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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
 
INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E 
PESQUISA DE ENGENHARIA – COPPE/UFRJ 
PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE NIVELAMENTO PARA O MESTRADO 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
GIULIO MASSARANI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEVEREIRO/2008 
 
1 
1 - Solução da EDO de 1a ordem 
 
Spiegel, p. 162. 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL SOLUÇÃO 
Separação de Variáveis 
( ) ( ) ( ) ( ) 02211 =+ dyygxfdxygxf 
( )
( )
( )
( ) cdyyg
ygdx
xf
xf =+ ∫∫
1
2
2
1 
Equação Linear de 1a Ordem 
( ) ( )xQyxP
dx
dy =+ 
cdxeQye
dxPdxP +∫=∫ ∫ 
Equação de Bernoulli 
( ) ( ) nyxQyxP
dx
dy =+ 
( ) ( ) ( ) cdxeQne dxPndxPn +∫−=∫ ∫ −− 11 1ν 
onde ny −= 1ν . Se 1=n , a solução é 
( ) cdxPQy +−= ∫ln 
Equação Exata 
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM 
onde xNyM ∂∂=∂∂ 
( ) ( ) ( )[ ] cdydxyMyxNdxyxM =∂∂−+ ∫ ∫∫ ,, 
Equação Homogênea 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
yF
dx
dy 
( ) cF
dx +−= ∫ νν νln 
onde xy=ν . Se ( ) νν =F , a solução é cxy = . 
( ) ( ) 0=+ dyxyxGdxxyyF 
( )
( ) ( ) cFG
dGx +−= ∫ ννν ννln , 
onde xy=ν . Se ( ) ( )νν FG = , a solução é cxy = . 
 
 
2 
Série de Exercícios no 1 – EDO de 1a ordem 
 
Referência: F. Ayres Jr., "Theory and Problems of Differential Equations", Schaum 
Publishing, Nova Iorque (1952). 
 
(1) xxxydx
dyx 23 23 −++= 
R.: ( ) Cxxxxxy +−+= ln462 23 (prob. 2, p. 35) 
 
 
(2) ( ) ( ) 01 23 =−+ dxyxdyx , ( ) 21 =y 
R.: ( )33 14 xy += (prob. 5, p. 17) 
 
 
(3) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0sensencoscos =−++ dyyxxdxxyy 
R.: ( ) ( ) Cxyyx =+ sencos (prob. 1c, p. 26) 
 
 
(4) dyxdxydyx 24 =− 
R.: ( ) Cxyx =− 44 (prob. 3, p. 17) 
 
 
(5) ( ) ( ) 032 =−++ dyxydxyx 
R.: ( ) Cx yxxxyy =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−++ arctan422ln 22 (prob. 10, p.18) 
 
 
(6) ( )⎩⎨
⎧
=
+=
01
2' 3
y
exyxy x
 
R.: ( )eexy x −= 2 
 
3 
2 - Solução da EDO linear de 2a ordem 
 
 
Forma geral: 
 ( ) ( ) ( )xRyxQyxPy =++ ''' 
 
 
Solução geral: ( ) ( ) ( )xyxyxy PH += 
 
 
 
Solução da homogênea ( ( ) 0=xR ): ( ) ( ) ( )xycxycxyH 2211 += 
 
Para obter ( )xy2 conhecendo ( )xy1 : ( ) ( )
( )
( )∫
∫
=
−
dx
xy
exyxy
dxxP
2
1
12 
 
 
Solução particular: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) dttRtytyW
tyxyxytyxyxy
x
P ∫ −=
21
2121
1 ,
 , 
 
em que ( ) ( )[ ]tytyW 21 , é o wronskiano, definido por 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )tyty
tyty
tytyW
''
,
21
21
21 = 
 
4 
Série de Exercícios no 2 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2a 
Ordem 
 
(1) Determinar a solução geral de 
 
x
yxy 1'2'' =+ 
 
sabendo que uma solução da homogênea é ( ) 11 =xy . 
R.: ( ) ( )xx
ccxy ln21 ++= 
 
(2) Determinar a solução geral da equação 
 ( ) ( ) 01'12'' =−+−− yxyxxy 
 
sabendo que uma solução é ( ) xexy =1 . 
 
R.: ( ) xececxy xx ln21 += 
 
(3) Resolver 
 
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=+−
xxy
xy
x
yxy
1
2
3
'3''
 
 
R.: ( ) ( )xxxxcxcxy ln2321 −−+= 
 
(4) Resolver 
 
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+++−
xxy
y
x
y
x
xy
1
22
0
1
2
'
1
2
''
 
 
R.: ( ) ( )1221 −+= xcxcxy 
5 
Soluções da Equação Diferencial e de Diferenças com Coeficientes 
Constantes 
 
Eq. Diferencial Ordinária Eq. de Diferenças 
( )xRyayay =++ 21 ''' ( )nRyayay nnn =++ ++ 2112 
dx
dyDy = , 2
2
2
dx
ydyD = 
 
( ) ( )∫=− x dfxfD ηη1 
 
EeD = 
1+= nn yEy , 22 += nn yyE 
 
nnn yyy −= +1∆ 
nnnn yyyy +−= ++ 122 2∆ 
 
1+= ∆E 
( )( ) ( )xRyrDrD =−− 21 ( )( ) ( )nRyrErE =−− 21 
( ) ( )rPeeDP rxrx = 
 ( ) ( ) ( ) ( )xurDPexueDP rxrx += 
( ) ( )rPrrEP nn = 
 ( ) ( ) ( ) ( )nurEPrnurEP nn = 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧+⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
particular
solução
homogênea
da solução
geral
solução
 
( )
( ) ( )⎩⎨
⎧
=+=
≠+=
2121
2121
,
,
1
21
rrexccxy
rrececxy
xr
H
xrxr
H
 
 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= −−x trrrxrP ddttReeexy ηηη 1212
( )
( ) ( )⎩⎨
⎧
=+=
≠+=
21121
212211
,
,
rrrnccny
rrrcrcny
n
H
nn
H
 
 
( ) ( )( ) ( )nRrErEnyn 21
1
−−= 
 ( )DP é um polinômio no operador D ; ( )EP é um polinômio no operador E ; 
6 
Solução da EDO de 2a ordem com coeficientes constantes (Spiegel, p. 163) 
 
Equação linear homogênea 
de 2a ordem 
 
0
2
2
=++ by
dx
dya
dx
yd 
a, b são constantes reais 
Sejam m1, m2 as raízes de m2 + am + b = 0. Então existem 
3 casos. 
 
Caso 1. m1, m2 reais e distintas. 
xmxm ececy 21 21 += 
 
Caso 2. m1, m2 reais e iguais. 
xmxm xececy 21 21 += 
 
Caso 3. m1 = p + qi, m2 = p – qi: ( )qxcqxcey px sencos 21 += 
onde 2ap −= , 42abq −= . 
Equação linear não-
homogênea de 2a ordem 
 
( )xRby
dx
dya
dx
yd =++
2
2
 
a, b são constantes reais 
Existem 3 casos correspondentes àqueles acima. 
 
Caso 1. 
( )
( )∫
∫
−
−
−+
−++=
dxxRe
mm
e
dxxRe
mm
eececy
xm
xm
xm
xm
xmxm
2
2
1
1
21
12
21
21
 
 
Caso 2. 
( )
( )∫
∫
−
−
−
++=
dxxRxee
dxxRexexececy
xmxm
xmxmxmxm
21
1121
21
 
 
Caso 3. 
( ) ( )
( )∫
∫
−
−
−
++=
dxqxxRe
q
qxe
dxqxxRe
q
qxeqxcqxcey
px
px
px
px
px
sen
cos
cos
sen
sencos 21
Equação de Euler ou Cauchy 
 
( )xSby
dx
dyax
dx
ydx =++
2
2
2 
 
Fazendo-se tex = , a equação se torna 
( ) ( )teSby
dt
dya
dt
yd =+−+ 1
2
2
 
e pode ser resolvida como nos dois casos acima. 
 
