Estatística II Lista PCA

Prévia do material em texto

ENP 157 – Estatística II – 3ª Lista de Exercícios – Análise de Componentes Principais
1-A Tabela abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa feita com cinco futuros moradores de um prédio a respeito de dois projetos arquitetônicos para a fachada do edifício. (sugestão: calcule e compare os resultados com os obtidos software Minitab)
	Morador
	Projeto 01
	Projeto 02
	1
	10,3
	11,7
	2
	9,3
	9,8
	3
	8,9
	9,5
	4
	9,5
	10,8
	5
	11,0
	11,1
Baseado na tabela acima, encontre:
O vetor de médias amostral. 
A matriz de covariâncias amostral.
A matriz de correlação amostral.
Os autovalores e autovetores normalizados da matriz de covariâncias.
As equações das componentes principais Y1 e Y2, com base na matriz de covariâncias.
O %Variância Total referente a cada componente principal.
2- Oito marcas de um produto alimentício foram avaliadas por 10 julgadores em relação a quatro atributos: sabor (X1), aroma (X2), qualidade da massa (X3) e qualidade do recheio (X4). Cada julgador atribuiu sua nota numa escala de 1 a 5, sendo que as notas maiores estão relacionadas com melhor qualidade do produto. Os dados observados encontram-se na tabela abaixo, sendo que os valores de entrada da tabela para cada marca e cada atributo referem-se à média aritmética das notas dos 10 julgadores.
	Marca
	Sabor
	Aroma
	Massa
	Recheio
	1
	2,75
	4,03
	2,80
	2,62
	2
	3,90
	4,12
	3,40
	3,52
	3
	3,12
	3,97
	3,62
	3,05
	4
	4,58
	4,86
	4,34
	4,82
	5
	3,97
	4,34
	4,28
	4,98
	6
	3,01
	3,98
	2,90
	2,82
	7
	4,19
	4,65
	4,52
	4,77
	8
	3,82
	4,12
	3,62
	3,71
	Media
	3,67
	4,26
	3,68
	3,79
	Desvio padrão
	0,638
	0,332
	0,651
	0,954
O resultado da análise de componentes principais (para a matriz de covariâncias) é dado abaixo:
Autovalores 1,7368 0,0649 0,0279 0,0225
Variavel CP1 CP2 CP3 CP4 
sabor 0,456 -0,816 0,112 0,337
aroma 0,223 -0,215 0,269 -0,912
massa 0,477 0,456 0,718 0,221
recheio 0,717 0,282 -0,632 -0,077
Escreva a equação da primeira componente e a interprete.
Quantas componentes são necessárias para explicar a maior parte (digamos pelo menos 98%) da variabilidade contida nos dados? Justifique sua resposta.
Calcule o valor estimado 1) da variância da primeira componente principal e 2) do coeficiente de correlação entre a primeira componente e a variável “Sabor” .
Calcule o escore da primeira componente principal para a marca 1.
Para a matriz de covariâncias abaixo, encontre:
As equações das componentes principais Y1 e Y2.
O %Variância Total referente a cada componente principal.
A correlação estimada entre as componentes principais (Yj) e as variáveis aleatórias (Xi).
O número de componentes principais necessárias, de tal forma que 85% da variabilidade dos dados sejam explicados pelo modelo.
Seja X = [X1 ; X2]t o vetor aleatório composto pelas variáveis X1 = teor de argila (%) e X2= teor de areia (%), que serão mensurados em amostras de solo de uma determinada região. Suponha ainda que a matriz de covariâncias deste vetor aleatório e o seu vetor de médias sejam dados respectivamente por:
 e  = [4 ; 2]t
Com base nessas informações:
Calcule a matriz de coeficientes de correlação linear, P2x2 do vetor aleatório X.
Encontre as equações das componentes principais com base na matriz de correlação. Deixe-as em função de Z.
Encontre as equações das variáveis padronizadas Z. Deixe-as em função de X.
Determine o proporção da Variância Total referente a cada componente principal.
O número de componentes principais necessárias, de tal forma que 78% da variabilidade dos dados sejam explicados pelo modelo.