EXERCICIOS RESOLVIDOS DE PROJETOS E ELEMENTOS DE MAQUINA

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PEM – Projeto Elementos de Maquinas (Revisão) 2 
Ksi= Quilograma por polegada quadrada Kip= Quilo libra força 
Psi= libra força por polegada quadrada (lbf/in2) Ksi=1000Psi 
Kip= 1000Psi Psi=lbf/pol2 
Ksi=6895Mpa Psi=0,006895Mpa 
Pé=0,30479metros metro=3,28084pés 
 
 
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A=π.d.h 
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60 lb-pés 
210 lb-pés 
150 lb-pés 
G=Módulo transversal 
J= Momento Inercia Polar 
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Exercício 
1. 
O estado de tensão sobre a estrutura do assunto durante uma trombada é mostrado na 
figura. Determine o menor limite de escoamento para o aço a ser selecionado para o 
elemento, baseando-se na teoria da tensão de cisalhamento máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. 
Determine o coeficiente de segurança do ponto (P) critico da alavanca de freio mostrada na 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
Determine os coeficientes de segurança para o ponto A da peça ilustrada (Região critica) 
usando Von Mises e Tresca. 
 Material 2024-T4 (alumínio). 
 
 
 
Psi=lbf/pol2 
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4. 
Construa o circulo de Mohr para as tensões atuantes na superfície de um tubo de aço 
pressurizado internamente que esteja sujeito às tensões tangencial e axial na superfície 
externa de 45.000 e 30.000 Psi, respectivamente, e a uma tensão devida à torção de 
18.000Psi. Figura 4.49 
 
Uma seção internamente pressurizada de tubulação de aço 
é submetida a tensões axiais tangenciais e torsionais 
conhecidas na superfície 
Desenhar uma representação em círculo mohr das tensões 
superficiais 
A regra positiva no sentido horário é usada. 
 
𝜎1 =
45 + 30
2
± √((
45 − 30
2
))2 + 182)) 
 
 𝜎1 = 57000𝑃𝑠𝑖 = 393,015𝑀𝑃𝑎 
 𝜎2 = 18000𝑃𝑠𝑖 = 124,110𝑀𝑃𝑎 
 
𝜏 𝑚𝑎𝑥. =
𝜎1 − 𝜎3
2
=
57 − 0
2
 
 
𝜏 𝑚𝑎𝑥. = 28,500𝑃𝑠𝑖 = 196,507𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
O estresse principal 𝜎3 é zero, porque a magnitude 
da tensão radial é zero na superfície externa 
 
 
 
 
Psi=0,006895MPa 
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5. 
Um cilindro está pressurizado internamente com uma pressão de 100MPa. Esta pressão 
provoca tensões tangencial e axial na superfície externa que valem 400 e 200 MPa, 
respectivamente. Construa o circulo de Mohr representativo dessas tensões atuantes na 
superfície externa. Qual é o valor da tensão cisalhante máxima atuante na superfície 
externa? Figura 4.50 
6. 
 
Para a figura 4.58, qual é o valor da Tensão máxima atuante no furo e no entalhe? 
 
 
Tração = 
 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 
65000
3500
 = 18,57𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚á𝑥. = 𝜎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 . 𝐾𝑇 
Tensão máxima= Tensão nominal. KT 
 
 
 
Um cilindro é internamente pressurizado para uma 
pressão conhecida que causa tensões tangenciais e 
axiais conhecidas na superfície externa 
Desenhar uma representação de ciclo mohr das 
tensões na superfície externa e determinar o 
máximo esforço de cisalhamento experimentado. 
A regra positiva no sentido horário é usada. 
𝜎1 = 400𝑀𝑃𝑎 
 𝜎2 =
𝜎1
2
= 
400
2
= 200𝑀𝑃𝑎 
 𝜏 𝑚𝑎𝑥. =
𝜎1 − 𝜎3
2
 = 
400
2
= 200𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
 
 
O esforço de cisalhamento máximo na superfície 
externa é de 200 MPa. A tensão principal 𝜎3 é zero na 
superfície externa 
A= b.h = 25.(200-60) 
A= 3500 mm2 
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FURO 
d/w= 30/200= 0,15 Kt= 2,6 
 (d/b) = 30/200= 0,15 Kt= 2,6 
ENTALHE 
H/h= 200/(200-30)= 1,176 
 (r/h) = 15/(200-30)= 0,0882 Kt= 2,5 
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F=65000N 
A=3500mm2 
σ =
𝐹
𝐴
 = 
65000
3500
 = 18,57 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚á𝑥. = 𝜎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 . 𝐾𝑇 
Tensão máxima= Tensão nominal.KT 
FURO 
σmáx. =2,6 .18,57 = 48,28 MPa 
ENTALHE 
σmáx. =2,45 .18,57 = 45,50 MPa 
7. 
 
