Algebra linear II UFRRJ - rosane prova

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Prova Optativa de Álgebra Linear II – T02 – 21/12/2021 – 2021/2
Nome:________________________________________Matrícula:_______________
Questão 1 : Considere T : R3 R3 definida por T(x,y,z)=( 2x,-2x-y-z,2x-y-z)
 (5.5 pontos)
1. T é uma transformação linear. Por que?
2. Uma transformação linear só será injetora se seu núcleo for constituído apenas pelo vetor
nulo. Encontre o núcleo de T e use afirmação anterior para verificar se é injetora.
3. Encontre o polinômio característico e os autovalores.
Dica: Para achar os autovalores mantenha o polinômio característico fatorado.
4. Encontre os autovetores associados aos respectivos autovalores.
5. Sem tentar calcular a inversa responda: A matriz canônica de T tem inversa? Por que?
Questão 2: Considere a matriz
 (4.5 pontos)
A=[
1 1 1 1
0 0 2 2
1 1 3 3
0 1 4 5
0 1 2 3
] 
1. Encontre uma base para o do espaço linha de A?
2. Os vetores linha geram todo o R4? Por que ? 
3. Que condições um vetor (x1, x2 , x3 , x4 , x5)
T dever satisfazer para ser uma combinação
linear das colunas de A?
4. Escreva uma transformação linear que tenha A como matriz canônica. Obtenha uma base
para sua imagem.
Pontuação
1.1: 0.5 1.2: 1.0 1.3:2.0 1.4: 1.5 1.5: 0.5 2.1: 1.0 2.2: 0.5 2.3: 1.5 2.4: 1.5 NOTA