Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Parciais Elípticas

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Notas de Aula
Me´todos Nume´ricos para Equac¸o˜es
Diferenciais Parciais El´ıpticas
Rodney Josue´ Biezuner 1
Departamento de Matema´tica
Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Notas de aula do curso To´picos em Ana´lise: Me´todos Nume´ricos para EDPs El´ıpticas do Programa
de Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica, ministrado durante o primeiro semestre do ano de 2007.
15 de junho de 2007
1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
Suma´rio
1 Me´todo de Diferenc¸as Finitas 3
1.1 O Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Se´ries de Taylor e Diferenc¸as Finitas em Uma Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Discretizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Resoluc¸a˜o Nume´rica do Problema de Autovalor Unidimensional . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 O Caso Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 A Fo´rmula dos Cinco Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Existeˆncia e Unicidade da Soluc¸a˜o Discreta – Autovalores do Problema Bidimensional 10
1.2.3 Princ´ıpio do Ma´ximo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Convergeˆncia da Soluc¸a˜o Discreta para a Soluc¸a˜o Cla´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Discretizac¸o˜es de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Caso Bidimensional: A Fo´rmula dos Nove Pontos Compacta . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Diferenc¸as Finitas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Domı´nios Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es Discretas 33
2.1 Normas Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Matrizes Diagonalmente Dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Teorema dos Discos de Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Propriedade FC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Matrizes Irredut´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Invertibilidade de Matrizes de Discretizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.1 Esquemas de Diferenc¸as Finitas para o Intervalo e para o Retaˆngulo . . . . . . . . . . 48
2.6.2 Esquema de Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.3 Esquema de Shortley-Weller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Me´todos Iterativos para a Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares 50
3.1 Me´todos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Me´todo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Me´todo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.3 Me´todo SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.4 Comparac¸a˜o da Velocidade de Convergeˆncia dos Treˆs Me´todos . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.5 Me´todo de Jacobi Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Ana´lise de Convergeˆncia dos Me´todos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Convergeˆncia dos Me´todos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 Velocidade de Convergeˆncia dos Me´todos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Convergeˆncia para Matrizes Sime´tricas Positivas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1
Rodney Josue´ Biezuner 2
3.3 Convergeˆncia dos Me´todos Iterativos Lineares para as Matrizes de Discretizac¸a˜o . . . . . . . 61
3.3.1 Convergeˆncia do Me´todo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2 Convergeˆncia do Me´todo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3 Convergeˆncia do Me´todo SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.4 Convergeˆncia do Me´todo de Jacobi Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Me´todo do Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.1 Me´todos de Descida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.2 Me´todo da Descida Mais Acentuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.3 Me´todo do Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Convergeˆncia do Me´todo do Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Me´todos Multigrid 85
4.1 A Malha de Multigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Frequ¨eˆncias Altas e Baixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Suavizac¸a˜o do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1 Me´todo de Jacobi Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 O Ciclo de Duas Malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 O Ciclo Multigrid: Ciclos V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Me´todo dos Volumes Finitos 94
5.1 Leis de Conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.1 Lei de Conservac¸a˜o Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.2 Lei de Conservac¸a˜o em Va´rias Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.3 Relac¸o˜es Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 O Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 O Caso Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Linearizac¸a˜o do Termo Fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4.1 Termo Fonte do Tipo f (u) = Au+B com A < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4.2 Termo Fonte do Tipo f (u) = Au+B com A > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4.3 Termo Fonte do Tipo f (u) com f ′ (u) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Cap´ıtulo 1
Me´todo de Diferenc¸as Finitas
1.1 O Caso Unidimensional
Nesta sec¸a˜o, desenvolveremos um me´todo nume´rico de diferenc¸as finitas para resolver o problema de Dirichlet
para a equac¸a˜o de Poisson em uma dimensa˜o{ −u′′ = f (x) em [0, L] ,
u (0) = a, u (L) = b.
1.1.1 Se´ries de Taylor e Diferenc¸as Finitas em Uma Dimensa˜o
Seja ∆x > 0. Considere as seguintes expanso˜es de Taylor de uma func¸a˜o u em torno de um ponto x0,
respectivamente a` direita e a` esquerda de x0:
u(x0 +∆x) = u(x0) + u′(x0)∆x+
1
2!
u′′(x0)∆x2 +
1
3!
u′′′(x0)∆x3 + . . . , (1.1)
u(x0 −∆x) = u(x0)− u′(x0)∆x+ 12!u
′′(x0)∆x2 − 13!u
′′′(x0)∆x3 + . . . (1.2)
Da´ı,
u′(x0) =
u(x0 +∆x)− u(x0)
∆x
− 1
2!
u′′(x0)∆x− 13!u
′′′(x0)∆x2 − . . . ,
u′(x0) =
u(x0)− u(x0 −∆x)∆x
+
1
2!
u′′(x0)∆x− 13!u
′′′(x0)∆x2 + . . .
Isso fornece duas aproximac¸o˜es poss´ıveis para a primeira derivada u′(x0) de u em x0:
u′(x0) ≈ u(x0 +∆x)− u(x0)∆x , (1.3)
u′(x0) ≈ u(x0)− u(x0 −∆x)∆x . (1.4)
A primeira e´ chamada uma diferenc¸a progressiva e a segunda e´ uma diferenc¸a regressiva. Pela Fo´rmula
de Taylor com Resto, o erro destas aproximac¸o˜es e´ dado por
² = ±1
2
u′′(ξ)∆x = O(∆x),
onde x0 6 ξ 6 x0 +∆x no primeiro caso, e x0 −∆x 6 ξ 6 x0 no segundo caso.
3
Rodney Josue´ Biezuner 4
Por outro lado, se subtrairmos (1.2) de (1.1), obtemos
u′(x0) =
u(x0 +∆x)− u(x0 −∆x)
2∆x
− 1
3!
u′′′(x0)∆x2 − 15!u
(5)(x0)∆x4 − . . .
o que da´ uma outra aproximac¸a˜o poss´ıvel para a primeira derivada u′(x0) de u em x0:
u′(x0) ≈ u(x0 +∆x)− u(x0 −∆x)2∆x (1.5)
com erro
² = −1
6
u′′′(ξ)∆x2 = O(∆x2),
para algum x0−∆x 6 ξ 6 x0+∆x. Esta aproximac¸a˜o por diferenc¸a finita e´ chamada diferenc¸a centrada.
Ela e´ uma melhor aproximac¸a˜o que as aproximac¸o˜es laterais (progressiva e regressiva).
Se, ao inve´s, adicionarmos (1.1) e (1.2), obtemos
u′′(x0) =
u(x0 +∆x) + u(x0 −∆x)− 2u(x0)
∆x2
− 2
4!
u(4)(x0)∆x2 − 25!u
(6)(x0)∆x4 − . . .
o que fornece uma aproximac¸a˜o para a derivada segunda u′′(x0) de u em x0:
u′′(x0) ≈ u(x0 +∆x) + u(x0 −∆x)− 2u(x0)∆x2 (1.6)
com erro
² = − 1
12
u(4)(ξ)∆x2 = O(∆x2),
onde x0 − ∆x 6 ξ 6 x0 + ∆x. Esta aproximac¸a˜o e´ tambe´m chamada uma diferenc¸a centrada para a
derivada segunda.
1.1.2 Discretizac¸a˜o
Dividimos o intervalo [0, L] em n subintervalos de comprimento ∆x = L/n atrave´s de n−1 pontos interiores
uniformemente espac¸ados:
x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, . . . , xn−1 = (n− 1)∆x, xn = n∆x = L,
de modo que [0, L] = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ . . . ∪ [xn−1, xn]. Introduzimos a notac¸a˜o:
ui = u(xi),
fi = f (xi) .
Esta e´ uma discretizac¸a˜o uniforme do intervalo [0, L]. Uma vez discretizado o domı´nio da equac¸a˜o difer-
encial parcial, procedemos a` discretizac¸a˜o desta. Usando diferenc¸as centradas para cada ponto interior xi,
1 6 i 6 n− 1, temos
−ui−1 + 2ui − ui+1
∆x2
= fi. (1.7)
Para os pontos de fronteira, a condic¸a˜o de Dirichlet implica
u0 = a e un = b. (1.8)
Portanto, para encontrar a soluc¸a˜o discretizada temos que resolver o sistema linear com n − 1 equac¸o˜es a
n− 1 inco´gnitas: 
∆x−2 (2u1 − u2) = f1 + a∆x−2
∆x−2 (−u1 + 2u2 − u3) = f2
...
∆x−2 (−un−3 + 2un−2 − un−1) = fn−2
∆x−2 (−un−2 + 2un−1) = fn−1 + b∆x−2
,
Rodney Josue´ Biezuner 5
ou seja,
1
∆x2

2 −1
−1 2 −1
−1 . . . . . .
. . . . . . −1
−1 2 −1
−1 2


u1
u2
...
...
un−2
un−1

=

f1 + a∆x−2
f2
...
...
fn−2
fn−1 + b∆x−2

.
Esta e´ uma matriz tridiagonal sime´trica, esparsa. Ale´m disso, como veremos na pro´xima subsec¸a˜o, ela e´
positiva definida (isto e´, seus autovalores sa˜o positivos) e portanto possui uma inversa, o que garante a
existeˆncia e unicidade da soluc¸a˜o. Dada sua simplicidade, ela pode ser resolvida por eliminac¸a˜o gaussiana
ou sua inversa pode ser efetivamente calculada. Por exemplo, para n = 4, 5, 6 temos 2 −1 0−1 2 −1
0 −1 2
−1 =
 1 12 130 1 23
0 0 1
 12 0 00 23 0
0 0 34
 1 0 01
2 1 0
1
3
2
3 1
 = 1
4
 3 2 12 4 2
1 2 3
 ,

2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2

−1
=

1 12
1
3
1
4
0 1 23
2
4
0 0 1 34
0 0 0 1


1
2 0 0 0
0 23 0 0
0 0 34 0
0 0 0 45


1 0 0 0
1
2 1 0 0
1
3
2
3 1 0
1
4
2
4
3
4 1
 = 15

4 3 2 1
3 6 4 2
2 4 6 3
1 2 3 4


2 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 2

−1
=

1 12
1
3
1
4
1
5
0 1 23
2
4
2
5
0 0 1 34
3
5
0 0 0 1 45
0 0 0 0 1


1
2 0 0 0 0
0 23 0 0 0
0 0 34 0 0
0 0 0 45 0
0 0 0 0 56


1 0 0 0 0
1
2 1 0 0 0
1
3
2
3 1 0 0
1
4
1
2
3
4 1 0
1
5
2
5
3
5
4
5 1

=
1
6

5 4 3 2 1
4 8 6 4 2
3 6 9 6 3
2 4 6 8 4
1 2 3 4 5
 .
A forma da inversa no caso geral pode ser facilmente adivinhada.
1.1.3 Resoluc¸a˜o Nume´rica do Problema de Autovalor Unidimensional
Os autovalores de Dirichlet do laplaciano em [0, L] devem ser aproximados pelos autovalores da matriz
(n− 1)× (n− 1)
A =
1
∆x2

2 −1
−1 2 −1
−1 . . . . . .
. . . . . . −1
−1 2 −1
−1 2

quando n→∞ e correspondentemente ∆x→ 0.
Lembrando que as autofunc¸o˜es de Dirichlet do laplaciano no intervalo [0, L] sa˜o as func¸o˜es
Uj (x) = sen
jpix
L
,
Rodney Josue´ Biezuner 6
este fato sugere que os autovetores uj da matriz A sa˜o os vetores de coordenadas
Uj (x1) , Uj (x2) , . . . , Uj (xn−2) , Uj (xn−1) = Uj (∆x) , Uj (2∆x) , . . . , Uj ((n− 2)∆x) , Uj ((n− 1)∆x) ,
ou seja, como ∆x = L/n, os vetores
1
2
sin
θ
2
= cos θ
uj =
(
sen
jpi
n
, sen
2jpi
n
, . . . , sen
(n− 2) jpi
n
, sen
(n− 1) jpi
n
)
.
Usando identidades trigonome´tricas, vamos verificar que isso de fato acontece:
1.1 Lema. Os n− 1 autovalores da matriz A sa˜o
λj =
2
∆x2
(
1− cos jpi
n
)
=
4
∆x2
sen2
jpi
2n
, j = 1, . . . , n− 1, (1.9)
e os autovetores correspondentes sa˜o
uj =
(
sen
jpi
n
, sen
2jpi
n
, . . . , sen
(n− 2) jpi
n
, sen
(n− 1) jpi
n
)
, j = 1, . . . , n− 1. (1.10)
Prova. Temos

2 −1
−1 2 −1
−1 . . . . . .
. . . . . . −1
−1 2 −1
−1 2


sen
jpi
n
sen
2jpi
n
...
sen
(n− 2) jpi
n
sen
(n− 1) jpi
n

=

2 sen
jpi
n
− sen 2jpi
n
− sen jpi
n
+ 2 sen
2jpi
n
− sen 3jpi
n
...
− sen (n− 3) jpi
n
+ 2 sen
(n− 2) jpi
n
− sen (n− 1) jpi
n
− sen (n− 2) jpi
n
+ 2 sen
(n− 1) jpi
n