Um eixo é apoiado em mancais nas extremidades A e B, e é carregado com uma força de 
1000 N para baixo, conforme mostrado na Figura 4.59. Determine a tensão máxima atuante 
no adoçamento do eixo. O adoçamento crítico do eixo está posicionado a 70mm de B. 
 
 
 
 
ENTALHE 
D/d= 200/(200-30)= 1,176 
 (r/d) = 15/(200-30)= 0,0882 Kt= 2,41 
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𝑟
𝑑
=
5
40
= 0.125 
𝐷
𝑑
=
80
40
= 2 
 
𝐾𝑡 = 1,65 
 
 
2 
0,125 
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8. 
 
Uma barra de seção transversal circular está sujeita a uma tensão axial de 50 MPa 
superposta a uma tensão devida à torção de 100 MPa. Qual é a sua melhor previsão do fator 
de segurança em relação ao início do escoamento do material considerando que ele possua 
uma resistência ao escoamento por tração de 500 MPa.(veja a Figura 6.29) 
 
 
 
Uma vez obtida á tensão equivalente, ela é comparada com a resistência ao escoamento 
fornecida pelo ensaio de tração padronizado. Se σe for superior a Sy, poder-se-á prever o 
escoamento do material. 
𝜎𝑒 = √𝜎𝑥
2 + 3. 𝜏𝑥𝑦
2 
 
𝜎𝑒 = √502 + 3. 100𝑥𝑦
2 
 
𝜎𝑒 = 180,3 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜎𝑒 =
𝑆𝑦
𝑆𝐹
= 𝑆𝐹 = 
𝑆𝑦
𝜎𝑒
=
500𝑀𝑃𝑎
180,3𝑀𝑃𝑎
 = 𝑆𝐹 = 2,77 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑆𝑠𝑦
𝑆𝐹
= 𝑆𝐹 = 
𝑆𝑦/2
√𝜏𝑥𝑦2 + (
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2 )
2
=
500
2⁄ 𝑀𝑃𝑎
√1002 + (
50 + 0
2 )
2
 = 
𝑆𝐹 = 
250𝑀𝑃𝑎
√1002 + 252
 = 𝑆𝐹 = 2,43 
 
 
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9. 
A Figura 8.41 mostra um eixo de seção circular e o perfil de flutuação do torque a que ele é 
submetido. O material é um aço com Su = 162 ksi e Sy = 138 ksi. Toda a superfície critica 
são retificadas. Estime o fator de segurança para uma vida infinita contra fadiga em 
Relação a (a) uma sobrecarga que aumenta tanto o torque médio quanto o alternado do 
mesmo fator e (b) uma sobrecarga que aumenta apenas o torque alternado. 
 
𝑆𝑢𝑠 = 0,8(162) = 130𝐾𝑠𝑖 
𝑆𝑠𝑦 = 0,58(138) = 80𝐾𝑠𝑖 
𝑆𝑦𝑡 = Resistência ao escoamento na tração 
𝑆𝑢𝑠 = Limite de resistência ao cisalhamento, limite de resistência ao cisalhamento por torção. 
𝑆𝑠𝑦 =Resistência ao escoamento por cisalhamento 
𝑆𝑢 =Resistência última ou limite de resistência à tração 
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𝐾𝑇 =
𝑑
𝐷
=
(
1
16)
1
= 0,0625 𝐾𝑇 = 1,75 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑓𝑢𝑟𝑜 "𝑡𝑜𝑟çã𝑜") 
 
FIGURA 8.24 Curvas de sensibilidade ao entalhe (baseadas na referência 9D). Observe que: 
(1) r é o raio no ponto onde se origina a potencialtrinca por fadiga, e (2) para r > 0,16 in, as 
curvas devem ser extrapoladas ou deve ser utilizado q'= 1. 
 
