Integral Indefinida

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Emilia Morgado – CDI-I Página 1 
 
Integral Indefinida 
 
As noções iniciais sobre o conteúdo integrais, que apresentam a integral (ou 
antiderivada) como a operação inversa da derivada, onde o resultado da 
integração de uma função é uma nova função, chamada de primitiva. 
Definição 3 (Definição de antiderivada ou de primitiva de uma função) 
 
Dada uma função 
( )y f x
, uma função 
( )F x
 é chamada uma primitiva de 
( )f x
 em um intervalo 
I
 (ou antiderivada de 
( )f x
), se para todo 
x I
, 
ocorrer 
'( ) ( )F x f x
 
Observe que, de acordo com a definição, as primitivas de uma função devem 
estar sempre definidas em um intervalo 
I
. Observe ainda que a função 
primitiva 
( )F x
 é definida através de uma derivada, da seguinte forma: “uma 
função 
( )F x
 é uma primitiva de 
( )f x
 se sua derivada 
'( )F x
 for exatamente 
igual à função 
( )f x
”. Dessa forma, encontrar uma primitiva de uma função 
( )f x
 conhecida equivale a encontrar uma função desconhecida 
( )F x
, cuja 
derivada é exatamente igual à função conhecida 
( )f x
. 
EXEMPLO 
1) Determine uma função 
( )y F x
 tal que 
'( ) 2F x x
, ou seja, tal que a 
derivada da função 
( )F x
 seja exatamente 
( ) 2f x x
. 
Solução: 
Você nem precisa fazer muito esforço para lembrar que a função que gera uma 
derivada 
'( ) 2F x x
 é a função 
2( )F x x
, certo? Assim, pode-se dizer que uma 
primitiva de 
( ) 2f x x
 é 
2( )F x x
. 
Mas também, a primitiva de 
( ) 2f x x
 pode ser 
2( ) 3F x x 
, pois ao derivar 
esta outra função 
( )F x
 você também encontra 
'( ) 2F x x
. 
Ou a primitiva encontrada poderia ser 
2( ) 7F x x 
, ou 
2( ) ln(3)F x x 
, etc. 
(Por quê?) 
O que significa isso? Significa que uma função 
( )f x
 não tem uma primitiva, 
mas sim, tem uma família de primitivas. (Isso se deve ao fato da derivada de 
uma função constante ser igual a zero). 
Portando, toda primitiva da função 
( ) 2f x x
 em um intervalo 
I
 será dada por 
2( )F x x C 
, 
onde 
C
 é uma constante real qualquer. 
Observação: Na situação do exemplo 1), outra forma de expressar 
'( ) 2F x x
 é 
usando a notação de diferenciais, ou seja, 
[ ( )]
2
d F x
x
dx

. 
Essa notação será útil, pois, lembrando que 
dx
 é um número real diferente de 
zero, pode-se multiplicar ambos os lados da expressão por 
dx
, obtendo 
[ ( )] 2 .d F x x dx
, 
que será uma notação muito utilizada. 
 
 
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O teorema a seguir mostra que, se 
G
 for uma primitiva particular de 
f
 num 
intervalo 
I
, então toda primitiva de 
f
 em 
I
 será dada por 
( ) ( )F x G x C 
. 
Teorema 1 
Se 
F
 e 
G
 forem duas funções primitivas de 
f
 e de 
g
, respectivamente, tais 
que 
( ) ( )f x g x
 para todo 
x I
, então haverá uma constante 
C
, tal que 
( ) ( )F x G x C 
 
para todo 
x I
. 
Demonstração: 
Como 
( )F x
 é uma primitiva de 
( )f x
, segue da definição de primitiva que 
'( ) ( )F x f x
. 
Supondo que 
( ) ( )G x F x C 
, sendo 
C
 uma constante qualquer, e derivando 
os dois lados da equação com respeito a 
x
, obtém-se 
'( ) ( ( ) ) 'G x F x C 
 
'( ) '( ) 'G x F x C 
 
'( ) '( ) 0G x F x 
 
'( ) ( )G x f x
 
o que mostra que 
( )G x
 é também uma primitiva de 
( )f x
. 
Definição 4 (Definição de Integral Indefinida) 
Se 
( )F x
 é uma primitiva da função 
( )f x
, a expressão
( )F x C
 é chamada 
integral indefinida da função
( )f x
, e é denotada por 
( ) ( )f x dx F x C 
 
Notação da Integral Indefinida: 
( ) ( )f x dx F x C 
, 
Elementos constantes na notação: 
– O símbolo 

chama-se sinal de integração, e deve ser usado sempre 
acompanhado pelo termo 
dx
, utilizado para identificar a variável de integração; 
– A função 
( )f x
 é chamada função integrando; 
– A expressão 
( )f x dx
 é chamada integrando; e 
– O termo 
C
 é chamada de constante de integração. 
Da definição 4, decorre que: 
( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x   
 
