METODOS TEMA 5

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Tema 5: Distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias discretas 
Nos temas anteriores, estudamos as regras básicas para o cálculo de probabilidades de eventos 
simples. A distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias discretas é representada por um 
gráfico, tabela ou fórmula que especifica a probabilidade associada com cada valor possível que a 
variável aleatória pode assumir (SINGPURWALLA, 2013). 
As análises das distribuições de probabilidades possibilitam a construção de modelos que nos 
auxiliam no entendimento de fenômenos do mundo real. Esse tema tratará do conceito de função de 
probabilidade, de algumas medidas resumo para variáveis aleatórias discretas e de um dos principais 
modelos para casos onde há o interesse em investigar a ocorrência de sucesso ou fracasso de um 
determinado evento: a distribuição binomial. 
Função de probabilidade 
Denomina-se função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X que admite 
x x x1 2 3, , ...
 
como possíveis valores aquela que relaciona cada valor de 
ix
 com a sua probabilidade de ocorrência, 
ou seja, 
   i ip x P X x 
. Segundo Martins (2010), algumas importantes propriedades da função de 
probabilidade são: 
a.  i ip x para todos x 0, 
b. 
 i
i
p x



1
1
 
Nesse caso, a distribuição de probabilidade de X é representada através de pares
 i ix p x  ;
, 
i 1,2,3...
, os quais podem ser expressos por meio de uma tabela, um gráfico ou uma fórmula. 
Valor esperado ou média de uma variável aleatória discreta 
Um importante parâmetro a ser definido é a média de uma variável aleatória discreta: 
x( )
. 
Suponha que X represente uma variável aleatória discreta, ou seja, possui um número finito de valores 
kx x x x1 2 3, , ...
. Assim, o valor esperado de X (ou esperança matemática de X) ou simplesmente a média de 
X é dada por (MARTINS, 2010): 
   
k
x i i
i
E x x p x

  ( )
1
 
Clique no link a seguir e assista a um vídeo que traz uma explicação aprofundada sobre a 
distribuição de probabilidade. 
https://www.youtube.com/watch?v=V2sfnVikFXA 
 
Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta 
Da mesma forma que definimos a média de uma variável aleatória discreta, definimos o grau de 
dispersão desses valores em torno da média, denominado variância de uma variável aleatória discreta 
x
2
( )
. Assim, seja X uma variável aleatória discreta, a variância de X é dada por (MARTINS, 2010): 
   x xVar x E x      
22
( ) ( ) 
Expandindo a expressão acima, alcançamos a seguinte expressão: 
x xE x    
2 2 2
( ) ( ),
 sendo: 
   
k k
i i x i i
i i
E x x p x e x p x
 
       
2 2
( )
1 1
 
 
Analogamente ao conceito de desvio padrão, já discutido na aula 1, pode-se definir o desvio 
padrão de uma variável aleatória discreta 
x( )
como a raiz quadrada positiva da variância, sendo 
expressa por: 
x x  
2
( ) ( ) .
 
Distribuição binomial 
Considere uma sequência de ensaios onde se deseja determinar a ocorrência de sucesso ou 
fracasso de determinado evento, ou seja, uma sequência de ensaios de Bernoulli. Essa sequência deve 
seguir algumas premissas ou condições, que são (PORTAL ACTION, 2014): 
 
 
a. Admite-se que para cada ensaio há apenas duas possibilidades, ou seja, há a chance de 
ocorrência (sucesso (S)) e não ocorrência (fracasso (F)). 
b. Os ensaios são independentes, isso é, o resultado de um ensaio não afeta de maneira alguma o 
resultado de qualquer outro ensaio. 
c. A probabilidade ocorrência (S) será expressa por p e é considerada a mesma para cada ensaio. 
Consequentemente, a probabilidade de não ocorrência será calculada por 1-p. 
A probabilidade de um ponto amostral 
com sucessos nos k primeiros ensaios e falhas 
nos n-k ensaios seguintes é: 
 
n kkp p

1
 
Observe que o número de pontos do 
espaço amostral que atende essa premissa é 
igual ao número de possibilidades com que se 
consegue escolher k ensaios para a ocorrência 
de sucesso entre o total de n ensaios, pois nos 
n-k ensaios deverão ocorrer falhas. 
 Este número pode ser expresso como o 
número de combinações de n elementos 
tomados k a k, ou seja: 
 
n n
k n kk
 
 
 
!
! !
 
 
Assim, para k n1,2,3... : 
 
   
n kknP X k p p
k
 
   
 
1
. 
De uma maneira mais formal, podemos definir uma distribuição binomial como (PORTAL ACTION, 
2014): seja X o número de sucessos obtidos na realização de n ensaios de Bernoulli independentes, 
diremos que X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, em que p é a probabilidade de sucesso 
em cada ensaio, se sua função de probabilidade for dada por: 
     
n kknp x P X k p p
k
 
    
 
1 .
 
Clique no link a seguir e tenha mais informações sobre a distribuição binomial. 
 https://www.youtube.com/watch?v=oe2NBKv572U 
Exemplo (BUSSAB e MORETTIN, 2011): Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de 
um lote contendo 500 peças. Qual é a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 
10% das peças do lote são defeituosas? 
Solução: Neste caso temos que n = 10 ensaios de Bernoulli, cada um com P(S) = P(peça 
defeituosa) = p = 0,1, ou seja, a probabilidade de ocorrência do evento ou sucesso é representada 
como a ocorrência de uma peça defeituosa. Assim, k = 10, pois se espera sucesso em todos os ensaios 
realizados. Se X indicar o número de peças defeituosas na amostra, queremos calcular P (X = 10). 
Através da definição da distribuição binomial temos: 
   P X
 
    
 
10 1010 101010 0,1 1 0,1 0,1 .
10
 
Logo, a probabilidade de que todas as peças sejam defeituosas é de 
100,1
.