Polígrafo Eq Diferenciais

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DA REGIÃO DOS VINHEDOS 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, DA NATUREZA E DE TECNOLOGIA 
 
 
 
 
EEqquuaaççõõeess DDiiffeerreenncciiaaiiss 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
Professora: Regine Marie Pascale Langon Lorenzi
1 
 
 
1. Equações Diferenciais 
 
1.1. Introdução 
Para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento de fluidos, o fluxo de 
corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de 
ondas sísmicas, o aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é necessário resolver 
equações envolvendo derivadas da função incógnita. Estas equações são equações diferenciais. 
Passaremos agora a estudar os conceitos básicos e a seguir os métodos de resolução das equações 
diferenciais. 
 
Exemplos 
a) 
35  x
dx
dy
 b) 
tsenq
dt
dq
10
1
5
1

 c) 
10


z
x
z
 
d) 
023
2
2
 y
dx
dy
dx
yd e) xy'y''y 423  f) 3y'xy 
g) 
t
y
xy
x
y





 h) 
04
2
2






x
y
t
y i) xey
dx
dy
xd
yd






 45
3
2
2 
 
1.2. Classificação 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece e ela pode 
ser classificada como equação diferencial de primeira ordem, de segunda ordem, e assim por diante. 
Uma equação diferencial pode ser ordinária quando envolve funções de uma variável 
independente ou parcial quando envolve funções de duas ou mais variáveis independentes, isto é, 
derivadas parciais. 
Classifique as equações diferenciais dos exemplos acima, segundo a ordem e o tipo. 
 
1.3. Solução de uma equação diferencial 
A solução de uma equação diferencial é uma função que satisfaz a equação sob determinadas 
condições. 
 
 
 
 
 
2 
 
Exemplo 1: 
Verifique que a função 
3
3
1
xy 
 é uma solução da equação 
2x
dx
dy

. 
1
3
1 3  xy
 também é solução da equação 
2x
dx
dy

? 
3
3
1 3  xy
também é solução da equação 
2x
dx
dy

? 
De uma maneira geral 
Cxy  3
3
1
 representa qualquer solução da equação 
2x
dx
dy

, por isso 
ela é chamada de solução geral dessa equação diferencial. 
A solução geral de uma dada equação diferencial representa uma família de curvas, pois para 
cada valor da constante temos uma função que pode ser representada geometricamente por uma curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Muitas vezes o interesse está numa das curvas integrais, escolhida mediante uma condição 
inicial. Nesse caso a solução que satisfaz uma condição inicial é denominada solução particular ou 
solução de um problema de valor inicial. 
 
Exemplo 2: Considerando a equação diferencial 
02  x
dx
dy
 e a condição inicial 
  32 y
; 
a) qual seria a solução geral? 
b) atribua seis valores diferentes para a constante na solução geral e, esboce o gráfico da família 
de soluções. 
c) qual seria a solução particular? 
d) no gráfico da letra b faça a curva da solução particular. 
 
Exemplo 3: a) Verifique que a função 
xCey 
 é solução geral da equação diferencial 
0y'y
; 
 b) Ache uma solução particular que satisfaça 
  23 y
. 
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3 
 
Exemplo 4: Verifique que a função 
xexcosxseny  10
2
1
2
1
 é solução da equação diferencial 
xseny'y 
. 
 
Exemplo 5: Para 
22  x
, verifique que a relação 
0422  yx
 é uma solução implícita para a 
equação diferencial 
y
x
dx
dy

. 
 
Exercícios 1.3 
1) Verifique se cada uma das funções dadas é uma solução da equação diferencial correspondente: 
a) 
xx xeey   2
 
02  y'y''y
 
b) 
nxy 
 
0 'y''xy
 em 
  ,I 0
 
c) 
4
1
48 )xx(y 
 
3
442
xy
xy
dx
dy 

 
d) tt eex  2 tex'x''x  44 
e) 
tcostsenv 32 
 
0
2
2
 v
dt
vd 
f) 
Cxxy  2
 
yx
dx
dy
x  2
 
2) Determine 
1c
 e 
2c
 de modo que 
xcoscxsency 22 21 
 verifique as condições 
  10 y
, 
  24 y
 e escreva a solução particular. 
3) Determine 
1c
 e 
2c
 de modo que 
senxececy xx 22
2
1 
 verifique as condições 
  00 y
, 
  10 'y
 e escreva a solução particular. 
4) Determine 
c
 de modo que tcex 2 satisfaça a condição   00 x e escreva a solução particular. 
5) Determine 
c
 de modo que  21 xcy  satisfaça a condição   12 y e escreva a solução 
particular. 
6) Determine 
1c
 e 
2c
 de modo que 
1221  xcxcy
 verifique as condições 
  11 y
, 
  21 'y
 
e escreva a solução particular. 
 
Respostas: 
2) 
xcosxseny 222 
 3) 
senxeey xx 22 
 4) 
0x
 5) 
 21
3
1
xy 
 6) 
2xy 
 
4 
 
2. Equações diferenciais de primeira ordem e aplicações 
 
2.1. Equações de primeira ordem separáveis - Método da separação de variáveis 
As equações de primeira ordem separáveis são equações diferenciais cuja solução pode ser obtida 
mediante primitivação direta. Em outras palavras, são equações diferenciais cujas variáveis podem ser 
separadas, gerando uma equação diferencial do tipo 
dy)y(gdx)x(f 
, cuja solução é 
  cdy)y(gdx)x(f
 onde c é uma constante arbitrária. 
 
Exemplo 1: 
02  dyyxdx
 
 
Exemplo 2: 
32xy'y 
 
 
Exemplo 3: 
xcosy'y 3
 
 
Exemplo 4: 
y
x
dx
dy 

; 
  34 y
 
 
Exercícios 2.1 
Resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial pelo método da separação de 
variáveis: 
1) 
x
y
dx
dy

 
2) 
03  y
dx
dy
 
3) 
04  xy
dx
dy
 
4) 
xsen
dx
dy
5
 
5) 
03  dyedx x
 
6) 
  61  x
dx
dy
x
 
7) 
y'xy 4
 
8) 
2
3
x
y
dx
dy

 
5 
 
9) 
yxe
dx
dy 23 
 
10) 
   dxxyxdyyxy 22 24 
 
11) 
dx)y(xydy 212 14 
, 
  10 y
 
12) 
ycosy
x
'y


24 ,   1y 
 
Respostas 
1) 
Cxy 
 2) 
x3Cey 
 3) 
2x2Cey 
 4) 
Cx5cos
5
1
y 
 
5) 
Ce
3
1
y x3  
 6) 
C|1x|ln5xy 
 7) 
4Cxy 
 8) 
Cx2y 12  
 
9) 
Ce2e3 x3y2  
 10) 
)x4(Cy2 22 
 11) 
2x21y 22 
 
12) 
83x8ysen6y3 232 
 
 
 
2.2. Equações lineares de primeira ordem 
Nem toda equação diferencial é separável. Por exemplo, é impossível separar as variáveis na 
equação 
2
2 xxexy
dx
dy 
. Porém esta equação pode ser resolvida por um método diferente que 
consideraremos agora. 
Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de linear se ela pode ser escrita na 
forma: 
)x(qy)x(p
dx
dy

 (forma padrão) (1) 
 
Procuramos uma solução para (1) em um intervalo I no qual as funções p(x) e q(x) são contínuas. 
 
 Se 
0)x(q
 então a equação é dita homogênea e se reduz a uma equação diferencialde 
variáveis separáveis, cuja resolução já é conhecida. 
 
Exemplo 1: 
02  y
dx
dy
 
 
 
 
 
6 
 
 Se 
0)x(q
 usamos o método do fator integrante. O fator integrante para a equação (1) é 

dx)x(p
e)x(I
 que depende apenas de x, sendo independente de y. Multiplicando (1) por 
)y,x(I
 em 
ambos os membros, obtemos: 
)x(q)x(Iy)x(I)x(p
dx
dy
)x(I 
 (2) 
Como 
  y)x(I)x(p
dx
dy
)x(Iy)x(I
dx
d

, podemos reescrever (2) da seguinte forma: 
  )x(q)x(Iy)x(I
dx
d

 
Separando as variáveis, temos: 
  dx)x(q)x(Iy)x(Id 
 (3) 
Integrando ambos os lados de (3): 
 
    dx)x(q)x(Iy)x(Id
 
 
 dx)x(q)x(Iy)x(I
 
Obtemos a solução da equação diferencial (1): 
 
 dx)x(q)x(I)x(I
y
1
 (4) 
 
Descrevemos o algoritmo que permite encontrar a solução de uma equação diferencial linear de 
primeira ordem com 
0)x(q
. 
Para resumir, (1) pode ser resolvida em três passos: 
 Passo 1: Escrevemos a equação diferencial na forma padrão; 
 Passo 2: Identificamos p(x), q(x) e determinamos o fator integrante 

dx)x(p
e)x(I
; 
 Passo 3: Usamos o algoritmo descrito acima ou, o resultado (4) do mesmo. 
 