𝐾𝐹 = 1 + (𝐾𝑇 − 1). 𝑞 = 𝐾𝐹 = 1 + (1,75 − 1). 0,88 𝐾𝐹 = 1,66 
𝐾𝑇 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑟çã𝑜 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4.37 = 𝐾𝑇 = 1,33 
 
q Raio = 0,1 polegada 
Carga de torção 
Material aço 162 Ksi 
q= fator de sensibilidade 
q =0,88 
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𝜎𝑛𝑜𝑚. =
𝑇𝑐
(
𝜋. 𝐷3
16 ) − (
𝑑. 𝐷2
6 )
 
𝜎𝑚á𝑥. =
(7000 + 3000)/2
(
𝜋. 13
16 ) − (
(1/16). 12
6 )
. 1,66 𝜎𝑚á𝑥 = 44,600𝑝𝑠𝑖 
𝜎𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 =
(7000 − 3000)/2
(
𝜋. 13
16 ) − (
(1/16). 12
6 )
. 1,66 𝜎𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 = 17,88𝑝𝑠𝑖 
 
Resistência a 106 ciclos (limite de resistência à fadiga Sn’) 
Cargas de Flexão 
 
Cargas de Axiais 
Cargas de Torção 
 
CL (fator de carga) Flexão=1 Carga Axial=1 Torção=0,58 
CG (fator gradiente) 
diâmetro < (0,4 in ou 10 mm) =1 =0,7 a 0,9 =1 
(0,4 in ou 10 mm} < diâmetro < (2 in ou 50 mm) =1 =0,7 a 0,9 =0,9 
CS (fator de superfície) Figura 8.13 
CT (fator de temperatura) 
T ≤ 840 °F Para aço =1 Para aço =1 Para aço =1 
840 °F < T≤ 1020 °F 1 - (0,0032.T – 2,688) 
CR (fator de confiabilidade) 
50% confiabilidade 
90% 
95% 
99% 
99,9% 
 
1,000 
0,897 
0,868 
0,814 
0,753 
 
1,000 
0,897 
0,868 
0,814 
0,753 
 
1,000 
0,897 
0,868 
0,814 
0,753 
Para materiais que não possuem um limite de resistência à fadiga, adote os fatores para as resistências a 108 e 5 x 1 08 ciclos. 
Sn’ = 0,5 Sn para os aços, salvo melhores resultados. 
 
 
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛`𝐶𝐿𝐶𝐺𝐶𝑆𝐶𝑇 𝐶𝑅 
𝑆𝑛 = 𝑆𝑢. 0,5. 0,58. 0,9. 0,89. 1. 1 
𝑆𝑛 = (162). 0,5. 0,58. 0,9. 0,89. 1. 1 = 38 Ksi 
Figura 8.13 Redução do limite de resistência 
á fadiga devido ao acabamento superficial - 
componentes de aço. 
 
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𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝜏𝑎
𝐹𝑆
= 𝐹𝑆 =
25
17,88
= 𝐹𝑆 = 1,4 
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝜏𝑎
𝐹𝑆
= 𝐹𝑆 =
22
17,88
= 𝐹𝑆 = 1,2 
10. 
6.4 Uma placa fina com largura de 2w = 6 in e espessura t = 0,035 in e fabricada com o 
alumínio 7075-T651 (Su= 78 ksi e Sy= 70 ksi). A placa é carregada por tração e possuí uma 
trinca central perpendicular à direção da carga aplicada. Estime a maior carga P (veja a 
Figura 6.2a) que pode ser aplicada sem causar uma fratura súbita na placa quando a trinca 
central aumentar até um comprimento 2c de 1 in. A placa possui uma tensão plana KIC = 60 
ksi √𝑖𝑛 e será utilizada na fuselagem de um avião, c será periodicamente inspecionada para 
a identificação do crescimento da trinca. 
 
𝑲𝑰𝑪 = (𝟏, 𝟖√𝑪 )𝝈𝒈 
𝟔𝟎 = (𝟏, 𝟖√𝟎, 𝟓 ). 𝝈𝒈 = 𝝈𝒈=
𝟔𝟎
(𝟏,𝟖√𝟎,𝟓 )
 = 𝝈𝒈 = 𝟒𝟕, 𝟏𝟒𝑲𝒔𝒊 
𝑃 = 𝜎𝑔. (2. W. t) P= 47,14. (6.0,035) P= 9,899 ℓ𝑏 
𝐴 = 𝑏. ℎ = 𝑡. (2𝑊 − 2𝐶) A=0,035.(6-1) A=0,175pol2 
𝜎 =
𝑃
𝐴
= 𝜎 =
9,899
0,175
 =56,57 Ksi 
𝑆𝑦 = 𝜎𝑒 = 70𝐾𝑠𝑖 𝜎 < 𝑆𝑦 (satisfatório) 
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11. 
8.21 Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro possui Su= 1200 MPa, Sy = 950 MPa, e suas 
superfícies possuem um acabamento fino. Estime a resistência à fadiga por flexão para (1) 
106 ciclos ou mais e (2) 2x 105 ciclos. 
 
