A2 GPI Métodos Quantitativos Prof Jederson

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Métodos Quantitativos
Aula 2
Prof. Jéderson da Silva
Probabilidade e 
Distribuições de 
Probabilidades
Organização da Aula
 Tema 1: conceitos básicos de 
probabilidade
 Tema 2: regras básicas de 
probabilidade
 Tema 3: probabilidade 
condicional, multiplicação de 
probabilidades e independência
 Tema 4: teorema de bayes e tipos 
de variáveis aleatórias
 Tema 5: distribuições de 
probabilidades de variáveis 
aleatórias discretas
 Tema 6: distribuições de 
probabilidades de variáveis 
aleatórias contínuas
Tema 1: Conceitos Básicos 
de Probabilidade
Conceitos
 Experimento aleatório: é 
aquele que realizado seguindo 
sempre os mesmos passos, 
pode gerar resultados distintos
• Exemplo: preço do dólar ao 
final do dia
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 Espaço amostral: é o conjunto 
de todos os resultados possíveis 
de um experimento aleatório
• Discreto: formado por um 
conjunto contável de resultados
• Contínuo: contém um intervalo, 
de números reais
 Evento: “é um subconjunto 
do espaço amostral de um 
experimento aleatório”.
 Eventos mutuamente 
excludentes:
 Probabilidade é utilizada para 
quantificar a possibilidade do 
acontecimento de um resultado 
de um experimento aleatório
Probabilidade
Definição
Matemática
 Caso um espaço amostral seja 
formado por N resultados 
possíveis com mesma chance de 
ocorrer, a probabilidade de cada 
resultado é 1/N e esses 
resultados são denominados 
de equiparáveis
Tema 2: Regras Básicas 
de Probabilidade
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Propriedades da 
Probabilidade
Axiomas da Probabilidade
 Seja S um espaço amostral 
e A qualquer evento em um 
experimento aleatório, 
a) b) c) Para 
dois eventos mutuamente 
excludentes 
Propriedade de um Evento 
Complementar
 Exemplo: lançamento de 
uma moeda
• Suponha que ={cara}, 
então ={coroa}
Teorema da Soma
 Sejam dois eventos A e B
 A probabilidade de pelo 
menos um deles acontecer 
é representada por:
 Se A e B forem mutuamente 
exclusivos , então a 
probabilidade de pelo menos 
um deles ocorrer é dada por:
Exemplo
 Considerando o evento A = 
{sair número par} e o evento 
C = {sair número maior que 
3} no lançamento de um dado, 
qual a probabilidade de pelo 
menos um desses eventos 
ocorrer?
• Solução:
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Tema 3: Probabilidade 
Condicional, Multiplicação 
de Probabilidades e 
Independência
Probabilidade Condicional
 A probabilidade de um 
determinado evento ocorrer 
é condicionada ao resultado 
de outro evento
 A probabilidade condicional 
de um evento B, dado que 
aconteceu um evento A, 
denotada por pode ser 
expressa por: , 
para
Exemplo
 Análise de discos de plásticos 
de policarbonato
 A – evento que um disco tenha 
alta resistência a choque
 B – evento que um disco tenha 
alta resistência a arranhões
a) P(A)
b) P(B)
c) P(A|B)
d) P(B|A)
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Regra da Multiplicação 
das Probabilidades
“A probabilidade da ocorrência 
simultânea de dois eventos, 
A e B, do mesmo espaço 
amostral, é igual ao produto 
da probabilidade de um (...)
(...) deles pela probabilidade 
condicionada do outro, dado 
o primeiro”.
Exemplo
 Uma urna contém cinco bolas 
brancas e sete pretas
 Uma bola é retirada ao acaso 
e não é devolvida à urna
 Na sequência outra bola é 
retirada
 Qual a probabilidade de ambas 
serem brancas?
Teorema da Probabilidade 
Total
 Sejam eventos distintos 
que formam uma divisão do 
espaço amostral; supõe-se que 
o espaço amostral é formado 
pela junção destes eventos
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 Logo, sendo B um evento 
qualquer desse espaço, a 
probabilidade da sua 
ocorrência é:
Exemplo
Fabricação de 
semicondutores
 Em uma batelada particular da 
produção, 20% dos chips estão 
sujeitos a níveis altos de (...)
(...) contaminação, 30% a níveis 
médios de contaminação e 50% 
a níveis baixos de contaminação
 Qual é a probabilidade de um 
produto falhar ao usar um 
desses chips? 
Solução
 H um chip esteja exposto a 
níveis altos de contaminação
 M um chip esteja exposto a 
níveis médios de contaminação
 L um chip esteja exposto a 
níveis baixos de contaminação
Independência
 Se a ocorrência de um evento 
não interferir na ocorrência do 
outro
 Para isso, pelo menos uma das 
afirmações deve ser satisfeita
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a)
b)
c)
Tema 4: Teorema de 
Bayes e Tipos de
Variáveis Aleatórias
Teorema de Bayes
 Se forem eventos 
mutuamente excludentes 
e B for qualquer evento, 
então a probabilidade de 
ocorrência de , dada (...)