Exemplo 2: 
63  y'y
 
 
Exemplo 3: 
xxy'y 2
 
 
Exemplo 4: 
44 xy
x
'y 
 
 
7 
 
Exemplo 5: 
xexy
dx
dy
x 64 
 
 
Exemplo 6: 
xxy
dx
dy
 2
, 
  30 y
 
 
Exercícios 2.2 
Resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial, pela separação de variáveis 
se 
0)x(q
 e pelo método do fator integrante se 
0)x(q
: 
1) 
05  y'y
 
2) 
02  xy
dx
dy
 
3) 
4123  y
dx
dy
 
4) 
xey
dx
dy 3
 
5) 
12 xy'yx
 
6) 
xseny'y 27 
 
7) 
  1 y,senxy'y
 
8) 
  40  z,xxz
dx
dz
 
9) 
  10024
310
3


 Q,Q
tdt
dQ
 
10) 
  3000720690  T,,T,
dt
dT
 
 
Respostas 
1) 
x5cey 
 2) 
2xcey 
 3) 
x4ce
3
1
y 
 4) 
xx3 cee
4
1
y 
 5) 
x
c
xln
x
1
y 
 
6) 
x2sen
53
7
x2cos
53
2
cey x7 
 7) 
 xexcossenx
2
1
y 
 8) 
2x2e51z 
 
9) 
t
tt
Q
310
1496406 2



 10) 
30e60T t069,0  
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
2.3. Aplicações das Equações Diferenciais de primeira ordem 
 
 
2.3.1. Crescimento e Decaimento 
Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaimento. 
Admitindo que 
dt
dN
, a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja 
proporcional à quantidade de substância presente, então 
kN
dt
dN

, onde k é a constante de 
proporcionalidade. 
 
Exemplo 1: Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. 
Após uma hora, observam-se 1.000 bactérias na cultura; e após quatro horas, observam-se 3.000 
bactérias. Determine: 
a) a expressão do número aproximado de bactérias presentes na cultura no instante t; 
b) o número aproximado de bactérias no início da cultura. 
 
 Exemplo 2: Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem 
inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa 
original, determine: 
a) a expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t; 
b) a massa de material após quatro horas; 
c) o tempo após o qual o material perde metade de sua massa original (meia-vida). 
 
2.3.2. Variação de Temperatura 
A lei de resfriamento de Newton, aplicável igualmente ao aquecimento, diz que a taxa de 
variação de temperatura T(t) é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura 
constante Tm do meio ambiente, isto é, 
)TT(k
dt
dT
m
, onde k é uma constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo 3: Uma barra de metal à temperatura de 100
o 
F é colocada em um meio à temperatura 
constante de 0
o 
F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50
o
 F, determine: 
a) o tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25o F; 
b) a temperatura da barra após 10 minutos. 
 
 
9 
 
Exemplo 4: Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um meio que é mantido a 
temperatura constante de 30
o 
F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 0
o 
F e após 20 minutos 
é 15
o
 F, determine a temperatura inicial desconhecida. 
 
2.3.3. Circuitos em Série 
 
 
 
 
 
Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff 
diz que a soma da queda de tensão no indutor (L(di/dt)) e da queda de tensão no resistor (iR) é igual à 
voltagem (E(t)) no circuito, isto é: 
)t(ERi
dt
di
L 
. 
A queda de potencial em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/C, em que q é a carga 
no capacitor. Então, para o circuito em série R-C, a segunda lei de Kirchhoff nos dá 
)t(Eq
C
Ri 
1
. 
Mas, a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt , logo, temos: 
)t(Eq
Cdt
dq
R 
1
. 
 
Exemplo 5: Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 
henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial é zero. 
 
Exemplo 6: Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a 
resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10
4 
farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. 
Encontre a corrente i(t). 
 
2.3.4. Concentração de Misturas 
A mistura de duas soluções salinas de concentrações diferentes resulta em uma 
equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na 
mistura. 
Esse problema envolve um tanque que contém inicialmente uma solução 
de sal. Outra solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma determinada 
taxa e a mistura, bem agitada, é drenada para fora a outra taxa. O problema 
consiste em determinar a quantidade de sal no tanque no instante t. 
Circuito em série L-R Circuito em série R-C 
10 
 
Seja Q(t) a quantidade de sal no instante t, a taxa com a qual Q(t) se modifica é uma taxa líquida 
dada por 
21 RR
saldesaída
detaxa
saldeentrada
detaxa
dt
dQ













 
 
 A taxa de entrada de sal R1 é o produto da concentração de sal no fluxo “para dentro” e a taxa de 
entrada de salmoura. Da mesma forma, a taxa segundo a qual o sal deixa o tanque é o produto da 
concentração de sal no fluxo “para fora” e a taxa de saída de salmoura. 
 
Exemplo 7: Inicialmente, 10 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 350 litros de água. 
Água pura começa a entrar no tanque à razão de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem 
homogeneizada sai do tanque à mesma taxa. Determine: 
a) a quantidade de sal no tanque no instante t; 
b) a quantidade de sal após 20 minutos. 
 
Exemplo 8: Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. 
Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução 
bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por 
litro, determine: 
a) a quantidade de sal no tanque em qualquer instante; 
b) a quantidade de sal após 50 minutos; 
c) a quantidade de sal depois de um longo tempo. 
 
Nos exemplos 7 e 8, supusemos que a taxa segundo a qual asolução era bombeada para dentro 
era igual à taxa segundo a qual era bombeada para fora. Porém, isso não precisa ser assim; a mistura 
poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a qual é bombeada 
para dentro. 
 
Exemplo 9: Um grande tanque contém 300 galões de salmoura obtida dissolvendo-se 50 libras de sal. 
Uma salmoura contendo 2 libras por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 galões por 
minuto. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de 2 gal/min. Ache a 
quantidade de sal no tanque no instante t. 
 
 
 
 
11 
 
Exercícios 2.3 
1) Em uma solução nutriente, as bactérias crescem a uma taxa proporcional à quantidade presente. 
Inicialmente, há 250 bactérias na solução, as quais aumentam para 800 bactérias após sete horas. 
Determine: 
a) uma expressão para o número aproximado de bactérias na cultura no instante t; 
b) o tempo necessário para que o número de bactérias atinja 1.600. 
 
2) Sabe-se que a população de certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de 
pessoas presentes em qualquer instante. Se após dez anos a população triplicou e se após 20 anos 
a população é de 150.000 pessoas, determine o número de habitantes iniciais na comunidade. 
 
3) O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade 
presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente 
inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 
 
4) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70o F, e colocado do lado de 
fora, em que a temperatura é de 10
o
 F. Após 0,5 minutos, o termômetro marcava 50
o
 F. Qual será 
a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1 minuto? Quanto tempo levará para o 
termômetro marcar 15
o
 F? 
 
5) Um corpo à temperatura de 50o F é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100o F. Se, após 
5 minutos, a temperatura do corpo é de 60
o
 F, determine: 
a) o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75o F; 
b) a temperatura do corpo após 20 minutos. 
 
6) Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a 
indutância é de 0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i(0) = 0. Determine 
a corrente quando 
t
. 
 
7) Um circuito em série R-C sem fem aplicada tem uma resistência de 10 ohms, uma capacitância 
de 0,04 farad e uma carga inicial no capacitor de 10 coulombs. Determine: 
a) a expressão da carga no instante t; 
b) a corrente no circuito no instante t. 
 
 
12 
 
8) Um circuito RC tem uma fem dada (em volts) por 
tcos 2400
, uma resistência de 100 ohms e 
uma capacitância de 
210
 farad. Inicialmente, não há carga no capacitor. Determine a corrente 
no circuito no instante t. 
 
9) Um circuito RL tem uma fem de 5 volts, uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 1 henry 
e não tem corrente inicial. Determine a corrente no circuito no instante t. 
 