Assim, a integral indefinida 
( )f x dx
 representa a família composta por todas 
as primitivas da função integrando 
( )f x
. 
 EXEMPLOS 
2) Encontre as integrais indefinidas solicitadas: 
a) 
2xdx 
 
Solução: 
Esta integral indefinida já foi encontrada no exemplo 1), e é: 
2 ²xdx x C 
 
a) 
2x dx 
 
Solução: 
 
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A função integrando é 
2( )f x x
, que deve ter uma primitiva 
( )F x
 que, quando 
derivada, seja igual à função integrando. Esta primitiva será 3
( )
3
x
F x 
 (por 
quê?), e assim, a integral indefinida procurada é: 
3
2
3
x
x dx C 
 
Apesar de agora você estar estudando o conteúdo integral, a todo momento 
você será solicitado a lembrar da derivada de uma função. Acontece que, como 
a integração é a operação inversa da derivação, é desejável que você saiba 
derivar muito bem, pois quanto melhor você souber derivar, mais fácil 
conseguirá realizar uma integração. 
 
Representação Geométrica da Integral Indefinida 
Pela definição, a integral indefinida 
( )f x dx
 é dada por uma família de funções 
primitivas da função integrando 
( )f x
, representadas por 
( )F x C
, onde a 
constante de integração 
C
 tem a função de diferenciar uma função primitiva de 
outra. Geometricamente, a integral indefinida é representada por uma 
infinidade de curvas (gráficos de funções), todas iguais umas às outras, mas 
com alturas diferentes, pois cada uma corta o eixo 
y
 na altura dada por cada 
C
 particular. 
Por exemplo, a representação geométrica da integral indefinida 
2 ²xdx x C 
 
é uma família de curvas, todas iguais umas às outras, mas com alturas 
diferentes. Para uma maior compreensão, observe o gráfico construído a partir 
de três valores particulares de 
C
: 
1C  
; 
0C 
; e 
1C 
 
As funções primitivas geradas por esses valores particulares de 
C
 serão: 
2( ) 1F x x 
; 
2( )F x x
; e 
2( ) 1F x x 
, 
cujos gráficos estão na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 4 – Gráfico de 
2 ²xdx x C 
, para 
1C  
; 
0C 
 e 
1C 
. 
 
 
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Você deve estar se perguntando se a cada vez que for calcular a integral de 
uma função 
( )f x
, deverá lembrar qual a função 
( )F x
 que gera 
( )f x
 como 
derivada, certo? Se você conseguir lembrar, isso tornará a integração mais 
fácil; mas nem sempre é possível lembrar de tal função, pois muitas vezes a 
função integrando 
( )f x
 não é simples. 
Para que você consiga realizar integrações, existe um conjunto de técnicas 
de integração que você deve conhecer, e tentar aplicá-las em cada caso 
onde for conveniente. Você verá nas páginas seguintes as técnicas mais 
básicas, conhecidas por propriedades da integração, bem como suas 
demonstrações, e as chamadas integrais imediatas. Em primeiro lugar, você 
irá estudar a regra da potência para integrais, que formalizará os resultados 
obtidos nos exemplos 1 e 2. 
 
Proposição 2 (Regra da Potência para Integrais) 
Se n for um número racional, com 
1n  
, então 
1
1
n
n xx dx C
n

 

 
Demonstração: 
A demonstração dessa proposição será feita ao determinar a derivada da 
função primitiva apresentada, com relação à variável 
x
. Ou seja: 
 
1 1
1 1
n nd x d x d
C C
dx n dx n dx
    
    
    
 
 
1
11 0
1 1
n
nd x dC x
dx n n dx

    
  
 
1 ( 1) 1( 1)
1 1
n nd x n x
C
dx n n
    
  
  
 
1 ( 1)
1 1
n nd x n x
C
dx n n
  
  
  
 
1
1
n
nd x C x
dx n
 
  
 
 
Isso demonstra a Proposição 2. 
Observação: Segue da proposição 2 o seguinte resultado: 
dx x C 
, 
pois, como número 1 pode ser escrito como uma potência de 
x
 (
0 1x 
, 
desde que 
0x 
), a integral 
dx
 pode ser escrita como 
01dx dx x dx   
 
e, portanto, a regra da potência para integrais se aplica, resultando em 
dx x C 
. 
 EXEMPLOS 
3) Calcule as integrais: 
a) 
³x dx
 