7 
Série de Exercícios no 3 - Equação Diferencial Ordinária com Coeficientes 
Constantes e Equação de Diferenças com Coeficientes Constantes 
 
(1) 02''' =−+ yyy , ( ) 10 =y e ( ) 10' =y 
R.: ( ) xexy = 
 
 
(2) 05'4'' =++ yyy , ( ) 10 =y e ( ) 00' =y 
R.: ( ) ( ) ( )xexexy xx sen2cos 22 −− += 
 
 
(3) ( )xyy 2sen43'2'' +=+ 
R.: ( ) ( ) ( )xxxeccxy x 2cos
2
1
2sen
2
1
2
32
21 −−++= − 
 
 
(4) 2'' 4 3 xy y x e+ = + , ( ) 00 =y , ( ) 20' =y 
R.: ( ) ( ) ( ) xexxxxy
5
3
8
1
4
1
2cos
40
19
2sen
10
7 2 +−+−= 
 
 
(5) xyyy 234'5'' −=++ 
R.: ( )
8
11
2
14
21 +−+= −− xececxy xx 
 
 
(6) ( )xxyy cos9'' =+ 
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1cos 3 sen 3 cos sen8 32y x c x c x x x x= + + + 
 
 
(7) ( )tyy ωω cos'' 20 =+ , 0ωω ≠ 
R.: ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0 2 2
0
1
cos sen cosy x c t c t tω ω ωω ω= + + − 
 
8 
 
(8) ( )
( )⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=++−
=++−
=
00
1,10
022
1344
2
0
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
x
dt
dxx
x
dt
dxx
dt
dx
dt
dxx
dt
dx
dt
xd
t
 
 
R.: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−= −
41
41
203
209
0
34
156
152 42 ttt eeex 
 
 
(9) nyy nn =++ 31 , 10 =y 
R.: ( )
416
1
3
16
17 ny nn +−−= 
 
 
(10) 022 12 =+− ++ nnn yyy , 10 =y , 11 =y 
R.: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ny nn 4sen2
2 π
 
 
 
(11) 123 12 −=+− ++ nnn yyy , 20 =y , 41 =y 
R.: nn ny 21++= 
 
9 
3 – Séries 
 
Séries numéricas 
 
∑∞
=
+++++=
1
321 ......
r
nr wwwww 
 
 
∑∞
=1r
rw
321321
to) truncamende (erro
1
(soma)
11
nn R
nr
r
S
n
r
r
r
r wwwS ∑∑∑ ∞
+==
∞
=
+==convergente
O jeito é tocar um tango argentino!
divergente
∑∞
=1r
rw
321321
to) truncamende (erro
1
(soma)
11
nn R
nr
r
S
n
r
r
r
r wwwS ∑∑∑ ∞
+==
∞
=
+==convergente
O jeito é tocar um tango argentino!
divergente 
 
 
Teorema: Se a seqüência { }rw converge para α , então 
 
( )∑∞
=+ −=−
1
11
r
rr www α 
 
 
Teorema: Se a seqüência { }rw é divergente, então 
 
(a) ( )∑∞
=
+ −
1
1
r
rr ww é divergente; 
 
(b) ∑∞
= +
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
1 11
111
r rr www
 ( )0≠rw . 
 
10 
Testes para verificação da convergência de séries 
 
Teste da comparação: séries-padrão 
 
Série geométrica: ∑∞
=
−
1
1
r
rak ⎩⎨
⎧
≥
<
divergente,1
econvergent,1
k
k
 
 
Série "p": ∑∞
=1
1
r
pr ⎩⎨
⎧
≤
>
divergente,1
econvergent,1
p
p
 
 
 
Convergência e erro de truncamento das séries positivas 
Teste Erro de truncamento 
( )∫∞→ bb dxxw1lim existe 
(teste da integral) 
( )∫∞→< bnbn dxxwR lim 
1lim 1 <+
∞→
r
r
r w
w
 
(teste da razão) 
'1
1
L
wR nn −<
+
 
1' 1 <= +
n
n
w
wL 
1lim 1 <∞→
r
rr
w 
(teste da raiz) 
( )11
1
1
1 ++
+
−< nn
n
n w
wR 
 
 
Erro de truncamento na série alternada convergente, ( )∑∞
=
+−
1
11
r
r
r a 
1+< nn aR 
 
11 
Série de Exercícios no 4 – Séries numéricas 
 
Referência: W. Kaplan, "Advanced Calculus", Addison-Wesley, Cap. 6 (1969). 
 
(1) Prove a convergência: ensaio da comparação. 
 
∑∞
= −2 3 1
1
n n
 
( )∑∞
=1
2
sen
n n
n
 
 
(2) Prove a divergência: ensaio da comparação. 
 
∑∞
= −−
+
1
2 53
5
n nn
n
 ( )2
1
lnn n n
∞
=
∑ 
 
(3) Prove a convergência: ensaio da integral. 
 
∑∞
= +1 2 1
1
n n
 ( )22
1
lnn n n
∞
=
∑ 
 
(4) Prove a convergência: ensaio da razão. 
 
( )∑∞
=
−
1 !
1
n
n
n ∑
∞
=1
3
1
n n
 
 
(5) Prove a convergência: ensaio da raiz. 
 
∑∞
=1
1
n
nn ∑
∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+1 12n
n
n
n
 
 
(6) Prove a convergência: ensaio das séries alternadas. 
 
( )
( )∑
∞
=
−
2 ln
1
n
n
n 
( ) ( )∑∞
=
−
2
ln1
n
n
n
n
 
 
 
12 
(7) Calcule a soma com três algarismos significativos exatos. 
 
7.1) ∑∞
=1 !
1
n n
 R.: 1,718 
 
 
7.2) Função de Bessel de 1a espécie e ordem zero no ponto 1=x 
 
( ) ...
642422
1
222
6
22
4
2
2
0 +⋅⋅−⋅+−=
xxxxJ R.: 0.7656 
 
 
7.3) ( ) ...
!99
1
!77
1
!55
1
!33
1
1sen
1
0
−⋅+⋅−⋅+⋅−=∫ dxx R.: 0.9461 
 
 
7.4) Integral elíptica de 1ª espécie: ( ) ( )( )∫ −==
2
0 2122 sen1
2,
π
θ
θπ
k
dkFK 
 
( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅⋅
⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅
⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+== ...5,0
642
531
5,0
42
31
5,0
2
1
1
2
2;5,0 6
2
4
2
2
2ππFK 
 
13 
Séries de Potências 
 
Desenvolvimento em série de Taylor de ( )xf nas vizinhanças de ax = : 
 
( ) ( )∑∞
=
−=
1k
k
k axcxf , 
( )( )
!k
afc
k
k = 
 
Raio de convergência da série: 
1
lim
+∞→
=
k
k
k c
cR 
 
Erro de truncamento: 
( )( )
( ) ( ) 1
1
1 !1
++
+ −+=
n
n
n axn
fR ξ , xa << ξ 
(Fórmula de Lagrange) 
 
 
 
Série no 5: Séries de Potências 
 
 
(1) Desenvolver f em série de Taylor nas vizinhanças de a e determinar a 
região de convergência da série. 
 
a) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+=
x
xxf
1
1
ln
2
1
, 0=a 
R.: ...
7531
1
ln
2
1 753 ++++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+ xxxx
x
x
 ( )11 <<− x 
 
b) ( ) xxf
1= , 1=a 
R.: ( ) ( )∑∞
=
−−=
0
11
1
n
nn x
x ( )20 << x 
 
 
 
14 
(2) Determinar a região de convergência das séries: 
 
a) ...
7531
1
ln
2
1 753 ++++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+ xxxx
x
x
 R.: 11 <<− x 
 
b) ( ) ...
720
61
24
5
2
1sec
642
++++= xxxx R.: 
2
π<x 
 
c) ( ) ...
8
3
22
1
432
tan +++++= xxxxe x R.: 
2
π<x 
 
d) ( ) ...11 4321 −+−+−=− − xxxxx R.: 11 <<− x 
 
 
(3) Resolver 224'2'' 2 ++=+− xxxyxyy com o auxílio da série ∑∞
=
=
0n
n
n xcy . 
 