10) Um tanque contém 380 litros de salmoura obtida dissolvendo-se 36 kg de sal na água. Água pura 
começa a entrar no tanque à razão de 15 litros por minuto e a mistura, homogeneizada, sai do 
tanque à mesma razão. Determine: 
a) a quantidade de sal no instante t; 
b) o tempo necessário para que a metade do sal saia do tanque. 
 
11) Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 1 kg de sal. Em t = 0, outra solução 
de salmoura com 1 kg de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de 10 litros por minuto, 
enquanto a mistura bem homogeneizada sai do tanque à mesma taxa. Determine: 
a) a quantidade de sal no tanque no instante t; 
b) o instante em que a mistura no tanque contém 2 kg de sal. 
 
12) Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram 
dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 
2
1
libra de sal por galão é bombeada para 
dentro do tanque a uma taxa de 6 gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora 
a uma taxa de 4 gal/min. Ache a quantidade de libras de sal no tanque após 30 minutos. 
 
 
Respostas 
1) a)
t166,0e250)t(N 
 b) 11h10min57s 2) 16.667 hab 3) 11 h 4) 36,67o F e 3,06 min 
5) a) t = 15,4 min b) 79,5o F 6) 
t100e
5
3
5
3
)t(i 
 e 
5
3
i 
 quando 
t
 
7) a) 
t5,2e10)t(q 
 b) 
t5,2e25)t(i 
 8) 
t2sen
5
8
t2cos
5
16
e
5
4
)t(i t  
 
9) 
10
1
e
10
1
)t(i t50  
 10) a) 
t039,0e36)t(Q 
 b) 17 min 46 s 
11) a) 
350e349)t(Q 35t  
 b) 0,1 min 12) 64,375 libras 
 
 
13 
 
3. Equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicações 
Uma equação diferencial da forma 
 
)x(gy)x(a
dx
dy
)x(a
dx
yd
)x(a  012
2
2
 
é chamada equação diferencial linear de segunda ordem. 
 
3.1. Equações dif. lineares de segunda ordem com coeficientes constantes homogêneas 
Se 
  axa 2
, 
  bxa 1
, 
  cxa 0
 e 
  0xg
, onde a, b e c são constantes reais, então a 
equação é chamada de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e 
homogênea, que pode ser escrita de forma mais simples, como: 
 
0 cy'by''ay
 (1) 
Se tentarmos uma solução da forma 
xey 
, então 
xe'y 
 e 
xe''y  2
; assim a equação 
(1) torna-se 
02   xxx ceebea
 ou   02  cbae x 
Como xe nunca se anula para valores reais de x, então a única maneira de fazer essa função 
exponencial satisfazer a equação diferencial é escolher 

 de tal forma que ele seja raiz da equação 
quadrática 
02  cba
 (2) 
 
A equação (2) é chamada de equação característica da equação diferencial (1). As raízes desta 
equação são 
a
acbb
2
42
1


 e 
a
acbb
2
42
2


. Conforme  acb 42  seja positivo, nulo 
ou negativo teremos, respectivamente, duas raízes reais distintas, uma raiz dupla ou um par de números 
complexos conjugados. 
 
1
o
 caso: Se 
042  acb
, temos duas raízes reais distintas 
1
 e 
2
e, portanto, duas soluções 
x
ey 11

 e 
x
ey 22

 que são linearmente independentes e dessa forma a solução geral de (1) é: 
 xx
ececy 21 21
 
 
 
Exemplo 1: Encontre a solução geral para a equação diferencial 
0352  y'y''y
 
 
14 
 
2
o
 caso: Se 
042  acb
, temos então uma única raiz dupla 
1
 e, portanto, só uma solução 
x
ey 11

. 
Podemos mostrar que 
x
xey 12

 também é solução da equação diferencial e 
x
ey 11

 e 
x
xey 12

 
são linearmente independentes e dessa forma a solução geral de (1) é: 
 xx
xececy 11 21
 
 
 
Exemplo 2: Encontre a solução particular da equação diferencial 
02510  y'y''y
 sujeita às 
condições iniciais 
  20 y
 e 
  10 'y
. 
 
3
o
 caso: Se 
042  acb
 temos as raízes complexas 
bia 1
 e 
bia 2
, onde a e b são reais e 
1i
 (unidade imaginária). Como no caso 1 a solução geral de (1) é: 
   xbiaxbia ececy   21
 
Na prática preferimos trabalhar com funções reais em vez de exponenciais complexas. Para este 
fim, usamos a fórmula de Euler 
 isencosei
 e após manipulações algébricas podemos concluir 
que a solução geral de (1) é: 
 bxsencbxcoscey ax 21 
 
 
Exemplo 3: Encontre a solução particular da equação diferencial 
0134  y'y''ysujeita às 
condições iniciais 
  10 y
 e 
  20 'y
. 
 
Exercícios 3.1 
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada: 
1) 
04  'y''y
 
2) 
036  y''y
 
3) 
09  y''y
 
4) 
06  y'y''y
 
5) 
0168
2
2
 y
dx
dy
dx
yd 
6) 
065  y'y''y
 
7) 
0
4
1
2
2
 y
dt
dy
dt
yd 
8) 
02510  y'y''y
 
9) 
032  y'y''y
 
10) 
025
2
2
 y
dt
yd 
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas: 
11) 
    2020016  'y,y,y''y
 
12) 
    3000056  'y,y,y'y''y
 
15 
 
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas: 
13) 
    011002510  y,y,y'y''y
 
14) 
  2
2
000 




 
 'y,'y,y''y
 
Respostas 
1) 
4x
21 eccy

 2) 
x6
2
x6
1 ececy 

 3) 
x3sencx3coscy 21 
 4) 
x2
2
x3
1 ececy

 
5) 
x4
2
x4
1 xececy
 
 6) 
x3
2
x2
1 ececy 
 7) 
2t
2
2t
1 tececy 
 8) 
x5
2
x5
1 xececy 
 
9) 
x2senecx2cosecy x2
x
1
 
 10) 
t5senct5coscy 21 
 11) 
x4senx4cos2y
2
1
 
12) 
x
4
3x5
4
3 eey  
 13) 
x5x5 xeey 
 14) 
xcos2y 
 
 
3.2. Equações dif. lineares de segunda ordem com coeficientes constantes não-homogêneas 
Vamos considerar agora a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e não-
homogênea ou completa: 
 
)x(gcy'by''ay 
 (3) 
Para obter a solução desta equação basta somar à solução geral da equação homogênea uma 
solução particular da equação completa. Como já estabelecemos como obter a solução geral da equação 
homogênea resta-nos o problema de determinar uma solução particular da equação completa. Um 
método para determinar uma solução particular da equação (3) é o método dos coeficientes a 
determinar. 
O método dos coeficientes a determinar só se aplica se g(x) é uma função polinomial, uma 
função exponencial axe , 
xsen 
, 
xcos
, ou somas e produtos dessas funções. 
 
3.2.1. Família de uma função f(x) 
Família de uma função f(x) é um conjunto constituído por essa função e suas derivadas a menos 
de sinais e coeficientes. 
Assim podemos obter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) família 
nx
 
121 ,x,...,x,x,x nnn 
 
axe
 axe 
xsen 
 
xcos,xsen 
 
xcos
 
xsen,xcos 
 
16 
 
3.2.2. Construção de uma solução particular experimental 
Obtida a solução geral 
hy
 da equação homogênea associada, consideramos uma solução 
experimental 
py
 do seguinte modo: 
1
o
) construímos a família de cada termo do 2
o
 membro e suprimimos a família que estiver contida em 
outra ou que com outra coincidir. 
2
o
) se um elemento de uma família pertencer a 
hy
, multiplicamos cada elemento dessa família pela 
menor potência de x com expoente inteiro e positivo que desfaça aquela situação. 
3
o
) tomamos como expressão experimental 
py
, uma combinação linear de todos os elementos das 
famílias resultantes dotados de coeficientes literais a serem determinados pela condição de que essa 
expressão verifique a equação dada. 
Exemplo 4: Resolva 
242 xy'y''y 
 
 
Exemplo 5: Resolva 
xey'y''y 32 
 
 
Exemplo 6: Resolva 
xseny'y''y 232 
 
 
Exemplo 7: Resolva 
xcosxy''y  4
 
 
Exemplo 8: Resolva o problema de valor inicial 
    20104  'y,y,xsenxy''y
 
 
Exercícios 3.2 
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar: 
1) 
623  y'y''y
 
2) 
3302510  xy'y''y
 
3) 
xxy'y''y 2
4
1 2 
 
4) 
xexy''y 32483 
 
5) 
3 'y''y
 
6) 
23
4
1 xey'y''y 
 
7) 
xseny''y 234 
 
8) 
xsenxy''y 2
 
9) 
xexy'y''y 32 122696 
 
10) 
xcosxseny'y''y 232 
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas: 
11) 
2
82
1
8
24 




