Regra da Cadeia para Derivar

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A Regra da Cadeia ou a artede derivar
MO´DULO 1 – AULA 10
Aula 10 – A Regra da Cadeia ou a arte
de derivar
Objetivos
• Usar a Regra da Cadeia, no caso das func¸o˜es de va´rias varia´veis.
• Conhecer uma aplicac¸a˜o da Regra da Cadeia – uma interpretac¸a˜o geo-
me´trica do vetor gradiente.
Motivac¸a˜o
E´ comum ouvir dos alunos com alguma experieˆncia com os conteu´dos
ensinados nos cursos de Ca´lculo que derivar e´ mais fa´cil do que integrar.
Seja la´ qual for a sua opinia˜o a esse respeito, e´ fato que toda a arte de
derivar resume-se em aplicar a Regra da Cadeia. Ela nos indica como derivar
composic¸o˜es de func¸o˜es. Vamos a um exemplo.
Exemplo 10.1
A func¸a˜o f(t) = sen (t2 + t) e´ a composic¸a˜o da func¸a˜o g(x) = sen x
com a func¸a˜o h(t) = t2 + t. Isto e´,
f(t) = g ◦ h(t) = g(h(t)) = sen (t2 + t).
A Regra da Cadeia afirma: se h e´ diferencia´vel no ponto t e g e´
diferencia´vel no ponto h(t), enta˜o f = g ◦ h e´ diferencia´vel no ponto t e
f ′(t) = g′(h(t))h′(t).
Assim, f ′(t) = [cos(t2 + t)](2t + 1) = (2t + 1) cos(t2 + t).
Veja, g′(x) = cosx e, portanto, g′(h(t)) = g′(t2 + t) = cos(t2 + t).
Neste momento, espera-se que voceˆ seja capaz de derivar func¸o˜es de
uma varia´vel com desenvoltura. Aqui esta˜o alguns exemplos para voceˆ testar
as suas habilidades e praticar um pouco.
105 CEDERJ
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
Exerc´ıcio 1
Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (x2 + 2x + 4)1/3; (b) g(x) =
sen x
e2x
;
(c) h(t) = arctg (t3); (d) k(t) = ln (t3 + 4).
Confira as suas respostas com as soluc¸o˜es apresentadas no fim da aula,
junto com os exerc´ıcios propostos.
Nesta aula, voceˆ aprendera´ a usar a Regra da Cadeia para derivar
func¸o˜es cujas compostas envolvam, tambe´m, func¸o˜es de va´rias varia´veis. An-
tes de prosseguirmos nessa direc¸a˜o, no entanto, vamos lembrar uma outra
notac¸a˜o usada para representar as derivadas.
A notac¸a˜o
dy
dx
As notac¸o˜es desempenham papel importante na Matema´tica. Pode-
mos afirmar, com seguranc¸a, que muitos problemas matema´ticos so´ foram
resolvidos depois que foram encontradas notac¸o˜es adequadas para que eles
fossem claramente formulados. Basta pensar, por exemplo, na maneira como
denotamos os nu´meros. Os algarismos indo-ara´bicos se impuseram no lugar
dos algarismos romanos por serem mais fa´ceis de lidar, formando um sistema
posicional, com um s´ımbolo para representar o zero.
No caso das func¸o˜es, uma notac¸a˜o muito usada e´ a das varia´veis de-
pendentes e independentes. Veja como ela funciona no caso do exemplo
ja´ citado.
Exemplo 10.1 (Revisitado)
As equac¸o˜es y = sen x e x = t2 + t definem y como uma func¸a˜o de
x e, por sua vez, x como uma func¸a˜o de t. Para reforc¸ar isso, em algumas
situac¸o˜es usamos a notac¸a˜o
y(x) = sen x e x(t) = t2 + t.
Veja, a primeira equac¸a˜o estabelece y como varia´vel dependente de x,
que e´, nesse caso, a varia´vel independente. A segunda equac¸a˜o, x = t2 + t,
estabelece x como varia´vel dependente de t.
Usando essa notac¸a˜o, compor func¸o˜es significa substituir x por t2 + t,
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A Regra da Cadeia ou a artede derivar
MO´DULO 1 – AULA 10
e y passa a ser visto como uma func¸a˜o de t:
y = sen (t2 + t).
