Métodos Quantitativos Tema 3 Aula 2

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Tema 3: Probabilidade condicional, multiplicação de probabilidades e independência 
Probabilidade condicional 
Há casos em que a probabilidade de um determinado evento ocorrer é condicionada ao resultado 
de outro evento. Nesses casos, a probabilidade condicional de um evento B, dado que aconteceu um 
evento A, denotada por 
 P B A|
, pode ser expressa, segundo Montgomery e Runger (2011), por: 
     P B A P A B P A | /, para  P A  0 . 
Exemplo: 
Discos de plásticos de policarbonato, provenientes de um fornecedor são analisados com relação 
à resistência a arranhões e a choques. Os resultados de 100 discos estão resumidos a seguir: 
 
Seja A o evento em que um disco tenha alta resistência a choque e seja B o evento em que um 
disco tenha alta resistência a arranhões. Determine as seguintes probabilidades: 
 
a. P(A) 
Da definição clássica de probabilidades temos que: 
 
número de casos favoráveis ao evento A
P A
número de casos possíveis
 
86
100
 
b. P(B) 
Da definição clássica de probabilidades temos que: 
 
número de casos favoráveis ao evento B
P B
número de casos possíveis
 
79
100
 
c. P(A|B) 
Sendo que 
 P B A
 representa a probabilidade do evento B e do evento A ocorrerem 
simultaneamente, dada então por 70 / 100, e da definição de probabilidade condicional tem-se que: 
     P A B P B A P B | /
= (70/100) / (79/100) = 70/79 
d. P(B|A) 
Da mesma maneira que o item anterior: 
     P B A P A B P A | /
= (70/100) / (86/100) = 70/86. 
Regra da multiplicação das probabilidades 
Muitas vezes, é preciso calcular a probabilidade da interseção de dois eventos, ou seja, a 
probabilidade de dois eventos distintos pertencentes ao mesmo espaço amostral ocorrerem ao mesmo 
tempo. Neste caso, rearranjando a definição de probabilidade condicional tem-se, segundo Martins 
(2010): 
           P AB P A B P B A P A P A B P B   . | |
 
Assim, segundo Martins (2010), podemos definir a regra geral de multiplicação de probabilidades, 
como: “a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é 
igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicionada do outro, dado o 
primeiro”. 
Exemplo: 
 Uma urna contém cinco bolas brancas e sete pretas. Uma bola é retirada ao acaso e não é 
recolocada na urna. Na sequência, outra bola é retirada. Qual a probabilidade de ambas serem 
brancas? 
A primeira bola sendo branca influi sobre a probabilidade de obter uma segunda bola branca: os 
dois eventos não são estatisticamente independentes, logo, de acordo com a regra da multiplicação de 
probabilidades, temos: 
     
   
P ambas brancas P primeira branca P segunda branca / primeira branca
 
.
5 / 12 . 4 / 11 20 / 132
 
Teorema da Probabilidade Total 
Os eventos 
nA A A1 2, ,...
são distintos, formam uma divisão do espaço amostral e não possuem 
interseções entre si, de modo que o espaço amostral é formado peja junção destes eventos. Logo, 
sendo B um evento qualquer desse espaço, então a probabilidade de que esse evento aconteça será 
expressa por (ROSA, 2009): 
       nP B P B A P B A P B A      1 2 ...
 
Usando a definição de probabilidade condicional, temos: 
             n nP B P B A P A P B A P A P B A P A   1 1 2 2| | ... |
. 
Exemplo: 
 Considerando a fabricação de semicondutores, suponha as seguintes probabilidades para falha 
no produto sujeito a níveis de contaminação na fabricação: 
 
Em uma batelada particular da produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de 
contaminação, 30% a níveis médios e 50% a níveis baixos. Qual é a probabilidade de um produto 
falhar ao usar um desses chips? 
Vamos denominar H o evento em que um chip esteja exposto a níveis altos de contaminação, M o 
evento em que um chip esteja exposto a níveis médios de contaminação e L o evento em que um chip 
esteja exposto a níveis baixos de contaminação. 
A probabilidade de um produto falhar usando um desses chips será dada pelo teorema da 
probabilidade total como: 
             
     
P F P F H P H P F M P M P F L P L   
   
| | ... |
0,10 0,20 0,01 0,30 0,001 0,50 0,0235
 
Portanto, a probabilidade de falha é de aproximadamente 2,35%. 
Independência 
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não interferir a ocorrência do outro. 
Logo, para que dois eventos sejam considerados estatisticamente independentes, pelo menos uma das 
seguintes afirmações deve ser satisfeita (MONTGOMERY e RUNGER, 2011): 
a.    P A B P A| , 
b.    P B A P B| , 
c.      P A B P A P B  .