 





 
 'y,y,y''y
17 
 
12) 
    1000065  'y,y,x'y''y
 
 
Respostas 
1) 
3ececy x22
x
1 

 2) 
5
3
x
5
6
xececy x52
x5
1 
 3) 
2
7
x4xxececy 2x22
x2
1 

 
4) 
x32
21 e
3
4
x4x4x3sencx3coscy 






 5) 
x3eccy x21 
 
6) 
2x22x
2
2x
1 ex
2
1
12xececy 
 7) 
x2cosx
4
3
x2sencx2coscy 21 
 
8) 
xxsen
2
1
xcosx
2
1
xsencxcoscy 221 
 9) 
x322x3
2
x3
1 ex6
3
2
x
9
8
x
3
2
xececy 
 
10) 
x2cos
25
9
x2sen
25
12
xcos
2
1
xececy x2
x
1 

 
11) 
2
1
x2sen2y 
 12) 
x30x3e200200y 25x  
 
 
3.3. Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem 
3.3.1. Vibração das Molas 
Sejam uma massa m e uma mola flexível suspensa verticalmente de um 
suporte rígido. Após a massa m ser atada à mola, ela provoca uma distensão s 
na mola que atinge sua posição de equilíbrio na qual o peso é igual à força 
restauradora ks (
ksmg 
), onde k é um número real positivo chamado 
constante da mola. Por exemplo, se uma massa de 10 kg provoca uma distensão 
de 2 cm em uma mola, então k = ............ 
 
Vibrações não-amortecidas 
A massa é posta em movimento vibratório vertical puxando ou 
empurrando a mola, x unidades do comprimento natural, e soltando-a no instante 
t = 0. A força restauradora da mola será então 
 xsk 
. Supondo que as únicas 
forças agindo sobre o bloco são o seu peso e a força restauradora da mola e que a 
aceleração do bloco no instante t é 
2
2
dt
xd , temos a partir da Segunda Lei de 
Newton (
maF 
): 
 
mg)xs(k
dt
xd
m 
2
2 (o sinal negativo indica que a força restauradora da mola age em direção oposta ao movimento) 
 
kxksmgkx
dt
xd
m 
2
2 ou 
0
2
2
 kx
dt
xd
m
 
18 
 
cuja solução geral é 
tsenctcosc)t(x  21
 que define o movimento harmônico simples. 
 
 
 
 
 
Movimento de um sistema não-amortecido com deslocamento inicial abaixo da posição de equilíbrio 
 
Exemplo 1: Um peso de 5 N distende uma mola 5 cm além de seu comprimento normal. Se o peso é 
levantado 4 cm e liberado com velocidade zero, determine a posição da massa em qualquer instante t 
(considere g = 10 m/s
2
 ). 
 
Vibrações Amortecidas 
Consideremos o movimento de uma mola suspensa em um meio viscoso ou conectada a um 
dispositivo de amortecimento por êmbolo. Assumiremos que esta força de amortecimento é dada por um 
múltiplo constante da velocidade instantânea: 
dt
dx
cntoamortecimedeforça 
 onde c é uma constante de amortecimento positiva e o sinal 
negativo se deve ao fato de que a força de amortecimento atua em direção oposta à do movimento. 
 Pela Segunda Lei de Newton, temos: 
 
 
dt
dx
ckx
dt
xd
m 
2
2 ou 
0
2
2
 kx
dt
dx
c
dt
xd
mNo movimento amortecido três casos devem ser considerados, conforme as raízes da equação 
característica associada: 
 
Caso 1: Vibração superamortecida - As raízes da equação característica são reais e distintas 
Neste caso, o sistema é chamado superamortecido porque ocorre quando há muito atrito no 
sistema, isto é, o coeficiente de amortecimento é grande comparado com a constante da mola. O 
movimento é suave e não-oscilatório e a massa volta à posição de equilíbrio em um tempo relativamente 
curto. 
 
Caso 2: Vibração criticamente amortecida – As raízes da equação característica são reais e iguais 
Este sistema é dito criticamente amortecido pois qualquer redução na força de amortecimento 
resulta em um movimento oscilatório. O gráfico é similar ao do sistema superamortecido decrescendo 
mais rapidamente para valores de x próximos de 0. 
19 
 
Caso 3: Vibração subamortecida – As raízes da equação característica são complexas conjugadas 
O sistema é subamortecido pois o coeficiente de amortecimento é pequeno comparado à 
constante da mola. O movimento é oscilatório, mas a amplitude das vibrações tende a zero quando o 
tempo cresce. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vibrações superamortecidas Vibrações criticamente amortecidas Vibração subamortecida 
 
Exemplo 2: Uma massa de 0,25 kg é atada a uma mola com constante de elasticidade igual a 4N/m. 
Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, 
determine a equação de movimento se o peso parte da posição de equilíbrio com velocidade de 3 m/s 
para cima. 
 
Vibrações Forçadas 
Supondo que, em adição à força restauradora e à força de amortecimento, o movimento da mola 
seja afetado por uma força externa F(t). Por exemplo, F(t) poderia representar uma força que gera um 
movimento oscilatório vertical do suporte da mola. Então a Segunda Lei de Newton fornece: 
 
 tF
dt
dx
ckx
dt
xd
m 
2
2 ou 
 tFkx
dt
dx
c
dt
xd
m 
2
2 
 
Exemplo 3: Uma massa de 0,2 kg está suspensa em uma mola cuja constante é 2N/m. A massa é 
liberada a partir do repouso 50 cm abaixo da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido (c = 1,2) 
sendo comandado por uma força periódica externa 
   ttf 4cos5
. Determine a expressão da posição 
da massa no instante t. 
 
Termos transitórios (transientes) e estacionários 
A solução geral para 
 tFkx
dt
dx
c
dt
xd
m 
2
2 é composta da soma da solução geral da homogênea 
mais a solução particular: 
     txtxtx ph 
. Quando F é uma função periódica (
   tsenFtF  0
 ou 
   tcosFtF  0
), 
 txh
 desaparece quando 
t
, isto é, 
  0

txlim h
x
. Dizemos que 
 txh
 
20 
 
descreve o estado transitório e depende das condições iniciais. O segundo termo, 
 txp
, descreve o 
estado estacionário que é o que permanece depois de desaparecer o estado transitório. 
Na solução do exemplo 3 identifique o termo de estado transitório e o termo de estado estacionário. 
 
3.3.2. Circuito Elétrico 
O circuito ao lado contém uma força eletromotriz 
(proporcionada por uma bateria ou gerador), um resistor, um capacitor e 
um indutor, em série. 
As quedas de tensão através de um resistor, um capacitor e um 
indutor são, respectivamente, Ri, (1/C)q e (L(di/dt)). Assim, pela lei de 
Kirchhoff, temos: 
)t(Eq
C
Ri
dt
di
L 
1
 (1). 
Como 
dt
dq
i 
, a equação (1) torna-se 
)t(Eq
Cdt
dq
R
dt
qd
L 
1
2
2 
 
Exemplo 4: Encontre a carga 
 tq
 no capacitor em um circuito em série LRC quando L= 0,25 henry, 
R = 10 ohms, C = 0,001 farad, E(t) =0, q(0) = 0 e i(0) = 2 A. 
 