A notac¸a˜o e´ conveniente mas demanda atenc¸a˜o. Veja como fica a Regra
da Cadeia nesse contexto: se y e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de x e x e´
uma func¸a˜o diferencia´vel de t, no domı´nio onde y pode ser colocado como
func¸a˜o de t, y sera´ diferencia´vel e
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
.
Uma das vantagens dessa notac¸a˜o e´ a sua compacidade. Por exemplo,
ela e´ muito usada no caso das func¸o˜es definidas implicitamente por dadas
equac¸o˜es. Ale´m disso, ela sugere que a varia´vel x esta´ sendo suprimida do
processo, lembrando uma simplificac¸a˜o. Veja o caso em questa˜o:
y = sen x e x = t2 + t.
Enta˜o,
dy
dx
= cosx e
dx
dt
= 2t + 1. Aplicando a fo´rmula, temos:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
= (sen x) (2t + 1) = (2t + 1) sen (t2 + t).
Veja, precisamos lembrar que x esta´ sendo substitu´ıdo por t2 + t, seu
valor em termos de t. Na verdade, podemos usar duas verso˜es da fo´rmula:
(a) forma compacta:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
;
(b) forma estendida:
dy
dt
(t) =
dy
dx
(x(t))
dx
dt
(t).
Pratique o uso dessa notac¸a˜o fazendo o exerc´ıcio a seguir.
Exerc´ıcio 2
Seja y = x cos(x2) e x =
√
π t3.
(a) Escreva as fo´rmulas para
dy
dx
e
dx
dt
.
(b) Use a Regra da Cadeia para calcular
dy
dt
. Calcule
dy
dt
(1).
(c) Calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y(t) no ponto (1,−√π).
107 CEDERJ
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
Func¸o˜es de va´rias varia´veis
Agora esta´ na hora de aprender a derivar composic¸o˜es que envolvam
func¸o˜es de va´rias varia´veis.
A situac¸a˜o t´ıpica e´ a seguinte: seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR uma func¸a˜o
de duas varia´veis, diferencia´vel, e seja α : I ⊂ lR −→ lR 2 uma curva dife-
rencia´vel, tal que α(I) ⊂ A. A composic¸a˜o f ◦ α : I ⊂ lR −→ lR sera´ uma
func¸a˜o diferencia´vel, como provaremos em breve. Ale´m disso, expressaremos
a derivada dessa composic¸a˜o em termos das derivadas de f e de α. Veja um
diagrama da composic¸a˜o:
� �
�
�
�
f ◦ α
α−→ f−→
Antes de mais nada, veja um exemplo.
Exemplo 10.2
Seja f(x, y) = x2 − y2 + 2xy e α(t) = (et, e−2t). Nesse caso, a
composic¸a˜o g(t) = f ◦ α (t) pode ser explicitamente calculada:
g(t) = e2t − e−4t + 2 e−t.
E´ claro que, dispondo da fo´rmula de definic¸a˜o, podemos derivar a func¸a˜o
g diretamente:
g′(t) =
dg
dt
(t) = 2 e2t + 4 e−4t − 2 e−t.
Para chegar a esse resultado, usando as func¸o˜es f e α, devemos dispor
do gradiente de f e da func¸a˜o derivada de α:
∇f(x, y) = (2x + 2y, −2y + 2x) = 2 (x + y, x− y);
α ′(t) = (et, −2 e−2t).
A fo´rmula que combina esses elementos, que define a Regra da Cadeia,
nesse caso, e´ a seguinte:
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g′(t) =
dg
dt
(t) = ∇f(α(t)) · α ′(t),
onde o pontinho representa o produto interno (ou escalar) do vetor gradiente
de f pelo vetor α ′(t). Veja como ela se aplica no exemplo em questa˜o:
g′(t) = 2 (x + y, x− y) · (et, −2 e−2t) =
= 2 (et + e−2t, et − e−2t) · (et, −2 e−2t) =
= 2
(
et et + e−2t et + et (−2 e−2t)− e−2t (−2 e−2t)) =
= 2 e2t + 2 e−t − 4 e−t + 4 e−4t =
= 2 e2t − 2 e−t + 4 e4t.
Voceˆ deve estar atento e se lembrar de que, na composic¸a˜o f ◦ α (t),
devemos substituir x por et e y por e−2t.