= 2
(
1− cos jpi
n
)

sen
jpi
n
sen
2jpi
n
...
sen
(n− 2) jpi
n
sen
(n− 1) jpi
n

,
pois
2 sen
jpi
n
− sen 2jpi
n
= 2 sen
jpi
n
− 2 sen jpi
n
cos
jpi
n
= 2
(
1− cos jpi
n
)
sen
jpi
n
,
Rodney Josue´ Biezuner 7
− sen (n− k − 1) jpi
n
+ 2 sen
(n− k) jpi
n
− sen (n− k + 1) jpi
n
= − sen
[
(n− k) jpi
n
− jpi
n
]
+ 2 sen
(n− k) jpi
n
− sen
[
(n− k) jpi
n
+
jpi
n
]
= − sen (n− k) jpi
n
cos
jpi
n
+ cos
(n− k) jpi
n
sen
jpi
n
+ 2 sen
(n− k) jpi
n
− sen (n− k) jpi
n
cos
jpi
n
− cos (n− k) jpi
n
sen
jpi
n
= 2
(
1− cos jpi
n
)
sen
(n− k) jpi
n
,
e
− sen (n− 2) jpi
n
+ 2 sen
(n− 1) jpi
n
= − sen
[
(n− 1) jpi
n
− jpi
n
]
+ 2 sen
(n− 1) jpi
n
= − sen (n− 1) jpi
n
cos
jpi
n
+ cos
(n− 1) jpi
n
sen
jpi
n
+ 2 sen
(n− 1) jpi
n
= − sen (n− 1) jpi
n
cos
jpi
n
− sen (n− 1) jpi
n
cos
jpi
n
+ 2 sen
(n− 1) jpi
n
= 2
(
1− cos jpi
n
)
sen
(n− 1) jpi
n
,
onde na penu´ltima identidade usamos o fato que
cos
(n− 1) jpi
n
sen
jpi
n
= − sen (n− 1) jpi
n
cos
jpi
n
porque
0 = sen jpi = sen
[
(n− 1) jpi
n
+
jpi
n
]
= sen
(n− 1) jpi
n
cos
jpi
n
+ cos
(n− 1) jpi
n
sen
jpi
n
.
¥
Os autovalores de A sa˜o positivos, portanto A e´ uma matriz positiva definida. Observe que, fixado j, se n e´
arbitrariamente grande enta˜o
cos
jpi
n
≈ 1− j
2pi2
2n2
,
pois o desenvolvimento em se´rie de Taylor da func¸a˜o cosseno em torno da origem e´
cosx = 1− 1
2
x2 +O
(
x3
)
;
tomando x = jpi/n para n suficientemente grande e desprezando os termos de terceira ordem, obtemosa
aproximac¸a˜o acima. Da´ı,
2
∆x2
(
1− cos jpi
n
)
=
2n2
L2
(
1− cos jpi
n
)
≈ 2n
2
L2
(
1−
[
1− j
2pi2
2n2
])
=
j2pi2
L2
,
de forma que os menores autovalores da matriz A sa˜o uma boa aproximac¸a˜o para os menores autovalores de
Dirichlet do laplaciano no intervalo [0, L]. Ja´ o maior autovalor da matriz A e´
λn−1 =
2
∆x2
(
1− cos (n− 1)pi
n
)
=
2n2
L2
(
1− cos (n− 1)pi
n
)
≈ 4n
2
L2
,
Rodney Josue´ Biezuner 8
que na˜o e´ uma boa aproximac¸a˜o para um autovalor do laplaciano. Vemos que se aumentarmos o nu´mero de
pontos de discretizac¸a˜o (malha mais refinada) obteremos melhores aproximac¸o˜es e uma quantidade maior de
autovalores pro´ximos aos autovalores do laplaciano. Para comparar, veja a tabela a seguir para os autovalores
do laplaciano no intervalo [0, pi]; na primeira coluna temos os autovalores exatos do laplaciano, enquanto que
na demais colunas os autovalores da matriz A, λj =
2n2
pi2
(
1− cos jpi
n
)
, com a linha superior indicando o
nu´mero n de subintervalos na malha
n = 11 n = 21 n = 31 n = 51 n = 101 n = 1001
1 0.993 221 21 0.998 136 38 0.999 144 44 0.999 683 82 0.999 919 37 0.999 999 18
4 3.892 419 95 3.970 248 82 3.986 325 21 3.994 943 16 3.998 710 15 3.999 986 87
9 8.462 720 39 8.849 945 24 8.930 889 79 8.974 415 97 8.993 471 18 8.999 933 51
16 14.333 863 96 15.528 221 28 15.782 100 25 15.919 213 41 15.979 370 36 15.999 789 87
25 21.030 205 54 23.855 895 28 24.469 653 89 24.802 991 47 24.949 649 29 24.999 486 99
36 28.009 247 34 33.646 940 78 34.904 404 68 35.592 050 94 35.895 629 79 35.998 936 22
49 34.705 588 92 44.682 641 99 46.979 277 93 48.245 465 23 48.806 722 35 48.998 029 23
64 40.576 732 50 56.716 479 58 60.570 369 11 62.715 235 6 63.670 436 30 63.996 637 97
81 45.147 032 93 69.479 637 52 75.538 215 24 78.946 473 26 80.472 391 97 80.994 614 71
100 48.046 231 68 82.687 007 94 91.729 225 95 96.877 607 56 99.196 334 56 99.991 792 02
1.2 O Caso Bidimensional
Nesta sec¸a˜o, desenvolveremos um me´todo nume´rico de diferenc¸as finitas para resolver o problema de Dirichlet
para a equac¸a˜o de Poisson no retaˆngulo (0, a)× (0, b){ −∆u = f (x, y) em (0, a)× (0, b) ,
u = 0 sobre ∂ ((0, a)× (0, b)) ,
e para o problema de autovalor de Dirichlet para o laplaciano no retaˆngulo{ −∆u = λu em (0, a)× (0, b) ,
u = 0 sobre ∂ ((0, a)× (0, b)) .
1.2.1 A Fo´rmula dos Cinco Pontos
Vamos estabelecer alguma notac¸a˜o. Denote
Ω = (0, a)× (0, b) = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b} .
Ao discretizar Ω atrave´s dos pontos
(xi, yj) = (i∆x, j∆y) , 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m
onde
∆x =
a
n
, ∆y =
b
m
,
substitu´ımos o domı´nio Ω pela malha (ou gride) uniforme
Ωd = {(x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 1 6 i 6 n− 1, 1 6 j 6 m− 1} .
Sua fronteira discretizada e´ o conjunto
∂Ωd = {(x, y) ∈ ∂Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m} ,
Rodney Josue´ Biezuner 9
de forma que
Ωd =
{
(x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m} .
A equac¸a˜o de Poisson
−uxx − uyy = f (x, y)
pode ser agora discretizada. Denotamos
ui,j = u (xi, yj) ,
fi,j = f (xi, yj) .
Aproximamos cada derivada parcial de segunda ordem pela sua diferenc¸a centrada, obtendo
−uxx ≈ −ui−1,j + 2ui,j − ui+1,j∆x2 ,
−uyy ≈ −ui,j−1 + 2ui,j − ui,j+1∆y2 .
Portanto, a equac¸a˜o de Poisson discretizada toma a forma
−ui−1,j + 2ui,j − ui+1,j
∆x2
+
−ui,j−1 + 2ui,j − ui,j+1
∆y2
= fi,j . (1.11)
Como a func¸a˜o u e´ calculada em cinco pontos, esta equac¸a˜o e´ chamada a fo´rmula dos cinco pontos.
Para cada ponto interior da malha obtemos uma equac¸a˜o, logo temos um sistema linear de (n− 1) (m− 1)
equac¸o˜es com o mesmo nu´mero de inco´gnitas. Diferente do caso unidimensional, no entanto, na˜o existe uma
maneira natural de ordenar os pontos da malha, logo na˜o podemos obter imediatamente uma representac¸a˜o
matricial para o problema discretizado. Precisamos antes escolher uma ordenac¸a˜o para os pontos da malha,
e como existem va´rias ordenac¸o˜es poss´ıveis, existem va´rias matrizes associadas.
Talvez a mais simples ordenac¸a˜o e´ a ordem lexicogra´fica induzida de Z2. Nesta ordem, os pontos da
malha sa˜o percorridos linha por linha, da esquerda para a direita, de baixo para cima:
u1,1, u2,1, . . . , un−1,1, u1,2, u2,2, . . . , un−1,2, . . . . . . , u1,m−1, u2,m−1, . . . , un−1,m−1.
Neste caso, a matriz associada ao sistema linear e´ uma matriz (n− 1) (m− 1) × (n− 1) (m− 1) que pode
ser escrita como uma matriz de (m− 1)× (m− 1) blocos de dimensa˜o (n− 1)× (n− 1) na forma
A =

B − 1
∆y2
I
− 1
∆y2
I B − 1
∆y2
I
− 1
∆y2
I
. . . . . .
. . . . . . − 1
∆y2
I
− 1
∆y2
I B − 1
∆y2
I
− 1
∆y2
I B

(m−1)×(m−1)
Rodney Josue´ Biezuner 10
onde I e´ a matriz identidade (n− 1)× (n− 1) e B e´ a matriz (n− 1)× (n− 1) dada por
2
(
1
∆x2
+
1
∆y2
)
− 1
∆x2
− 1
∆x2
2
(
1
∆x2
+
1
∆y2
)
− 1
∆x2
− 1
∆x2
. . . . . .
. . . . . . − 1
∆x2
− 1
∆x2
2
(
1
∆x2
+
1
∆y2
)
− 1
∆x2
− 1
∆x2
2
(
1
∆x2
+
1
∆y2
)

(n−1)×(n−1)
Observe que
aii = 2
(
1
∆x2
+
1
∆y2
)
para todo 1 6 i 6 (n− 1) (m− 1), enquanto que
aij = − 1∆y2
se o ponto j e´ vizinho a` esquerda ou a` direita do ponto i e
aij = − 1∆x2
se o ponto j e´ vizinho acima ou abaixo do ponto i. Por exemplo, no caso especial ∆x = ∆y, se n = 4 e m = 6
(ou seja 3× 5 = 15 pontos internos na malha e uma matriz 15× 15), temos
A =
1
∆x2

