Area 1 Lista 2 Parte 2 Equações Diferenciais

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Questa˜o 1. Determine o limite lim
x→1
f(x) para a func¸a˜o definida por partes:
f(x) =
x3 + x2 − 2x
x2 − 3x+ 2 , x 6= 1
f(1) = 10
Questa˜o 2. Considere a func¸a˜o f(x) = ln(x+
√
1 + x2 ) para x > −1.
Calcule f ′(x) e f ′(0).
Questa˜o 3. Definimos a func¸a˜o
f(x) = xx
como
f(x) := ex·ln(x), x > 0
Em que ponto x0 o gra´fico de y = f(x) intersecta o gra´fico da derivada y = f
′(x) ?
Questa˜o 4. Por ter grau ı´mpar, existe pelo menos uma raiz Real de p(x) = x3 + 12x+ 27 = 0.
Deˆ um intervalo [a, b] que contenha uma raiz. Sera´ que p(x) tem mais de uma raiz Real ?
Questa˜o 5. Determine os pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)) cujas retas tangentes ao gra´fico de
y = f(x) =
x2
2
+ 2, x ∈ [−3, 3]
se encontram na origem (0, 0).
Questa˜o 6. Use que lim
x→0+
ln(x) = −∞, para calcular o limite
lim
x→0+
ln(x) · sen(x)
Dica: Transforme a indeterminac¸a˜o “∞ · 0” em indeterminac¸a˜o “∞∞” e use L’Hoˆpital mais de uma vez.
Questa˜o 7. Dois pontos se deslocam ao longo de duas retas e suas posic¸o˜es no tempo sa˜o dadas por
P1(t) = (t, t), P2(t) = (2 t, 1− t), t ∈ [0, 1]
Determine o instante t onde a distaˆncia entre P1 e P2 e´ mı´nima.
Dica: Use o quadrado da distaˆncia ao inve´s da distaˆncia, para na˜o ter de derivar a raiz quadrada.
Questa˜o 8. A curva
y3 + x · y − x2 + 1 = 0
tem dois pontos P1, P2 sobre o eixo horizontal (y = 0).
Determine as equac¸o˜es das retas tangentes nesses dois pontos. Decida se as duas retas tangentes sa˜o paralelas
ou na˜o; se na˜o forem, determine a intersecc¸a˜o.