estatística para Gestores Und 4 UNIFACS

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ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PARA GESTORESPARA GESTORES
Me. Rebecca Manesco Paixão
I N I C I A R
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introdução
Introdução
A probabilidade derivada do latim probare e designa eventos incertos ou, até mesmo, “sorte”, “azar”,
“risco” ou algo “duvidoso”.
A probabilidade, como ramo da matemática, data mais de 300 anos, sendo aplicada naquela época,
principalmente, em jogos de azar. No entanto, como a mesma é capaz de medir o grau de incerteza,
também é frequentemente utilizada nos negócios, possibilitando-nos lidar com as chances maiores
ou menores do evento desejado ocorrer, a exemplo das chances de um investimento ser lucrativo, a
probabilidade do projeto terminar antes do prazo, entre outros.
Dessa forma, caro(a) aluno(a), nesta última unidade, trabalharemos com os tipos de probabilidade
existentes e com conceitos importantes para esse estudo, a exemplo do espaço amostral, do evento
e da probabilidade condicional. Finalizaremos, com o estudo das funções de probabilidade para a
resolução de situações-problemas aplicadas na prática.
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Caro(a) aluno(a), a probabilidade é a base com a qual construímos métodos de inferência
estatística. Assim, vamos aprender a determinar a probabilidade de um certo evento ocorrer, de
modo que seus valores serão sempre atribuídos em uma escala de 0 a 1 ou ainda, na prática, é
comum fornecer valores de probabilidades em porcentagens de 0 a 100%.
Um experimento é de�nido como um processo ou uma ação, a partir do qual obtém-se resultados
bem de�nidos. Logo, o resultado de um experimento é o resultado de uma única tentativa.
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Um espaço
amostral pode ser discreto ou contínuo. Espaço amostral discreto é aquele constituído de um
conjunto �nito ou in�nito contável de resultados; já um espaço amostral contínuo apresenta um
intervalo (�nito ou in�nito) de números reais. Neste estudo, representaremos o espaço amostral
pela letra grega Ω (ômega).
Introdução à probabilidadeIntrodução à probabilidade
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O evento é um subgrupo do espaço amostral, podendo consistir em um ou mais resultados. O
evento é simples quando consistir de um único resultado; por sua vez, o evento composto é aquele
que consiste em mais de um resultado. Neste estudo, o evento será representado por letras latinas
maiúsculas, como A, B, C, ….
Exemplo 4.1: no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara,coroa}. Um evento de
interesse A pode ser “obter coroa no lançamento da moeda”, logo,A = {(coroa)}.
Segundo Triola (2008) existem diferentes formas de se de�nir a probabilidade de um evento:
Método empírico:
Nesse método, realizamos (ou observamos) um experimento e contamos o número de vezes que o
evento A realmente ocorre. Assim, P(A) será:
P(A) =
número de vezes em que A ocorreu
número de vezes que o procedimento foi repetido
Para exempli�car, se quisermos saber a probabilidade de um pão com manteiga cair virado para
baixo, devemos repetir o experimento várias vezes e, na sequência, encontrar a razão entre o
número de vezes que o evento ocorreu pelo número de vezes que o procedimento foi realizado.
Exemplo 4.2: qual a probabilidade dos �lhos de um casal serem duas meninas?
Para resolvermos esse exemplo, precisamos primeiramente identi�car o espaço amostral: 
Ω = {(menino menino),(menino menina),(menina menino),(menina menina)}
Logo, podemos inferir que das 4 possibilidades diferentes, 1 delas correspondem a duas meninas.
Assim:
P(A) =
1
4
= 0, 25
Nesse método, supomos que um determinado experimento tenha   diferentes eventos simples e
que cada um destes tenha igual chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s dessas n
formas, então:
P(A) =
n ́u mero de maneiras em que A pode ocorrer
n ́u mero de diferentes eventos simples =
s
n
Para exempli�car, se quisermos saber a probabilidade de em um jogo de dados tirar a face 3,
considerando que cada uma das 6 faces tem igual chance de ocorrer, assim, temos que:
P(3) =
1
6
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Método subjetivo:
Nesse método, a estimativa da probabilidade do evento A é baseada no conhecimento de
circunstâncias relevantes.