Exercícios 3.3 
1) Uma massa de meio quilo suspensa em uma mola faz com que a mesma se distenda 40 cm além 
de seu comprimento natural. Ache uma fórmula para o deslocamento da massa em um instante 
arbitrário t se massa é puxada 15 cm abaixo de sua posição de equilíbrio e depois solta. 
2) Uma massa de 2 kg está suspensa em uma mola cuja constante é 10 N/m e permanece em 
repouso. É então posta em movimento com uma velocidade inicial de 150 cm/s para baixo. 
Determine a expressão da posição da massa, desprezando a resistência do ar. 
3) Uma massa de 10 kg está suspensa em uma mola, distendendo-a em 70 cm além de seu 
comprimento natural. Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilíbrio, com uma 
velocidade inicial de 1 m/s para cima. Determine a expressão da posição, sabendo que o 
movimento se dá em um meio no qual a força amortecedora é, em módulo, 90 vezes a velocidade 
instantânea. 
4) Uma massa de 3,65 kg está suspensa em uma mola, distendendo-a em 39 cm além de seu 
comprimento natural. A massa é posta em movimento, a partir de sua posição de equilíbrio, com 
uma velocidade inicial de 1,22 m/s para baixo. Determine a expressão da posição, se a força 
devida à resistência do ar é, em módulo, 0,91 vezes a velocidade instantânea. 
21 
 
5) Um peso de 39,2 N está suspenso em uma mola cuja constante é de 64 N/m. O peso é posto em 
movimento, sem velocidade inicial, deslocando-o 0,5 m acima da posição de equilíbrio e 
aplicando-lhe simultaneamente uma força externa 
tsen)t(F 48
. Determine a expressão da 
posição, desprezando a resistência do ar. 
6) Um circuito RCL ligado em série tem R = 180 ohms, C = 1/280 farad, L= 20 henries, e uma 
tensão aplicada 
tsen)t(E 10
 V. Determine a carga no instante t, admitindo que q(0) = 0 e 
i(0) = 1 ampère. 
7) Um circuito RCL ligado em série tem R = 10 ohms, C = 210 farad, L= 1/2 henry, e uma tensão 
aplicada 
12)t(E
 volts. Determine a carga e a corrente no instante t, admitindo que q(0) = 0 e 
i(0) = 0. 
8) Um circuito RCL ligado em série com uma resistência de 4 ohms, uma indutância de 0,5 henry, 
capacitor de 1/26 farad tem uma tensão aplicada 
 tcos 216
 V. Determine: 
a) a carga e a corrente no instante t se a carga inicial e a corrente inicial são ambas zero; 
b) a carga e a corrente transitórias; 
c) a carga e a corrente estacionárias. 
9) Determine a carga e a corrente de estado estacionário em um circuito LRC quando L= 1 henry, 
R = 2 ohms, C = 0,25 farad e 
tcos)t(E 50
 V. 
 
Respostas 
1) 
t95,4cos15,0)t(x 
 2) 
t5sen6708,0)t(x 
 3) 
t7t2 e
5
1
e
5
1
)t(x  
 4) 
t01,5sene24,0)t(x t125,0
 
5) 
t4cost
4
1
t4sen
16
1
t4cos
2
1
)t(x 
 6) 
 tcos9tsen13e101e110
500
1
)t(q t7t2  
 
7) 
25
3
t10sen
25
3
t10cos
25
3
e)t(q t10 





 
 
t10sene
5
12
)t(i t10
 
8) a) 
       tsentcostsenetcose)t(q tt 2
5
1
2
5
3
6
15
7
6
5
3 44 

 
 
 
       tsentcostsenetcose)t(i tt 2
5
6
2
5
2
6
15
82
6
5
2 44 

 
 
 b) 
   tsenetcose)t(q tth 6
15
7
6
5
3 44  


 
   tsenetcose)t(i tth 6
15
82
6
5
2 44  


 
 c) 
   tsentcos)t(q p 2
5
1
2
5
3

 
   tsentcos)t(i p 2
5
6
2
5
2

 
9) 
tcostsenq p
13150
13
100

 
tsentcosi p
13
150
13
100

 
 
 
 
 
22 
 
3.4. Sistemas de Equações Lineares 
Sistemas de equações diferenciais surgem no estudo do crescimento de duas espécies interagindo 
e talvez competindo, em sistemas físicos acoplados tais como: dois ou mais tanques de mistura 
conectados, dois ou mais sistemas massa-mola conectados, circuitos ligados para formar uma rede e em 
muitas outras áreas. 
 
3.4.1. Operadores Diferenciais e o Método da Eliminação para Sistemas 
O método da eliminação pode ser aplicado a qualquer sistema de equações diferenciais lineares 
com coeficientes constantes e, baseia-se essencialmente no método de eliminação usado na resolução de 
sistemas lineares algébricos. 
1º) Reescreve-se cada uma das equações do sistema na notação de operador diferencial, isto é, 
com o uso do operador D no lugar de 
dt
d
. 
2º) Considera-se 
iDx
 como sendo o produto algébrico do coeficiente D pela variável 
ix
. 
3º) Elimina-se variáveis até obter uma equação com uma única variável dependente. 
 
Exemplo 5: Use o método da eliminação para resolver o sistema 





tyx'y
yx'x
1074
143
 
 
3.4.2. Tanques de Mistura Conectados 
Exemplo 6: Considere os dois tanques mostrados na figura abaixo. Vamos supor que o tanque A 
contenha 50 litros de água na qual 25 quilos de sal estão dissolvidos. Suponha que o tanque B contenha 
50 litros de água pura. Líquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques conforme indicado na 
figura; a mistura trocada entre os dois tanques e o líquido bombeado para fora do tanque B é assumido 
como estando bem misturado. 
a) Construa um modelo matemático que descreva a quantidade de sal no tanque A (
 tx
) e no tanque B 
(
 ty
), no instante t. 
b) Determine a quantidade de sal no tanque A e no tanque B, no instante t. 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Exercícios 3.4 
1) Use o método da eliminação para resolver os sistemas: 
a) 








x
dt
dy
yx
dt
dx
2
 b) 








tx
dt
dy
ty
dt
dx
 c) 








x
dt
dy
y
dt
dx
2
3
 d) 





yx'x
y'y'x
23
2
 
2) Dois tanques grandes, cada um contendo 100 L de líquido, são interconectados por canos, com o 
líquido fluindo do tanque A para o tanque B a uma taxa de 3 L/min e do tanque B para o A a uma 
taxa de 1 L/min (ver figura abaixo). O líquido dentro de cada tanque é mantido bem agitado. 
Uma solução de salmoura com uma concentração de 0,2 kg/L de sal flui para o tanque A a uma 
taxa de 6 L/min. A solução (diluída) flui do sistema do tanque A a 4 L/min e do tanque B a 2 
L/min. Se, inicialmente, o tanque A contém água pura e o tanque B contém 20 kg de sal, 
determine a massa do sal em cada tanque no instante t. 
 
 
 
 
 
 
3) No problema 2, suponha que a solução de salmoura de mesma concentração entra no tanque A a 
uma taxa de 4 L/min; a solução (diluída) não sai do sistema do tanque B; o líquido flui do tanque 
A para o tanque B a uma taxa de 1 L/min e os outros dados são iguais. Determine a massa do sal 
em cada tanque no instante t. 
 
Respostas 
1) a) 
tt tecec)t(x 21 
 
  tt tececc)t(y 221 
 b) 
121  tsentctcosc)t(x
 
121  ttcoscsentc)t(y
 
 c) 
tt ecec)t(x 62
6
1

 
tt ecec)t(y 62
6
1
3
6
3
6 
 d) 
tt ecec)t(x 32
2
1

 
tt ecec)t(y 32
2
1 3
2
1 


 
2) 
20547174532 0765002350   t,t, e,e,)t(x
 
204061140611 0765002350   t,t, e,e,)t(y
 
3) 
2094451805551 052360007640   t,t, e,e,)t(x
 
2047144714 052360007640   t,t, e,e,)t(y
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
4. Transformada de Laplace 
 
A transformada de Laplace permite que se obtenha a solução de uma equação diferencial 
ordinária de coeficientes constantes através da resolução de uma equação algébrica. 
A transformada de Laplace de uma função f é uma transformada integral. Isto é, ela é da forma: 
 



 dt)t(f)t,s(K)s(Y
. 
A função 
)t,s(K
 é chamada de núcleo da transformada. A escolha 
ste)t,s(K 
 fornece uma 
transformada especialmente importante que é a transformada de Laplace. 
 
4.1. Definição 
Seja f uma função definida para 
0t 
. A transformada de Laplace é denotada e definida por: 
 
 
  


0
dt)t(fe)s(F)t(f stL
 
se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de s. 
 
Exemplo 1: Calcule 
 1L
. 
 
 
Exemplo 2: Calcule  ateL . 
 
 
 
Na maioria dos casos é possível calcular 
 )t(fL
 a partir do cálculo da integral imprópria que a 
define. Nosso objetivo é resolver problemas que envolvem equações diferencias utilizando a 
transformada de Laplace e, para tornar este processo mais ágil, usaremos uma tabela que contém as 
transformadas de Laplace das principais funções que aparecem em aplicações. 
 
Exemplo 3: Encontre  te 2L . 
 