4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4

Observe que a matriz A e´ uma matriz sime´trica, pentadiagonal e esparsa.
1.2.2 Existeˆncia e Unicidade da Soluc¸a˜o Discreta – Autovalores do Problema
Bidimensional
Denotaremos por ud a func¸a˜o u|Ωd , isto e´, ud e´ a discretizac¸a˜o da func¸a˜o u no domı´nio discretizado Ωd.
Vamos definir o operador laplaciano discreto obtido a partir da fo´rmula dos cinco pontos por
−∆dud = −
(
ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j
∆x2
+
ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1
∆y2
)
. (1.12)
Rodney Josue´ Biezuner 11
de modo que a discretizac¸a˜o do problema{ −∆u = f em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
e´ o problema { −∆dud = fd em Ωd,
ud = 0 sobre ∂Ωd.
(1.13)
Para estabelecer a existeˆncia e unicidade da soluc¸a˜o discreta, provaremos que a matriz de discretizac¸a˜o A,
que e´ uma matriz sime´trica, e´ tambe´m uma matriz positiva definida, pois isso implica em particular que A
e´ invert´ıvel.
Lembrando que as autofunc¸o˜es de Dirichlet do laplaciano no retaˆngulo [0, a]× [0, b] sa˜o as func¸o˜es
Ukl (x, y) = sen
kpix
a
sen
lpiy
b
,
este fato sugere que os autovetores ukl da matriz A na ordem lexicogra´fica sa˜o os vetores de coordenadas
Ukl (x1, y1) , Ukl (x2, y1) , . . . , Ukl (xn−1, y1) ,
Ukl (x1, y2) , Ukl (x2, y2) , . . . , Ukl (xn−1, y2) ,
...
Ukl (x1, ym−1) , Ukl (x2, ym−1) , . . . , Ukl (xn−1, ym−1)
= Ukl (∆x,∆y) , Ukl (2∆x,∆y) , . . . , Ukl ((n− 1)∆x,∆y) ,
Ukl (∆x, 2∆y) , Ukl (2∆x, 2∆y) , . . . , Ukl ((n− 1)∆x, 2∆y) ,
...
Ukl (∆x, (m− 1)∆y) , Ukl (2∆x, (m− 1)∆y) , . . . , Ukl ((n− 1)∆x, (m− 1)∆y) ,
ou seja, como ∆x = a/n e ∆y = b/m, os vetores
ukl =
(
sen
kpi
n
sen
lpi
m
, sen
2kpi
n
sen
lpi
m
, . . . , sen
(n− 1) kpi
nsen
lpi
m
,
sen
kpi
n
sen
2lpi
m
, sen
2kpi
n
sen
2lpi
m
, . . . , sen
(n− 1) kpi
n
sen
2lpi
m
,
. . . ,
sen
kpi
n
sen
(m− 1) lpi
m
, sen
2kpi
n
sen
(m− 1) lpi
m
, . . . , sen
(n− 1) kpi
n
sen
(m− 1) lpi
m
)
.
1.2 Lema. Os (n− 1)× (m− 1) autovalores da matriz A sa˜o
λkl = 2
[
1
∆x2
(
1− cos kpi
n
)
+
1
∆y2
(
1− cos lpi
m
)]
= 4
(
1
∆x2
sen2
kpi
2n
+
1
∆y2
sen2
lpi
2m
)
, (1.14)
k = 1, . . . , n− 1, l = 1, . . . ,m− 1, e os autovetores correspondentes sa˜o
ukl =
(
sen
kpi
n
sen
lpi
m
, sen
2kpi
n
sen
lpi
m
, . . . , sen
(n− 1) kpi
n
sen
lpi
m
,
sen
kpi
n
sen
2lpi
m
, sen
2kpi
n
sen
2lpi
m
, . . . , sen
(n− 1) kpi
n
sen
2lpi
m
, (1.15)
. . . ,
sen
kpi
n
sen
(m− 1) lpi
m
, sen
2kpi
n
sen
(m− 1) lpi
m
, . . . , sen
(n− 1) kpi
n
sen
(m− 1) lpi
m
)
,
k = 1, . . . , n− 1, l = 1, . . . ,m− 1.
Rodney Josue´ Biezuner 12
Prova. Embora a demonstrac¸a˜o deste lema possa ser feita de maneira ana´loga a` do Lema 1.1, usando
identidades trigonome´tricas, daremos uma demonstrac¸a˜o diferente. Lembrando que as autofunc¸o˜es e os
autovalores de Dirichlet do laplaciano no retaˆngulo sa˜o facilmente obtidos atrave´s do me´todo de separac¸a˜o
de varia´veis, encontraremos os autovalores da matriz A usando um me´todo de separac¸a˜o de varia´veis discreto
para achar os autovalores do laplaciano discreto
−
(
ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j
∆x2
+
ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1
∆y2
)
= λui,j . (1.16)
Em particular, este me´todo na˜o depende da maneira como os pontos da malha sa˜o ordenados (na˜o depende
da matriz A usada para representar o laplaciano discreto). Como no me´todo de separac¸a˜o de varia´veis
cont´ınuo, assumimos que as soluc¸o˜es da equac¸a˜o discreta acima sa˜o produtos da forma
ui,j = F (i)G (j) , (1.17)
onde F e G sa˜o func¸o˜es de uma varia´vel inteira. Substituindo esta expressa˜o na equac¸a˜o de Helmholtz
discreta, obtemos
F (i− 1)G (j)− 2F (i)G (j) + F (i+ 1)G (j)
∆x2
+
F (i)G (j − 1)− 2F (i)G (j) + F (i)G (j + 1)
∆y2
= −λF (i)G (j) .
Dividindo esta equac¸a˜o por F (i)G (j), segue que
F (i− 1)− 2F (i) + F (i+ 1)
∆x2F (i)
+
G (j − 1)− 2G (j) +G (j + 1)
∆y2G (j)
= −λ.
Separando as varia´veis, conclu´ımos que cada um dos quocientes acima e´ independente de i ou de j, isto e´,
eles sa˜o constantes:
F (i− 1)− 2F (i) + F (i+ 1)
F (i)
= A, (1.18)
G (j − 1)− 2G (j) +G (j + 1)
G (j)
= B, (1.19)
onde as constantes α, β esta˜o relacionadas pela identidade
A
∆x2
+
B
∆y2
= −λ. (1.20)
Estas equac¸o˜es podem ser escritas como fo´rmulas de recorreˆncia (ana´logas a`s equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
obtidas no me´todo de separac¸a˜o de varia´veis cont´ınuo)
F (i+ 1)− (A+ 2)F (i) + F (i− 1) = 0,
G (j − 1)− (B + 2)G (j) +G (j + 1) = 0.
Para resolveˆ-las, e´ mais conveniente trabalhar com as constantes
2α = A+ 2, 2β = B + 2.
Desta forma, as equac¸o˜es para F e G tornam-se
F (i− 1)− 2αF (i) + F (i+ 1) = 0, (1.21)
G (j − 1)− 2βG (j) +G (j + 1) = 0. (1.22)
Rodney Josue´ Biezuner 13
Observe que
λ = 2
(
1− α
∆x2
+
1− β
∆y2
)
. (1.23)
Vamos resolver a equac¸a˜o para F , ja´ que a equac¸a˜o para G e´ completamente ana´loga. Substituindo em
(1.21) uma soluc¸a˜o da forma
F (i) = zi (1.24)
obtemos
zi−1 − 2αzi + zi+1 = 0,
donde, dividindo por zi−1 extra´ımos a equac¸a˜o quadra´tica (ana´loga a` equac¸a˜o indicial)
z2 − 2αz + 1 = 0. (1.25)
As duas ra´ızes sa˜o
z± = α±
√
α2 − 1,
com z+ + z− = 2α e z+z− = 1. Portanto, a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o (1.21) e´
F (i) = c1zi+ + c2z
i
−
para algumas constantes c1, c2. Para determinarmos estas constantes e tambe´m α, aplicamos as condic¸o˜es
de fronteira, que implicam
F (0) = F (n) = 0.
A primeira destas por sua vez implica que c1 = −c2, logo
F (i) = c
(
zi+ − zi−
)
. (1.26)
Como a equac¸a˜o para F e´ homogeˆnea, a constante c e´ arbitra´ria. Aplicando a segunda, segue que
zn+ = z
n
−,
ou, como z+z− = 1,
z2n+ = 1
Consequ¨entemente, z+ e´ uma 2n-e´sima raiz complexa de 1:
z+ = eijpi/n (1.27)
para algum inteiro 1 6 k 6 2n − 1, onde i = √−1. Como z− = 1/z+, podemos restringir 0 6 k 6 n − 1 e
(1.26) produz todas as soluc¸o˜es na˜o-triviais F de (1.21).
Portanto,
α =
z+ + z−
2
=
eipik/n + e−ipik/n
2
= cos
kpi
n
, 0 6 k 6 n− 1,
e, escolhendo c = 1/2,
Fk (i) = eipiki/n − e−ipiki/n = sen ikpi
n
.
Analogamente,
β = cos
lpi
m
, 0 6 l 6 m− 1,
e
Gl (j) = sen
jlpi
m
.
Rodney Josue´ Biezuner 14
Segue que os autovalores sa˜o
λkl = 2
[
1
∆x2
(
1− cos kpi
n
)
+
1
∆y2
(
1− cos lpi
m
)]
e as coordenadas das autofunc¸o˜es associadas sa˜o dadas por
(ukl)i,j = Fk (i)Gl (j) = sen
ikpi
n
sen
jlpi
m
.
¥
1.3 Teorema. (Existeˆncia e Unicidade da Soluc¸a˜o Discreta) Seja Ω = (0, a) × (0, b). Enta˜o o problema
discretizado { −∆dud = fd em Ωd,
ud = 0 sobre ∂Ωd,
possui uma u´nica soluc¸a˜o.
Prova. Pelo lema anterior, os autovalores da matriz sime´trica A sa˜o positivos, logo ela e´ uma matriz
invert´ıvel. ¥
1.2.3 Princ´ıpio do Ma´ximo Discreto
Para obter uma estimativa a priori para a equac¸a˜o de Poisson discretizada, e com isso provar a convergeˆncia
da soluc¸a˜o discreta para a soluc¸a˜o cla´ssica, usaremos um princ´ıpio do ma´ximo discreto que enunciaremos e
provaremos nesta subsec¸a˜o.
1.4 Lema. (Propriedade do Valor Me´dio) Se ∆dud = 0, enta˜o para pontos interiores vale
ui,j =
∆x2 (ui,j−1 + ui,j+1) + ∆y2 (ui−1,j + ui+1,j)
2 (∆x2 +∆y2)
.
Em particular, se ∆x = ∆y, enta˜o para pontos interiores vale
ui,j =
ui,j−1 + ui,j+1 + ui−1,j + ui+1,j
4
.
1.5 Teorema. (Princ´ıpio do Ma´ximo Discreto) Se ∆dud > 0, o ma´ximo de ud em Ωd e´ atingido na fronteira
∂Ωd; se o ma´ximo de ud e´ atingido no interior, enta˜o ud e´ constante.
Se ∆dud 6 0, o mı´nimo de ud em Ωd e´ atingido na fronteira ∂Ωd; se o mı´nimo de ud e´ atingido no
interior, enta˜o ud e´ constante.
Prova. Primeiro provaremos para ∆x = ∆y, para ilustrar a analogia com o caso cont´ınuo. ∆dud > 0 implica
ui,j 6
ui,j−1 + ui,j+1 + ui−1,j + ui+1,j
4
.
Logo, um ponto interior e´ um ma´ximo local, isto e´,
ui,j > ui,j−1, ui,j+1, ui−1,j , ui+1,j
(ou seja, e´ um ma´ximo em relac¸a˜o aos seus quatro vizinhos), somente se cada um dos seus quatro vizinhos
assume este mesmo valor ma´ximo, e a desigualdade torna-se uma identidade. Aplicando este argumento a
todos os pontos da malha, conclu´ımos que ou na˜o existe um ma´ximo interior, e portanto o ma´ximo e´ atingido
Rodney Josue´ Biezuner 15
na fronteira, ou existe um ma´ximo interior e todos os pontos da malha assumem o mesmo valor, isto e´, ud e´
constante.
No caso geral ∆x 6= ∆y, se ∆dud > 0 temos(
1
∆x2
+
1
∆y2
)
ui,j 6
1
2
(
ui,j−1 + ui,j+1
∆y2
+
ui−1,j + ui+1,j
∆x2
)
.
Se ui,j e´ um ma´ximo local, segue que(
1
∆x2
+
1
∆y2
)
ui,j 6
1
2
(
ui,j + ui,j
∆y2
+
ui,j + ui,j
∆x2
)
=
1
2
(
1
∆x2
+
1
∆y2
)
ui,j ,
logo nenhum dos seus quatro vizinhos pode assumir um valor menor que ui,j , isto e´, cada um dos quatro
vizinhos assume o mesmo valor ma´ximo e o argumento prossegue como no caso anterior. O caso ∆dud 6 0
e´ provado considerando-se −ud. ¥
1.2.4 Convergeˆncia da Soluc¸a˜o Discreta para a Soluc¸a˜o Cla´ssica
Por simplicidade, trabalharemos no quadrado unita´rio, isto e´, Ω = (0, 1) × (0, 1). Consideraremos a norma
do ma´ximo discreta para func¸o˜es vd definidas no domı´nio discretizado Ωd:
‖vd‖∞ = max06i6n
06j6m
|vi,j | .
Em primeiro lugar, obtemos uma estimativa a priori discreta (que tambe´m pode ser visto como um resultadode regularidade discreto) para soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Poisson discreta com condic¸a˜o de Dirichlet homogeˆnea:
1.6 Lema. (Estimativa a Priori) Seja Ω = (0, 1)2. Seja ud uma soluc¸a˜o de{ −∆dud = fd em Ωd,
ud = 0 sobre ∂Ωd.
Enta˜o
‖ud‖∞ 6
1
8
‖∆dud‖∞ . (1.28)
Prova. Considere a func¸a˜o
w (x, y) =
1
4
[(
x− 1
2
)2
+
(
y − 1
2
)2]
e sua versa˜o discretizada wd definida por
wi,j =
1
4
[(
xi − 12
)2
+
(
yj − 12
)2]
. (1.29)
Enta˜o
w > 0 e ∆w = 1,
e tambe´m
wd > 0 e ∆dwd = 1, (1.30)
Rodney Josue´ Biezuner 16
pois
∆dwd =
wi−1,j − 2wi,j + wi+1,j
∆x2
+
wi,j−1 − 2wi,j + wi,j+1
∆y2
=
1
4
[(
xi−1 − 12
)2 + (yj − 12)2 − 2 (xi − 12)2 − 2 (yj − 12)2 + (xi+1 − 12)2 + (yj − 12)2
∆x2
+
(
xi − 12
)2 + (yj−1 − 12)2 − 2 (xi − 12)2 − 2 (yj − 12)2 + (xi − 12)2 + (yj+1 − 12)2
∆y2
]
=
1
4
[(
xi−1 − 12
)2 − 2 (xi − 12)2 + (xi+1 − 12)2
∆x2
+
(
yj−1 − 12
)2 − 2 (yj − 12)2 + (yj+1 − 12)2
∆y2
]
=
1
4
[(
xi −∆x− 12
)2 − 2 (xi − 12)2 + (xi +∆x− 12)2
∆x2
+
(
yj −∆y − 12
)2 − 2 (yj − 12)2 + (yj +∆y − 12)2
∆y2
]
=
1
4
[(
x2i +∆x
2 + 14 − 2xi∆x− xi +∆x
)− 2 (x2i − xi + 14)+ (x2i +∆x2 + 14 + 2xi∆x− xi −∆x)
∆x2
+
(
y2j +∆y
2 + 14 − 2yj∆y − yj +∆y
)− 2 (y2j − yj + 14)+ (y2j +∆y2 + 14 + 2yj∆y − yj −∆y)
∆y2
]
=
1
4
(
2∆x2
∆x2
+
2∆y2
∆y2
)
= 1.
Considere agora a func¸a˜o
ud − ‖∆dud‖∞ wd. (1.31)
Temos enta˜o
∆d (ud − ‖∆dud‖∞ wd) = ∆dud − ‖∆dud‖∞∆dwd
= ∆dud − ‖∆dud‖∞
6 0.
Segue do Princ´ıpio do Ma´ximo Discreto que a func¸a˜o ud − ‖∆dud‖∞ wd assume o seu mı´nimo na fronteira.
Este u´ltimo e´ igual a −‖∆dud‖∞max∂Ωd wd. Por sua vez, o ma´ximo de wd na fronteira e´ menor ou igual ao
ma´ximo de w em ∂Ω, dado por
max
06x61
1
4
(
x− 1
2
)2
= max
06x61
1
4
(
y − 1
2
)2
=
1
8
.
Portanto, conclu´ımos que
ui,j > ui,j − ‖∆dud‖∞ wi,j > −
1
8
‖∆dud‖∞ (1.32)
para todos i, j. Analogamente,
∆d (ud + ‖∆dud‖∞ wd) > 0
e a func¸a˜o ud + ‖∆dud‖∞ wd assume o seu ma´ximo na fronteira, igual a ‖∆dud‖∞max∂Ωd wd 6 18a, donde
ui,j 6 ui,j − ‖∆dud‖∞ wi,j 6
1
8
‖∆dud‖∞ (1.33)
para todos i, j. Reunindo as duas desigualdades, segue que
|ui,j | 6 18 ‖∆dud‖∞
para todos i, j, o que conclui a demonstrac¸a˜o. ¥
Rodney Josue´ Biezuner 17
1.7 Teorema. Seja Ω = (0, 1)2. Sejam u ∈ C4 (Ω) uma soluc¸a˜o cla´ssica para o problema de Dirichlet{ −∆u = f em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
e vd uma soluc¸a˜o do correspondente problema discretizado{ −∆dvd = fd em Ωd,
vd = 0 sobre ∂Ωd.
Enta˜o existe uma constante C > 0 independente de u tal que
‖ud − vd‖∞ 6 C
∥∥D4u∥∥
L∞(Ω)
(
∆x2 +∆y2
)
. (1.34)
Prova. A hipo´tese f ∈ C2,α (Ω) garante que u ∈ C4 (Ω). Lembre-se que
∥∥D4u∥∥
L∞(Ω) = sup
(x,y)∈Ω
p+q=4
∣∣∣∣ ∂4u∂xp∂yq (x, y)
∣∣∣∣ .
Pela Fo´rmula de Taylor,
∂2u
∂x2
(xi, yj) =
u(xi −∆x, yj)− 2u(xi, yj) + u(xi +∆x, yj)
∆x2
− 2
4!
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x2 − 25!
∂6u
∂x6
(xi, yj)∆x4 − . . .
=
ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j
∆x2
− 2
4!
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x2 − 25!
∂6u
∂x6
(xi, yj)∆x4 − . . . ,
∂2u
∂y2
(xi, yj) =
u(xi, yj −∆y)− 2u(xi, yj) + u(xi, yj +∆y)
∆y2
− 2
4!
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y2 − 25!
∂6u
∂y6
(xi, yj)∆y4 − . . .
=
ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1
∆y2
− 2
4!
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y2 − 25!
∂6u
∂y6
(xi, yj)∆y4 − . . . ,
donde
∆u (xi, yj) = (∆dud)ij −
1
3!
(
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x2 +
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y2
)
+O
(
∆x4,∆y4
)
. (1.35)
Como
−∆u (xi, yj) = f (xi, yj) ,
temos que
− (∆dud)i,j = (fd)i,j −
1
3!
(
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x2 +
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y2
)
+O
(
∆x4,∆y4
)
. (1.36)
Subtraindo desta equac¸a˜o a equac¸a˜o
− (∆dvd)i,j = (fd)i,j ,
obtemos
− (∆dud −∆dvd)i,j = −
1
3!
(
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x2 +
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y2
)
+O
(
∆x4,∆y4
)
,
o que implica
‖∆d (ud − vd)‖∞ 6
1
3!
∥∥D4u∥∥
L∞(Ω)
(
∆x2 +∆y2
)
+O
(
∆x4,∆y4
)
6 C
∥∥D4u∥∥
L∞(Ω)
(
∆x2 +∆y2
)
.
Usando a estimativa a priori do lema anterior, obtemos finalmente o resultado desejado. ¥
Rodney Josue´ Biezuner 18
Definic¸a˜o. Dizemos que as soluc¸o˜es do problema discretizado{ −∆dvd = fd em Ωd,
vd = 0 sobre ∂Ωd,
convergem para a soluc¸a˜o exata u do problema de Poisson{ −∆u = f em Ω,
u = 0 sobre ∂Ω,
com relac¸a˜o a` norma ‖·‖ se
‖ud − vd‖ → 0
quando ∆x,∆y → 0. Dizemos que a convergeˆncia e´ de ordem k (ou que o esquema de diferenc¸as
finitas e´ convergente de ordem k) se
‖ud − vd‖ = O
(
∆xk,∆yk
)
.
O Teorema 1.7 diz que o esquema de diferenc¸as finitas da fo´rmula de cinco pontos e´ um esquema convergente
na norma do sup de ordem 2, se u ∈ C4 (Ω). Maior regularidade da soluc¸a˜o u na˜o causa melhor convergeˆncia
no me´todo. Na verdade, a ordem de convergeˆncia da fo´rmula de cinco pontos ainda e´ 2 mesmo sob hipo´teses
mais fracas sobre a regularidade de u: basta assumir u ∈ C3,1 (Ω), ao inve´s de u ∈ C4 (Ω). No entanto,
regularidade menor que esta em u afeta negativamente a ordem de convergeˆncia da fo´rmula de cinco pontos.
Em geral, pode-se provar que se u ∈ Ck,α (Ω), 2 6 k 6 4, enta˜o existe uma constante C = C (k, α) tal que
‖ud − vd‖∞ 6 C
(
∆xk+α−2 +∆yk+α−2
) ‖u‖Ck,α(Ω) . (1.37)
Para uma demonstrac¸a˜o destes resultados, veja [Hackbusch], pa´gs. 60-61. Se quisermos uma melhor ordem
de convergeˆncia para as soluc¸o˜es discretizadas, e´ necessa´rio considerar outras forma de discretizar o laplaciano
atrave´s de diferenc¸as finitas. Isto sera´ feito na pro´xima sec¸a˜o.
1.3 Discretizac¸o˜es de Ordem Superior
Para obter esquemas de diferenc¸as finitas com melhor ordem de convergeˆncia, em geral e´ necessa´rio acres-
centar mais pontos na fo´rmula. O me´todo dos coeficientes indeterminados e´ um me´todo simples para
construir estes esquemas.
1.3.1 Caso Unidimensional
Vamos obter um esquema de diferenc¸as finitas convergente de ordem 4 para o caso unidimensional. O
esquema envolvendo treˆs pontos, que obtivemos no in´ıcio do cap´ıtulo atrave´s da aproximac¸a˜o da derivada
segunda em um ponto por uma diferenc¸a finita centrada (que envolve o ponto e seus dois vizinhos, a` esquerda
e a` direita), e´ convergente de ordem 2 (isso que pode ser provado de maneira semelhante a como fizemos para
a fo´rmula de cinco pontos). Para obter um esquema com uma maior ordem de convergeˆncia, acrescentamos
mais dois pontos a` fo´rmula de diferenc¸as finitas do esquema, que denotaremos por δui:
δui = c1ui−2 + c2ui−1 + c3ui + c4ui+1 + c5ui+2. (1.38)
Cada termo tem sua expansa˜o em se´rie de Taylor:
u(xi − 2∆x) = u(xi)− 2u′(xi)∆x+ 42!u
′′(xi)∆x2 − 83!u
′′′(xi)∆x3 +
16
4!
u(4)(xi)∆x4 − 325! u
(5)(xi)∆x5 +O
(
∆x6
)
,
u(xi −∆x) = u(xi)− u′(xi)∆x+ 12!u
′′(xi)∆x2 − 13!u
′′′(xi)∆x3 +
1
4!
u(4)(xi)∆x4 − 15!u
(5)(xi)∆x5 +O
(
∆x6
)
,
u(xi +∆x) = u(xi) + u′(xi)∆x+
1
2!
u′′(xi)∆x2 +
1
3!
u′′′(xi)∆x3 +
1
4!
u(4)(xi)∆x4 +
1
5!
u(5)(xi)∆x5 +O
(
∆x6
)
,
u(xi + 2∆x) = u(xi) + 2u′(xi)∆x+
4
2!
u′′(xi)∆x2 +
8
3!
u′′′(xi)∆x3 +
16
4!
u(4)(xi)∆x4 +
32
5!
u(5)(xi)∆x5 +O
(
∆x6
)
.
Rodney Josue´ Biezuner 19
Substituindo estas expresso˜es na fo´rmula acima, obtemos:
δui = (c1 + c2 + c3 + c4 + c5)u (xi)
+ ∆x (−2c1 − c2 + c4 + 2c5)u′(xi)
+ ∆x2
(
2c1 +
1
2
c2 +
1
2
c4 + 2c5
)
u′′(xi)
+ ∆x3
(
−4
3
c1 − 16c2 +
1
6
c4 +
4
3
c5
)
u′′′(xi)
+ ∆x4
(
2
3
c1 +
1
24
c2 +
1
24
c4 +
2
3
c5
)
u(4)(xi)
+ ∆x5
(
− 4
15
c1 − 1120c2 +
1
120
c4 +
4
15
c5
)
u(5)(xi)
+O
(
∆x6
)
.
Como procuramos um esquema de diferenc¸as finitas com ordem de convergeˆncia maior que 2, queremos obter
uma soluc¸a˜o na˜o-nula para o sistema
c1 + c2 + c3 + c4 + c5 = 0
−2c1 − c2 + c4 + 2c5= 0
2c1 +
1
2
c2 +
1
2
c4 + 2c5 =
1
∆x2
−4
3
c1 − 16c2 +
1
6
c4 +
4
3
c5 = 0
2
3
c1 +
1
24
c2 +
1
24
c4 +
2
3
c5 = 0
;
isso implicaria em princ´ıpio em um esquema com ordem de convergeˆncia pelo menos igual a 3:
δui = u′′(xi) +O
(
∆x3
)
.
Como a matriz 
1 1 1 1 1
−2 −1 0 1 2
2
1
2
0
1
2
2
−4
3
−1
6
0
1
6
4
3
2
3
1
24
0
1
24
2
3

