Aula2 Oscilacoes

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Aula-2 
 Oscilações 
θ	
d 
Mg 
z-axis 
R 
x CM 
Física III - 1º semestre, 2016 
Baseado em: www.ifi.unicamp.br 
•  Hélice na água 
•  Asas de abelha 
•  Íons em um sólido 
•  Ondas na água 
•  Ondas sonoras 
•  Ondas de luz 
Oscilações 
(ou Vibrações) 
“Variações temporais” “Variações temporais 
 e espaciais” 
 Ondas 
Oscilações 
  Muitos fenômenos podem ser descritos como oscilações. 
•  Exemplos: Metrônomo, Pêndulo, Sistema Massa-Mola (Fig.) 
 Em geral são descritos pelas variáveis: 
- Deslocamento (x): a partir da posição de equilíbrio; 
- Período (T ): é o tempo necessário para completar um ciclo; 
- Frequência ( f ): é o número de ciclos por unidade de tempo. 
  Um ciclo é o movimento de vai e vem de um ponto, 
retornando à sua posição inicial. 
k 
x 0 
O gráfico de um Movimento Harmônico Simples 
é descrito por uma curva senoidal. 
Movimento Harmônico Simples (MHS) 
(Ideal) 
Dinâmica do MHS 
k 
x 
m 
F 
Equação diferencial para x(t) ! 
Tentando a solução: 
definindo: 
Dinâmica do MHS 
φ → Constante de fase 
Independem 
de A !... 
...para todo 
MHS ! 
Velocidade e Aceleração 
k 
x 
m 
0 
Posição: x(t) = A cos(ωt + φ) 
Velocidade: v(t) = - ωA sin(ωt + φ) 
Aceleração: a(t) = - ω2A cos(ωt + φ) 
 pois: 
xMAX = A 
vMAX = ωA 
aMAX = ω2A 
[m] 
[m/s] 
[m/s2] 
t 
y(t) 
(a) 
(b) 
(c) 
Exemplo 1 
  Uma massa oscila para cima e para baixo em uma mola. 
Sua posição em função do tempo é mostrada abaixo. Em 
quais dos pontos assinalados a massa tem uma velocidade 
positiva e uma aceleração negativa ? 
  A inclinação y(t) nos mostra o sinal da velocidade, pois 
t 
y(t) 
(a) 
(b) 
(c) 
a < 0 
v < 0 
a > 0 
v > 0 
a < 0 
v > 0 
A resposta é: (c) 
Exemplo 1: solução 
  y(t) e a(t) têm sinais opostos pois: a(t) = - ω2 y(t) 
y(t) = A cos(ωt +φ) 
Resumo: MHS 
•  Solução: x(t) = A cos(ω t + φ ) 
 onde: A = amplitude 
 ω = frequência angular 
 φ = fase 
 T = período 
•  Para uma massa em uma mola: 
  A frequência não depende da amplitude! 
 ( Isso é geral para qualquer MHS ! ) 
  A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio, 
onde a força resultante é nula! 
MHS e Movimento Circular Uniforme 
A 
θ 
x 
v0 
v 
θ 
x 
y 
z 
v 
x A 
ω : velocidade angular 
ou 
0
Ou seja: o MHS pode ser visto como um MCU 
projetado no diâmetro do círculo de raio A (Projetado no eixo x !) 
θ* 
MHS e MCU 
y(t) = R cos θ = R cos (ωt) 
  Como relacionar o MHS com o MCU? 
-1 
1 
0 θ	
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 2π x 
y 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
θ	
R 
(Projetado no eixo y !) 
y 
Força elástica e energia potencial 
Configuração de referência: 
k 
x 
m 
0 
F
Energia no pto. de equilibrio é toda cinética! 
Energia Mecânica de um OHS é 
Proporcional ao quadrado de sua Amplitude! 