 
 
25 
 
Exercícios 4.1 
Use a tabela para determinar a transformada de Laplace das funções: 
1) 
t)t(f 
 4) 
tet)t(f 32
 
2) 
)t(sen)t(f 3
 5) 
tsene)t(f t
 
3) 
te)t(f 5
 6) 
4t)t(f 
 
 
Respostas 
1) 
2s
1
)s(F 
 2) 
)9s(
3
)s(F
2 

 3) 
5s
1
)s(F


 4) 
3)3s(
2
)s(F


 
 5) 
2s2s
1
)s(F
2 

 6) 
5s
24
)s(F 
 
 
4.2. Linearidade da Transformada de Laplace 
Se  e  são constantes, então 
 
     )t(g)t(f)t(g)t(f LLL 
 
 
Exemplo 4: Encontre 
  tcost 232 2 L . 
 
Exercícios 4.2 
Use a tabela para determinar a transformada de Laplace das funções: 
1) 
te)t(f 42
 9) 
tcost)t(f 
 
2) 
35  t)t(f
 10) 
sente)t(f t
 
3) 
tet)t(f  22
 11) 
tcostsen)t(f 2526 
 
4) 
)t(sente)t(f t 4364 35 
 12) 
362  tt)t(f
 
5)  22 1 t)t(f 13) te)t(f 41 
6) 
 2tcossent)t(f 
 14)  tcos)t(f 74 
7) 
tsenhtcosh)t(f 5453 
 15) 
tet)t(f 3
2
1
2 
 
8) 
te)t(f  7
 16) 
429 2  tt)t(f
 
 
Respostas 
1) 
4s
2
)s(F


 2) 
s
3
s
5
)s(F
2

 3) 
1s
1
s
4
)s(F
3 

 4) 
16s
12
s
36
5s
4
)s(F
24 



 
5) 
s
1
s
4
s
24
)s(F
35

 6) 
4s
2
s
1
)s(F
2 

 7) 
25s
20s3
)s(F
2 


 8) 
1s
e
)s(F
7


 
9) 
22
2
)1s(
1s
)s(F



 10) 
2s2s
1
)s(F
2 

 11) 
4s
s512
)s(F
2 


 12) 
s
3
s
6
s
2
)s(F
23

 
26 
 
13) 
4s
1
s
1
)s(F


 14) 
49s
s
s
4
)s(F
2 

 15) 
)3s(2
1
s
2
)s(F
2 

 16) 
s
4
s
2
s
18
)s(F
23

 
 
4.3. Transformada Inversa de Laplace 
Se a transformada Laplace de uma função 
)t(f
 é 
)s(F
, isto é, se 
  )s(F)t(f L
 então 
)t(f
 
é chamada transformada inversa de Laplace de 
)s(F
 e escrevemos simbolicamente 
 )s(F)t(f 1L
 
onde 1L é chamado operador da transformada inversade Laplace. 
Podemos obter a transformada inversa simplesmente a partir da tabela de transformadas. As 
funções da segunda coluna são as transformadas das funções da primeira coluna, conseqüentemente, as 
funções da primeira coluna são as transformadas inversas das funções da segunda coluna. 
 
Exemplo 5: Encontre 









8
11
s
L
 
 
4.4. Propriedade da Linearidade 
Se  e  são constantes, então 
 
     )s(G)s(F)s(G)s(F 111   LLL
 
 
Exemplo 6: Encontre 











9
18245
23
1
s
s
s
s
L
 
 
Exercícios 4.4 
Use a tabela para determinar a transformada inversa de Laplace de cada uma das seguintes 
funções: 
1) 
s
)s(F
3

 6) 
 25
1


s
)s(F
 
2) 
9
3
2 

s
)s(F
 7) 
 2
2


ss
)s(F
 
3) 
)s(s
)s(F
5
5


 8) 
642 

s
s
)s(F
 
4) 
5
1
s
)s(F 
 9) 
  26
4


ss
)s(F
 
5) 
64
1
2 

s
)s(F
 10) 
 31
3


s
)s(F
 
27 
 
11) 
  92
31
22 

ss
)s(F
 16) 
22
2
9
9
)s(
s
)s(F



 
12) 
25
4
)s(s
)s(F


 17) 
  62
2


sss
)s(F
 
13) 
4
5
16
3
2
4
22 





ss
s
s
)s(F
 18) 
 4
5
2 

ss
)s(F
 
14) 
152
4
2 

ss
)s(F
 19) 
204
8
2 

ss
)s(F
 
15) 
4
1
2 


s
s
)s(F
 
 
 
Respostas 
1) 
3)t(f 
 2) 
)t3(sen)t(f 
 3) 
t5e1)t(f 
 4) 
24
t
)t(f
4

 5) 
)t8(sen
8
1
)t(f 
 
6) 
t5te)t(f 
 7) 
t2e1)t(f 
 8) 
)t8cos()t(f 
 9) 
t2t6 ee)t(f 
 10) 
t2et
2
3
)t(f 
 
11) 
)t3(senet)t(f t2
 12) 
t5t5 te
5
4
e
25
4
25
4
)t(f 
 13) 
)t2(sen
2
5
)t4cos(3e4)t(f t2 
 
14) 
t5t3 e
2
1
e
2
1
)t(f 
 15) 
)t2(sen
2
1
)t2cos()t(f 
 16) 
)t3cos(t)t(f 
 
17) 
t6t2 e
12
1
e
4
1
6
1
)t(f  
 18) 
16
5
t
4
5
e
16
5
)t(f t4  
 19) 
)t4(sene2)t(f t2
 
 
 
4.5. Transformada de uma derivada 
Se 
)t(f
, 
)t('f
, 
)t(''f
, …, 
)t(f )n( 1
 forem contínuas em 
 ,0
, de ordem exponencial, e se 
)t(f )n(
 for contínua por partes em 
 ,0
, então: 
 
    )(f...)('fs)(fs)t(fs)t(f )n(nnn)n( 000 121   LL 
 
Em particular, seja 
y)t(f 
, então: 
a) 
  t'fL
 ou 
 'yL
 
 
b) 
  t''fL
 ou 
 ''yL
 
 
 
 
28 
 
4.6. Soluções de Equações Diferenciais 
As transformadas de Laplace podem ser usadas para resolver problemas de valor inicial com 
equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Primeiro tomamos a transformada de Laplace 
de cada um dos membros da equação, obtendo assim uma equação algébrica em Y(s). Em seguida, 
resolvemos algebricamente em relação a Y(s) e, finalmente, tomamos a transformada inversa de Laplace 
para obter 
 )s(Y)x(y 1L
. 
Ao contrário dos métodos precedentes, em que resolvemos primeiro a equação diferencial 
(achando sua solução geral) para então aplicar as condições iniciais para determinar as constantes 
arbitrárias, o método da transformada de Laplace resolve de uma vez todo o problema de valor inicial. 
 
Exemplo 7: 
2005  )(y,y
dt
dy
 
 
Exemplo 8: 
2010  )('y,)(y,ty''y
 
 
Exemplo 9: 
602096 32  )('y,)(y,ety'y''y t
 
 
Exercícios 4.6 
1) Resolva as equações diferenciais a seguir, pelo método da Transformada de Laplace: 
 a) 
1003  )(y,y
dt
dy
 
 b) 
51050 ,)(y,ty,
dt
dy

 
 c) 
507  )(y,ey'y t
 
 d) 
0032  )(y,y'y
 
 e) 
206 4  )(y,ey'y t
 
 f) 
00100  )('y,)(y,y''y
 
 g) 
502003  )('y,)(y,y''y
 
 h) 
200003  )('q,)(q,'q''q
 
 i) 
2010043  )('y,)(y,y'y''y
 
 j) 
1000416
2
2
 )('y,)(y),tcos(y
dt
yd 
 l) 
00104  )('m,)(m),t(senm''m
 
29 
 
 m) 
101012
2
2
 )('y,)(y,y
dt
dy
dt
yd
 
 
Com o auxílio da Transformada de Laplace, resolva os problemas a seguir: 
2) Um circuito RL tem uma fem de 5 volts, uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 1 henry e 
não tem corrente inicial. 
a) Determine a corrente no circuito no instante arbitrário t. 
b) Qual o valor da corrente quando 
s,t 020
, 
s,t 050
, 
s,t 10
 e 
s,t 20
? Qual o valor 
estacionário da corrente? 
c) Esboce o gráfico da corrente para t variando de 0 à 1 segundo. 
 