Quando nos deparamos com uma fo´rmula como essa, e´ quase imposs´ıvel
evitar a pergunta: como algue´m consegue chegar a algo assim? Bem, para
certas perguntas, na˜o ha´ resposta curta e simples. Definitivamente, os exem-
plos cumprem um papel fundamental na indicac¸a˜o dos caminhos corretos a
serem seguidos. Em contrapartida, na˜o podemos nos furtar a comparar com
a fo´rmula ja´ conhecida, f ′(t) = g′(h(t)) h′(t), em que o produto de nu´meros
foi substitu´ıdo pelo produto interno dos vetores. Antes do fim dos cursos de
Ca´lculo, voceˆ voltara´ a ouvir mais sobre esse tema.
Muito bem; antes de ver a apresentac¸a˜o da teoria que comprovara´ a
fo´rmula anterior, tente aplica´-la no exerc´ıcio a seguir.
Exerc´ıcio 3
Sejam f(x, y) = cos(xy) e α(t) = (t+1, 2t−1). Calcule a derivada
da func¸a˜o composta g(t) = f ◦ α (t) de ambas as maneiras: usando a
fo´rmula da Regra da Cadeia e diretamente, apo´s o ca´lculo da lei de definic¸a˜o
de g.
A Regra da Cadeia
Teorema 10.1 (Regra da Cadeia)
Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR uma func¸a˜o diferencia´vel no ponto (a, b) ∈ A,
um aberto de lR 2, e seja α : I ⊂ lR −→ lR 2 uma func¸a˜o vetorial definida no
intervalo aberto I ⊂ lR , tal que α(c) = (a, b), α(I) ⊂ A, e α diferencia´vel109 CEDERJ
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
em c. Enta˜o, a func¸a˜o composta
g(t) = f ◦ α (t)
e´ diferencia´vel em t = c e
g′(c) =
dg
dt
(c) = ∇f(α(c)) · α ′(c) = ∇f(a, b) · α ′(c).
Veja agora com mais detalhes o diagrama da composic¸a˜o.
� �
�
�
�
c
I ⊂ lR
α(c) = (a, b)
f ◦ α
α−→ f−→
A ⊂ lR 2
f(α(c)) = g(c)
A demonstrac¸a˜o desse teorema na˜o e´ dif´ıcil, mas trabalhosa. Como
usaremos alguns conceitos que voceˆ ja´ estudou ha´ algum tempo, vamos re-
laciona´-los a seguir, salientando as propriedades de que necessitaremos na
argumentac¸a˜o.
(a) A func¸a˜o composta g(t) = f ◦ α (t) e´ uma func¸a˜o real, de uma
varia´vel real. Assim, para estudar a sua diferenciabilidade no ponto t = c,
devemos analisar o limite (simples) do quociente de Newton:
lim
t→c
g(t)− g(c)
t− c = limt→c
f ◦ α (t)− f ◦ α (c)
t− c ;
(b) o gradiente ∇f(a, b), da func¸a˜o f no ponto (a, b), e´ um vetor cujas
coordenadas sa˜o as derivadas parciais de f , respectivamente calculadas no
ponto (a, b):
∇f(a, b) =
(∂f
∂x
(a, b),
∂f
∂y
(a, b)
)
=
(
fx(a, b), fy(a, b)
)
;
(c) a derivada da func¸a˜o α, no ponto t = c, e´ um vetor cujas coordenadas
sa˜o as derivadas das func¸o˜es coordenadas de α = (α1, α2):
α ′(c) = lim
t→c
α(t)− α(c)
t− c =
=
(
lim
t→c
α1(t)− α1(c)
t− c , limt→c
α2(t)− α2(c)
t− c
)
=
=
(
lim
t→c
α1(t)− a
t− c , limt→c
α2(t)− b
t− c
)
;
CEDERJ 110
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
MO´DULO 1 – AULA 10
(d) como f e´ diferencia´vel no ponto (a, b), existe uma func¸a˜o E(x, y), a
func¸a˜o erro, definida em torno do ponto (a, b), tal que
f(x, y) = f(a, b) + fx(a, b) (x− a) + fy(a, b) (y − b) + E(x, y),
com lim
(x,y)→(a,b)
E(x, y)√
(x− a)2 + (y − b)2 = 0.