Como exemplo, para determinar a probabilidade de chuva em um dia qualquer, os meteorologistas
utilizam-se de conhecimentos especí�cos para fazer tal previsão.
Exemplo 4.3: você pesquisou uma amostra de 200 professores de uma universidade e registrou a
idade de cada um deles. Os resultados encontram-se na Tabela 4.1. Ao selecionar aleatoriamente
outro funcionário, qual a probabilidade empírica de que o funcionário tenha entre 26 a 34 anos?
Tabela 4.1: distribuição de frequências da idade dos professores de uma universidade – Exemplo 4.3
Fonte: Elaborada pela autora.
Regras básicasProcessing math: 10%
A probabilidade é um valor que varia entre 0 e 1, sendo representada por: 0 < P(A) < 1.
A probabilidade próxima a 1 indica um evento quase certo, enquanto que a probabilidade
próxima a 0 indica um evento impossível. Esse é um conjunto vazio (∅);
A soma das probabilidades para todos os resultados experimentais deve ser igual a 1.
praticarVamos Praticar
Em um jogo de azar, o lançamento da face ímpar em um dado permite que o jogador continue no jogo.
Sabendo disso, assinale a alternativa que contenha o espaço amostral e a probabilidade de sair “face ímpar”
no lançar de dados:
a) O espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e a probabilidade de face ímpar é 25%.
b) O espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e a probabilidade de face ímpar é 50%.
c) O espaço amostral é Ω = {2, 4, 6} e a probabilidade de face ímpar é 50%.
d) O espaço amostral é \Omega=\left\{1,3,5 \right\} e a probabilidade de face ímpar é 30%.
e) O espaço amostral é \Omega=\left\{1,2,3,4,5,6 \right\} e a probabilidade de face ímpar é 100%.
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Caro (a) aluno (a), no cálculo de probabilidades, algumas vezes, o pesquisador está interessado na
determinação da probabilidade a partir da combinação de eventos.
A união de dois eventos A e B consiste na chance do evento A e B ocorrer (ou ambos). É
denotada por A\cup B;
A interseção de dois eventos A e B consiste em todos os resultados que estão contidos
nos dois eventos, simultaneamente. É denotada por A\cap B;
O complemento de um evento A é o conjunto de resultados do espaço amostral, em que
A não ocorre. É denotado por \overline{A}.
Regra da adição
A regra da adição considera a ocorrência do evento A ou a ocorrência do evento B ou ainda de
ambos os eventos. Matematicamente, é denotada por P(A\cup B).
Assim, no cálculo da adição de probabilidades, podem surgir duas situações:
Os eventos A e B são disjuntos, ou seja, não têm elementos em comum.
Nesse caso, P(A\cup B)=P(A)+P(B)
Combinação de eventosCombinação de eventos
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Os eventos A e B não são mutuamente excludentes, ou seja, têm elementos em comum.
Nesse caso, P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Exemplo 4.4: considerando o espaço amostral \Omega =\left\{ 2,4,6,8,10 \right\} e os eventos
A=\left\{ 2,6,10 \right\} e B=\left\{ 6,8,10 \right\}. Temos que: 
(A\cup B)= {{2,6,10}} \cup {{6,8,10}} = {{2,6,8,10}}
(A\cap B)= {{2,6,10}} \cup {{6,8,10}} = {{2,6,8,10}}
Eventos complementares
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Sabendo que a soma das probabilidades de todos os resultados em um espaço amostral é 1 ou
100%, é possível determinarmos a probabilidade de um evento complementar ocorrer.
Considerando o evento A o complementar \bar{A} consiste em todos os resultados em que A não
ocorre. Assim:
P(A)+P(\bar{A})=1
P(A)=1-P(\bar{A})
P(\bar{A})=1-P(A)
Exemplo 4.5: na maternidade de um hospital durante um mês nasceram 1000 bebês: 580 meninos
e 420 meninas. Se um bebe for escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que não seja
menina?