3) Um peso de 150 N está suspenso de uma mola, distendendo-a 2,5 m além de seu comprimento 
natural. O peso é posto em movimento deslocando-o em 0,3 m para cima e imprimindo-lhe uma 
velocidade inicial de 0,6 m/s para baixo. Determine a equação de movimento, se a resistência do meio 
circundante é desprezível. (considere g = 10 m/s
2
) 
 
Respostas 
1) a) 
t3e)t(y 
 b) 
t5,0e5,54t2)t(y 
 c) 
tt7 e
6
1
e
6
31
)t(y 
 d) 
t2e
2
3
2
3
)t(y 
 
e) 
t4t6 e
10
1
e
10
19
)t(y  
 f) 
tcos)t(y 
 g) 
)t3(sen
3
5
)t3cos(2)t(y 
 h) 
t3e
3
2
3
2
)t(q 
 
i) 
t4t e
5
3
e
5
2
)t(y 
 j) 
)t4(sen
4
1
)t4(tsen
8
1
)t(y 
 l) 
)t2cos(sent
3
1
)t2(sen
6
1
)t(m 
 
m) 
tt2 e
3
4
e
6
1
2
1
)t(y  
 
2) a) 
10
1
e
10
1
)t(i t50  
 
 b) 
A103212,6)02,0(i 2
; 
A101792,9)05,0(i 2
; 
A109326,9)1,0(i 2
; 
A109995,9)2,0(i 2
; 1/10 
3) 
)t2(sen3,0)t2cos(3,0)t(x 
 
 
4.7. Frações Parciais 
Tendo em vista o uso da tabela de Transformada de Laplace para encontrar a transformada 
inversa, muitas vezes é necessário reduzir 
)s(F
 a uma forma reconhecível mediante transformações 
algébricas. Assim, o uso de frações parciais é muito importante para encontrar a transformada inversa de 
Laplace. 
O método das frações parciais consiste em se separar uma expressão racional em uma soma 
algébrica de expressões simples ou tabeladas. 
30 
 
4.7.1. A expressão possui fatores lineares distintos no denominador 
Neste caso, a expressão racional é do tipo 
 
)rs)...(rs)(rs(
sN
n 21
em que 
 sN
 é um 
numerador em função de s e 
nr...,,r,r 21
 são as raízes distintas do polinômio do denominador. 
 
Exemplo 10: Determine
   









321
42 21
sss
s
L
. 
 
4.7.2. A expressão possui fatores lineares repetidos no denominador 
Neste caso, a expressão racional é do tipo 
 
 nrs
sN
1
 em que 
1r
 é uma raiz de multiplicidade n. 
 
Exemplo 11: Determine 










)s()s( 32
1
2
1L
 
 
4.7.3. A expressão possui fatores quadráticos irredutíveis no denominador 
Neste caso, a expressão racional é do tipo  
cbsas
sN
2
. 
 
Exemplo 12: Determine 










)s)(s( 54
1
2
1L
 
 
Exercícios 4.7 
1) Use a decomposição em frações parciais para determinar a transformadainversa das funções: 
a) 
)s)(s)(s(
ss
)s(F
421
962



 
b) 
)s)(s(
s
)s(F
43
506
2
2



 
c) 
343
4
)s)(s(
)s(F


 
 
 
 
31 
 
2) Resolva as equações diferenciais a seguir, pelo método da transformada de Laplace: 
a) 
00004 5
2
2
  )('y,)(y,ey
dt
yd t
 
b) 
10  )(y),t(seny'y
 
c) 
100052   )('y,)(y),t(seney'y''y t
 
 
Com auxílio da Transformada de Laplace, resolva o problema a seguir: 
3) Um indutor de 2 henrys, um resistor de 16 ohms e um capacitor de 0,02 farads estão conectados em 
série à uma força eletromotriz de E(t) volts. Em t = 0, a carga sobre o capacitor e a corrente no circuito 
são nulos. Encontre a carga e a corrente num tempo t > 0 qualquer, se: 
a) 
V)t(E 300
 b) 
V)t(sen)t(E 3100
 
 
Respostas 
1) a) 
t4t2t e
30
1
e
6
25
e
5
16
)t(f 
 b) 
)t2(sen3)t2cos(2e8)t(f t3  
 
c) 
t4t4t42t3 e
343
4
te
49
4
et
7
2
e
343
4
)t(f  
 
2) a) 
t2t2t5 e
12
1
e
28
1
e
21
1
)t(y  
 b) 
)t(sen
2
1
)tcos(
2
1
e
2
3
)t(y t  
 
 c) 
)t2(sene
3
1
)t(sene
3
1
)t(y tt  
 
3) a) 
)t3(sene8)t3cos(e66)t(q t4t4  
 
)t3(sene50)t(i t4
 
b) 
)t3(sene
26
25
)t3cos(e
52
75
)t3(sen
26
25
)t3cos(
52
75
)t(q t4t4  
 
 
)t3(sene
52
425
)t3cos(e
26
75
)t3cos(
26
75
)t3(sen
52
225
)t(i t4t4  
 
 
5. Funções Seccionalmente Contínuas 
Uma função f é dita seccionalmente contínua ou contínua por partes num intervalo 
 b,a
 se este 
intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos nos quais a função f é contínua e 
possui limites finitos à direita e à esquerda. 
Exemplo 1: Construa o gráfico da função f definida por 










321
20
011
2
xse
xsex
xsex
)x(f e verifique que 
f é seccionalmente contínua. 
 
32 
 
5.1. Função Degrau Unitário 
A função degrau unitário é uma função seccionalmernte contínua definida e denotada por 
 






ctse
ctse
)t(uc
1
00
 
 A função degrau unitário pode ser usada para descrever fenômenos que iniciam (ou terminam) 
após um determinado tempo ou para introduzir descontinuidades quaisquer. 
 
Exemplo 2: Construa o gráfico da função f definida como: 
 a) 
)t(u)t(f 3
 b) 
)t(u)t(u)t(f 42 
 c) 
)t(u)t(u)t(f 23 2
 
 
 
 
 
 
Quando multiplicada por outra função definida para 
0t
, a função degrau unitário cancela uma 
porção do gráfico da função. 
 
Exemplo 3: Construa o gráfico da função f definida por 
)t(u)t()t(f 2
32 
. 
 
 
 
 
 
Exercícios 5.1.1 
Construa o gráfico de cada uma das funções abaixo: 
1) 
)t(u)t(f 2
 5) 
)t(u)t()t(f 44 
 
2) 
)t(u)t(f 6
 6) 
)t(u)t(u)t(f 422 
 
3) 
)t(u)t(u)t(f 32 
 7) 
)t(u)t(u)t(u)t(f 432 2 
 
4) 
)t(u)t(f 855
 8) 
)t(u)t(sen)t(f  2
 
 
 
 
 
 
33 
 
Respostas 
1) 2) 3) 4) 
 
 
 
 
 
 
5) 6) 7) 8) 
 
 
 
 
 
 
 
A função degrau unitário pode também ser usada para escrever funções definidas por partes 
numa forma mais compacta. Por exemplo, a função definida por partes 
 






atse)t(g
atse)t(g
)t(f
2
1 0
 
pode ser escrita como 
)t(u)t(g)t(u)t(g)t(g)t(f aa  211
. 
 Da mesma forma, a função definida por partes 









btse)t(g
btase)t(g
atse)t(g
)t(f
3
2
1 0
 
pode ser escrita como 
)t(u)t(g)t(u)t(g)t(u)t(g)t(u)t(g)t(g)t(f bbaa  32211
. 
 
Exemplo 4: A voltagem em um circuito é dada por 






50
5020
tse
tset
)t(E
. Expresse 
)t(E
 em 
termos de funções degrau unitário. 
 
Exercícios 5.1.2 
Escreva cada função em termos de funções degrau unitário: 
1) 






32
302
t,
t,
)t(f
 2) 







1
100
2 t,t
t,
)t(f
 
    

t
f(t)
       

t
f(t)
    

t
f(t)
           





t
f(t)
      


t
f(t)
       


t
f(t)
     


t
f(t)
   


t
f(t)
34 
 
3) 







44
400
2 t,)t(
t,
)t(f
 6) 






t),tcos(
t,
)t(f
4
02
 
4) 








30
30
t,
t,e
)t(f
t 7) 









51
540
401
t,
t,
t,
)t(f
 
5) 







24
202
t,t
t,t
)t(f
 8) 









20
21
00
t,
t,
t,
)t(f
 
 
Respostas 
1) 
)t(u42)t(f 3
 2) 
)t(ut)t(f 1
2 
 3) 
)t(u)4t()t(f 4
2 
 4) 
)t(uee)t(f 3
tt  
 
5) 
)t(ut4)t(utt)t(f 22
22 
 6) 
)t(u))tcos(4()t(u22)t(f  
 7) 
)t(u)t(u)t(f 541 
 
8) 
)t(u)t(u)t(f   2
 
 
5.2. A Transformada de Laplace da função degrau unitário 
 
 
  00
0



 c,s,s
e
dt)t(ue)t(u
cs
c
st
cL
 
 
Exemplo 5: Dado 






32
302
t,
t,
)t(f
, encontre 
 )t(fL
. 
 