tem determinante igual a 1, ela e´ invert´ıvel e o sistema possui a soluc¸a˜o u´nica
c1 = − 112
1
∆x2
,
c2 =
4
3
1
∆x2
,
c3 = −52
1
∆x2
c4 =
4
3
1
∆x2
,
c5 = − 112
1
∆x2
.
Rodney Josue´ Biezuner 20
Incidentalmente, esta soluc¸a˜o tambe´m implica
− 4
15
c1 − 1120c2 +
1
120
c4 +
4
15
c5 = 0
o que permite obter um esquema com ordem de convergeˆncia igual a 4:
δui = u′′(xi) +O
(
∆x4
)
,
aproximando a derivada segunda u′′ pela diferenc¸a finita
u′′ =
− 1
12
ui−2 +
4
3
ui−1 − 52ui +
4
3
ui+1 − 112ui+2
∆x2
ou
−u′′ = ui−2 − 16ui−1 + 30ui − 16ui+1 + ui+2
12∆x2
. (1.39)
1.3.2 Caso Bidimensional: A Fo´rmula dos Nove Pontos Compacta
Um esquema de ordem 4 para a equac¸a˜o de Poisson em duas dimenso˜es e´ a fo´rmula de nove pontos compacta.
Se busca´ssemos uma fo´rmula de nove pontos simplesmente a partir da fo´rmula de cinco pontos unidi-
mensional obtida na subsec¸a˜o precedente (como obtivemos a fo´rmula de cinco pontos bidimensional a partir
da fo´rmula de treˆs pontos unidimensional), escrever´ıamos
−∆dud = ui−2,j − 16ui−1,j + 30ui,j − 16ui+1,j + ui+2,j12∆x2 +
ui,j−2 − 16ui,j−1 + 30ui,j − 16ui,j+1 + ui,j+2
12∆y2
,
(1.40)
que pode ser resumida na forma
−∆dud =

− 1
12∆y2
− 16
12∆y2
− 1
12∆x2
− 16
12∆x2
30
(
1
12∆x2
+
1
12∆y2
)
− 16
12∆x2
− 1
12∆x2
− 16
12∆y2
− 1
12∆y2