Temos que:
P(menina)= \frac{420}{1000}=0,42
Portanto:
P(menino)=1-P(menina)
=1-0,42
=0,58
Logo, a probabilidade do bebê não ser menina é de 58%.
praticarVamos Praticar
Considerando que tenham sido lançadas duas moedas e que sejam os eventosA “lançar faces iguais” e B
“lançar cara na primeira moeda”, assinale a alternativa que contenha P(A\cap B). Considere que   represente
“cara” e que   represente “coroa”
a) P(A\cap B)=\left\{ (c,c) \right\}
b) P(A\cap B)=\left\{ (k,k) \right\}.
c) P(A\cap B)=\left\{ (c,c),(k,k) \right\}
d) P(A\cap B)=\left\{ (k,c),(c,k) \right\}
e) P(A\cap B)=\varnothing
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A probabilidade condicional diz respeito à probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro
evento já tenha ocorrido. Denota-se por P\left( B\left| A \right. \right) a probabilidade condicional de
o evento B ocorrer, dado que o evento A tenha ocorrido. Lê-se “probabilidade de B dado A”.
Exemplo 4.6: em um baralho de 52 cartas, duas cartas são selecionadas em sequência. Qual a
probabilidade de que a segunda carte seja um valete, dado que a primeira carta seja um rei? Assuma
que o rei está sem reposição.
Como a primeira carta retirada é um rei e não há reposição, o baralho restante tem 51 cartas, das
quais 4 são valetes. Então:
(P(B|A)= \frac{4}{51}=0,078
Caro (a) aluno (a), dizemos que dois eventos A e B  são independentes quando a ocorrência de um
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Logo, dois eventos são independentes se:
P\left( B\left| A \right. \right)=P(B) ou se P\left( A\left| B \right. \right)=P(A)
Por sua vez, dizemos que os eventos A e B são dependentes quando não são independentes.
Exemplo 4.7: jogar na loteria do Rio de Janeiro e, na sequência, jogar na loteria de São Paulo são
eventos independentes, uma vez que o resultado da loteria do Rio de Janeiro não tem nenhum
efeito sobre a probabilidade do resultado da loteria de São Paulo. Por outro lado, o evento “fazer o
seu carro pegar” e o evento “chegar na consulta médica a tempo” são dependentes, uma vez que o
resultado “fazer pegar o carro” afeta diretamente na probabilidade de “chegar na consulta médica a
tempo”.
Regra da multiplicação
Para o cálculo de P(A|B), utilizamos a seguinte fórmula:
Probabilidade condicional eProbabilidade condicional e
independência estatísticaindependência estatística
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P(A\left| B \right.)=\frac{P(A\cdot B)}{P(B)}=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}
A partir dessa relação, obtemos a regra formal da multiplicação de probabilidades:
P\left( A\cap B \right)=P(B)\cdot P(A\left| B \right.)
Assim, podemos inferir que a probabilidade de A e B ocorre conjuntamente sob uma condição, uma
vez que a probabilidade de A está condicionada à probabilidade de B, mostrando que há uma
dependência de uma probabilidade em relação ao evento ocorrido anteriormente.
Exemplo 4.8: qual a probabilidade de ao retirar uma carta de um baralho convencional ser “um rei
preto”, dado que a carta retirada foi uma “�gura”?
Temos que o baralho convencional tem 52 cartas, das quais 12 são �guras (valete, dama e rei).
Sejam os eventos A=\left\{ \text{rei preto} \right\} e B=\left\{ \text{�gura} \right\}, temos que:
P(B)=\frac{12}{52}, uma vez que 12 cartas do baralho são �guras.
P(A\cap B)=\frac{2}{52}, uma vez que no baralho existem 2 reis pretos, os quais também são �guras.