Nossa (na˜o pequena) tarefa consiste em combinar essas informac¸o˜es
para demonstrar o teorema.
Demonstrac¸a˜o (da Regra da Cadeia)
Comec¸amos com o numerador do quociente de Newton que aparece no
item (a):
g(t)− g(c) = f(α(t))− f(α(c)) = f(α(t))− f(a, b).
Como f e´ diferencia´vel em (a, b), podemos usar a equac¸a˜o do item (d)
para escrever
f(α(t))− f(a, b) = fx(a, b)
(
α1(t)− a
)
+ fy(a, b)
(
α2(t)− b
)
+ E(α(t)).
Note que o produto interno do vetor gradiente ∇f(a, b), descrito no
item (b), com o vetor α(t)− (a, b) = (α1(t)− a, α2(t)− b) e´
∇f(a, b) · (α(t)− (a, b)) = fx(a, b) (α1(t)− a) + fy(a, b) (α2(t)− b).
Combinando essas informac¸o˜es, obtemos
g(t)− g(c) = f(α(t))− f(a, b) = ∇f(a, b) · (α(t)− (a, b)) + E(α(t)).
Muito bem, agora vamos cuidar do quociente de Newton. Se t �= c,
1
t− c e´ um escalar e podemos escrever
g(t)− g(c)
t− c =
1
t− c
(
∇f(a, b) · (α(t)− (a, b))
)
+
E(α(t))
t− c .
Neste ponto, usamos a seguinte propriedade do produto interno: se λ
e´ um escalar e v e w sa˜o dois vetores, enta˜o
λ (v · w) = (λ v) · w = v · (λw).
111 CEDERJ
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
Multiplicar o produto interno de dois vetores por um nu´mero e´ igual a multi-
plicar qualquer um dos dois vetores pelo nu´mero e, enta˜o, efetuar o produto
interno. Com isso, temos
g(t)− g(c)
t− c = ∇f(a, b) ·
(
α(t)− (a, b)
t− c
)
+
E(α(t))
t− c .
Muito bem; agora falta pouco! Vamos tomar o limite desta igualdade
quando t→ c. Veja que o limite da primeira parcela,
lim
t→c
[
∇f(a, b) ·
(
α(t)− (a, b)
t− c
)]
= ∇f(a, b) ·
[
lim
t→c
(
α(t)− (a, b)
t− c
)]
,
e´, precisamente, ∇f(a, b) · α ′(c), o resultado a que esperamos chegar, uma
vez que ∇f(a, b) e´ constante.
Realmente, vamos olhar mais detalhadamente essa passagem do limite
do produto interno para o produto interno envolvendo o limite em um de
seus fatores.
lim
t→c
[
∇f(a, b) ·
(
α(t)− (a, b)
t− c
)]
=
= lim
t→c
[
fx(a, b)
(
α1(t)− α1(c)
t− c
)
+ fy(a, b)
(
α2(t)− α2(c)
t− c
)]
=
= fx(a, b) lim
t→c
α1(t)− α1(c)
t− c + fy(a, b) limt→c
α2(t)− α2(c)
t− c =
= fx(a, b) α1
′(t) + fy(a, b)α2 ′(t) = ∇f(a, b) · α ′(c).
O que esta´ faltando para completar a demonstrac¸a˜o? Bom, temos de
mostrar que
lim
t→c
E(α(t))
t− c = 0.
De que dispomos para fazer isso? Temos a informac¸a˜o do item (d), que
ainda na˜o usamos:
lim
(x,y)→(a,b)
E(x, y)√
(x− a)2 + (y − b)2 = 0.
Veja, para t �= c, E(α(t))
t− c e´ igual ao produto
E(α(t))√
(α1(t)− a)2 + (α2(t)− b)2
√
(α1(t)− a)2 + (α2(t)− b)2
|t− c|
|t− c|
t− c .
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MO´DULO 1 – AULA 10
Como α e´ cont´ınua em t = c, uma vez que e´ diferencia´vel em t = c,
sabemos que
lim
t→c
E(α(t))√
(α1(t)− a)2 + (α2(t)− b)2
= 0.
Ale´m disso, como
|t− c|
t− c e´ igual a 1 ou a −1, esse fator e´ limitado.