.
Embora este esquema seja de fato de ordem 4, ele apresenta dificuldades para pontos interiores adjacentes a`
fronteira do retaˆngulo (por exemplo, se considerarmos o ponto (x1, y1), os pontos (x−1, y1) e (x1, y−1) esta˜o
fora do retaˆngulo). Uma possibilidade para resolver este problema seria aplicar a fo´rmula dos cinco pontos
nos pontos interiores adjacentes a` fronteira e aplicar a fo´rmula dos nove pontos apenas nos pontos interiores
mais distantes da fronteira. No entanto, como a fo´rmula de cinco pontos e´ de segunda ordem, a convergeˆncia
deste me´todo misto na˜o deve ser de ordem 4.
Vamos tentar encontrar uma fo´rmula de nove pontos compacta, em que os nove pontos esta˜o dispostos
em treˆs linhas e treˆs colunas, de modo que na˜o ha´ problemas em usa´-la nos pontos interiores adjacentes a`
fronteira. Aplicando o me´todo dos coeficientes indeterminados, buscamos nove coeficientes para a diferenc¸a
finita
−∆dud = c1ui−1,j−1 + c2ui,j−1 + c3ui+1,j−1
+ c4ui−1,j + c5ui,j + c6ui+1,j (1.41)
+ c7ui−1,j+1 + c8ui,j+1 + c9ui+1,j+1.
Rodney Josue´ Biezuner 21
Observe a distribuic¸a˜o dos nove pontos. Ale´m dos cinco usuais, foram acrescentados os quatro pontos que
ocupam as posic¸o˜es diagonais. Para os quatro pontos vizinhos horizontais ou verticais do ponto central, a
fo´rmula de Taylor produz
u(xi −∆x, yj) = u(xi, yj)− ∂u
∂x
(xi, yj)∆x+
1
2!
∂2u
∂x2
(xi, yj)∆x2 − 13!
∂3u
∂x3
(xi, yj)∆x3 +
1
4!
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x4
− 1
5!
∂5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 +O
(
∆x6
)
u(xi +∆x, yj) = u(xi, yj) +
∂u
∂x
(xi, yj)∆x+
1
2!
∂2u
∂x2
(xi, yj)∆x2 +
1
3!
∂3u
∂x3
(xi, yj)∆x3 +
1
4!
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x4
+
1
5!
∂5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 +O
(
∆x6
)
u(xi, yj −∆y) = u(xi, yj)− ∂u
∂y
(xi, yj)∆y +
1
2!
∂2u
∂y2
(xi, yj)∆y2 − 13!
∂3u
∂y3
(xi, yj)∆y3 +
1
4!
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y4
− 1
5!
∂5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 +O
(
∆x6
)
u(xi, yj +∆y) = u(xi, yj) +
∂u
∂y
(xi, yj)∆y +
1
2!
∂2u
∂y2
(xi, yj)∆y2 +
1
3!
∂3u
∂y3
(xi, yj)∆y3 +
1
4!
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y4
+
1
5!
∂5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 +O
(
∆x6,∆y6
)
enquanto que para os quatro pontos diagonais temos
u(xi +∆x, yj +∆y)
= u(xi, yj) +
[
∂u
∂x
(xi, yj)∆x+
∂u
∂y
(xi, yj)∆y
]
+
1
2!
[
∂2u
∂x2
(xi, yj)∆x2 + 2
∂2u
∂x∂y
(xi, yj)∆x∆y +
∂2u
∂y2
(xi, yj)∆y2
]
+
1
3!
[
∂3u
∂x3
(xi, yj)∆x3 + 3
∂3u
∂x2∂y
(xi, yj)∆x2∆y + 3
∂3u
∂x∂y2
(xi, yj)∆x∆y2 +
∂3u
∂y3
(xi, yj)∆y3
]
+
1
4!
[
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x4 + 4
∂4u
∂x3∂y
(xi, yj)∆x3∆y + 6
∂4u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x2∆y2 + 4
∂3u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x∆y3 +
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y4
]
+
1
5!
[
∂5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 + 5
∂5u
∂x4∂y
(xi, yj)∆x4∆y + 10
∂5u
∂x3∂y2
(xi, yj)∆x3∆y2 + 10
∂5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x2∆y3
+5
∂5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x∆y4 +
∂5u
∂y5
(xi, yj)∆y5
]
+O
(
∆x6,∆y6
)
,
u(xi −∆x, yj −∆y)
= u(xi, yj)−
[
∂u
∂x
(xi, yj)∆x+
∂u
∂y
(xi, yj)∆y
]
+
1
2!
[
∂2u
∂x2
(xi, yj)∆x2 + 2
∂2u
∂x∂y
(xi, yj)∆x∆y +
∂2u
∂y2
(xi, yj)∆y2
]
− 1
3!
[
∂3u
∂x3
(xi, yj)∆x3 + 3
∂3u
∂x2∂y
(xi, yj)∆x2∆y + 3
∂3u
∂x∂y2
(xi, yj)∆x∆y2 +
∂3u
∂y3
(xi, yj)∆y3
]
+
1
4!
[
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x4 + 4
∂4u
∂x3∂y
(xi, yj)∆x3∆y + 6
∂4u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x2∆y2 + 4
∂3u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x∆y3 +
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y4
]
− 1
5!
[
∂5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 + 5
∂5u
∂x4∂y
(xi, yj)∆x4∆y + 10
∂5u
∂x3∂y2
(xi, yj)∆x3∆y2 + 10
∂5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x2∆y3
+5
∂5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x∆y4 +
∂5u
∂y5
(xi, yj)∆y5
]
+O
(
∆x6
)
Rodney Josue´ Biezuner 22
u(xi +∆x, yj −∆y)
= u(xi, yj) +
[
∂u
∂x
(xi, yj)∆x− ∂u
∂y
(xi, yj)∆y
]
+
1
2!
[
∂2u
∂x2
(xi, yj)∆x2 − 2 ∂
2u
∂x∂y
(xi, yj)∆x∆y +
∂2u
∂y2
(xi, yj)∆y2
]
+
1
3!
[
∂3u
∂x3
(xi, yj)∆x3 − 3 ∂
3u
∂x2∂y
(xi, yj)∆x2∆y + 3
∂3u
∂x∂y2
(xi, yj)∆x∆y2 − ∂
3u
∂y3
(xi, yj)∆y3
]
+
1
4!
[
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x4 − 4 ∂
4u
∂x3∂y
(xi, yj)∆x3∆y + 6
∂4u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x2∆y2 − 4 ∂
3u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x∆y3 +
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y4
]
+
1
5!
[
∂5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 − 5 ∂
5u
∂x4∂y
(xi, yj)∆x4∆y + 10
∂5u
∂x3∂y2
(xi, yj)∆x3∆y2 − 10 ∂
5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x2∆y3
+5
∂5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x∆y4 − ∂
5u
∂y5
(xi, yj)∆y5
]
+O
(
∆x6,∆y6
)
,
u(xi −∆x, yj +∆y)
= u(xi, yj) +
[
−∂u
∂x
(xi, yj)∆x+
∂u
∂y
(xi, yj)∆y
]
+
1
2!
[
∂2u
∂x2
(xi, yj)∆x2 − 2 ∂
2u
∂x∂y
(xi, yj)∆x∆y +
∂2u
∂y2
(xi, yj)∆y2
]
+
1
3!
[
−∂
3u
∂x3
(xi, yj)∆x3 + 3
∂3u
∂x2∂y
(xi, yj)∆x2∆y − 3 ∂
3u
∂x∂y2
(xi, yj)∆x∆y2 +
∂3u
∂y3
(xi, yj)∆y3
]
+
1
4!
[
∂4u
∂x4
(xi, yj)∆x4 − 4 ∂
4u
∂x3∂y
(xi, yj)∆x3∆y + 6
∂4u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x2∆y2 − 4 ∂
3u
∂x∂y3
(xi, yj)∆x∆y3 +
∂4u
∂y4
(xi, yj)∆y4
]
+
1
5!
[
−∂
5u
∂x5
(xi, yj)∆x5 + 5
∂5u
∂x4∂y
(xi, yj)∆x4∆y − 10 ∂
5u
∂x3∂y2
(xi, yj)∆x3∆y2 + 10
∂5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x2∆y3
−5 ∂
5u
∂x∂y4
(xi, yj)∆x∆y4 +
∂5u
∂y5
(xi, yj)∆y5
]
+O
(
∆x6,∆y6
)
.
Rodney Josue´ Biezuner 23
Substituindo estas expresso˜es na fo´rmula acima, obtemos:
−∆dud = (c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9)u (xi, yj)
+ ∆x (−c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9) ∂u
∂x
(xi, yj)
+ ∆y (−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9) ∂u
∂y
(xi, yj)
+ ∆x2
(
1
2
c1 +
1
2
c3 +
1
2
c4 +
1
2
c6 +
1
2
c7 +
1
2
c9
)
∂2u
∂x2
(xi, yj)
+ ∆x∆y (c1 − c3 − c7 + c9) ∂
2u
∂x∂y
(xi, yj)
+ ∆y2
(
1
2
c1 +
1
2
c2 +
1
2
c3 +
1
2
c7 +
1
2
c8 +
1
2
c9
)
∂2u
∂y2
(xi, yj)
+ ∆x3
(
−1
6
c1 +
1
6
c3 − 16c4 +
1
6
c6 − 16c7 +
1
6
c9
)
∂3u
∂x3
(xi, yj)+ ∆x2∆y
(
−1
2
c1 − 12c3 +
1
2
c7 +
1
2
c9
)
∂3u
∂x2∂y
(xi, yj)
+ ∆x∆y2
(
−1
2
c1 +
1
2
c3 − 12c7 +
1
2
c9
)
∂3u
∂x∂y2
(xi, yj)
+ ∆y3
(
−1
6
c1 − 16c2 −
1
6
c3 +
1
6
c7 +
1
6
c8 +
1
6
c9
)
∂3u
∂y3
(xi, yj)
+ ∆x4
(
1
24
c1 +
1
24
c3 +
1
24
c4 +
1
24
c6 +
1
24
c7 +
1
24
c9
)
∂4u
∂x4
(xi, yj)
+ ∆x3∆y
(
1
6
c1 − 16c3 −
1
6
c7 +
1
6
c9
)
∂4u
∂x3∂y
(xi, yj)
+ ∆x2∆y2
(
1
4
c1 +
1
4
c3 +
1
4
c7 +
1
4
c9
)
∂4u
∂x2∂y2
(xi, yj)
+ ∆x∆y3
(
1
6
c1 − 16c3 −
1
6
c7 +
1
6
c9
)
∂4u
∂x∂y3
(xi, yj)
+ ∆y4
(
1
24
c1 +
1
24
c2 +
1
24
c3 +
1
24
c7 +
1
24
c8 +
1
24
c9
)
∂4u
∂y4
(xi, yj)
+ ∆x5
(
− 1
120
c1 +
1
120
c3 − 1120c4 +
1
120
c6 − 1120c7 +
1
120
c9
)
∂5u
∂x5
(xi, yj)
+ ∆x4∆y
(
− 1
24
c1 − 124c3 +
1
24
c7 +
1
24
c9
)
∂5u
∂x4∂y
(xi, yj)
+ ∆x3∆y2
(
− 1
12
c1 +
1
12
c3 +
1
12
c7 +
1
12
c9
)
∂5u
∂x3∂y2
(xi, yj)
+ ∆x2∆y3
(
− 1
12
c1 − 112c3 −
1
12
c7 +
1
12
c9
)
∂5u
∂x2∂y3
(xi, yj)
+ ∆x∆y4
(
− 1
24
c1 +
1
24
c3 − 124c7 +
1
24
c9
)
∂5u
∂x∂y4
(xi, yj)
+ ∆y5
(
− 1
120
c1 − 1120c2 −
1
120
c3 +
1
120
c7 +
1
120
c8 +
1
120
c9
)
∂5u
∂y5
(xi, yj)
Rodney Josue´ Biezuner 24
Para obter um esquema com ordem de convergeˆncia pelo menos igual a 3, precisar´ıamos obter uma soluc¸a˜o
na˜o-nula para o sistema 
c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9 = 0
−c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9 = 0
−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9 = 0
c1 + c3 + c4 + c6 + c7 + c9 =
1
∆x2
c1 − c3 − c7 + c9 = 0
c1 + c2 + c3 + c7 + c8 + c9 =
1
∆y2
−c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9 = 0
−c1 − c3 + c7 + c9 = 0
−c1 + c3 − c7 + c9 = 0
−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9 = 0
c1 + c3 + c4 + c6 + c7 + c9 = 0
c1 − c3 − c7 + c9 = 0
c1 + c3 + c7 + c9 = 0
c1 − c3 − c7 + c9 = 0
c1 + c2 + c3 + c7 + c8 + c9 = 0
Infelizmente este sistema na˜o tem soluc¸a˜o pois ele e´ inconsistente: a sexta e a u´ltima equac¸a˜o sa˜o incom-
pat´ıveis, assim como a quarta e a de´cima primeira. Portanto, na˜o existe uma fo´rmula de nove pontos
compacta tal que
−∆dud = −∆u+O
(
∆x3,∆y3
)
.
No entanto, em 1975 o matema´tico e lo´gico Rosser introduziu a seguinte fo´rmula de nove pontos compacta
no caso especial ∆x = ∆y (em [Rosser1]; veja tambe´m [Rosser2])
∆dud =
ui−1,j−1 + 4ui,,j−1 + ui+1,j−1 + 4ui−1,j − 20ui,j + 4ui+1,j + ui−1,j+1 + 4ui,j+1 + ui+1,j+1
6∆x2
, (1.42)
que pode ser resumida na forma
−∆dud = 16∆x2
 −1 −4 −1−4 20 −4
−1 −4 −1
 , (1.43)
a qual produz um esquema convergente de quarta ordem se a soluc¸a˜o u ∈ C6 (Ω) (ou mesmo se u ∈ C5,1 (Ω)
apenas) dependendo de como a func¸a˜o f e´ discretizada. Para entender como isso ocorre, observe que se
u ∈ C8 (Ω) a fo´rmula de Taylor produz
−∆dud = −∆u− ∆x
2
12
∆2u− ∆x
4
360
[
∂4
∂x4
+ 4
∂4
∂x2∂y2
+
∂4
∂y4
]
∆u+O
(
∆x6
)
(1.44)
= −∆u+ ∆x
2
12
∆f +
∆x4
360
[
∂4
∂x4
+ 4
∂4
∂x2∂y2
+
∂4
∂y4
]
f +O
(
∆x6
)
. (1.45)
O ponto crucial aqui e´ que o erro e´ expresso em termos de −∆u e, consequ¨entemente, por f . Ainda e´
necessa´rio escolher uma discretizac¸a˜o especial para f :
fd =
fi,,j−1 + fi−1,j + 8fi,j + fi+1,j + fi,j+1
12
(1.46)
ou
fd =
1
12
 11 8 1
1
 . (1.47)
Rodney Josue´ Biezuner 25
Usando a fo´rmula de Taylor para f , obtemos que esta discretizac¸a˜o especial para f satisfaz
fd = f +
∆x2
12
∆f +O
(
∆x4
)
. (1.48)
Somando esta estimativa com (1.45), e usando −∆dud = fd,−∆u = f , obtemos
−∆dud = −∆u+O
(
∆x4
)
Para este esquema, pode-se provar (veja [Hackbusch], pa´g. 64) que existe uma constante C > 0 tal que
‖ud − vd‖∞ 6 C∆x4 ‖u‖C6(Ω) ou ‖ud − vd‖∞ 6 C∆x4 ‖u‖C5,1(Ω) (1.49)
O esquema de Rosser tambe´m satisfaz o princ´ıpio do ma´ximo. Concluindo, vemos que uma maior regularidade
da soluc¸a˜o permite obter me´todos de diferenc¸as finitas com maior ordem de convergeˆncia, embora esta na˜o
seja uma tarefa simples.
1.4 Diferenc¸as Finitas em Coordenadas Polares
Consideraremos nesta sec¸a˜o diferenc¸as finitas em coordenadas polares para domı´nios com simetria radial.
Consideraremos em detalhes os casos do disco e do anel. O primeiro caso inclui a origem no domı´nio da
definic¸a˜o, onde o laplaciano apresenta uma singularidade quando escrito em coordenadas polares, singulari-
dade esta que na˜o existe no problema original, e esta particularidade deve ser tratada com cuidado para na˜o
atrapalhar a ordem de convergeˆncia do esquema obtido.
Considere a equac¸a˜o de Poisson em coordenadas polares no disco Ω = [0, R)× [0, 2pi) :{
urr +
1
r
ur +
1
r2
uθθ = f (r, θ) se 0 6 r < R e 0 < θ < 2pi,
u (R, θ) = 0 se 0 6 θ 6 2pi.
A soluc¸a˜o exata deste problema deve satisfazer a condic¸a˜o de continuidade
u (r, 0) = u (r, 2pi) para todo 0 6 r 6 R.
Embora esta condic¸a˜o na˜o seja uma condic¸a˜o de fronteira e aparece apenas por causa do sistema de coor-
denadas utilizado, ela acaba funcionando como uma condic¸a˜o de fronteira em muitos me´todos nume´ricos (e
mesmo anal´ıticos), pois na˜o deixa de ser uma condic¸a˜o na fronteira do retaˆngulo (0, R)× (0, 2pi).
∆r
∆θ
Discretizamos o disco atrave´s de uma malha polar
Ωd = {(ri, θj) ∈ Ω : ri = i∆r, θj = j∆θ, 0 6 i 6 n− 1, 0 6 j 6 m}
onde
∆r =
R
n
, ∆θ =
2pi
m
.
Rodney Josue´ Biezuner 26
Sua fronteira discretizada e´ o conjunto
∂Ωd = {(rn, θj) ∈ ∂Ω : rn = n∆r = R, θj = j∆θ, 0 6 j 6 m} .
Discretizamos a equac¸a˜o de Poisson da seguinte forma. Denotamos os valores das discretizac¸o˜es ud e fd
em pontos da malha por
ui,j = u (ri, θj) ,
fi,j = f (ri, θj) ,
entendendo que ui,j e fi,j devem satisfazer
u0,0 = u0,j e f0,0 = f0,j (1.50)
para todo 0 6 j 6 m, ja´ que existe apenas um ponto associado com i = 0 (a origem, correspondente a r = 0).
Ale´m disso, pela condic¸a˜o de continuidade, devemos ter tambe´m
ui,0 = ui,2pi e fi,0 = fi,2pi (1.51)
para todo 0 6 i 6 n. Usando uma diferenc¸a centrada usual para derivadas segundas, o terceiro termo do
laplaciano em coordenadas polares pode ser aproximado para pontos interiores do disco por(
1
r2
uθθ
)
(ri, θj) ≈ 1
r2i
ui,j−1 − 2ui,j − ui,j+1
∆θ2
. (1.52)
Para aproximar os primeiros dois termos, escrevemos
urr +
1
r
ur =
1
r
(rur)r .
Se (ri, θj) e´ um ponto interior do disco diferente da origem (isto e´, i 6= 0), podemos usar diferenc¸as centradas
para a derivada primeira, tanto na primeira quanto na segunda aproximac¸o˜es a seguir, obtendo
1
r
(rur)r (ri, θj) ≈
1
ri
(rur) (ri +∆r/2, θj)− (rur) (ri −∆r/2, θj)
2∆r/2
≈ 1
ri
ri+1/2
u (ri +∆r, θj)− u (ri, θj)
∆r
− ri−1/2u (ri, θj)− u (ri −∆r, θj)∆r
∆r
=
1
ri
ri+1/2 (ui+1,j − ui,j)− ri−1/2 (ui,j − ui−1,j)
∆r2
. (1.53)
Portanto, a discretizac¸a˜o da equac¸a˜o de Poisson no disco para pontos interiores do disco diferentes da origem
e´
−
[
1
ri
ri+1/2 (ui+1,j − ui,j)− ri−1/2 (ui,j − ui−1,j)
∆r2
+
1
r2i
ui,j−1 − 2ui,j − ui,j+1
∆θ2
]
= fi,j (1.54)
para 1 6 i 6 n − 1 e 1 6 j 6 m − 1. Se j = 0, usando a condic¸a˜o de continuidade que identifica o ponto
(i, 0) com o ponto (i, n), substitu´ımos ui,j−1 por ui,n−1e escrevemos
−
[
1
ri
ri+1/2 (ui+1,0 − ui,0)− ri−1/2 (ui,0 − ui−1,0)
∆r2
+
1
r2i
ui,n−1 − 2ui,0 − ui,1
∆θ2
]
= fi,0 (1.55)
para 1 6 i 6 n − 1. Como este esquema de diferenc¸as finitas foi obtido atrave´s de diferenc¸as centradas,
ele deve ser de segunda ordem. No entanto, devemos ter cuidado ao discretizar a equac¸a˜o de Poisson na
Rodney Josue´ Biezuner 27
origem para preservar esta ordem de convergeˆncia.Para isso, multiplicamos a equac¸a˜o de Poisson por r e
integramos o resultado sobre um pequeno disco Dε centrado na origem de raio ε:∫ 2pi
0
∫ ε
0
fr drdθ =
∫ 2pi
0
∫ ε
0
r
[
1
r
(rur)r +
1
r2
uθθ
]
drdθ
=
∫ 2pi
0
∫ ε
0
(rur)r drdθ +
∫ ε
0
1
r
∫ 2pi
0
uθθ drdθ
=
∫ 2pi
0
[rur]
ε
0 dθ +
∫ ε
0
1
r
[uθ]
2pi
0 drdθ
= ε
∫ 2pi
0
ur (ε, θ) dθ,
onde assumimos u ∈ C2 (Ω) de modo que
uθ (r, 0) = uθ (r, 2pi)
para todo 0 6 r < R. Escolhendo ε = ∆r/2, discretizamos a equac¸a˜o integral
∆r
2
∫ 2pi
0
ur (∆r/2, θ) dθ =
∫ 2pi
0
∫ ∆r/2
0
fr drdθ
aproximando a derivada primeira ur (∆r/2, θ) = (ur)i+1/2,j por diferenc¸as centradas e f por f (0) (pois ∆r
e´ suposto pequeno), de modo que
ur (∆r/2, θj) ≈ u1,j − u0,j∆r ,∫ 2pi
0
∫ ∆r/2
0
fr drdθ ≈ f (0)
∫ 2pi
0
∫ ∆r/2
0
r drdθ = 2pif (0)
r2
2
∣∣∣∣∆r/2
0
=
pi
4
f (0)∆r2,
e assim
∆r
2
m−1∑
j=0
u1,j − u0,j
∆r
∆θ =
pi
4
f (0)∆r2,
donde, como u0 := u0,j independe de j, segue que o valor de u na origem sera´ dado por
m
∆θ
2
u0 =
∆θ
2
m−1∑
j=0
u1,j − pi4 f (0)∆r
2,
ou, usando m∆θ = 2pi,
4u0
∆r2
− 2∆θ
pi∆r2
m−1∑
j=0
u1,j = f0. (1.56)
Para escrever essas diferenc¸as finitas em forma matricial
Au = f ,
escolhemos ordenar os pontos da malha discretizada no retaˆngulo polar {(ri, θj) : 1 6 i 6 n− 1, 0 6 j 6 m}
pela ordem lexicogra´fica em (θ, r) e colocando a origem antes de todos estes pontos:.
u = (u0, u1,0, u1,1, . . . , u1,m−1, u2,0, u2,1, . . . , u2,m−1, . . . . . . , un−1,0, un−1,1, . . . , un−1,m−1) . (1.57)
Rodney Josue´ Biezuner 28
Observe que existem (n− 1)×m+ 1 inco´gnitas. Nesta ordenac¸a˜o, segue que A tem a forma em blocos
A =