\(P(A|B)= \frac {P(A \cap B\right)}{P(B)}
=\frac{\frac{2}{52}}{\frac{12}{52}}
=\frac{2}{12}
=\frac{1}{6}
=0,167
Logo, a probabilidade de um rei preto, condicionado à ocorrência de uma �gura, é de 16,7%.
Atente-se, caro(a) aluno(a), ao fato de que no caso de A e B serem eventos independentes, a
probabilidade de A e B ocorrerem será dada pela probabilidade de A vezes a probabilidade de B:
P\left( A\cap B \right)=P(A)\cdot P(B)
Exemplo 4.9: ao lançar simultaneamente um dado e uma moeda, qual a probabilidade de obter um
“três” e uma “coroa”?
Para o dado, temos que \Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} e que A=\left\{ 3 \right\}
Logo, P(A)=\frac{1}{6} .
Para a moeda, temos que \Omega =\left\{ c,k \right\} e que B=\left\{ k \right\}.
Logo, P(B)=\frac{1}{2} .
Os eventos são independentes e, assim, a probabilidade será dada por:
P(A\cdot B)=P(A\cap B)
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=P(A)\cdot P(B)
=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}
=\frac{1}{12}
=0,083
Portanto, a probabilidade de obter um “três” no dado e uma “coroa” na moeda é de 8,3%.
Diagrama de árvores
Caro(a) aluno(a), também é possível utilizarmos diagramas de árvores para resolvermos problemas
de probabilidade. Diagramas de árvores são úteis, uma vez que ilustram os possíveis resultados de
um experimento, mostrados como segmentos de linha que se originam de um ponto inicial. Observe
os exemplos 4.10 e 4.11:
Exemplo 4.10: uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Sorteamos 2 bolas ao acaso, sem
reposição; ou seja, sorteamos a primeira bola, veri�camos sua cor e não a devolvemos à urna e, na
sequência, sorteamos a segunda bola e veri�camos sua cor.
A Figura 4.3 ilustra o diagrama de árvore para as probabilidades das cores das bolas sorteadas, sem
reposição.
a) Qual a probabilidade de sair bola preta (P) na primeira retirada?
A probabilidade de sair bola preta na primeira retirada é de P(P)=\frac{3}{5}.
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b) Qual a probabilidade de sair bola branca (B) na primeira retirada e bola preta (P) na segunda
retirada?
A probabilidade de sair bola branca na primeira retirada é de P(B)=\frac{2}{5} .
A probabilidade de sair bola preta na segunda retirada é de P(P)=\frac{3}{4}.
Logo, a probabilidade de sair bola branca na primeira retirada e bola preta na segunda retirada é de
P(BP)=P(B\cap P)=P(B)\cdot P(P)
=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}
=\frac{6}{20}
=0,3
c) Qual a probabilidade de retirar a bola preta (P) na segunda extração?
A probabilidade de retirar a bola preta na segunda extração é de \frac{6}{20}, caso a primeira bola
retirada seja branca; e de \frac{6}{20}, caso a primeira bola retirada seja preta.
Assim:
P(BP)+P(PP)=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}
=\frac{6}{10}
=0,6
Exemplo 4.11: uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Sorteamos 2 bolas ao acaso com
reposição; ou seja, sorteamos a primeira bola, veri�camos sua cor e a devolvemos à urna e, na
sequência, sorteamos a segunda bola e veri�camos sua cor.
A Figura 4.4 ilustra o diagrama de árvore para as probabilidades das cores das bolas sorteadas, com
reposição.
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a) Qual a probabilidade de sair bola preta (P) na primeira retirada?
A probabilidade de sair bola preta na primeira retirada é de P(P)=\frac{3}{5}
b) Qual a probabilidade de sair bola branca (B) na primeira retirada e bola preta (P) na segunda
retirada?
A probabilidade de sair bola branca na primeira retirada é de P(B)=\frac{2}{5}.
A probabilidade de sair bola preta na segunda retirada é de P(P)=\frac{3}{5}.