Portanto, para garantir que o limite dos treˆs fatores e´ zero, basta garantir
que o limite do fator do meio e´ um nu´mero. Mas, veja,
lim
t→c
√
(α1(t)− a)2 + (α2(t)− b)2
|t− c| = limt→c
√
(α1(t)− a)2 + (α2(t)− b)2
(t− c)2 =√√√√( lim
t→c
α1(t)− a
t− c
)2
+
(
lim
t→c
α2(t)− b
t− c
)2
=
√(
α1 ′(c)
)2
+
(
α2 ′(c)
)2
.
Isto e´, o limite do fator que esta´ no meio da fo´rmula e´ a norma da derivada
de α em t = c, |α ′(c)| =
√(
α1 ′(c)
)2
+
(
α2 ′(c)
)2
. Assim, a demonstrac¸a˜o
esta´ completa. �
Uma argumentac¸a˜o como essa pode lhe causar uma sensac¸a˜o de des-
conforto. Isto e´, voceˆ pode pensar em coisas como eu nunca serei capaz
de fazer uma demonstrac¸a˜o como essa ou como isso e´ dif´ıcil. No entanto, e´
preciso ter em mente que os primeiros matema´ticos que lidaram com isso tive-
ram dificuladades, precisaram considerar muitos exemplos, tentar diferentes
argumentac¸o˜es. Ale´m disso, a demonstrac¸a˜o apresentada foi preparada ao
longo de muito tempo, ate´ chegar a essa forma final. Portanto, e´ preciso ter
pacieˆncia e perseveranc¸a. Tudo a seu tempo!
Em Matema´tica, a importaˆncia de um teorema e´ diretamente propor-
cional ao nu´mero de suas aplicac¸o˜es. Portanto, vamos terminar a aula com
uma aplicac¸a˜o do teorema que acabamos de apresentar.
A ortogonalidade do vetor gradiente com a curva
de n´ıvel
Como uma aplicac¸a˜o da Regra da Cadeia, deduziremos uma importante
caracter´ıstica do vetor gradiente: ele e´ normal a` curva de n´ıvel que conte´m
o ponto em questa˜o. Aqui esta´ uma formulac¸a˜o mais precisa desse fato.
Corola´rio 10.2 (da Regra da Cadeia)
Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR uma func¸a˜o diferencia´vel no aberto de A ⊂ lR 2
e seja (a, b) ∈ A, tal que ∇f(a, b) �= �0. Seja α : I ⊂ lR −→ lR 2 uma func¸a˜o
113 CEDERJ
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
vetorial definida no intervalo aberto I ⊂ lR , tal que α(t0) = (a, b), α(I) ⊂ A
e α ′(t0) �= �0 e f ◦ α(t) = c, ∀t ∈ I. Enta˜o, os vetores α ′(t0) e ∇f(a, b)
sa˜o ortogonais.
A condic¸a˜o f ◦α (t) = c, ∀t ∈ I, nos diz que α e´ uma parametrizac¸a˜o
da curva de n´ıvel c de f .
O corola´rio garante que, se sobrepusermos, numa so´ figura, o conjunto
A com as curvas de n´ıvel da func¸a˜o f e os seus vetores gradientes, naqueles
pontos onde esses vetores sa˜o na˜o nulos, eles sera˜o ortogonais a`s curvas de
n´ıvel. Veja um exemplo.
Exemplo 10.3
Aqui esta˜o algumas curvas de n´ıvel e alguns vetores gradientes da
func¸a˜o f(x, y) = x− sen y, em torno da origem.
Demonstrac¸a˜o (do corola´rio)
Estamos supondo f ◦ α (t) = c, ∀t ∈ I. Portanto,
d
(
f ◦ α)
dt
(t) = 0, ∀t ∈ I,
uma vez que a derivada de uma func¸a˜o constante sobre um intervalo e´ cons-
tante e igual a zero.
Em contrapartida, a Regra da Cadeia nos da´
d
(
f ◦ α)
dt
(t) = ∇f(α(t)) · α ′(t), ∀t ∈ I.
Calculando em t0, temos
∇f(α(t0)) · α ′(t0) = ∇f(a, b) · α ′(t0) = 0.
Como o produto interno desses dois vetores e´ igual a zero, eles sa˜o
ortogonaise α ′(t0) e´ tangente a` curva α em (a, b). �
Veja a ilustrac¸a˜o a seguir.