 
Resistência a 106 ciclos (limite de resistência à fadiga Sn’) 
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛`𝐶𝐿𝐶𝐺𝐶𝑆𝐶𝑇 𝐶𝑅 
1200 = 𝑆𝑛´.1. 0,9. 0,86.1. 1 
𝑆𝑛´ = (
𝑆𝑛
2
) = 
928,8
2
= 464,4 𝑀𝑃𝑎 
Resistência a 103 ciclos (limite de resistência à fadiga Sn’) 
𝜎𝑓 = 0,9. 𝑆𝑢 = 0,9.1200 = 1080 𝑀𝑃𝑎 
 
 
12. 
8.32 Um eixo com entalhe similar ao mostrado na Figura 4.36 é usinado a partir de um aço 
com 180 Bhn e Sy = 65 ksi. As dimensões são D=1,1 in, d= 1.0 in e r= 0,05 in. Um polimento 
comercial é aplicado apenas á superfície do entalhe. Com um fator de segurança de 2, 
estime o valor do torque T máximo que pode ser aplicado para uma vida infinita quando a 
carga torcional flutuante consiste em (a) uma torção completamente alternada, com um 
torque variando de -Ta +T, (b) um torque constante T superposto a um torque alternado de 
2T. 
 
 
 
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𝐷
𝑑
=
1,1
1
= 1,1 𝑖𝑛 
𝑟
𝑑
=
0,05
1
= 0,05 𝑖𝑛 𝐾𝑇 = 1,63 
 Raio=0,05in 
Equação: 
𝐾𝑓 = 1 + (𝐾𝑇 − 1). 𝑞 
𝐾𝑓 = 1 + (1,63 − 1). 0,79 
𝐾𝑓 = 1,50 
 
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛`𝐶𝐿𝐶𝐺𝐶𝑆𝐶𝑇 𝐶𝑅 𝑆𝑛´ = 𝑆𝑛. 0,5 𝑆𝑛´ = 𝑆𝑛. 0,5 = 0,25. 𝐵ℎ𝑛 𝐾𝑠𝑖 
 
q 
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𝑆𝑛 = 𝑆𝑛`𝐶𝐿𝐶𝐺𝐶𝑆𝐶𝑇 𝐶𝑅 
𝐶𝐿=0,58 𝐶𝐺=0,9 𝐶𝑆=0,86 “180 Ksi” 𝐶𝑇=1 𝐶𝑅=1 
𝑆𝑛 = 0,25. (180). 0,58. 0,9. 0,86. 1. 1 
𝑆𝑛 = 20,2 𝐾𝑠𝑖 
𝑆𝑢𝑠 = 0,8 𝑆𝑢 Onde; 𝑆𝑢 = 0,5 𝐵ℎ𝑛 𝐾𝑠𝑖 
𝑆𝑢𝑠 = 0,8. (0,5). (180) = 72𝐾𝑠𝑖 
𝑆𝑦𝑠 = 0,58. 𝑆𝑦 = 0,58. (65) = 37,7 𝐾𝑠𝑖 
𝜎𝑛𝑜𝑚 = 𝑆𝑛 =
𝑇𝑐
𝐽
= 
16. 𝑇𝑐
𝜋. 𝑑3
. 𝐾𝑓 𝑇𝑐 =
20,2𝐾𝑠𝑖. 103ℓ𝑏. 𝜋. (13𝑖𝑛)
1𝐾𝑠𝑖. 16.1,50 
 
𝑇𝑐 = 2644 ℓ𝑏. 𝑖𝑛 
 
𝑆𝑛 = limite de resistência à fadiga 𝜎𝑔 = tensão de tração 
𝑆𝑛´= padrão de resistência à fadiga para eixos sob flexão. 𝜎 = tensão normal e ou tensão de tração 
𝑆𝑠𝑦 = resistência ao escoamento por cisalhamento 𝜎𝑚á𝑥 = tensão máxima 
𝑆𝑢 = resistência última ou limite de resistência à tração 𝜎𝑚𝑖𝑛 = tensão mínima 
𝑆𝑢𝑐 = limite de resistência à compressão 𝜎𝑛𝑜𝑚 = tensão nominal 
𝑆𝑢𝑠 = limite de resistência ao cisalhamento por torção 𝜎𝑒 = tensão equivalente 
𝑆𝑦 = resistência ao escoamento 𝜎𝑎 = tensão alternada ou amplitude de tensão 
𝑆𝑠𝑦𝑐 = resistência ao escoamento na compressão 𝜏 = tensão cisalhante nominal 
𝑆𝑦𝑡 = resistência ao escoamento na tração 𝜏𝑚á𝑥 = tensão de cisalhante máxima 
 
 
13.