Logo, a probabilidade de sair bola branca na primeira retirada e bola preta na segunda retirada é de:
P(BP)=P(B\cap P)=P(B)\cdot P(P)
=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}
=\frac{6}{25}
=0,24
c) Qual a probabilidade de retirar a bola preta (P) na segunda extração?
A probabilidade de retirar a bola preta na segunda extração é de \frac{6}{25}, caso a primeira bola
retirada seja branca; e de \frac{9}{25} , caso a primeira bola retirada seja preta.
Assim:
P(BP)+P(PP)=\frac{6}{25}+\frac{9}{25}
=\frac{15}{25}
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=0,6
praticarVamos Praticar
Em um lote de 15 peças de calças jeans, há 3 peças defeituosas. Assinale a alternativa que apresenta qual a
probabilidade de se escolher uma peça aleatoriamente e a mesma ser defeituosa:
a) 10%.
b) 15%.
c) 20%.
d) 30%.
e) 45%.
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Caro (a) aluno (a), geralmente, o resultado de um experimento de probabilidade é uma contagem ou
medida. Quando isso ocorre, chamamos o resultado de variável aleatória. Uma variável aleatória
indica que    é determinado pelo acaso.
Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua:
Variável aleatória discreta: tem um número �nito ou contável de possíveis resultados a
serem listados;
Variável aleatória contínua: tem um número incontável de possíveis resultados,
representados por um intervalo na reta numérica.
Neste estudo, vamos nos aprofundar nas distribuições deprobabilidades discretas. Uma
distribuição de probabilidade discreta lista cada possível valor que a variável aleatória pode assumir
junto à sua probabilidade, de modo que cada distribuição de probabilidade deve satisfazer cada um
dos dois requisitos seguintes:
A probabilidade de cada valor da variável aleatória discreta é entre 0 e 1, inclusive, ou seja,
0\le P(x)\le 1;
A soma de todas as probabilidades é 1, ou seja, \sum{P(x)=1}.
Atente-se caro(a) aluno(a), ao fato de que as probabilidades representam frequências relativas,
assim, uma distribuição de probabilidades relativa pode ser gra�camente representada como um
histograma de frequência relativa.
Exemplo 4.12: encontre a distribuição discreta de probabilidade da variável “número de caras”
encontrada no lançamento de três moedas.
\Omega =\left\{ \left( ccc \right),\left( cck \right),\left( ckk \right),\left( ckc \right),\left( kck \right),\left(
kkc \right),\left( kkc \right),\left( kkk \right) \right\}.
x=\text{n }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ mero de caras}=0,1,2,3
Função de probabilidadeFunção de probabilidade
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x=0\to kkk
x=1\to kkc,kck,ckk
x=2\to cck,ckc,kcc
x=3\to ccc
Assim, podemos construir a seguinte distribuição de probabilidade:
 Caro (a) aluno (a), é possível medir o centro de uma distribuição de probabilidade com sua média,
além de medir a variabilidade com sua variância e seu desvio padrão.
A média de uma variável aleatória discreta é dada por:
\mu =\sum{\left[ x\cdot P(x) \right]}
Em que   é a variável aleatória discreta e   sua probabilidade correspondente.
Exemplo 4.13: um psicólogo aplicou um teste de personalidade aos 100 funcionários da empresa,
com vistas a identi�car características passivo-agressivas. Os funcionários receberam pontuações de
1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5 extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava
nenhuma das duas características. Os resultados encontram-se na Tabela 4.2:
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Tabela 4.2: escore e frequências – Exemplo 4.13
Fonte: Elaborada pela autora.
Temos que a pontuação média dos funcionários é de:
Assim, pode-se concluir que a média das características de personalidade dos funcionários da
empresa não é extremamente passiva e também não é extremamente agressiva.