R.: 
( )
...
1134
1
405
1
126
1
45
1
12
1
3
1
...
63
1
6
1
...
405
2
45
2
3
2
1
10976432
74
1
963
0
++++++++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−−=
xxxxxxx
xxxcxxxcxy
 
 
(Ayres, prob. 7, p. 204) 
 
 
(4) Resolver em série de potências nas vizinhanças de 0=a : 
 
( ) dxx
x∫ + 311 . 
 
R.: 
( ) ...612963
10741
5963
741
463
41
33
1
2
1
1
65432
31
−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
⋅+⋅−=+∫ xxxxxdxxx 
 
 
15 
(5) Calcular ( )∫ +
1
0 311
dx
x
x
 com duas casas decimais exatas. 
 
R.: ( ) 0028,06342,01
1
0 31
±=+∫ dxxx 
 
 
(6) Calcular ( )1erf com duas casas decimais exatas, sendo a função erro 
definida do modo 
 
( ) ∫ −= x u duex 0 22erf π 
 
Sugestão: ∑∞
=
=
0 !r
r
t
r
te 
 
R.: ( ) 0008,08434,01erf ±= 
 
 
(7) Quantos termos são necessários para o cálculo de 
 
( )
( )[ ]∑
∞
=
+
−+
−
0
21
1
19,11
1
2
n
n
n ππ 
 
com erro inferior, em módulo, a 210− ? 
 
R.: 4102× termos. 
 
 
16 
4 – Solução em série de potências da EDO de 2a ordem 
 
 
 
 
 
Solução da EDO linear e 
homogênea de 2a ordem
Nas vizinhanças do ponto 
ordinário x = a
Nas vizinhanças do ponto 
regular singular x = a
válida no intervalo comum de convergência 
do desenvolvimento em série de Taylor de 
P(x) e Q(x) nas vizinhanças do ponto a
A solução geral contempla pelo menos uma solução 
da forma
válida no intervalo comum de convergência do 
desenvolvimento em série de Taylor de 
nas vizinhanças do ponto a. A convergência em a
deve ser pesquisada.
(Teorema de 
Fuchs)
(Teorema de 
Frobenius)
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+=−=
0
21
n
n
n xByxAyaxcxy
( ) ( )( )∑∞
=
+−=
0n
n
n axcxy
λλ
( ) ( ) ( )xPaxxp −=
( ) ( ) ( )xQaxxq 2−=
( ) ( ) 0''' =++ yxQyxPy
Solução da EDO linear e 
homogênea de 2a ordem
Nas vizinhanças do ponto 
ordinário x = a
Nas vizinhanças do ponto 
regular singular x = a
válida no intervalo comum de convergência 
do desenvolvimento em série de Taylor de 
P(x) e Q(x) nas vizinhanças do ponto a
A solução geral contempla pelo menos uma solução 
da forma
válida no intervalo comum de convergência do 
desenvolvimento em série de Taylor de 
nas vizinhanças do ponto a. A convergência em a
deve ser pesquisada.
(Teorema de 
Fuchs)
(Teorema de 
Frobenius)
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+=−=
0
21
n
n
n xByxAyaxcxy
( ) ( )( )∑∞
=
+−=
0n
n
n axcxy
λλ
( ) ( ) ( )xPaxxp −=
( ) ( ) ( )xQaxxq 2−=
( ) ( ) 0''' =++ yxQyxPy
17 
Equação Solução Polinômios 
Euler 
0'''2 =++ byaxyyx 
Transformação: tex = 
( ) 01
2
2
=+−+ by
dt
dya
dt
yd
 
( ) 21 mm BxAxxy += 
21 mm ≠ são raízes de ( ) 012 =+−+ bmam 
___ 
Bessel ( ) 0''' 2222 =−++ ynxxyyx λ ( ) ( ) ( )xBYxAJxy nn λλ += 0≠x ___ 
Legendre 
 ( ) ( ) 01'2''1 2 =++−− ynnxyyx 
,...3,2,1,0=n 
( ) ( ) ( )xBVxAUxy nn += 
( ) ( ) ( )( )( ) ...
!4
312
!2
1
1 42 −++−+−−= xnnnnxnnxUn 
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ...
!5
4231
!3
21 53 −++−−++−−= xnnnnxnnxxVn
11 <<− x 
( ) ( )nnnnn xdxdnxP 1!21 2 −= ( ) 10 =xP , ( ) xxP =1 
( ) ( )13
2
1 2
2 −= xxP 
Chebyshev ( ) 0'''1 22 =+−− ynxyyx 
,...3,2,1,0=n 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅= 22 ,
2
3
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
,
2
xnnFBxnnFAxy 
11 <<− x 
( ) ( )( )xnxTn 1coscos −⋅= ( ) 10 =xT , ( ) xxT =1 , ( ) 12 22 −= xxT 
Laguerre ( ) 0'1'' =+−+ nyyxxy 
,...3,2,1,0=n 
Solução em série de potências: ( ) ( )∞−= ,1,1 nFxy 
( ) ( )xnnnxn exdxdexL −= ( ) 10 =xL , ( ) 11 +−= xxL , 
() 2422 +−= xxxL 
Hermite 
02'2'' =+− nyxyy 
,...3,2,1,0=n 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅= 22 ,1,
2
1
,
2
1
,
2
xnFBxnFAxy 
( ) ( ) ( )221 xnnxnn edxdexH −−= ( ) 10 =xH , ( ) xxH 21 = , ( ) 24 22 −= xxH 
 
(ver definição das funções utilizadas nas próximas páginas) 
18 
Funções de Bessel de Primeira Classe de Ordem n: 
 
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
+
++
−=
0
2
1!
21
k
knk
n knk
xxJ Γ ( )
( ) ( )
( )∑
∞
=
−
− −+
−=
0
2
1!
21
k
nkk
n nkk
xxJ Γ 
 
 
Funções de Bessel de Segunda Classe de Ordem n: 
 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++−−−−−+
≠−
=
∑∑ ∞
=
+−
=
−
−
0
21
0
2 ,...2,1,0
!!
2
1
1
2!1
1
2ln
2
,...2,1,0
sen
cos
k
nk
k
n
k
nk
n
nn
n
n
knk
xknkxknxJx
n
n
xJnxJ
xY
ΦΦππγπ
π
π
 
 
em que ...5775156,0=γ é a constante de Euler e ( ) ( ) 00,1...
4
1
3
1
2
1
1 =+++++= ΦΦ
k
k . 
 
