f128 p1 2004s2a

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1a Prova de F-128 – Turmas do Diurno 
Segundo semestre de 2004 – 18/10/2004 
 
1) No instante em que a luz de um semáforo fica verde, um automóvel sai do repouso com 
aceleração constante Aa . Neste mesmo instante ele é ultrapassado por um caminhão se movendo 
com velocidade constante Cv . 
 
(a) Em um certo momento, o carro irá alcançar novamente o caminhão. A velocidade do carro neste 
instante será maior ou menor que a velocidade do caminhão? Justifique. 
 
(b) Em quanto tempo o automóvel irá ultrapassar o caminhão? 
 
(c) A que distância do semáforo ocorrerá esta ultrapassagem? 
 
(c) Esboce um gráfico da posição em função do tempo para os dois veículos até um tempo posterior 
a ultrapassagem do automóvel. 
 
Solução: 
 
a) A velocidade média do percurso (até o carro alcançar o caminhão) é a mesma para os dois 
veículos (pois percorreram a mesma distância no mesmo intervalo de tempo). Logo a velocidade 
final do carro no percurso deve ser maior que a velocidade do caminhão para que ambos tenham 
a mesma velocidade média (lembre-se que o carro partiu do repouso) 
 
 
 
(b) Os veículos devem seguir equações de movimento abaixo : 
 
 Caminhão: tvxtx CC += 0)( (mov. com velocidade constante) 
 Automóvel: 20 2
)( t
a
xtx AA += (mov. com aceleração constante) 
 
 onde 0x corresponde a posição do semáforo.Desejamos encontrar o tempo Ett = tal que: 
 
0
22
)()( 200 =÷
ø
ö
ç
è
æ -Þ+=+Þ= CE
A
EE
A
ECEAEC vt
a
tt
a
xtvxtxtx 
 A equação acima tem duas soluções: 
 
 1) 0=Et (já sabíamos que inicialmente eles estavam na mesma posição) 
 
 2) 
A
C
E a
v
t 2= ( é a solução que desejamos obter) 
 logo, o carro irá ultrapassar o caminhão em 
A
C
E a
v
t 2= . 
 
 
 (c) A distância D depois do semáforo em que ocorre esta ultrapassagem é dada por: 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
==-=
A
C
CECEC a
v
vtvxtxD 2)( 0 
 
 Logo, a distância com relação ao semáforo em que ocorre a ultrapassagem é dada por: 
 
A
C
a
v
D
2
2= 
 
(d) Conhecendo as equações de movimento dos dois veículos: 
 
 Caminhão: tvxtx CC += 0)( (Equação linear). 
 Automóvel: 20 2
)( t
a
xtx AA += (Equação de segundo grau). 
 
 Podemos esboçar o gráfico x(t) versus t (aqui escolhemos 00 =x para facilitar a visualização): 
 
 
 
 Lembrando que 
A
C
a
v
D
2
2= e 
A
C
E a
v
t 2= no gráfico acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Em uma base militar sob ataque, parte do sistema de defesa entrou em pane devido à ataques anteriores e 
travou o lançador de projéteis de tal maneira que só é possível lançá-los a velocidade formando um ângulo de 
45 graus com a horizontal. No instante t0 = 0, o radar indica que um bombardeiro B-52 inimig o se aproxima 
com velocidade igual a 820 km/h a uma altitude de 400 m e a uma distância horizontal de 2 km. 
a) Qual deve ser o módulo da velocidade mínima, vmin, de lançamento do projétil para que o avião inimigo 
possa ser abatido? 
b) Devido à pane, o lançador de míssil só pode lançar projéteis a uma velocidade igual a 3 vezes a velocidade 
mínima, ou seja, v0 = 3vmin. Calcule o intervalo de tempo após t0 em que se deve lançar o projétil de tal 
maneira que o bombardeiro inimigo seja abatido. Interprete o seu resultado com um desenho esquemático das 
trajetórias do avião e do projétil indicando o ponto de impacto. Dados: g = 10 m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um pequeno objeto de massa m = 2,5 g é colocado no prato de um toca-disco. O período 
de rotação do toca-disco é T = 3.14 s. 
a) Qual é a velocidade do objeto quando ele gira sem deslizar, se está localizado a uma 
distância de 4 cm do centro do disco? 
b) Qual é a força de atrito que atua sobre o objeto no item (a)? 
c) Qual é o coeficiente de atrito estático entre o objeto e o prato do toca-disco, se o objeto 
desliza e cai quando colocado a uma distância superior a 12 cm do centro do disco? Dados: 
g = 10 m/s2 
 
 
a) 8
14,3
4.22
»==
pp
T
R
v cm/s ou 0.08m/s. 
b) NFF cat
3
2
104,0
04,0
)08,0.(0025,0 -´=== 
c) Fat = Fc = .048.0
22
==Þ=
g
R
R
mv
mg
w
mm 
 
 
4) Considere dois blocos de massa 1m e 2m ligados por um fio, que passa por uma polia. Os dois 
blocos estão sobre planos inclinados lisos (sem atrito), que fazem ângulos a e b com a horizontal 
(ver figura abaixo). 
 
 
 
 
 
(a) determine a aceleração dos blocos e a tensão na corda em função das massas 1m e 2m , dos 
ângulos a e b e da aceleração da gravidade g . 
 
(b) Considere o caso 
b
a
sen
senmm 12 = . Quais são os tipos de movimento possíveis? 
 
Solução: 
 
(a) Bloco 1: Primeiro, decompomos a força peso em uma componente paralela ( //1P ) e uma 
componente perpendicular ( ^1P ) ao plano inclinado: 
 
aaaa gsenmsenPPgmPP 11//1111 ; coscos ====^ 
 
 Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano inclinado, onde 
estão atuando sobre o bloco a tensão T e a componente do peso TP1 : 
 
agsenmamTamPT 111//1 +=Þ=- (1) 
 Bloco 2: Desta vez, decompomos a força peso em uma componente paralela ( //2P ) e uma 
componente perpendicular ( ^2P ) ao outro plano inclinado (de inclinação b ) : 
 
bbbb gsenmsenPPgmPP 22//2222 ; coscos ====^ 
 
 E aplicamos novamente a segunda lei de Newton: 
 
amgsenmTamTP 222//2 -=Þ=- b (2) 
 
 Igualando as equações (1) e (2), obtemos que: 
 
amgsenmgsenmam 2211 -=+ ba 
 
 De onde obtemos a aceleração dos blocos: 
 
g
mm
senmsenm
a ÷÷ø
ö
ççè
æ
+
-
=
12
12 ab 
 
 Para obter a tensão no fio, basta substituir o resultado acima na equação (1) (ou na equação (2)) 
 
( ) ú
û
ù
ê
ë
é
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-
=+= a
ab
a gseng
mm
senmsenm
mgsenamT
12
12
11 
 
 Portanto, temos que a tensão no fio é dado por: 
 
( ) g
mm
mm
sensenT ÷÷ø
ö
ççè
æ
+
+=
12
21ba 
 
(b) Substituindo 
b
a
sen
sen
mm 12 = na aceleração do item (a), obtemos que: 
 
0
12
11
=Þ
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= ag
mm
senmsen
sen
sen
m
a
ab
b
a
 
 
 Se a aceleração é nula, temos apenas dois tipos de movimento: 
 
 1) Os blocos estão em repouso 
 2) Os blocos se movimentam com velocidade constante.