Solução: 
Aplicando a regra da potencia para integração, obtém-se 
 
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3 1
³
3 1
x
x dx C

 

 
4
³
4
x
x dx C 
 
b) 
1
dx
x

 
Solução: 
Em primeiro lugar, deve-se escrever a função integrando na forma de uma 
potência de 
x
, ou seja, 
1
2
1
2
1 1
dx dx x dx
x x

   
 
Agora, a regra da potência para integração pode ser utilizada. Então, 
1
2
1
dx x dx
x

 
 
1
1
21
1
1
2
x
dx C
x
 
  
 
 
 
  
 

 
1
21
1
2
x
dx C
x
 
 
1
2
1
2dx x C
x
 
 
A integral encontrada é: 
1
2dx x C
x
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule as integrais: 
 a) 
5
1
dx
x
 
 
 b) 
3 2x dx
 
 
Proposição 3 
Considere duas funções 
, :f g I 
, e 
k
 uma constante qualquer. Então: 
 (i) 
( ) ( )kf x dx k f x dx 
 
 (ii) 
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx    
 
Demonstração de (i): 
Considere 
( )F x
 uma primitiva de 
( )f x
. Então, 
. ( )k F x
 é uma primitiva de 
. ( )k f x
, pois 
 . ( ) ' . '( )k F x k F x
. 
Dessa forma, segue que 
 
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. ( ) . ( )k f x dx k F x C 
 
1. ( ) . ( ) .k f x dx k F x k C 
 
 1. ( ) . ( )k f x dx k F x C 
 
. ( ) . ( )k f x dx k f x dx 
 
A demonstração do item (i) está completa. 
Que tal tentar realizar a demonstração do item (ii)? 
Ao conhecer estas propriedades, você se torna apto a realizar a integração de 
funções polinomiais, pois a integração de uma função polinomial pode ser 
reescrita como a soma das integrações de cada termo do polinômio. Para 
compreender melhor a aplicação dessas propriedades, acompanhe os 
exemplos a seguir. 
Exemplo 
4) Calcule a integral, aplicando as propriedades vistas na Proposição 3 e a 
regra da potência para integrais. 
a) 
 4 23 6 1x x dx 
 
Solução: 
O primeiro passo é separar a integral dada na soma de várias outras integrais, 
aplicando o item (ii) da Proposição 3. Assim: 
 4 2 43 6 1 3 6 ² 1x x dx x dx x dx dx       
 
O segundo passo é aplicar o item (i) da Proposição 3, para fazer com que o 
número que multiplica cada potência de 
x
 passe a multiplicar a integral dessa 
potência de 
x
:. 
 4 2 43 6 1 3 6 ²x x dx x dx x dx dx       
 
A seguir, efetua-se a integração de cada integral, usando a regra da potência 
para a integração: 
   
5 3
4 2
1 2 33 6 1 3 6
5 3
x x
x x dx C C x C
   
          
   

 
Por fim, somam-se os termos semelhantes, no caso, somente as constantes: 
1 2 33 6C C C 
, que podem ser reescritas como 
1 2 33 6C C C C  
. Ou seja, 
   
5
4 2
1 2 33 6 1 3 2 ³ 3 6
5
x
x x dx x x C C C       
 
 
5
4 23 6 1 3 2 ³
5
x
x x dx x x C     
, 
que é a resposta final da integração. 
 
b) 
2 ³ ² 2
²
x x
dx
x
 

 
Solução: 
Nesse caso é necessário primeiro reescrever a função como uma soma de 
frações de mesmo denominador, e então aplicar as propriedades. 
 
2 ³ ² 2 2 ³ ² 2
² ² ² ²
x x x x
dx dx
x x x x
   
   
 
 
 ← frações de mesmo 
denominador 
 
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 2
2 ³ ² 2
2 1 2
²
x x
dx x x dx
x
     
; ← simplificação das frações 
 
22 ³ ² 2 2 2
²
x x
dx x dx dx x dx
x
       
 ← item (ii) da Proposição 3 
 
22 ³ ² 2 2 2
²
x x
dx x dx dx x dx
x
       
 ← item (i) da Proposição 3 
 
 
1
1 2 3
2 ³ ² 2 ²
2 2
² 2 1
x x x x
dx C x C C
x
    
       
   

 
 
 1 2 3
2 ³ ² 2 2
² 2 2
²
x x
dx x x C C C
x x
 
     
 
 
2 ³ ² 2 2
²
²
x x
dx x x C
x x
 
   
 ← resultado final 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule as integrais: 
 a) 
2
5
1
3 1
2
x
x dx
x
 
   
 

 
 
 b) 3 2
2
2 1x x
dx
x
  
 
 
 