 
Funções Modificadas de Bessel de Primeira Classe de Ordem n: 
 
( ) ( )( )∑
∞
=
+
++= 0
2
1!
2
k
kn
n knk
xxI Γ ( )
( )
( )∑
∞
=
−
− −+= 0
2
1!
2
k
nk
n nkk
xxI Γ 
 
 
 
19 
Funções Modificadas de Bessel de Segunda Classe de Ordem n: 
 
( )
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
−+
+−−−++−
≠−
=
∑
∑
∞
=
+
−
=
−+
−
0
2
1
0
21
,...2,1,0
!!
2
2
1
2!11
2
1
2ln1
,...2,1,0
sen2
k
nkn
n
k
nkk
n
n
nn
n
n
knk
xknk
xknxIx
n
n
xIxI
xK
ΦΦ
γ
π
π
 
 
 
Função Hipergeométrica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) nn xnn
nnxF ∑∞
= −++
−++−+++=
1 1...1!
1...11...1
1,,, γγγ
βββαααγβα 
 
 
Função Hipergeométrica Confluente: ( ) ( ) ( )( ) ( ) nn xnn
nxF ∑∞
= −++
−+++=
1 1...1!
1...1
1,, γγγ
αααγα 
 
20 
Soluções generalizadas de famílias de Equações Diferenciais Ordinárias de 
Segunda Ordem 
 
( ) ( ) 0=∇+∇ ygxyf k , em que o operador ∇ é definido por 'xyy =∇ 
Família Solução 
 
Bessel 
 
( )( ) 022 =+−∇−∇ yxpyba m 
( )( ) 022 =−−∇−∇ yxpyba m 
( ) ( )0
2
,2 ≠−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
m
m
ab
m
pxBY
m
pxAJxxy
mmba
ννν
( ) ( )0
2
,2 ≠−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
m
m
ab
m
pxBK
m
pxAIxxy
mmba
ννν
0≠x 
 
Hipergeométrica Confluente 
 
( )( ) ( ) 0=+∇−+∇+∇ ycqxyba p 
0≠p 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
−
−−
p
qxF
p
qxBx
p
qxFAxxy
pp
a
p
a ,2,1,,
1
γγαγα
γ
 
p
ac −=α , 1+−=
q
abγ 
 
Hipergeométrica 
 
( )( ) ( )( ) 0=+∇+∇−+∇+∇ ydcqxyba p 
0≠p 
Nas vizinhanças de 0=x : 
( )
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−−+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−−=
−−−
−
pp
ab
pa
pa
qx
p
ab
p
bd
p
bcFqxBx
qx
p
ab
p
ad
p
acFAxxy
,1,,
,1,,
 
 
Para 1>x 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−−+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−−=
−−−−
−−−
1
1
,1,,
,1,,
pp
da
pa
pp
ca
pa
qx
p
cd
p
bd
p
adFqxBx
qx
p
dc
p
bc
p
acFqxAxxy
 
 
21 
Série de Exercícios no 6 – Solução de EDO linear de 2a ordem em série de 
potências. 
 
(1) Resolver nas vizinhanças de x = 0 
 ( )
( ) ( )⎩⎨
⎧
==
=+++
10',00
01ln'''
yy
yxxyy
 
 
R.: ( ) 11...
432
1ln
432
≤<−+−+−=+ xxxxxx 
Solução geral: ( ) 11...
126
...
120246
1
43
1
543
0 ≤<−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++−= xxxxcxxxcxy 
Solução particular: ( ) 11...
18020126
6543
≤<−−++−−= xxxxxxxy 
 
 
(2) Resolver nas vizinhanças de x = 1 
 
( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=+−
211'1
0ln'2''2
yy
yxxyyx
 
 
Sugestão: faça 1−= xt 
 
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10...
4
1
3
1
2
1
1ln
432
≤<+−−−+−−−= xxxxxx 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10...1
48
1
1
12
1
1
2
1
1
2
1
2
1 432 ≤<+−+−+−+−+= xxxxxxy 
 
 
(3) Resolver nas vizinhanças de x = 0 e fornecer o intervalo de convergência 
da resposta 
 
( ) ( )⎩⎨
⎧
−==
=++
10'10
2'3''
yy
xyexyy x
 
 
22 
R.: ∑∞
=
=
0 !n
n
x
n
xe , ∞<<∞− x 
( ) ∞<<∞−−++−−= xxxxxxy ...
316
5
2
1
432
 
 
 
(4) Resolver a equação de Euler: 1'''2 =−+ yxyyx 
 
R.: tex = , ( ) 11 −+= −BxAxxy 
 
 
(5) Resolver nas vizinhanças de x = 0: 
 
a) ( )⎩⎨
⎧
=
=+
00
0''21
y
yyx λ
 R.: ( ) 01 23 =+−∇∇ yxy λ 
 
b) 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+−+
∞→ 0lim
029'2'' 32
xy
yxxyyx
x
 R.: ( )( ) 0921 3 =−+∇−∇ yxy 
 
c) 
( )
( )⎩⎨
⎧
=
=+−+
00
01''' 234
y
yxyxyx
 R.: ( ) 011
2
2 =−−∇ y
x
y 
 
d) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−−+
00
0
1
'
1
''
2
y
y
x
xy
x
y
 R.: ( )( ) 011 =+−∇+∇ xyy 
 
e) ( ) 03'1''2 =+++ yyxxy R.: ( ) 03
2
1
2
1 =+∇+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∇∇ yxy 
 
f) ( ) 0
4
1
'2
2
3
''1 =−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+− yyxyxx 
R.: 0
2
1
2
1
2
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∇⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∇−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∇∇ yxy 
 
23 
g) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
=+−
1
2
',00
04''' 3
πyy
yxyxy
 R.: ( ) 042 4 =+−∇∇ yxy 
 
h) 0
16
1
''' 22 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++ yxxyyx R.: 0
16
1 22 =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∇ yxy 
 
i) 0''' =−− x
yyy R.: ( ) ( ) 011 =+∇−−∇∇ yxy 
 
 
(6) Resolva o problema de condução de calor na aleta triangular: 
 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=−+
finito é0
constante,1
0''' 22
y
TTy
xyxyyx
ap
Ω
 
 
R.: 022 =−∇ xyy Ω 
( ) ( ) ( )( )210
21
0
2
2
LI
xITTxy ap Ω
Ω−= 
 
24 
5 – Problema de Sturm-Liouville Homogêneo de 2a ordem 
 
Forma da EDO linear e homogênea de 2a ordem: 
 
 ( ) ( ) ( )[ ] 0''' 321 =+++ XxgxgXxgX µ 
 
 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 0'' =++ xXxpxqxXxs µ 
 
onde 
 
( ) ( )∫= dxxgxs 1exp , ( ) ( ) ( )xsxgxq 2= , ( ) ( ) ( )xsxgxp 3= 
 
O Problema de Sturm-Liouville 
 
 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
=++
0'
0'
0''
21
21
bXlbXl
aXkaXk
xXxpxqxXxs µ
 
 
 
Teorema 1: os valores característicos são reais e formam uma seqüência 
infinita 
 
......321 <<<<< nµµµµ 
 
sendo nn µ∞→lim infinito. 
 
Teorema 2: as funções características ( )xX m e ( )xX n correspondentes a mµ e 
nµ são ortogonais em relação à função peso ( )xp em [ ]ba, , isto é 
 
( ) ( ) ( ) nmdxxXxXxpb
a nm
≠=∫ ,0 
25 
 
Desenvolvimento de ( )xf em série de funções ortogonais ( ){ }xφ em relação à 
função peso ( )xp em ( )ba, 
 
Teorema 3: sejam ,...,...,, 321 nφφφφ as funções características do problema de 
Sturm-Liouville. Sejam f e 'f contínuas por partes no intervalo bxa ≤≤ . 
Então a série 
 
( ) ( )∑∞
=
=
0n
nn xAxf φ , 
( ) ( ) ( )
( ) ( )∫
∫= b
a n
b
a n
n
dxxxp
dxxxfxp
A
2φ
φ
 
 
converge para ( ) ( )
2
−++ xfxf em cada ponto do intervalo aberto bxa << . 
 
OBS.: ( ) ( )xfxf
xx +→=+ lim (limite de f à direita no ponto x ) 
 ( ) ( )xfxf
xx −→=− lim (limite de f à esquerda no ponto x ) 
Para funções contínuas, ( ) ( )−=+ xfxf . 
 