5.3. Teorema da Translação 
Se c for uma constante positiva, então 
 
  )s(Ge)t(u)ct(g csc
L
 
 
Exemplo 6: Dado 







4
400
2 t,t
t,
)t(f
, encontre 
 )t(fL
. 
 
Exemplo 7: Dado 






43
400
t,t
t,
)t(f
, encontre 
 )t(fL
. 
 
 
35 
 
Exercícios 5.3 
Calcule 
 )t(fL
 para a função dada: 
1) 






80
805
t,
t,
)t(f
 6) 







 5
500
5 t,e
t,
)t(f
t
 
2) 






11
100
t),t(sen
t,
)t(f
 7) 







5
500
t,e
t,
)t(f
t
 
3) 






33
300
t,t
t,
)t(f
 8) 







 2
200
5 t,e
t,
)t(f
t
 
4) 






3
300
t,t
t,
)t(f
 9) 







21
200
3 t,t
t,
)t(f
 
5) 






31
300
t,t
t,
)t(f
 10) 









20
2
00
t,
t,t
t,
)t(f
 
 
Respostas 
1) 
 
s
e5
s
5
)t(f
s8
L
 2) 
 
1s
e
)t(f
2
s



L
 3) 
 
2
s3
s
e
)t(f

L
 4) 
  





 
s
3
s
1
e)t(f
2
s3L
 
5) 
  





 
s
4
s
1
e)t(f
2
s3L
 6) 
 
1s
e
)t(f
s5


L
 7) 
 
1s
e
)t(f
)1s(5



L
 8) 
 
1s
e
)t(f
3s2



L
 
9) 
  





 
s
9
s
12
s
12
s
6
e)t(f
234
s2L
 10) 
  




 
 

ss
e
s
e
)t(f s
s
2
2
2
1
L
 
 
5.4. Forma Inversa do Teorema da Translação 
Se c for uma constante positiva, então 
  )t(u)ct(g)s(Ge ccs 1L
 
 
Exemplo 8: Calcule







 se
s
s 3
2
1
4
L
. 
 
Exercícios 5.4 
Determine a transformada inversa de Laplace da função dada: 
1) 
se
s
)s(F 5
2 4
1 


 2) 
se
s
)s(F 


4
1
2
 
36 
 
3) 
se
s
)s(F 2
3
2 


 5) 
se
s
)s(F 2
3
1 
 
4) 
se
s
)s(F 


3
8
 6) 
se
s
)s(F 
2
1
 
 
Respostas 
1) 
 102
2
1
5  tsen)t(u)t(f
 2) 
   22
2
1
tsen)t(u)t(f
 3) 
)2t(3
2 e)t(u2)t(f

 
4) 
)1t(3
1 e)t(u8)t(f

 5) 
  )t(u2t
2
1
)t(f 2
2
 6) 
  )t(ut)t(f 
 
 
5.5. Equações diferenciais que envolvem funções seccionalmente contínuas 
Para resolver equações diferenciais envolvendo funções seccionalmente contínuas, escrevemos a 
função em termos de funções degrau unitário e usamos a transformada de Laplace. 
 
Exemplo 9: Resolva a equação diferencial: 
)t(fy'y 
, em que 






15
100
t,
t,
)t(f
, 
00 )(y
. 
Exercícios 5.5 
1) Resolva as equações diferenciais: 
a) 
)t(fy'y 
, em que 






11
101
t,
t,
)t(f
 
00 )(y
 
b) 
)t(fy'y 2
, em que 






10
10
t,
t,t
)t(f
 
00 )(y
 
c) 
)t(fy''y 4
, em que 






10
101
t,
t,
)t(f
 
00 )(y
, 
10 )('y
 
d) 
)t(u)t(seny''y  24
 
10 )(y
, 
00 )('y
 
e) 
)t(uy'y''y 165 
 
00 )(y
, 
10 )('y
 
f) 
)t(fy''y 
 
00 )(y
, 
10 )('y
, onde 









20
21
00
t,
t,
t,
)t(f
 
 
Resolva os problemas abaixo com o uso da Transformada de Laplace: 
2) Obtenha a carga q(t) no capacitor em um circuito RC em série quando q(0) = 0, R = 2,5 , 
C = 0,08 F e a tensão 






35
300
t,
t,
)t(E
. 
37 
 
3) Uma massa de 2 kg é presa a uma mola cuja constante é 32 N/m. Admita que a massa é solta do 
repouso na posição de equilíbrio. Determine a equação do movimento x(t) levando em conta que uma 
força externa 
t)t(f 20
 age sobre o sistema para 
50  t
 e é então removida. Ignore qualquer força 
amortecedora. 
 
4) Determine a corrente i(t) em um circuito em série de malha simples quando i(0) = 0, L = 1 H, 
R = 10  e 











2
3
0
2
3
0
t,
t,tsen
)t(E . 
 
Respostas 
1) a) 
1t
11
t e)t(u2)t(u2e1)t(y  
 
b) 
)t(ue
4
1
)t(u.t
2
1
)t(u
4
1
e
4
1
t
2
1
4
1
)t(y 1
)1t(2
11
t2  
 
c) 
)2t2cos().t(u
4
1
)t(u
4
1
)t2cos(
4
1
4
1
)t2(sen
2
1
)t(y 11 
 
d) 
)t(u).2t(sen
3
1
)t(u).4t2(sen
6
1
)t2cos()t(y 22  
 
e) 
33
1
22
11
32 ).(
3
1
).(
2
1
)(
6
1
)(   tttt etuetutueety
 
f) 
    )t(u.)tcos()t(u.)tcos()t(sen)t(y   2211
 
2) 
  )t(u
5
2
)t(ue
5
2
)t(q 33
3t5  
 
3) 
      )(.204cos
8
25
)(.204
32
5
)(.
8
5
4
32
5
8
5
)( 555 tuttutsentuttsenttx 
 
4) 
    )t(ue)t(utsen)t(utcosetsentcos)t(i
t
t
2
3
2
3
10
2
3
2
3
10
101
10
2
3
101
1
2
3
101
10
101
1
101
10
101
1






 


 




 





 

 
 
 
 
6. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 
A transformada de Laplace pode ser usada na resolução de sistemas de equações diferenciais 
lineares com coeficientes constantes quando condições iniciais estiverem especificadas. Tomamos as 
transformadas de Laplace de cada equação diferencial reduzindo o sistema a um conjunto de equações 
algébricas nas funções transformadas. Resolvemos então o sistema de equações algébricas e a seguir 
obtemos a transformada inversa de Laplace. 
 
 
38 
 
Exemplo: Resolva o sistema: 








2yx
dt
dy
yx
dt
dx
 
2010  )(y)(x
 
 
Exercícios 6.1 
1) Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes sistemas. Todas as incógnitas são 
funções de t. 
a) 





04y'z
tz'y
 
1010  )(z)(y
 
b) 





0
0
'y'z
yz''y
 
100000  )(z)('y)(y
 
c) 





x'y
yx'x
2
 
0010  )(x)(y
 
d) 





05
02
yx'y
yx'x
 
1020  )(x)(y
 
 
2) O sistema de equações diferenciais para as correntes 
)t(i1
 e 
)t(i2
 na rede elétrica da figura abaixo é 
 








012
2
2
1
ii
dt
di
RC
)t(ERi
dt
di
L
 
 
Use a transformada de Laplace para resolver esse sistema sob as condições 
V)t(E 60
, L = 1 H, R 
= 50 , 
FC 410
, supondo 
0000 21  )(i)(i
. 
 
Respostas: 
1) a) 
t2t2 e
8
3
e
8
7
4
1
)t(y 
 e 
t2t2 e
4
3
e
4
7
t)t(z 
 
 b) 
2t
2
1
)t(y 
 e 
2t
2
1
1)t(z 
 
 c) 
tt2 e
3
1
e
3
1
)t(x  
 e 
tt2 e
3
2
e
3
1
)t(y  
 
 d) 
)t3(sen
3
5
)t3cos()t(x 
 e 
)t3(sen
3
7
)t3cos(2)t(y 
 
39 
 
2) 
tt tee)t(i 1001001 60
5
6
5
6  
 e 
tt tee)t(i 1001002 120
5
6
5
6  
 
 
 
 
 
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