α0 b
a B1 −β1I
−α2I B2 −β2I . . .
−α3I B3 −β3I
. . . . . . . . .
−αn−2I Bn−2 −βn−2I
−αn−1I Bn−1

, (1.58)
onde
α0 =
4
∆r2
,
a =
 −α1...
−α1

m×1
,
αi =
1
∆r2
ri−1/2
ri
, i = 1, . . . , n− 1,
βi =
1
∆r2
ri+1/2
ri
, i = 1, . . . , n− 2,
b =
[ −β0 . . . −β0 ]1×m ,
β0 =
2
pi
∆θ
∆r2
,
I = Im,
Bi =

γi −δi 0 −δi
−δi γi −δi
−δi γi −δi
. . . . . . . . .
−δi γi −δi
−δi −δi γi

m×m
,
onde
γi =
1
ri
ri+1/2 + ri−1/2
∆r2
+
2
r2i
1
∆θ2
,
δi =
1
r2i
1
∆θ2
.
Rodney Josue´ Biezuner 29
A matriz A em geral na˜o e´ sime´trica. Por exemplo, no caso n = 4 e m = 5 ((n− 1)×m+ 1 = 16) temos
α −β0 −β0 −β0 −β0 −β0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−α1 γ1 −δ1 0 0 −δ1 −β1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−α1 −δ1 γ1 −δ1 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0 0 0 0
−α1 0 −δ1 γ1 −δ1 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0 0 0
−α1 0 0 −δ1 γ1 −δ1 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0 0
−α1 −δ1 0 0 −δ1 γ1 0 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0
0 −α2 0 0 0 0 γ2 −δ2 0 0 −δ2 −β2 0 0 0 0
0 0 −α2 0 0 0 −δ2 γ2 −δ2 0 0 0 −β2 0 0 0
0 0 0 −α2 0 0 0 −δ2 γ2 −δ2 0 0 0 −β2 0 0
0 0 0 0 −α2 0 0 0 −δ2 γ2 −δ2 0 0 0 −β2 0
0 0 0 0 0 −α2 −δ2 0 0 −δ2 γ2 0 0 0 0 −β2
0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 0 γ3 −δ3 0 0 −δ3
0 0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 −δ3 γ3 −δ3 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 −δ3 γ3 −δ3 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 −δ3 γ3 −δ3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −α3 −δ3 0 0 −δ3 γ3