Séries de Fourier: muitas funções podem também ser representadas como 
séries de Fourier, as quais são formadas por combinações lineares de senos e 
cossenos. 
 
A seqüência 
 
,...2,1,0,cos,sen =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ n
c
xn
c
xn ππ
 
 
é um conjunto de funções ortogonais em ( )cdd 2, + em relação à função peso 
( )1=xp . 
 
A série de Fourier de ( )xf , definida em ( )cdd 2, + , é dada por 
 
26 
( ) ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=
1
0 sencos
n
nn c
xnb
c
xnaaxf ππ 
 
Em que 
 
( )∫ += cdd dxxfca
2
0 2
1
 
 
( ) ,...3,2,1,cos1 2 == ∫ + ndxc xnxfca
cd
dn
π
 
 
( ) ,...3,2,1,sen1 2 == ∫ + ndxc xnxfcb
cd
dn
π
 
 
 
A série de Fourier de uma função contínua por partes (como a função 
periódica de período 2c abaixo) também converge para o valor ( ) ( )
2
−++ xfxf 
nos pontos de descontinuidade. 
 
 
d d+2c d+4cd-2cd-4c
f (x)
~ ~ ~~ ~
~ ponto de convergência no 
descontínuo
x
d d+2c d+4cd-2cd-4c
f (x)
~ ~ ~~ ~
~ ponto de convergência no 
descontínuo
x
 
 
 
Série de Fourier da expansão par de ( )xf , definida em ( ),c c− : 
27 
 
 
( ) ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
1
0 cos
n
n c
xnaaxf π 
c-c
f(x)
x
c-c
f(x)
x
 
 
 
Em que 
 
( )∫= c dxxfca 00 1 
 
( ) ,...3,2,1,cos2
0
== ∫ ndxc xnxfca
c
n
π
 
 
 
Série de Fourier da expansão ímpar de ( )xf , definida em ( ),c c− : 
 
 
( ) ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
1
sen
n
n c
xnbxf π 
c-c
f(x)
x
c-c
f(x)
x
 
 
 
Em que 
 
( ) ,...3,2,1,sen2
0
== ∫ ndxc xnxfcb
c
n
π
 
 
28 
Série no 7 – Problema de Sturm-Liouville 
 
(1) Séries de Fourier 
 
a) Desenvolver ( ) ⎩⎨
⎧
≤≤−
≤≤=
21,2
10,
tt
tt
tf em série só de senos e em série só de 
cossenos. 
 
R.: ( ) ( )( )
( )∑∞
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
+
−=
0
22 2
12
sen
12
18
n
n tn
n
tf ππ 
( ) ( ) ( )∑
∞
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−= 0 22 12cos12
14
2
1
n
tn
n
tf ππ 
 
a) Desenvolver ( ) ππ ≤≤−= tttf ,2 
 
R.: ( ) ( ) ( )∑∞
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+=
1
2
2 cos1
4
3 n
n
n
tntf π 
 
(2) Problema de Sturm-Liouville: 
 
( ) ( )⎩⎨
⎧
==
=+−
01,00
0'3'' 2
yy
xyyxy λ
 
 
a) Mostrar que os valores característicos são as raízes de ( ) 02 =nJ λ , isto é 
 
n 1 2 3 4 ... 
nλ 5,1356 8,4172 11,6198 14,7960 ... 
 
b) Mostrar que as funções características são ( ) ( )xJxxy nn λ22= . 
 
c) Mostrar que a função peso é ( ) 31xxp = . 
 
(3) Determinar os valores característicos nλ do problema de Sturm-Liouville 
29 
 
( )
( ) ( )⎩⎨
⎧
==
=−+
0',00
0'' 22
λ
λ
yy
yxay
 
 
Sugestão: faça xt −= λ . 
R.: raízes de 02
2
41 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ naJ λ . 
 
(4) Determinar os valores e funções característicos e a função peso do seguinte 
problema de Sturm-Liouville: 
 ( )
( ) ( ) 01,00
01'2'' 2
==
=++−
yy
yyy λ
 
 
R.: ( ),...2,1,0== nnn πλ , ( ) ( )xneAxy xnn πsen= , ( ) xexp 2−= 
30 
Zeros das Funções de Bessel (Spiegel e Liu, p. 311) 
 
 
 
 
 
 
 
31 
Abramovitz & Stegun: “Handbook of Mathematical Functions”, Dover, 
New York, p. 414 
 
 
32 
 
33 
6 – Solução da EDP por separação de variáveis 
 
Série no 8: resolver 
 
(1) 
( ) ( )
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
><<∂
∂=∂
∂
0,
0,0
0,
0,0,
1
2
2
taT
tT
xfxT
tax
t
T
x
T
α
 
 
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]∑ ∫∞
=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1
2
0
expsensen
2
,
n
nn
a
n txdxxxfa
txT αλλλ 
• 
a
n
n
πλ = são as raízes de ( ) 0sen =anλ . 
 
 
(2) 
( ) ( )
( )
( )⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+∂
∂
=
=
><<∂
∂=∂
∂
0,
0,0
0,
0,0,
1
,
2
2
taT
x
T
tT
xfxT
tax
t
T
x
T
ta
β
α
 
 
R.: ( ) ( )∑ ∫∞
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
1
2
0
expsensen
2
,
n
nna n t
a
zx
a
zdxx
a
zxf
a
txT α 
• nz são as raízes de ( ) βa
zz nn −=tan (veja tabela na próxima página – 
Abramovitz e Stegun, 1965) 
 
βΩ a1= 1z 2z 3z 4z 5z 6z 
0,2 2,654 5,454 8,391 11,41 14,47 17,56 
 
 2,800 2,937 3,019 3,06 3,09 π→
 
34 
Raízes da Equação tg(xn) = λxn 
(Abramovitz & Stegun p. 224) 
 
 
 
 
35 
Raízes da Equação ctg(xn) = λxn 
(Abramovitz & Stegun p. 225) 
 
 
 
 
36 
 
 
 (3) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂
∂=∂
∂
=
><<∂
∂=∂
∂
0
0,
0,0,
1
,,0
2
2
tat x
T
x
T
xxT
tax
t
T
x
T
α
 
 
R.: ( ) ( ) ( ) [ ]∑∞
=
−−+=
1
2
22
expcos
1cos2
2
,
n
nn txn
naatxT αλλππ 
• 
a
n
n
πλ = são as raízes de ( ) 0sen =anλ . 
 
 
(4) 
( ) ( )
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
><<∂
∂=∂
∂
BtaT
AtT
xfxT
tax
t
T
x
T
,
,0
0,
0,0,
1
2
2
α
 Sugestão: ( ) ( ) ( ) ( )tTxXxgtxT +=, 
 
R.: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]∑ ∫∞
=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−=
1
2
0
expsensen
2
,
n
nn
a
n txdxxxgxfa
Ax
a
ABtxT αλλλ 
• 
a
n
n
πλ = são as raízes de ( ) 0sen =anλ . 
 