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A Regra da Cadeia ou a artede derivar
MO´DULO 1 – AULA 10
∇f(a, b)α ′(t0)
(a, b) Na figura voceˆ observa a
curva de n´ıvel c da func¸a˜o f ,
uma elipse, o ponto (a, b),
que pertence a essa curva de
n´ıvel (uma vez que
f(a, b) = c), o vetor α ′(t0),
que e´ tangente a` curva de
n´ıvel, no ponto (a, b), assim
como o vetor gradiente de f
em (a, b), ortogonal a` curva.
Com essa demonstrac¸a˜o, terminamos a aula. Agora, os exerc´ıcios!
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (x2 + 2x + 4)1/3; (b) g(x) =
sen x
e2x
;
(c) h(t) = arctg (t3); (d) k(t) = ln (t3 + 4).
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) =
1
3
(x2 + 2x + 4)−2/3 (2x + 2) =
2x + 2
3(x2 + 2x + 4)2/3
;
(b) g′(x) =
(cosx) e2x − (sen x) 2 e2x
(e2x)2
=
e2x cosx− 2 e2x sen x
e4x
;
(c) h′(t) =
1
1 + (t3)2
(3 t2) =
3t2
1 + t6
;
(d) k′(t) =
1
t3 + 4
(3 t2) =
3t2
t3 + 4
.
Exerc´ıcio 2
Seja y = x cos(x2) e x =
√
π t3.
(a) Escreva as fo´rmulas para
dy
dx
e
dx
dt
.
(b) Use a Regra da Cadeia para calcular
dy
dt
. Calcule
dy
dt
(1).
(c) Calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y(t) no ponto (1,−√π).
115 CEDERJ
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
Soluc¸a˜o:
(a) Comec¸amos calculando as derivadas das func¸o˜es y(x) e x(t).

dy
dx
= cosx2 + x (− sen x2) (2x) = cosx2 − 2x2 sen x2;
dx
dt
= 3
√
π t2.
(b) Agora, combinamos as duas fo´rmulas, usando a Regra da Cadeia, sem
esquecer de substituir x pelo seu valor em t.
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
= (cosx2 − 2x2 sen x2) (3√π t2) =
= 3
√
π t2 (cos(πt6)− 2πt6 sen (πt6) =
= 3
√
πt2 cos(πt6)− 6π√πt6 sen (πt6).
dy
dt
(1) = 3π cosπ − 6π√π sen π = −3π.
(c) y +
√
π = −3π (x− 1).
Exerc´ıcio 3
Sejam f(x, y) = cos(xy) e α(t) = (t+1, 2t−1). Calcule a derivada
da func¸a˜o composta g(t) = f ◦α(t) de ambas as maneiras: usando a fo´rmula
da Regra da Cadeia e diretamente, apo´s o ca´lculo da lei de definic¸a˜o de g.
Soluc¸a˜o:

∇f(x, y) = (−y sen (xy), −x sen (xy));
α ′(t) = (1, 2).
g′(t) = ∇f(α(t)) · α ′(t) =
= (−(2t− 1) sen (2t2 +−1), −(t + 1) sen (2t2 +−1)) · (1, 2) =
= (1− 2t) sen (2t2 +−1)− 2(t + 1) sen (2t2 +−1) =
= −(4t + 1) sen (2t2 +−1).
Calculando diretamente, temos:
g(t) = cos(2t2 + t− 1)
g′(t) = (− sen (2t2 + t− 1)) (4t + 1)
= −(4t + 1) sen (2t2 + t− 1).
CEDERJ 116
A Regra da Cadeia ou a artede derivar
MO´DULO 1 – AULA 10
Exerc´ıcio 4
Use a Regra da Cadeia para calcular g′(t), onde g(t) = f ◦ α(t), nos
seguintes casos:
(a) f(x, y) = x2 + y2 − 2xy, α(t) = (sen 2t, cos 2t);
(b) f(x, y) = ex
2−y2 , α(t) = (t− 1, t1 + 1);
(c) f(x, y) = x + 2y − xy, α(t) = (t3, t2);
(d) f(x, y, z) = sen (x + y + z), α(t) = (cos2t, sen2 t, t2).
117 CEDERJ