alp3m2011_1

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UFCG/CCT/Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística Nota:
DISCIPLINA: Álgebra Linear I PERÍODO: 2011.1
PROFESSOR(A): ______________________________ Turno: MANHÃ
ALUNO(A): _________________________________ DATA: 09/06/2011
3o Estágio
IMPORTANTE! Não retire o grampo da prova. Use apenas o papel da prova. Concentre-se!
1. (1, 5 pontos) Seja T : R2 → R2 uma transformação linear definida por T (x, y) = (4x− y, 2x+ y)
e considere as seguintes bases para R2 : α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 3), (2, 5)} . Ache: a)
[T ]αα = A, b)[T ]
β
β = B; c)Uma matriz P e sua inversa P
−1 tal que B = P−1AP.
2. (1, 5 pontos) Seja T : P2 (R)→ R
3 uma uma transformação linear definida por
T (ax2 + bx+ c) = (a− c, b+ c, 2b). Mostre que T é um isomorfismo e encontre T−1(a, b, c).
3. (1, 5 pontos) Seja T : R2 → R3 a transformação linear definida pela matriz [T ]αβ =

 1 01 1
0 −1


onde α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} . Ache: a) T (x, y), b)[T (5, 7)]β .
4. (1, 5 pontos) Sejam S : R3 → R2 e T : R2 → R3 transformações lineares definidas por
S(x, y, z) = (x + 2y − z, x − y + z) e T (x, y) = (x+ y, x, x− y), respectivamente. Ache
[S ◦ T ] (x, y).
5. (2, 0 pontos) Seja T : R3 → R3 o operador linear definido por
T (x, y, z) = (x+ 3y − 3z, 4y, − 3x+ 3y + z) . encontre:
a) Os autovalores de T.
b) Os autoespaços de T.
6. (2, 0 pontos) Seja T : R4 → R4 o operador linear definido por T (x, y, z, t) = (2x+ y, 2y, 2z, 3t) .
a) Encontre o polinômio característico de T.
b) Escreva todos os polinômios candidatos ao polinômio minimal de T e, em seguida, verifique se T
é diagonalizável.
Boa Sorte! Boa Prova!