Energia no MHS 
Energia 
Cinética 
Energia 
Potencial 
Elástica 
Quando x = A ou x = -A (extremos): 
x = -A 
x = A 
x = 0 
F=-kx 
Quando x = 0 (ponto de equilibrio): 
•  Energia Mecânica Total: 
Conservação de energia mecânica 
MHS e potenciais quadráticos 
•  Geralmente isso não ocorre na natureza. 
 Por exemplo, o potencial entre os átomos 
em uma molécula de H2 tem a forma: 
-A A 0 x 
U 
U 
K 
E 
E = K + U 
•  O MHS vai ocorrer sempre 
que o potencial for quadrático. 
U 
r 
x0 
U 
 x ʹ′ 
Potencial de 
Lennard-Jones 
Exercício 1 
Sabe-se que em sistema massa-mola, a massa é solta em t=0 s 
da posição x0 = 0,1 m com velocidade v0 = -0,5 m/s. A frequência 
angular do movimento é ω = 2,5 rad/s. Escreva a equação da 
posição da mola em função do tempo. 
Exercício 2 
Considere um sistema massa-mola. Em t = 0 s, a mola não está 
comprimida nem esticada e a massa (m = 0,5 kg) se move na 
direção negativa sendo sua velocidade v = 12 m/s. Sabe-se que 
a aceleração é ax = -2,7 m/s2 quando x = 0,3 m. Determine: (a) 
Amplitude, (b) frequência angular, (c) x(t), (d) faça um gráfico de 
x(t) X t, (e) qual força atua sobre a massa quando a energia 
potencial vale 1/3 da energia cinética. 
Exercício 3 
Considere um sistema massa-mola de massa m em MHS. No 
instante t=0 s a massa se encontra na posição x(0) = -A e a 
constante da mola é k. Quando a massa está na posição x1, tem 
uma velocidade v1. Determine: (a) Amplitude do movimento, (b) 
energia mecânica, (c) vmax, (d) x(t), (e) os tempos em que a 
massa passa pela posição de equilíbrio. 
Exemplo de MHS: Pêndulo Simples 
•  O torque devido à gravidade ao redor do eixo de 
rotação (eixo z) é τ = -mgd. Mas: 
 d = L senθ ≈ Lθ ; para pequenos θ . 
Portanto: τ = -mg Lθ	
 Mas: τ = Iα ; I = mL2 
θ	
 L 
d 
m 
mg 
z 
 ; onde: 
Que é idêntica à Equação diferencial do MHS ! 
Daí: 
θ	
 L 
x m 
mg 
z 
FT 
mg cosθ mg senθ 
Usando: x ≈ Lθ, temos: 
(Similar ao caso de massa-mola!) 
(válido para θ pequeno!) 
O Pêndulo Simples ~ Massa-Mola 
Exemplo de MHS: Pêndulo Físico Geral 
•  Consideremos um sólido de forma arbitrária e 
massa M, pendurado em um eixo fixo. Sabemos 
onde o CM está localizado e qual é o momento de 
inércia Iz em torno desse eixo. 
