando-se a Equação 2, não é um trabalho fácil. 
 
Exemplo: 
Um agente financeiro tem uma oferta que consiste em investir R$ 10.000,00 e receber duas 
parcelas trimestrais de R$ 6.000,00. Considerando se que a taxa de juros de mercado seja de 
10% por trimestre e assumindo se que 
69
= 8,3. Qual a taxa interna de retorno desse 
investimento? Esse investimento é viável? 
Solução: 
10 000 = 
 k1
6000
 + 
 21
6000
k
 (k = TIR) 
10 000
 21 k
= 6000
 k1
 + 6000 (simplificando por 2000) 
5.
 21 k
= 3.
 k1
 + 3 
5.
 221 kk 
 = 3 + 3k + 3 
5 + 10k +5k
2
 = 3k + 6 
5k
2
 + 7k – 1 = 0 
 
acb 42 
 
)1).(5.(472 
 
2049
 
69
 
 
k' = 
13,0
10
3,1
5.2
3,87


 
 
A TIR é de 13%, fazendo com que o projeto seja viável, visto que a taxa de juros de mercado 
é de 10% ao trimestre. Podemos notar que o cálculo é um pouco extenso, mesmo sendo um 
exemplo simples com apenas duas parcelas de entradas. Vamos agora a um exemplo com 3 
parcelas de entradas. 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
5 000 = 
 k1
1000
 + 
 21
2000
k
+ 
 31
3000
k
 (k = TIR) 
 
5. 
 31 k
= 
 21 k
+ 2. 
 k1
+ 3 
R$ 5000,00 
R$ 1000,00 R$ 2000,00 R$ 3000,00 
Dados PROJETO
Investimento Inicial ($) 5.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 1.000
2.º ano 2.000
3.º ano 3.000
9 
 
5. (1 + 3k + 3k
2
 + k
3
) = 1 + 2k + k
2
 + 2 + 2k + 3 
5 + 15k + 15k
2
 + 5k
3
 = k
2
 + 4k + 6 
5k
3
 + 15k
2
 + 15k + 5 = k
2
 + 4k + 6 
5k
3
 + 14k
2
 + 11k – 1 = 0 
 
Para saber o valor da TIR neste caso, teríamos que obter as raízes do polinômio do 3º grau, 
5k
3
 + 14k
2
 + 11k – 1 = 0, que convenhamos não pode ser o melhor método para cálculo. 
Conforme visto no exemplo anterior, como tínhamos duas entradas, o cálculo se deu através 
de um polinômio do 2º grau, neste exemplo com 3 entradas, chegamos a um polinômio de 3º 
grau, ou seja: para um investimento com n entradas, a solução algébrica se dá por meio de um 
polinômio de grau n. Em muitos casos encontramos para solução do cálculo da TIR um 
método de tentativa e erro, usando o princípio de aproximação, neste trabalho apresentaremos 
dois métodos para o cálculo com calculadora financeira e software. 
 
 
6- CALCULANDO A TIR COM HP E EXCEL 
 
Os recursos da HP são mais conhecidos que os do EXCEL. A vantagem da HP em relação ao 
EXCEL é sua portabilidade. Você poderá levá-la para uso em qualquer situação e local em 
que se façam necessários cálculos financeiros. A vantagem do EXCEL em relação a HP é a de 
ser uma ferramenta que possui todas as funções financeiras utilizadas na HP 12C, as funções 
estatísticas e lógicas, dentre outras. O EXCEL permite fazer a realização, registro, atualização 
e arquivo de múltiplos cálculos necessários a tomada de decisões financeiras, proporcionando 
economia de tempo e precisão na realização dos cálculos. 
 
 
Inicialmente, vamos utilizar o exemplo 1: 
 
Tabela 1 
 
 Saídas Entradas 
0 10 000 - 
1 - 6 000 
2 - 6 000 
 
 
 
Comandos para cálculo na HP 12C 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2:
 
Tabela 2 
 
 Saídas Entradas 
0 5 000 - 
1 - 1 000 
2 - 2 000 
3 - 3 000 
 
 
 
Comandos para cálculo na HP 12C 
 
 
 
 
 
 
 
f FIN 
10 000 CHS g CFo 
6 000 g CFj 
6 000 g CFj 
f FV 13,07 
f FIN 
5 000 CHS g CFo 
1 000 g CFj 
2 000 g CFj 
3 000 g CFj 
f FV 8,21 
Montando uma planilha para calcular a TIR no Excel: 
 