(...) a ocorrência de B é feita 
pelo teorema de Bayes
Tipos de Variáveis Aleatórias
“São funções que atribuem um 
número real para qualquer 
resultado no espaço amostral 
de um experimento aleatório”.
 Variável aleatória discreta 
é aquela com faixa finita 
(ou infinita contável)
 Variável aleatória contínua 
é aquela com um intervalo 
(finito ou infinito) de números 
reais para sua faixa
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Tema 5: Distribuições 
de Probabilidades 
de Variáveis Aleatórias 
Discretas (VAD)
Distribuições de 
Probabilidades de VAD
 É representada por gráfico, 
tabela ou fórmula que 
especifica a probabilidade 
associada com cada valor 
possível que a variável 
aleatória pode assumir
 Exemplos:
• distribuição binomial
• distribuição de Poisson
Função de Probabilidade
 Dada uma variável aleatória 
discreta X que admite 
possíveis valores, a função, 
que relaciona cada valor (...)
(...) de com a sua 
probabilidade de ocorrência, 
ou seja, é 
denominada função de 
probabilidade
 Propriedades
a)
b)
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Valor Esperado ou Média 
de uma VAD
 Supõe-se que X é uma variável 
aleatória discreta
 Assim, o valor esperado ou a 
média é
Variância e Desvio Padrão 
de uma VAD
 Variância: grau de dispersão de 
valores em torno da média
 Seja X uma variável aleatória 
discreta, a variância é:

sendo:
 Desvio padrão:
Distribuição Binomial
 Considere uma sequência 
de ensaios em que se quer 
determinar a ocorrência 
de sucesso ou fracasso de 
determinado evento 
(ensaios de Bernoulli)
 Premissas:
a) Para cada ensaio há apenas 
duas possibilidades: 
sucesso (S) e fracasso (F)
b) Os ensaios são independentes
c) A probabilidade de (S) será 
expressa por p e é considerada 
a mesma para cada ensaio, 
enquanto a probabilidade de 
(F) será calculada por 1-p
d) São realizadas n provas 
idênticas
 X tem distribuição binomial com 
parâmetros n, p e k, em que p
é a probabilidade de sucesso 
em cada ensaio e k é o número 
de sucessos se sua função de 
probabilidade for dada por:
10
Exemplo
 10 peças com reposição, são 
extraídas ao acaso de um lote 
de 500 peças; qual é a 
probabilidade de que todas 
sejam defeituosas, sabendo-se 
que 10% das peças do lote são 
defeituosas?
 Solução: 
• n = 10 
• P(S) = P(peça defeituosa) 
• p = 0,1 
• k = 10
Tema 6: Distribuições 
de Probabilidades
de Variáveis Aleatórias 
Contínuas (VAC)
Valor Esperado ou Média 
de uma VAC
 Suponha que X represente 
uma variável aleatória contínua
 Assim, o valor esperado de X
ou a média de X é dada por:
Distribuição Normal/ 
Distribuição de Gauss
 Considerando X uma VAC com 
distribuição normal, pode-se 
definir sua função densidade 
de probabilidade como:
 Sendo e , a média e o 
desvio padrão da distribuição, 
nesta ordem
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Características do Modelo 
de Distribuição Normal
a) A curva normal possui formato 
boca de sino, apresentando 
simetria em relação a média
b) A média, moda e medianasão 
valores coincidentes
c) A variável aleatória X 
relacionada a sua 
distribuição oscila de
Características do Modelo 
de Distribuição
 A função densidade de 
probabilidade tem ponto 
máximo onde x é igual 
a média populacional
Distribuição Normal 
Padronizada
 É idêntica a uma distribuição 
normal com e 
 Quando temos uma variável X com 
distribuição normal, média e/ou 
desvio padrão , deve-se 
reduzi-la a uma variável padrão Z:
 Como são fixas a média e a 
variância, as probabilidades 
(áreas) sob f(z) são tabeladas
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 Assim, para determinar as 
probabilidades de f(x), 
modificam-se suas abcissas para 
z, calculando a probabilidade 
com a ajuda de uma tabela de 
distribuição normal padronizada
onde
Exemplo
 O diâmetro do eixo de 
um dispositivo óptico de 
armazenagem é, normalmente, 
distribuído com média de 
0,2508 polegada e desvio 
padrão de 0,0005 polegada
 As especificações do eixo são 
0,2500 ± 0,0015 polegadas
 Qual proporção de eixos obedece 
às especificações?
Solução
 Seja X o diâmetro em 
polegadas, do eixo
 A probabilidade requerida é:
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Referências de Apoio
 Martins, G. A. Estatística 
geral e aplicada. 4a. edição. 
Editora Atlas. Pgs. 421. 2010.
 Montgomery, D. C. Estatística 
aplicada e probabilidade 
para engenheiros. 5a. 
edição. Editora LTC. 2011.
 Winter, L. M. W. & Sganzerla, N. 
M. Z. Estatística II (Notas de 
Aula). Departamento de Estatística 
UFPR, 2009. Acesso em dezembro 
de 2014: 
<http://www.est.ufpr.br/ce003/m
aterial/apostilace003.pdf>.
 Singpurwalla, D. A. Handbook of
statistics. 1 Ed. 2013.
Site para Consulta
 <http://www.portalaction.com.br/>.