•  O torque em torno do eixo de rotação (z) para θ 
pequenos é (senθ ≅ θ ) : 
 τ = -Mgd -MgRθ ;	
 θ	
d 
Mg 
z 
R 
x CM 
onde: 
θ = θ0 cos (ωt + φ) 
τ	
 α	
Alguns momentos de inércia 
•  O torque em relação ao eixo de rotação (z) é: 
τ = -mgd = -mg(L /2)senθ ≈ -mg(L /2)θ ; θ << 1	
•  Nesse caso: 
 Daí: τ = Iα 	
Exemplo: Bastão Oscilante 
θ	
L d 
mg 
z 
L /2 
x CM 
d I 
Ou: 
Dissipação da Energia 
•  Na prática sempre existe dissipação de energia: 
ATRITO 
•  Ex.: Atrito com o ar a baixas velocidades: 
Fa = -bv 
x 
m 
0 
F=-kx v 
Fa = -bv 
ar 
MHS e MH amortecido 
Oscilador Harmônico Amortecido 
Equação diferencial de 2ª ordem 
Propondo a solução: 
Oscilador Harmônico Amortecido 
Equação diferencial de 2º grau 
(Equação diferencial de 2ª ordem) 
Oscilador Harmônico Amortecido 
Se: Temos Amortecimento Subcrítico (raiz de número negativo) 
Oscilador Harmônico Amortecido 
Solução (Parte Real) : 
Amortecimento Subcrítico 
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm 
Amortecimento Subcrítico 
Amortecimento Supercrítico 
Raiz de número positivo 
Amortecimento supercrítico 
Se: 
Amortecimento Supercrítico 
γ 
(B, A) 
Crítico: 
€ 
x t( ) = e−
γ
2 t A + Bt( )
Tipos de Amortecimento 
Supercrítico: Subcrítico: 
Crítico: 
Oscilações Forçadas 
Força externa: 
•  O sistema oscila 
com a frequência da 
força externa (ω)... 
...mesmo que esta 
seja diferente da 
frequência natural 
do sistema (ω0). 
Solução: 
Oscilações Forçadas 
Se: t = 0 e φ = 0 → 
Pois: A ≥ 0 
** Posição x(t) em fase com a Força ** 
Baixas Frequências: 
Oscilações Forçadas 
Altas Frequências: 
Oscilações Forçadas 
** Posição x(t) fora de fase com a Força ** 
Usamos solução: 
Oscilações forçadas e amortecidas 
Para amortecimento fraco: 
 Podemos obter : 
Para: temos: 
Oscilações forçadas amortecidas: 
Ressonância 
Exemplos de Ressonância 
Desastre na TacomaNarrows Bridge, 1940 
Exercício - Moysés 
Exercício - Moysés 
Exercício - Moysés 
Exercício - Moysés 
Exercício - Moysés 
Exercício - Moysés 
Exercício – Solução na folha extra 
Fazer o problema de um bloco oscilando na água a partir de um 
deslocamento com respeito a sua posição de equilíbio. Coloque 
o referencial positivo para baixo. 
Equilíbio: 
Fora do equilíbio: 
Exercício 
A solução geral do oscilador harmônico forçado não amortecido é 
Mostre que, sob as condições iniciais x(0) = 0 e v(0) = 0, 
Dica: 
Exercício 
Oscilações em um tubo um forma de U. 
Exercício 
Mais Exemplos … 
Exemplo 
•  Que comprimento deve ter um pêndulo simples 
para ter o mesmo período de um pêndulo físico? 
LR 
LS 
 ωS = ωP , se: 
Exemplo: Pêndulo Físico 
  Um pêndulo é construído ao pendurar um bambolê de 
diâmetro D em um pequeno prego. Qual é a freqüência 
angular de oscilação do bambolê para deslocamentos 
pequenos? (ICM = mR2 para um aro) 
Teorema dos eixos paralelos: I = ICM + mR2 
I = mR2 + mR2 = 2mR2 
Para pequenos deslocamentos: 
Daí: 
pivô (prego) 
R 
CM 
x 
m 
•  Consideremos um objeto suspenso por um 
fio, preso ao seu CM. O fio define o eixo de 
rotação, e o momento de inércia I em torno 
desse eixo é conhecido. 
•  O fio atua como uma “mola rotacional.” 
–  Quando o objeto é rodado, o fio é torcido. 
Isso provoca um torque que se opõe à 
rotação. 
–  Em analogia com uma mola, o torque 
produzido é proporcional ao deslocamento: 
	
 	
 	
 	
τ = -kθ 
I 
fio 
θ	
τ	
Pêndulo de Torção 
Pêndulo de Torção 
•  Como: τ = -kθ e τ = Iα teremos: 
onde: 
•  Que é similar ao caso “massa-mola”; exceto que I 
tomou o lugar de m. 
I 
fio 
θ	
τ