AP4 GPI Métodos Quantitativos

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Métodos Quantitativos
Aula Prática 4
Prof. Jéderson da Silva
Organização da Aula
� Exercício 1: Teste de 
hipótese para existência de 
correlação linear de Pearson
� Exercício 2: Regressão 
linear simples
� Exercício 3: Regressão 
linear simples
� Exercício 4: ANOVA com 
um fator – sem interação 
entre os grupos
Exercício 1
� Suponha que dados sejam 
obtidos a partir de 20 pares (x, y) 
e que o coeficiente de correlação 
para a amostra seja 0,75. Teste 
a hipótese de que contra
, com um nível de 
significância de 5%
Solução
� Com base nos dados do exemplo:
� Dados:
� Etapas do teste de hipótese 
de correlação
1. X
2.
3. Determinar RA e RC
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4. Cálculo do valor da variável
5. Conclusão: Como 
podemos rejeitar a hipótese 
nula e concluir que o 
coeficiente de correlação 
é maior do que zero
Exercício 2
� Um artigo tomou uma amostra do 
Rio Holston abaixo de Kingport, 
Tennessee, durante o mês de 
agosto de 1977. O teste de 
demanda bioquímica de oxigênio 
(DBO) foi conduzido durante um 
período de tempo dado em dias
� Os dados resultantes são 
mostrados a seguir:
Tempo (dias): 1 2 4 6 
8 10 12 14 16 18 20
DBO (mg/litro): 0,6 0,7 
1,5 1,9 2,1 2,6 2,9 
3,7 3,5 3,7 3,8 
a) Considerando que um 
modelo de regressão seja 
adequado, ajuste o modelo 
de regressão relacionando 
DBO (y) com o tempo (x) 
b) Calcule o estimador da 
variância
c) Que variação no DBO 
médio é esperada quando 
o tempo varia por 3 dias?
d) Qual é a estimativa do 
nível esperado de DBO 
para um tempo de 15 dias?
e) Calcule o coeficiente de 
correlação de Pearson
f) Calcule o coeficiente 
de determinação R². 
Explique o seu significado
g) Teste a significância da 
regressão com α = 0,01. 
Utilize ANOVA da regressão
h) Que conclusões você 
pode tirar?
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Solução (a)
� Através do MMQ:
� Onde:
� Logo:
� Portanto:
� Logo o modelo de regressão 
linear será dado por:
Solução (b)
� O cálculo da variância e do desvio 
padrão pode ser feito como:
Variância
Desvio
padrão
� Logo, numericamente temos:
Solução (c)
� Do modelo de regressão temos:
� Do conceito de variação e do 
seu cálculo:
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Solução (d)
� A estimativa do nível esperado 
de DBO para um tempo de 15 
dias pode ser posta como:
Solução (e)
� O coeficiente de correlação de 
Pearson pode ser dado por:
� Alternativamente:
Solução (f)
� O coeficiente de determinação 
R² pode ser obtido 
simplesmente elevando-se 
ao quadrado o coeficiente 
de correlação de Pearson
Solução (g)
� Utilizando a ANOVA da 
regressão para testar a 
significância da regressão
� Dados:
• p = 2 = número de variáveis 
do modelo
• n = 11 = número total de 
observações
� Logo, utilizando os cálculos já 
realizados
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� Para 1% de significância:
� Como rejeita-se 
a hipótese nula
Exercício 3
� Um artigo apresentou dados 
sobre a resistência a compressão, 
x, e permeabilidade intrínseca, y, 
de várias misturas e curas do 
concreto. Um sumário das 
grandezas é: 
� Considere que as duas variáveis 
estejam relacionadas por um 
modelo de regressão linear 
simples
a) Calcule as estimativas 
de mínimos quadrados da 
inclinação e da interseção. 
Calcule o estimador da variância
b) Suponha que o valor 
observado da permeabilidade 
em x = 3,7 seja y = 46,1. 
Calcule o valor do resíduo 
correspondente
c) Teste a significância da 
regressão, usando um nível 
de significância de 5%. Você 
pode concluir que o modelo 
especifica uma relação linear 
útil entre as variáveis?
d) Calcule o coeficiente 
de correlação linear 
de Pearson
e) Calcule o coeficiente 
de determinação R²
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Solução (a)
� Através do MMQ:
� Onde:
� Logo:
� Logo o modelo de regressão 
linear será dado por:
� Portanto:
Variância
Desvio
padrão
� O cálculo da variância e do desvio 
padrão pode ser feito como:
� Logo, numericamente temos:
Solução (b)
� Do conceito de resíduo e do seu 
cálculo:
� Do modelo de regressão temos:
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Solução (c)
� Utilizando a ANOVA da 
regressão para testar a 
significância da regressão
� Dados:
• p = 2 = número de 
variáveis do modelo
• n = 14 = número total 
de observações
� Logo, utilizando os cálculos já 
realizados
� Para 5% de significância:
� Como rejeita-se 
a hipótese nula 
Solução (d)
� O coeficiente de correlação de 
Pearson pode ser dado por:
� Alternativamente:
Solução (e)
� O coeficiente de determinação 
R² pode ser obtido 
simplesmente elevando-se 
ao quadrado o coeficiente 
de correlação de Pearson
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Exercício 4
� Considere um experimento de 
resistência à tração do papel. 
Utilize a análise de variância para 
testar a hipótese de que diferentes 
concentrações de madeira de lei 
não afetam a resistência média 
à tração do papel. Os dados são 
mostrados a seguir
Resistência (psi) à tração 
do papel
� Utilize um nível de significância 
de 1%
Solução
1. Estabelecer o teste de hipótese
ao nível de significância de 
1% a concentração de madeira 
de lei não altera a resistência 
média à tração do papel
a concentração de madeira 
de lei altera a resistência média 
à tração do papel
2.
3.
4.
5. Determinar a região crítica 
e a região de aceitação
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6. Conclusão
� Com 99% de confiança, 
concluímos que a hipótese 
nula deve ser rejeitada, 
ou seja, a concentração 
da madeira de lei altera a 
resistência à tração do papel
Referências de Apoio
� MONTGOMERY, D. C. 
Estatística Aplicada 
e Probabilidade para 
Engenheiros. 5. ed. 
Editora LTC, 2011.