Sintaxe 
TIR(valores;estimativa) 
Valores é uma matriz ou uma referência a células que contêm números cuja taxa interna de 
retorno se deseja calcular. 
Valores devem conter pelo menos um valor positivo e um negativo para calcular a taxa 
interna de retorno. 
TIR usa a ordem de valores para interpretar a ordem de fluxos de caixa. Certifique-se de 
inserir os valores de pagamentos e rendas na seqüência desejada. 
Se uma matriz ou argumento de referência contiver texto, valores lógicos ou células em 
branco, estes valores serão ignorados. 
Estimativa é um número que se estima ser próximo do resultado de TIR. 
O Microsoft Excel usa uma técnica iterativa para calcular TIR. Começando por estimativa, 
TIR refaz o cálculo até o resultado ter uma precisão de 0,00001 por cento. Se TIR não puder 
localizar um resultado que funcione depois de20 tentativas, o valor de erro #NÚM! será 
retornado. 
Na maioria dos casos, não é necessário fornecer estimativa para o cálculo de TIR. Se 
estimativa for omitida, será considerada 0,1 (10 por cento). 
Se TIR fornecer o valor de erro #NÚM!, ou se o resultado não for próximo do esperado, tente 
novamente com um valor diferente para estimativa. 
 
 
Exemplo: 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
A B 
Dados Descrição 
-70.000 O custo inicial de um negócio 
12.000 A receita líquida do primeiro ano 
15.000 A receita líquida do segundo ano 
18.000 A receita líquida do terceiro ano 
21.000 A receita líquida do quarto ano 
26.000 A receita líquida do quinto ano 
Fórmula Descrição (resultado) 
=TIR(A2:A6) A taxa interna de retorno do investimento após quatro anos (-2%) 
=TIR(A2:A7) A taxa interna de retorno após cinco anos (9%) 
 
Uma das grandes praticidades no uso do Excel é o fato de depois da planilha pronta é que 
você pode usá-la para o cálculo de outros problemas semelhantes, bastando para isso somente 
substituir os valores, deixando a fórmula pronta. Ao substituir os valores para um novo 
problema ele recalcula automaticamente o valor da TIR.
 
 
 
11 
 
 
7- INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DO VALOR DA TIR 
 
A análise de investimento diz respeito às quais projetos aceitar e quais rejeitarem. É talvez a 
parte mais importante de finanças, pois é a partir daí que se percebe se o projeto é viável o 
não. 
O objetivo da análise financeira é utilizar as previsões do fluxo de caixa do projeto para 
calcular as taxas de rentabilidade apropriada, valor atual líquido e a taxa interna de retorno e 
com isto ver a viabilização do projeto. 
Como a TIR é a taxa que iguala o valor atual líquido dos fluxos de caixa de um projeto a zero. 
É a taxa que faz com que o valor atual das entradas seja igual ao valor das saídas. 
Vamos supor um exemplo onde um projeto tem uma TIR de 26% e o custo de capital seja de 
10%, este projeto deve ser aceito já que a TIR > Custo de capital. 
De um modo geral se: 
 
TIR > Custo do capital Se aceita o projeto 
TIR < Custo de capital Rejeita-se o projeto 
TIR = Custo de capital Indiferente 
Mais de um projeto Deve ser escolhido o que tem maior TIR 
 
Entre dois ou mais projetos, deve-se aceitar aquele que tiver a maior TIR. 
 
Exemplo: Dentre os projetos listados na tabela abaixo, qual deve ser escolhido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para escolher o projeto mais rentável, inserimos os dados em uma planilha do Excel e 
calculamos a TIR de cada projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados PROJETOS 
 A B C 
Investimento -20.000 -20.000 -20.000 
1.º ano 6.000 7.500 9.000 
2.º ano 7.000 7.500 8.000 
3.º ano 8.000 7.500 7.000 
4.º ano 9.000 7.500 6.000 
TIR 17% 18% 20% 
Dados
A B C
Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 6.000 7.500 9.000
2.º ano 7.000 7.500 8.000
3.º ano 8.000 7.500 7.000
4.º ano 9.000 7.500 6.000
PROJETOS 
O projeto mais rentável é o projeto C 
que tem a maior TIR (20%) 
Vale notar que os três projetos têm o 
mesmo investimento (20 000), e o 
mesmo retorno (30 000), mais as 
entradas nos primeiros anos são 
maiores no projeto C. (valor do dinheiro 
no tempo) 
12 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
 HUNTER, JAMES C. O Monge e o Executivo: Uma História sobre a essência da 
liderança. 21ª Edição. Rio de Janeiro: Sextante, 2004. 
 HUNTER, JAMES C. Como se tornar um líder servidor: Os princípios de liderança de 
O Monge e o Executivo. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Sextante, 2006. 
 Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/liderança>. Acesso em 13 de dezembro de 2009 
 Canal Comunicacional, O papel da liderança nas organizações. Disponível em: 
<http://canalcomun.blogspot.com/2009/04/o-papel-da-lideranca-nas 
organizacoes.html>. Acesso em 13 de dezembro de 2009. 
 Administradores.com.br, o canal da comunicação. Liderança e seus tipos. Disponível 
em: < http://www.administradores.com.br/artigos/lideranca_e_seus_tipos/20854/>. 
Acesso em 13 de dezembro de 2009.