(5)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
==
==
<<<<=∂
∂+∂
∂
xfxTbxT
yaTyT
byax
y
T
x
T
0,,0,
0,,0
0,0,0
2
2
2
2
a
b
a
b
y
x
T = 0
T = 0
T = 0
T = f(x) a
b
a
b
y
x
T = 0
T = 0
T = 0
T = f(x)
 
 
37 
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑ ∫
∞
=
⋅−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
1
0
sen
tanh
coshtanhsenh
sen
2
,
n
n
n
nnna
n xb
yby
dxxxf
a
txT λλ
λλλλ 
• 
a
n
n
πλ = 
 
(6) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
4 2
3 1
0, 0 , 0
0, , ,
, , ,0
T T x a y b
x y
T y f y T a y f y
T x b f x T x f x
⎧∂ ∂+ = < < < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ = =⎪⎪⎩
 
a
b
y
x
T = f1(x)
T = f3(x)
T = f2(x)T = f4(x)
a
b
y
x
T = f1(x)
T = f3(x)
T = f2(x)T = f4(x)
 
Sugestão: pelo Princípio da Superposição, 
 
T = f1(x)
T = f3(x)
T = f2(y)T = f4(y) T (x,y)
T = f1(x)
T 1(x,y)
0 T = f3(x)
T 2(x,y)
T = f4(y) T 3(x,y) T = f2(y)T 4(x,y)
00 0 0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
=
=
T = f1(x)
T = f3(x)
T = f2(y)T = f4(y) T (x,y)
T = f1(x)
T 1(x,y)
0 T = f3(x)
T 2(x,y)
T = f4(y) T 3(x,y) T = f2(y)T 4(x,y)
00 0 0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
=
=
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4, , , , ,T x y T x y T x y T x y T x y= + + +
S-L em x
(prob. 5)
S-L em x S-L em y S-L em y
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4, , , , ,T x y T x y T x y T x y T x y= + + +
S-L em x
(prob. 5)
S-L em x S-L em y S-L em y
R.: 
 
 
(S-L: problema de Sturm-Liouville) 
 
 
38 
(7) 
2 2
2 2
2 0, , (Equação de Poisson)
0 ao longo do perímetro
a x a b y b
x y
ψ ψ
ψ
⎧∂ ∂+ + = − < < − < <⎪ ∂ ∂⎨⎪ =⎩
 
 
 
 2a
2b
y
x
ψ = 0
ψ = 0
ψ = 0
ψ = 0
2a
2b
y
x
ψ = 0
ψ = 0
ψ = 0
ψ = 0
 
Sugestão: ( ) ( ) ( )yxgxfyx ,, +=ψ 
 
R.: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑ ∫
∞
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=
0
0
2222 cos
cosh
cosh
cos
2
,
n
n
n
na
n xb
ydxxax
a
xayx λλ
λλψ 
,...2,1,0,
2
12 =+= n
a
n
n πλ são as raízes de ( ) 0cos =anλ . 
 
 
(8) 
( )
( ) ( ) ( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
==
==∂
∂
<<<<=∂
∂+∂
∂+∂
∂
rfbrTrT
zaT
r
T
bzar
z
T
r
T
rr
T
z
1
,0
2
2
2
2
,,00,
0,
0,0,0
1
 
z
0
f1(r)
0
2a
b
z
0
f1(r)
0
2a
b
 
R.: ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )rJb
z
drrrJ
drrJrrf
zrT n
n
n
n
a
n
a
n λλ
λ
λ
λ
0
1
0
2
0
0 01
senh
senh
, ⋅⋅= ∑ ∫
∫∞
=
 
 
• nλ são as raízes de ( ) 00 =aJ nλ : 
39 
 
 a1λ a2λ a3λ a4λ a5λ a6λ 
 2,405 5,520 8,654 11,79 14,93 18,07 
 
 3,12 3,133,14 3,14 3,14 π→
 (ver Spiegel & Liu) 
 
 
(9) bzarz
T
r
T
rr
T <<<<=∂
∂+∂
∂+∂
∂
0,0,0
1
2
2
2
2
 
 
f1(r)
f2(r)
2a
bf3(r)
=
f1(r)
0
0
0
0
0
0
+ +
f2(r)
f3(r)
T1(r,z) T2(r,z) T3(r,z)
f1(r)
f2(r)
2a
bf3(r)
=
f1(r)
0
0
0
0
0
0
+ +
f2(r)
f3(r)
T1(r,z) T2(r,z) T3(r,z)
 
 ( ) ( ) ( ) ( )zrTzrTzrTzrT ,,,, 321 ++=
S-L em r S-L em r S-L em z
R.: ( ) ( ) ( ) ( )zrTzrTzrTzrT ,,,, 321 ++=
S-L em r S-L em r S-L em z
R.: 
 
 
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⋅=
∫
∑∞
=
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
drrJrrf
aJa
A
aJ
rJ
b
z
AzrT
0 012
1
2
0
1
01
2
0
senh
senh
,
λλ
λ
λλ
λ
 
 
( ) ( )[ ]( ) ( )( )
( ) ( ) ( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⋅−=
∫
∑∞
=
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
drrJrrf
aJa
B
aJ
rJ
b
zb
BzrT
0 022
1
2
0
1
02
2
0
senh
senh
,
λλ
λ
λλ
λ
 
 
( )
( )⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
∫
∑∞
=
b
n
n
n
dzz
b
nzf
b
B
a
b
nI
r
b
nI
z
b
nCzrT
0 3
1
0
0
3
sen
2
sen,
π
π
π
π
 
 
40 
 
(10) ( )( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
≤≤≤=∂
∂+∂
∂+∂
∂
0,
00,
constante,,
0,,0
11
0
2
2
22
2
πφ
φ
φθφ
πθθ
φφφ
r
r
a
ar
rrrr
 
0φ
0
0
a
θ
r
0φ
0
0
a
θ
r
 
R.: ( ) ( )∑∞
=
=
1
sen,
n
n
n nrEr θθφ 
( )
( )∫
∫= π
π
θθ
θθφ
0
2
0 0
sen
sen
dna
dn
E
n
n 
 
 
(11) ( )( )
( )
2
2
, 0 , 1
0, 0
, 0
,1
u u u x y
x y
u y
u y
u x x
π
π
⎧∂ ∂− = < < >⎪∂ ∂⎪⎪ =⎨⎪ =⎪ =⎪⎩
 
 
R.: ( ) ( ) ( )( ) ( )21 1
1
1
, 2 sin
n
n y
n
u x y e nx
n
∞ + −
=
−= − ∑ 
 
 
(12) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
,0
1
, 0 , 0
,0 , 0
0, , 0
x
u u x l t
x t
uu x x
t
u t u l t
α
ϕ
⎧∂ ∂= < < >⎪∂ ∂⎪ ∂⎪ = =⎨ ∂⎪⎪ = =⎪⎩
 
 
R.: ( ) ( )
0
1
2
, sin sin cos
l
n
n x n x n au x t x dx t
l l l l
π π πϕ∞
=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∫ 
41 
 
 
(13) 
( )
( )
( )
2
2
1,
1
, 0 1 , 0
,0 1
0, é finito
1, 0 , constante
τ
θ θ θ β τβ β β τ
θ β
θ τ
θ θ τβ
⎧ ∂ ∂ ∂+ = < < >⎪∂ ∂ ∂⎪⎪ =⎪⎨⎪⎪∂ +Ω = Ω⎪∂⎪⎩
 
 
R.: ( ) ( ) ( )0
1
, expn n n
n
D Jθ β τ λ β λ β∞
=
= −∑ , ( )( )
1
00
1 2
00
n
n
n
J d
D
J d
β λ β β
β λ β β
= ∫∫ 
Para achar os nλ : ( ) ( )1 0 0n n nJ Jλ λ λ+Ω = 
 
Ω 1λ 2λ 3λ 4λ 
0 0,0000 3,8317 7,0156 10,1735 
 
1 1,2558 4,0795 7,1558 10,2710 
 
∞ 3,1153 5,5201 8,6537 11,7942 
 
 3,1153 3,1336 3,1405 π→ 
 
(Abramovitz e Stegun, 1965) 
 
 
(14) ( )( ) ( )
2
2 2
1 1
0, 1,
1,
, , 0
u u r
r r r r
u
u r u r
π θ πθ
θ θ
π π
⎧ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + = > − < <⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ − = =⎪⎪⎩
 