A primeira linha e a primeira coluna sa˜o diferentes porque os pontos (0, j), j = 0, . . . ,m, sa˜o realmente um
u´nico ponto e este ponto e´ vizinho a todos os pontos (1, j), j = 0, . . . ,m.
A matriz de discretizac¸a˜o A no caso do anel sera´ um pouco mais simples, ja´ que ela sera´ igual a` matriz
de discretizac¸a˜o no caso do disco menos a primeira linha e a primeira coluna.
1.5 Domı´nios Arbitra´rios
Queremos agora discutir a resoluc¸a˜o nume´rica da equac¸a˜o de Poisson atrave´s de diferenc¸as finitas em um
domı´nio arbitra´rio.
Seja Ω ⊂ R2 um domı´nio arbitra´rio. Se sobrepusermos uma malha uniforme
M = {(i∆x, j∆y) ∈ Ω : i ∈ Z e j ∈ Z}
sobre Ω, obtemos um domı´nio discretizado definido por
Ωd = {(x, y) ∈ Ω : x/∆x ∈ Z e y/∆y ∈ Z} . (1.59)
Esta e´ exatamente a maneira como discretizamos o retaˆngulo. No entanto, o conjunto discretizado dos
pontos de fronteira ∂Ωd de um domı´nio arbitra´rio deve ser tratado de maneira diferente do retaˆngulo, ja´ que
a malha uniforme M em geral na˜o vai se sobrepor a` fronteira de Ω, podendo na˜o possuir nenhum ponto em
comum com a fronteira ou um nu´mero muito pequeno de pontos em poucas regio˜es da fronteira.
Uma maneira de tratar este problema e´ a seguinte. Para determinar se o ponto (xi, yj) ∈ Ωd e´ adjacente
a` “fronteira esquerda” de Ω, por exemplo, e ao mesmo tempo encontrar o seu vizinho a` esquerda na fronteira
se for o caso, basta verificar se o segmento
[xi −∆x, yj ] = {(xi − t∆x, yj) : t ∈ [0, 1]}
esta´ inteiramente contido em Ω ou na˜o. Se na˜o estiver, enta˜o (xi, yj) e´ um ponto interior adjacente a` fronteira
e existe um nu´mero tW ∈ (0, 1) tal que
(xi − tW∆x, yj) ∈ ∂Ω e (xi − t∆x, yj) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tW ). (1.60)
Este sera´ o vizinho a` esquerda de (xi, yj) na fronteira discretizada ∂Ωd do domı´nio. Analogamente, os
pontos vizinhos na fronteira discretizada a` direita, abaixo e acima de pontos adjacentes a` fronteira podem
ser encontrados; eles satisfazem, respectivamente,
(xi + tE∆x, yj) ∈ ∂Ω e (xi + t∆x, yj) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tE). (1.61)
Rodney Josue´ Biezuner 30
(xi, yj − tS∆y) ∈ ∂Ω e (xi, yj − t∆y) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tS). (1.62)
(xi, yj + tN∆y) ∈ ∂Ω e (xi, yj + t∆y) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tN ). (1.63)
(os sub´ındices W,E, S,N correspondem aos quatro pontos cardeais oeste, leste, sul, norte em ingleˆs). Defin-
imos
∂Ωd = {(x, y) ∈ ∂Ω : (x, y) satisfaz (1.60), (1.61), (1.62) ou (1.63)} (1.64)
Dependendo da geometria de Ω e´ conceb´ıvel que um ponto seja simultaneamente adjacente a`s “quatro
fronteiras” de Ω, isto e´, que ele tenha os seus quatro vizinhos em ∂Ωd. Ale´m disso, embora os pontos
interiores da malha estejam distribu´ıdos uniformemente, esta discretizac¸a˜o da fronteira do domı´nio permite
que a`s vezes dois pontos da malha da fronteira estejam bem pro´ximos um do outro em alguma regia˜o da
fronteira e relativamente distantes em outras (isso ocorre mesmo em domı´nio regulares como um disco).
Para discretizar a equac¸a˜o de Poisson nesta malha, observe que pela fo´rmula de Taylor temos, para pontos
x− < x < x+,
u′′ (x) =
2
x+ − x−
(
u (x+)− u (x)
x+ − x −
u (x)− u (x−)
x− x−
)
+ r, (1.65)
onde
|r| 6 1
3
(x+ − x)2 + (x− x−)2
x+ − x− ‖u‖C3([x−,x+]) 6
1
3
max (x+ − x, x− x−) ‖u‖C3([x−,x+]) . (1.66)
De fato,
u(x−) = u(x)− u′(x) (x− x−) + 12u
′′(x) (x− x−)2 − 13!u
′′′(ξ−) (x− x−)3 ,
u(x+) = u(x) + u′(x) (x+ − x) + 12u
′′(x) (x+ − x)2 + 13!u
′′′(ξ+) (x+ − x)3 ,
para alguns ξ− ∈ [x−, x] , ξ+ ∈ [x, x+], de modo que
−u (x)− u (x−)
x− x− = −u
′(x) +
1
2
u′′(x) (x− x−)− 16u
′′′(ξ−) (x− x−)2 ,
u (x+)− u (x)
x+ − x = u
′(x) +
1
2
u′′(x) (x+ − x) + 16u
′′′(ξ+) (x+ − x)2 ,
donde, somando as duas expresso˜es,
u (x+)− u (x)
x+ − x −
u (x)− u (x−)
x− x− =
1
2
u′′(x) (x+ − x−) + 16
[
u′′′(ξ+) (x+ − x)2 − u′′′(ξ−) (x− x−)2
]
.
Assim, podemos aproximar
u′′ (x) ≈ 2
x+ − x−
(
u (x+)− u (x)
x+ − x −
u (x)− u (x−)
x− x−
)
Se x− = x−∆x e x+ = x+∆x, obtemos a fo´rmula de diferenc¸as centradas usual para a derivada segunda.
Para aproximar o laplaciano atrave´s de uma fo´rmula de cinco pontos, usamos os quatro pontos vizinhos
(xi − tW∆x, yj) , (xi + tE∆x, yj) , (xi, yj − tS∆y) , (xi, yj + tN∆y) , com t∗ ∈ (0, 1]
Rodney Josue´ Biezuner 31
definindo o esquema de diferenc¸as finitas de Shortley-Weller :
∆dud =
2
(xi + tE∆x)− (xi − tW∆x)
(
u (xi + tE∆x, yj)− u (xi, yj)
(xi + tE∆x)− xi −
u (xi, yj)− u (xi − tW∆x, yj)
xi − (xi − tW∆x)
)
+
2
(yj + tN∆y)− (yj − tS∆y)
(
u (xi, yj + tN∆y)− u (xi, yj)
(yj + tN∆y)− yj −
u (xi, yj)− u (xi, yj −tS∆y)
yj − (yj − tS∆y)
)
=
2
(tE + tW )∆x
(
ui+tE∆x,j − ui,j
tE∆x
− ui,j − ui−tW∆x,j
tW∆x
)
+
2
(tN + tS)∆y
(
ui,j+tN∆y − ui,j
tN∆y
− ui,j − ui,j−tS∆y
tS∆y
)
ou
−∆dud = 2∆x2
[
− 1
tE (tE + tW )
ui+tE∆x,j +
1
tEtW
ui,j − 1
tW (tE + tW )
ui−tW∆x,j
]
(1.67)
+
2
∆y2
[
− 1
tS (tN + tS)
ui,j−tS∆y +
1
tN tS
ui,j − 1
tN (tN + tS)
ui,j+tN∆y
]
.
Se (xi, yj) e´ um ponto interior distante da fronteira (isto e´, na˜o adjacente a` fronteira), enta˜o t∗ = 1 e para este
ponto vale a fo´rmula dos cinco pontos usual. Observe que a matriz obtida pelo esquema de Shortley-Weller
na˜o e´ sime´trica, em geral.
Embora a ordem de aproximac¸a˜o do laplaciano para pontos pro´ximos a` fronteira e´ apenas 1, o esquema
de Shortley-Weller e´ convergente de segunda ordem. No pro´ximo cap´ıtulo, provaremos que o problema
discretizado possui soluc¸a˜o u´nica.
1.6 Exerc´ıcios
1. Implemente os me´todos discutidos neste cap´ıtulo computacionalmente, verifique a precisa˜o comparando
com a soluc¸a˜o exata e tambe´m a velocidade de convergeˆncia.
2. Discretize o problema de Poisson com valor de fronteira de Dirichlet a seguir, usando a fo´rmula de
cinco pontos. { −∆u = f (x, y) em (0, a)× (0, b) ,
u = g (x, y) sobre ∂ ((0, a)× (0, b)) ,
Implemente alguns exemplos deste problema computacionalmente e compare os resultados obtidos com
as soluc¸o˜es exatas.
3. Prove que a fo´rmula dos nove pontos compacta satisfaz o princ´ıpio do ma´ximo discreto.
4. Prove resultados equivalentes ao Lema 1.5 e ao Teorema 1.6 para a fo´rmula dos nove pontos compacta.
5. Investigue a ordem de convergeˆncia do esquema de diferenc¸as finitas misto: fo´rmula dos nove pontos nos
pontos interiores distantes da fronteira e fo´rmula dos cinco pontos para pontos adjacentes a` fronteira.
6. Encontre um esquema de diferenc¸as finitas de segunda ordem para a equac¸a˜o de laplace tridimensional
em um paralelep´ıpedo reto. Escolha uma ordenac¸a˜o apropriada dos pontos da malha e descreva a
matriz de discretizac¸a˜o obtida. Implemente o me´todo no computador.
7. Mostre que o esquema de diferenc¸as finitas em coordenadas polares introduzido neste cap´ıtulo satisfaz
o princ´ıpio do ma´ximo discreto desde que o valor de u0 seja dado pela fo´rmula (1.56).
Rodney Josue´ Biezuner 32
8. Mostre que se ∆d denota o esquema de diferenc¸as finitas em coordenadas polares introduzido neste
cap´ıtulo e Ω e´ o disco unita´rio, enta˜o vale a estimativa a priori: se ud e´ uma soluc¸a˜o de{ −∆dud = fd em Ωd,
ud = 0 sobre ∂Ωd,
enta˜o
‖ud‖∞ 6
1
4
‖∆dud‖∞ (1.68)
desde que o valor de u0 seja dado pela fo´rmula (1.56). Conclua que este esquema tem ordem de
convergeˆncia 2.
9. Encontre os autovalores da matriz de discretizac¸a˜o do esquema de diferenc¸as finitas em coordenadas
polares e compare com os autovalores de Dirichlet do laplaciano no disco.
10. Discretize o problema de Poisson com valor de fronteira de Dirichlet para o anel: −∆u = f (r, θ) se R1 < r < R2 e 0 < θ < 2pi,u (R1, θ) = g1 (θ)
u (R2, θ) = g2 (θ) se 0 6 θ 6 2pi.
Implemente alguns exemplos deste problema computacionalmente e compare os resultados obtidos com
as soluc¸o˜es exatas.
11. Mostre que tomando o “quadrado” da fo´rmula de treˆs pontos para o laplaciano unidimensional (es-
quema de diferenc¸as centradas para a derivada segunda) obtemos a seguinte fo´rmula de cinco pontos
para o operador biharmoˆnico unidimensional (esquema de diferenc¸as centradas para a derivada quarta):
δ4ui =
ui−2 − 4ui−1 + 6ui − 4ui+1 + ui+2
∆x4
(1.69)
Usando a fo´rmula de Taylor, obtenha o expoente p tal que
δ4ui = u(4) (xi) +O (∆xp) .
12. O esquema de diferenc¸as finitas mais simples para o operador biharmoˆnico ∆2 em duas dimenso˜es e´ a
seguinte fo´rmula de 13 pontos (para o caso ∆x = ∆y):
∆2u =
1
∆x4

1
2 −8 2
1 −8 20 −8 1
2 −8 2
1
 . (1.70)
Mostre que esta fo´rmula pode ser obtida a partir do “quadrado” da fo´rmula de cinco pontos para
o laplaciano. Como a equac¸a˜o biharmoˆnica na˜o satisfaz o princ´ıpio do ma´ximo, a demonstrac¸a˜o da
ordem de convergeˆncia deste esquema necessita de argumentos diferentes dos usados neste cap´ıtulo
para o laplaciano. Na realidade, dependendo de como as duas condic¸o˜es de fronteira sa˜o discretizadas,
a ordem de convergeˆncia deste me´todo pode ser O
(
∆x3/2
)
ou O
(
∆x2
)
. Veja [Hackbusch], pa´g. 103 e
pa´gs. 105-109, para detalhes e refereˆncias.
Cap´ıtulo 2
Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es
Discretas
Determinar a existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es discretas para as matrizes de discretizac¸a˜o obtidas via
esquemas de diferenc¸as finitas atrave´s do ca´lculo de seus autovalores como fizemos no cap´ıtulo anterior para
diferenc¸as centradas em uma dimensa˜o e para a fo´rmula de cinco pontos e´ invia´vel em geral (tente calcular
os autovalores da matriz de discretizac¸a˜o para a fo´rmula dos nove pontos, para o esquema em coordenadas
polares e para o esquema de Shortley-Weller). Neste cap´ıtulo, desenvolveremos me´todos mais gerais e mais
fa´ceis de aplicar.
2.1 Normas Matriciais
Uma norma matricial no espac¸o vetorial Mn (C) das matrizes complexas n× n e´ uma norma vetorial que
satisfaz a propriedade submultiplicativa
‖AB‖ 6 ‖A‖ ‖B‖ (2.1)
para todas as matrizes A,B ∈Mn (C). Algumas das normas mais importantes em Mn (C) sa˜o as seguintes:
1. Norma l1
‖A‖1 =
n∑
i,j=1
|aij | . (2.2)
De fato,
‖AB‖1 =
n∑
i,j=1
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
aikbkj
∣∣∣∣∣ 6
n∑
i,j,k=1
|aikbkj | 6
n∑
i,j,k,l=1
|aikblj | =
n∑
i,j=1
|aik|
n∑
k,l=1
|blj | = ‖A‖1 ‖B‖1 .
2. Norma l2
‖A‖2 =
 n∑
i,j=1
|aij |2
1/2 . (2.3)
Com efeito,
‖AB‖22 =
n∑
i,j=1
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
aikbkj
∣∣∣∣∣
2
6
n∑
i,j=1
(
n∑
k=1
|aik|2
)(
n∑
l=1
|blj |2
)
=
 n∑
i,k=1
|aik|2
 n∑
j,l=1
|blj |2
 = ‖A‖22 ‖B‖22 .
33
Rodney Josue´ Biezuner 34
A norma l2 tambe´m e´ chamada norma euclidiana e, mais raramente e somente para matrizes, norma
de Schur, norma de Frobenius ou norma de Hilbert-Schmidt.
3. Norma l∞ modificada
A norma l∞
‖A‖∞ = max16i,j6n |aij | .
e´ uma norma vetorial no espac¸o das matrizes complexas, mas na˜o e´ uma norma matricial, pois se
A =
[
1 1
1 1
]
,
enta˜o
A2 =
[
2 2
2 2
]
e portanto ∥∥A2∥∥∞ = 2 > 1 = ‖A‖∞ ‖A‖∞ .
Mas um mu´ltiplo escalar desta norma vetorial e´ uma norma matricial:
‖A‖n∞ = n max16i,j6n |aij | . (2.4)
Com efeito,
‖AB‖n∞ = n max16i,j6n
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
aikbkj
∣∣∣∣∣ 6 n max16i,j6n
n∑
k=1
|aikbkj | 6 n max
16i,j6n
n∑
k=1
‖A‖∞ ‖B‖∞
= n ‖A‖∞ n ‖B‖∞ = ‖AB‖n∞ .
4. Norma induzida
Dada uma norma vetorial |·| em Cn, ela induz uma norma matricial atrave´s da definic¸a˜o
‖A‖ = max
|x|=1
|Ax| = max
x6=0
|Ax|
|x| . (2.5)
De fato,
‖AB‖ = max
x 6=0
|ABx|
|x| = maxx6=0
( |ABx|
|Bx|
|Bx|
|x|
)
6 max
x6=0
|ABx|
|Bx| maxx 6=0
|Bx|
|x| 6 maxy 6=0
|Ay|
|y| maxx 6=0
|Bx|
|x| = ‖A‖ ‖B‖ .
Esta norma tambe´m e´ chamada norma do operador. Ela satisfaz a propriedade muitas vezes u´til
|Ax| 6 ‖A‖ |x| (2.6)
para todo vetor x ∈ Cn.
5. Norma do ma´ximo das somas das linhas
‖A‖L = max16i6n
n∑
j=1
|aij | . (2.7)
Esta norma e´ induzida pela norma vetorial l∞. De fato, se x = (x1, . . . , xn), temos
|Ax|∞ = max16i6n
∣∣∣∣∣∣
n∑
j=1
aijxj
∣∣∣∣∣∣ 6 max16i6n
n∑
j=1
|aijxj | 6 max
16i6n
n∑
j=1
|aij | |x|∞ = ‖A‖L |x|∞ ,
Rodney Josue´ Biezuner 35
de modo que
max
|x|=1
|Ax|∞ 6 ‖A‖L .
Supondo que a k-e´sima linha de A e´ na˜o-nula, definimos o vetor y = (y1, . . . , yn) ∈ Cn por
yi =