A variância de uma variável aleatória discreta é:
{{\sigma }^{2}}=\sum{\left[ {{x}^{2}}\cdot P(x) \right]}-{{\mu }^{2}}
E o desvio padrão de uma variável aleatória discreta é:
\sigma =\sqrt{{{\sigma }^{2}}}=\sqrt{\sum{\left[ {{x}^{2}}\cdot P(x) \right]}-{{\mu }^{2}}}
Exemplo 4.13: encontre a variância e o desvio padrão para o teste de inventário de personalidades,
visto no Exemplo 4.12.Processing math: 10%
Para encontrar a variância e o desvio padrão, podemos fazer da seguinte forma:
Portanto, a variância é:
{{\sigma }^{2}}=9,89-{{(2,87)}^{2}}
=9,89-8,2369
=1,6531
E o desvio padrão é:
sigma =\sqrt{1,6531}
=1,2857
Isso signi�ca que a maioria dos valores de dados difere da média em não mais que 1,2857 pontos.
O valor esperado de uma variável aleatória discreta é igual à média da variável aleatória, ou seja:
E(x)=\mu =\sum{\left[ x\cdot P(x) \right]} .
Exemplo 4.14: em um sorteio, 1000 bilhetes são vendidos a R$ 2,00 cada, para prêmios de R$ 50,00,
R$ 100,00, R$ 250,00 e R$ 500,00. Você compra um bilhete. Qual é o valor esperado do seu lucro?
Para encontrar o lucro de cada prêmio, precisamos subtrair o preço do bilhete do prêmio. Assim,
podemos construir a seguinte distribuição de probabilidade para os possíveis lucros (ou resultados):Processing math: 10%
Logo, podemos encontrar o valor esperado:$\begin{align}
E(x)=\left( 48\cdot 0,001 \right)+\left( 98\cdot 0,001 \right)+\left( 248\cdot 0,001 \right)+\left( 498\cdot
0,001 \right)+\left( -2\cdot 0,996 \right)
=0,048+0,098+0,248+0,498-1,992
=-1,10
Como o valor esperado é negativo, você pode esperar perder uma média de R$ 1,10 por cada bilhete
que comprar.
praticarVamos Praticar
Uma empresa rastreia o número de vendas que os novos funcionários fazem todos os dias durante o
período de 90 dias de experiência:
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Assinale a alternativa que contenha a probabilidade de 3 vendas por dia:
a) 23,33%.
b) 10%.
c) 42%.
d) 17,8%.
e) 53,70%.
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Análise combinatória e probabilidade.
Igor Lauro Metz.
Editora: InterSaberes.
ISBN: 978-85-5972-685-5.
Comentário: Sugere-se a leitura do Capítulo 3, denominado
“probabilidades”.
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FILME
A grande aposta.
Ano: 2015.
Comentário: o �lme é baseado na história real do analista Michael
Lewis. Nele, quatro analistas, baseados em estatísticas e modelos de
previsão, conseguem antever um colapso bancário.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer disponível.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), nesta última unidade do material de “Estatística para Gestores” vimos a importância
da probabilidade, assim como suas inúmeras aplicações em situações cotidianas.
Vimos que, na probabilidade, o objeto de estudo são os fenômenos aleatórios, cujas repetições
apresentam resultados imprevisíveis. Logo, é uma ferramenta estatística muito utilizada quando se
trabalha com vários eventos relacionados a pesquisas empresariais, governamentais e de
instituições de ensino.
Assim, apresentamos a de�nição de espaço amostral, sendo todos os resultados possíveis de um
experimento, de modo que o evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Também
aprendemos a operar com eventos por meio da regra da adição e da multiplicação.
Finalizamos os estudos com a função de probabilidade.
referências
Referências Bibliográ�cas
BONAFINI, F. C. Estatística. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. 2 ed. Curitiba: InterSaberes, 2018.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 4 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6 ed. São Paulo: Editora
da Universidade de São Paulo, 2008.
METZ, L. I. Análise combinatória e probabilidade. Curitiba: InterSaberes, 2018.
MONTGOMERY, D. D.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 4 ed.
São Paulo: LTC, 2006.
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
VIEIRA, S. Estatística básica. São Paulo: Cengage Learning, 2012.Processing math: 10%
IMPRIMIR
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