 
42 
R.: ( ) ( ) ( )
1
1
1
, 2 sin
n
n
n
u r r n
n
θ θ
−∞ −
=
−= ∑ 
 
 
(15) ( )( ) ( )
2
2
, 0 , 0
,0 0
0, 0, , (constante)
v v v x a t
x x t
v x
v t v a t V
α β⎧ ∂ ∂ ∂= + < < >⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎪⎩
 
 
Sugestão: fazer ( ) ( ) ( ), ,v x t f x x t= +Ω 
 
R.: ( ) ( ) ( )* 2
1
, exp sin exp
2n nn
nv x t f x D x x t
a
β π λα
∞
=
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 
 
( )
exp 1
exp 1
x
f x V
a
β
α
β
α
⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
( )
0
*
2
0
1
exp exp sin
2
1
exp exp sin
2
a
n
a
nf x x x x dx
aD
nx x x dx
a
β β π
α α α
β β π
α α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫ 
 
43 
7 – Transformadas Integrais 
 
 
 
( ) ( ) ( ),b
a
f p f x K p x dx= ∫ 
 
 
Transformada ( )f p ( )f x Transformada de ( )'f x e ( )''f x 
Complexa de 
Fourier ( ) ( ) ipxE f x f x e dx∞ −−∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )1 12 ipxE f p f p e dpπ
∞−
−∞
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )
2''E f x p E f x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( ) ( )lim lim ' 0
x x
f x f x→±∞ →±∞= = 
Cosseno de 
Fourier ( ) ( ) ( )0 cosC f x f x px dx∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( )1 02 cosC f p f p px dpπ
∞− ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( )
2'' ' 0C f x p C f x f⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( ) ( )lim lim ' 0
x x
f x f x→∞ →∞= = 
Seno de 
Fourier ( ) ( ) ( )0 sinS f x f x px dx∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( )1 02 sinS f p f p px dpπ
∞− ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( )
2'' 0S f x p S f x pf⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( ) ( )lim lim ' 0
x x
f x f x→∞ →∞= = 
Laplace ( ) ( )
0
pxL f x f x e dx
∞ −⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( )[ ] ( )∫ +−∞→− = ωωωπ ia ia st dssfeipfL lim211 ( ) ( ) ( )' 0L f x pL f x f⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )2'' 0 ' 0L f x p L f x pf f⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
44 
 
 
 
 
Transformada Ordem da Derivada Domínio da Variável Condições Limites “Naturais” 
Complexa de Fourier 2 ( ),−∞ ∞ ( ) ( )lim lim ' 0x xf x f x→±∞ →±∞= = 
Cosseno de Fourier 2 [ )0,∞ Em ( )' 0f ( ) ( )lim lim ' 0
x x
f x f x→∞ →∞= = 
Seno de Fourier 2 [ )0,∞ Em ( )0f ( ) ( )lim lim ' 0
x x
f x f x→∞ →∞= = 
Laplace 1 [ )0,∞ Em ( )0f 
Laplace 2 [ )0,∞ Em ( )0f e ( )' 0f 
 
 
 
 
45 
Transformada de Laplace: Teoremas 
 
( ) ( ) ( )
0
stL f t f t e dt f s
∞ −⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ∫ 
 
 
( )L f t⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )f t 
( ) ( )1 2aL f t bL f t⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )1 2af t bf t+ 
1 sf
k k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )f kt 
( )ske f s− ( ) ( )u t k f t k− − 
( )f s k− ( )kte f t 
( )d f s
ds
− ( )tf t 
( ) ( )1 2L f t L f t⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20
t
f t f t f f t dη η η⋅ = −∫ 
( ) ( )1 20t f t f dη η η= −∫ 
( )f s é uma função analítica exceto para um 
número finito de pólos is a= (ou infinito 
porém enumerável) 
( ) ( )[ ] ( )[ ]∑ =− == i stas sfesfLtf iRes1 
is a= é um pólo simples: 
 
( ) ( ) ( ){ }Res lim
ii
st st
is as a
e f s s a e f s→=
⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ 
 
is a= é um pólo duplo: 
( ) ( ) ( )2Res lim
ii
st st
is as a
de f s s a e f s
ds→=
⎧ ⎫⎡ ⎤ = −⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 
 
Antes de empreender a longa viagem de volta, verifique se: 
 
( ) ( )
0
lim lim
s t
sL f t f t→∞ →
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , ( ) ( )0lim lims tsL f t f t→ →∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 
 
46 
Transformada de Laplace de algumas funções 
 
Referência: Carslaw & Jaeger, “Operation Methods in Applied Mathematics”, Dover, N. 
York 
 ( )[ ]tfL ( )tf 
sa
n
es −
−− ⋅21 ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅
t
at n
n
2
erfc4 2 i 
,...2,1,0=n 
sb
e sa
+
−
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− +
−
tb
t
abe
t
e tbabt
a
2
erfc
2
2
4
π 
( )sbs e
sa
+
−
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
tb
t
a
b
e
b
t
a
tbab
2
erfc
2
erfc 2
 
ω−
−
s
e sa 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −− t
t
aet
t
aee aa
t
ωω ωω
ω
2
erfc
2
erfc
2( )saK 0 
t
e t
a
2
4
2
−
 
( )asK 0 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
−
<<
at
at
at
para
1
0para0
22
 
( )220 asbK + ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
−
<<
bt
bt
bta
bt
para
cos
0para0
22
22 
( )asIe as 0−π 
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<−
>
at
tat
at
20para
2
1
2para0
 
22 asbbs ee +−− − ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
−
−
<<
bt
bt
btaJab
bt
para
0para0
22
22
1
 
( )
n
n
an
ass 22 −− 
( )
0para >n
t
atI n 
47 
1+n
s
a
n
s
ea
 
( ) ( ) 1para22 −>natIat nn 
22
22
as
e asb
−
−−
 ( )⎪⎩⎪⎨⎧ >−
<<
btbtaI
btpara
para
00
22
0
 
bsasb ee −−− −22 ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
−
−
<<
bt
bt
btaIab
btparapara
00
22
22
1
 
( ) 22
22
2
22
asb
n
e
asa
ass −−⋅
−
−− ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>>−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
<<
1epara
00
22
2
nbtbtaI
bt
bt
btpara
n
n 
 
onde: 
 
( ) ( )∫∞ −= η ξξη derfc nn erfc1ii para ,...2,1=n , com ( ) ( ) ∫∞ −== η ξ ξπηη de
22
erfcerfc0i 
48 
Série no 9 – Transformada de Laplace 
 
Resolver: 
 
(1) 
( )
( ) ( )
'' 3 ' 2 1
0 0, ' 0 1
y y y u t
y y
⎧ + + = −⎪⎨ = =⎪⎩ 
 
R.: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 1 1 1
2 2
t tt ty t e e e e u t− − − −− − ⎡ ⎤= − + − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
 
(2) 
( )
( ) ( )
0
' 2 6 2, 0
' ' 0
0 5, 0 6
t
y y z d t
y z z
y z
τ τ⎧ + + = − >⎪⎪ + + =⎨⎪ = − =⎪⎩
∫
 
 
R.: ( ) 42 4 3t ty t e e−= − − , ( ) ...................z t = 
 
 
(3) ( )( ) ( )
2
2
, 0, 0
0, 1
,0 lim , 0
y
y t
t y
t
y y t
ν
→∞
⎧∂Ω ∂ Ω= > >⎪ ∂ ∂⎪⎪Ω =⎨⎪Ω = Ω =⎪⎪⎩
 
 
R.: ( ), erfc
2
yy t
tνΩ = 
 
 
(4) Resolver o sistema para ( ),V V x t= : 
 
49 
( ) ( )
( ) 0
, 0, 0
0, , , 0
0, , , constante
VRI x t
x
V IC
t x
t I x t V x t
x V x t V
∂⎧ = − > >⎪ ∂⎪ ∂ ∂⎪ = −⎨ ∂ ∂⎪ = = =⎪⎪ = =⎩
 
 
( )lim , é finito
x
V x t→∞ , R e C são constantes. 
 