akj
|akj | se aij 6= 0,
1 se aij = 0.
,
o que implica |y|∞ = 1, akjyj = |akj | e
max
|x|∞=1
|Ax|∞ > |Ay|∞ = max16i6n
∣∣∣∣∣∣
n∑
j=1
aijyj
∣∣∣∣∣∣>
∣∣∣∣∣∣
n∑
j=1
akjyj
∣∣∣∣∣∣ =
n∑
j=1
|akj | .
Isso vale para todo k, logo
max
|x|∞=1
|Ax|∞ > max
16k6n
n∑
j=1
|aij | = ‖A‖L .
6. Norma do ma´ximo das somas das colunas
‖A‖C = max16j6n
n∑
i=1
|aij | . (2.8)
Esta norma e´ induzida pela norma vetorial l1. De fato, escrevendo A em termos de suas colunas
A = [A1 . . . An]
segue que
‖A‖C = max16j6n |Aj |1 .
Se x = (x1, . . . , xn), segue que
|Ax|1 = |x1A1 + . . .+ xnAn|1 6
n∑
i=1
|xiAi|1 =
n∑
i=1
|xi| |Ai|1 6
n∑
i=1
|xi| max
16j6n
|Aj |1
= ‖A‖C
n∑
i=1
|xi| = ‖A‖C |x|1 ,
donde
max
|x|1=1
|Ax|1 6 ‖A‖C .
Agora, se escolhermos y = ej , temos que |y|1 = 1 e
|Ay|1 = |Aj |1
para todo k, logo
max
|x|1=1
|Ax|1 > |Ay|1 = max16j6n |Aj |1 = ‖A‖C .
7. p-normas
Este e´ o nome geral para as normas induzidas pela norma vetorial lp. O caso especial da norma induzida
pela norma vetorial l2 (a norma vetorial euclidiana) e´ tambe´m chamada a norma espectral e satisfaz
‖|A|‖2 =
√
λmax = max
{√
λ : λ e´ um autovalor de A∗A
}
.
Rodney Josue´ Biezuner 36
De fato, A∗A e´ uma matriz hermitiana e possui autovalores na˜o-negativos, pois se A∗Ay = λy, enta˜o
λ |y|22 = 〈y, λy〉2 = 〈y,A∗Ay〉2 = 〈Ay,Ay〉2 = |Ay|22
e, ale´m disso, pela caracterizac¸a˜o variacional dos autovalores de uma matriz hermitiana temos
λmax = max
x 6=0
〈A∗Ax, x〉2
|x|22
= max
x 6=0
|Ax|22
|x|22
.
Observe que a 2-norma e´ diferente da norma matricial l2. Note tambe´m que se A e´ uma matriz
hermitiana, enta˜o A∗A = A2 e ‖|A|‖2 e´ portanto o mo´dulo do maior autovalor de A, isto e´, a norma
espectral de A e´ o raio espectral de A, definido como sendo o maior valor absoluto dos autovalores
de A:
ρ (A) = max
i=1,...,n
|λi| ,
8. Norma induzida por uma matriz invert´ıvel
Se ‖·‖ e´ uma norma matricial qualquer e se S e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o
‖A‖S =
∥∥S−1AS∥∥ (2.9)
define uma norma matricial. Com efeito,
‖AB‖S =
∥∥S−1ABS∥∥ = ∥∥S−1ASS−1BS∥∥ 6 ∥∥S−1AS∥∥∥∥S−1BS∥∥ = ‖A‖S ‖B‖S .
Lembramos que todas as normas em um espac¸o vetorial sa˜o equivalentes, e isso vale em particular para
normas matriciais.
2.2 Matrizes Diagonalmente Dominantes
Definic¸a˜o. Dizemos que uma matriz An×n e´ diagonalmente dominante se
|aii| >
n∑
j=1
j 6=i
|aij | para todo i = 1, . . . , n
e estritamente diagonalmente dominante se
|aii| >
n∑
j=1
j 6=i
|aij | para todo i = 1, . . . , n.
2.1 Proposic¸a˜o. Se A e´ uma matriz estritamente diagonalmente dominante, enta˜o A e´ invert´ıvel.
Prova. Uma matriz A e´ invert´ıvel se existe alguma norma matricial ‖·‖ tal que ‖I −A‖ < 1. De fato, se
esta condic¸a˜o e´ satisfeita, enta˜o a inversa e´ dada explicitamente pela se´rie
A−1 =
∞∑
k=0
(I −A)k . (2.10)
A condic¸a˜o ‖I −A‖ < 1 garante a convergeˆncia desta se´rie, pois a se´rie geome´trica ∑∞k=0 rk tem raio de
convergeˆncia 1; como para todo N temos
A
N∑
k=0
(I −A)k = [I − (I −A)]
N∑
k=0
(I −A)k =
N∑
k=0
(I −A)k −
N+1∑
k=1
(I −A)k = I − (I −A)N+1 ,
Rodney Josue´ Biezuner 37
tomando o limite quando N →∞, conclu´ımos (2.10).
Para provar a proposic¸a˜o, denote por D a matriz diagonal cujas entradas diagonais sa˜o as entradas
diagonais de A. Uma matriz estritamente diagonalmente dominante possui, por definic¸a˜o, entradas diagonais
na˜o-nulas, logo D e´ uma matriz invert´ıvel. A matriz D−1A tem apenas 1’s na diagonal principal e se
mostramos que D−1A e´ invert´ıvel, isto implicara´ que A e´ invert´ıvel. Para provar isso, considere a matriz
I −D−1A. Temos (
I −D−1A)
ij
=
{
0 se i = j,
−aij/aii se i 6= j.
Usemos a norma do ma´ximo das somas das linhas. Para cada 1 6 i 6 n temos
n∑
j=1
∣∣∣(I −D−1A)
ij
∣∣∣ = n∑
j=1
j 6=i
∣∣∣∣aijaii
∣∣∣∣ = 1|aii|
n∑
j=1
j 6=i
|aij | < 1,
logo
∥∥I −D−1A∥∥ < 1 e o resultado segue. ¥
A`s vezes, exigir dominaˆncia diagonal estrita em todas as linhas e´ pedir demais. Para certas matrizes,
dominaˆncia diagonal junto com dominaˆncia diagonal estrita em apenas uma linha e´ suficiente para garantir
a sua invertibilidade. As matrizes de discretizac¸a˜o obtidas no cap´ıtulo anterior satisfazem esta condic¸a˜o
(nas linhas correspondentes a` pontos adjacentes a` fronteira), e nenhuma delas e´ estritamente diagonalmente
dominante. Por outro lado, esta condic¸a˜o na˜o e´ suficiente para estabelecer a invertibilidade de uma matriz
em geral, como o exemplo  4 2 10 1 1
0 1 1

demonstra. Precisamos de desenvolver va´rias ide´ias e ferramentas teo´ricas antes de provar a invertibilidade
das matrizes de discretizac¸a˜o do cap´ıtulo anterior.
2.3 Teorema dos Discos de Gershgorin
A primeira ferramenta teo´rica e´ o importante Teorema dos Discos de Gershgorin. Ele decorre da seguinte
observac¸a˜o: se A e´ uma matriz complexa n × n, podemos sempre escrever A = D + B, onde D = diag
(a11, . . . , ann) e´ a matriz diagonal formada pela diagonal principal de A e B consiste dos elementos restantes
de A, possuindo uma diagonal principal nula. Se definirmos Aε = D + εB, enta˜o A0 = D e A1 = A. Os
autovalores de D sa˜o a11, . . . , ann, enquanto que os autovalores de Aε devem estar localizados em vizinhanc¸as
dos pontos a11, . . . , ann, desde que ε seja suficientemente pequeno. O mesmo deve valer para os autovalores
da matriz A: eles devem estar contidos em discos centrados nos elementos a11, . . . , ann da diagonal principal
se os discos sa˜o suficientemente grandes. O Teorema de Gershgorin da´ uma estimativa precisa e simples de
calcular para os raios destes discos em func¸a˜o das entradas restantes da matriz A. Denote o disco complexo
fechado de centro em a e raio R por
DR (a) = {z ∈ C : |z − a| 6 R} .
2.2 Teorema. (Teorema dos Discos de Gershgorin) Se A ∈Mn (C) e
Ri (A) =
n∑
j=1
j 6=i
|aij | (2.11)
denota a soma dos valores absolutos dos elementos da linha i de A excetuando o elemento da diagonal
principal, enta˜o todos os autovalores de A esta˜o contidos na unia˜o dos n discos de Gershgorin
G (A) =
n⋃
i=1
DRi(A) (aii) . (2.12)
Rodney Josue´ Biezuner 38
Ale´m disso, se uma unia˜o de k destes discos forma uma regia˜o que e´ disjunta dos n−k discos restantes,
enta˜o existem exatamente k autovalores de A nesta regia˜o.
Prova. Seja λ um autovalor de A e x = (x1, . . . , xn) 6= 0 um autovetor associado. Seja k um ı´ndice tal que
|xk| > |xj | para j = 1, . . . , n,
isto e´, xk e´ a coordenada de x de maior valor absoluto. Denotando por (Ax)k a k-e´sima coordenada do vetor
Ax = λx, temos
λxk = (Ax)k =
n∑
j=1
akjxj
que e´ equivalente a
xk (λ− akk) =
n∑
j=1
j 6=k
akjxj .
Da´ı,
|xk| |λ− akk| 6
n∑
j=1
j 6=k
|akjxj | =
n∑
j=1
j 6=k
|akj | |xj | 6 |xk|
n∑
j=1
j 6=k
|akj | = |xk|Rk (A) ,
ou seja,
|λ− akk| 6 Rk (A) .
Isso prova o resultado principal do Teorema de Gershgorin (como na˜o sabemos qual k e´ apropriado para
cada autovalor λ, e um mesmo k pode servir para va´rios autovalores λ, tudo o que podemos afirmar e´ que
os autovalores esta˜o na unia˜o dos discos).
Para provar a segunda afirmac¸a˜o, escreva A = D +B, onde D = diag (a11, . . . , ann) e defina
At = D + tB
para 0 6 t 6 1. Note que
Ri (At) = Ri (tB) = tRi (A) .
Para simplificar a notac¸a˜o, assuma que a unia˜o dos primeiros k discos de Gershgorin
Gk (A) =
k⋃
i=1
DRi(A) (aii)
satisfaz Gk (A) ∩ [G (A) \Gk (A)] = ∅. Temos
DRi(At) (aii) = {z ∈ C : |z − aii| 6 Ri (At)} = {z ∈ C : |z − aii| 6 tRi (A)} ⊂ DRi(A) (aii) ,
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Gk (At) ⊂ Gk (A)
e
Gk (A) ∩ [G (At) \Gk (At)] = ∅
para 0 6 t 6 1. Porque os autovalores sa˜o func¸o˜es cont´ınuas das entradas de uma matriz, o caminho
λi (t) = λi (At)
e´ um caminho cont´ınuo que liga λi (A0) = λi (D) = aii a λi (A1) = λi (A). Como λi (At) ∈ Gk (At) ⊂ Gk (A),
conclu´ımos que para cada 0 6 t 6 1 existem k autovalores de At em Gk (A); em particular, fazendo t = 1,
Rodney Josue´ Biezuner 39