R.: ( ) ( )
1 2
0, erfc
2
CR x
V x t V
t
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
(5) 
( )
( )
2 2
2 2 2
,0
,
1
, 0 , 0
,0 0, 0
0, 0, , constante
x
a t
u u x a t
x c t
uu x
t
uu t k
x
⎧∂ ∂⎪ = < < >∂ ∂⎪⎪ ∂⎪ = =⎨ ∂⎪⎪ ∂⎪ = =∂⎪⎩
 
 
R.: ( ) ( )( )
( ) ( )
22
1
1 2 1 2 18
, sin cos
2 22 1
n
n
n x n ctx au x t ck
c c a an
π π
π
∞
=
⎡ ⎤− − −= +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ 
 
 
(6) ( ) ( )
2 2 , 0, 0
,0 0, 1
V Vx x x t
x t
V x V t
∂ ∂⎧ + = > >⎪ ∂ ∂⎨⎪ = =⎩
 
 
R.: ( )
2
2 2
1 ,
,
1 ,
t t x
V x t
x t x
⎧ + <⎪= ⎨ + ≥⎪⎩ 
 
50 
 
(7) ( )( )
2
2
0
1 1
,0 0, 0
, , 0
U U U
r r r k t
U r x a
U a t U t
⎧∂ ∂ ∂+ =⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = < <⎨⎪ = >⎪⎪⎩
 
 
R.: ( ) ( )
20
0
1 1
, 1 2 exp
n
n
n n n
rJ
aU r t U k t
J a
λ
λ
λ λ
∞
=
⎧ ⎫⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎝ ⎠= − −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ 
nλ são as raízes positivas de ( )0 0J λ = . 
 
 
(8) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
' cosh 0 , 0
t
F t k F x k t x dx F C⎡ ⎤+ − = =⎣ ⎦∫ 
 
R.: ( ) 2 21
2
k tF t C
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
 
(9) ( ) ( )
0, 0, 0
,0 0, 0,
T Tx x t
x t
T x T t t
∂ ∂⎧ + = > >⎪ ∂ ∂⎨⎪ = =⎩
 
 
R.: ( ) 2 2,
2 2
x xT x t t u t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
51 
(10) 
( )
( )
( )
1
1
0
1
0 0
, constante
n
n n
n
ck c c
t
c
c t A
θ θ ++ ∂⎧ + − = −⎪ ∂⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩
 
 
k e θ são constantes 
 
R.: ( ) ( )
1
1
0
k ut n
n n
Ac t u e du
n
θ
θ
⎛ ⎞− +⎜ ⎟− ⎝ ⎠= Γ ∫ 
 
 
(11) ( )( ) ( )
2
0
, 0, 0
,0 0
0, , lim , 0
x
U Uk hU x t
t x
U x
U t F U x t
→∞
∂ ∂⎧ = − > >⎪ ∂ ∂⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎪⎩
 
 
R.: ( ) 20 30 1, exp 42
tx xU x t F hu du
kuk uπ
⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 
 
 
(12) 
( )
( ) ( )
, 0, 0
,0 0, 0
T Tx T xF t x t
x t
T x T t
∂ ∂⎧ + + = > >⎪ ∂ ∂⎨⎪ = =⎩
 
 
R.: ( ) ( )2 2
0
,
ttT x t xe e F dη η η−= ∫ 
 
 
(13) Sistema mecânico com um grau de liberdade 
 
 
52 
 
 
( )
( ) ( )
2
2
0 0
,
0 , ' 0 ' , constantes
d y dya b cy f t a m g
dt dt
y y y y
⎧ + + = =⎪⎨⎪ = =⎩
 
 
R.: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2'y t f t h t y t y tψ ψ= ⋅ + + , 
 
em que 
m
y
referencial
força externa f(t)
c, constante da mola
b, constante de 
amortecimento
m
y
referencial
força externa f(t)
c, constante da mola
b, constante de 
amortecimento
 
( ) ( )1 Hh t y ta= , ( ) ( ) ( )1 'H H
bt y t y t
a
ψ = + , ( ) ( )2 Ht y tψ = , e a função 
Hy é a solução de ( ) ( )
2
2
0
0 0, ' 0 1
H H
H
H H
d y dyb c y
dt a dt a
y y
⎧ + + =⎪⎨⎪ = =⎩
 
 
 
(14) 
( ) ( ) 00, , ,0
F
F S
S
F S
F Fa S S
T T T
t
T T T
t
T t T T z T
∂⎧− = −⎪ ∂⎪∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ = =⎪⎩
 
 
R.: ( ) ( ) ( )0 00
0
exp exp 2
tS S
Fa S
T T z u I zu du
T T
− = − −− ∫ 
( ) ( ) ( )00
0
exp exp 2
zFa F
Fa S
T T t u I tu du
T T
− = − −− ∫ 
 
53 
8 – Gênese da Equação Diferencial 
 
 
q
n
Volume de 
controle
Entra – sai, por 
unidade de tempo, 
da grandeza 
conservativa através 
da superfície do VC
Geração da 
grandeza 
conservativa, 
por unidade de 
tempo, no VC
Acumulação no 
tempo da grandeza
conservativa
=+
q
n
Volume de 
controle
Entra – sai, por 
unidade de tempo, 
da grandeza 
conservativa através 
da superfície do VC
Geração da 
grandeza 
conservativa, 
por unidade de 
tempo, no VC
Acumulação no 
tempo da grandeza
conservativa
=+
 
 
 
 
∫∫∫ ∂∂=+⋅− VCVCSC dVtWdVAdSnq 
 
 
( )∫∫ =⋅ VCSC dVdS qnq div (Teorema da Divergência) 
 
 
( )
t
WA ∂
∂=+− qdiv 
 
54 
 
Divergente ( )
z
v
y
v
x
v
v zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ 
Laplaciano ( ) 2222222 z sysxss ∂∂+∂∂+∂∂=∇ Coordenadas retangulares: 
Gradiente [ ] x
ss x ∂
∂=∇ , [ ]
y
ss y ∂
∂=∇ , [ ]
z
ss z ∂
∂=∇ 
 
 
Divergente ( ) ( )
z
vv
r
rv
rr
v zr ∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇ θ
θ11 
Laplaciano ( ) 222222 11 z ssrrsrrrs ∂∂+∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂∂∂∂=∇ θ 
rθ
z
x
y
( )zyx ,, ( )zr ,,θ
•
ou
x
y
z
Coordenadas
cilíndricas
rθ
z
x
y
( )zyx ,, ( )zr ,,θ
•
ou
x
y
z
Coordenadas
cilíndricas 
Gradiente [ ]
r
ss r ∂
∂=∇ , [ ] θθ ∂
∂=∇ s
r
s 1 , [ ]
z
ss z ∂
∂=∇ 
 
 
Divergente 
( ) ( ) ( )
φθ
θθθ
φ
θ
∂
∂+
∂
∂+∂
∂=⋅∇
v
r
v
r
vr
rr
v r
sen
1
sen
sen
11 2
2
 
Laplaciano 
( )
2
2
22
2
2
2
2
sen
1
sen
sen
11
φθ
θθθθ
∂
∂+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∇
s
r
s
rr
sr
rr
s
( )φθ ,,r
φ
z
x
y
( )zyx ,,
•
r
θ
ou
z
x
y
Coordenadas
esféricas
( )φθ ,,r
φ
z
x
y
( )zyx ,,
•
r
θ
ou
z
x
y
Coordenadas
esféricas
Gradiente 
[ ]
r
ss r ∂
∂=∇ , [ ] θθ ∂
∂=∇ s
r
s 1 , 
[ ] θθφ ∂
∂=∇ s
r
s
sen
1