5. Centroides momento inércia

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CENTROIDES E 
MOMENTO DE INÉRCIA 
DE ÁREAS PLANAS 
Prof. Hugo Tupan 
Centroídes de áreas e curvas planas 
• Primeiro momento de área: 
 
𝑄𝑥 = 𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
𝑄𝑦 = 𝑥𝑑𝐴
𝐴
 
 
• Centroíde 
 
𝑥 =
𝑄𝑦
𝐴
=
 𝑥𝑑𝐴𝐴
 𝑑𝐴𝐴
 
𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴
=
 𝑦𝑑𝐴𝐴
 𝑑𝐴𝐴
 
 
• Características do centroíde e primeiro momento 
de área: 
 
• A dimensão de 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 é 𝐿
3 ; 
• 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 pode ser positivo, negativo ou nulo, 
dependendo da posição do eixo de coordenadas 
relativo ao centroíde da região; 
• Se a região é simétrica. Então seu centroíde está 
localizado no eixo de simetria. 
Centroídes de áreas e curvas planas 
• Primeiro momento de área: 
𝑄𝑥 = 𝑦𝑑𝑠
𝐿
 
𝑄𝑦 = 𝑥𝑑𝑠
𝐿
 
 
• Centroíde 
𝑥 =
𝑄𝑦
𝐿
=
 𝑥𝑑𝑠𝐿
 𝑑𝑠𝐿
 
𝑦 =
𝑄𝑥
𝐿
=
 𝑦𝑑𝑠𝐿
 𝑑𝑠𝐿
 
Técnicas de Integração 
Elemento diferencial duplo Elemento diferencial simples 
Técnicas de Integração 
Elemento diferencial duplo Elemento diferencial simples 
Técnicas de Integração 
• A integração de áreas planas dependem da escolha do 
elemento de área 𝑑𝐴. Há duas escolhas básicas para 𝑑𝐴: 
• Elemento diferencial duplo; 
• Elemento diferencial simples; 
• Em ambos os casos, as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do elemento 
diferencial devem ser interpretadas como as coordenadas 
do centroíde do elemento; 
• A escolha para 𝑑𝐴, 𝑥 𝑒𝑙 e 𝑦 𝑒𝑙 também dependem da 
escolha do sistema de coordenadas: 
• Regiões retangulares → coordenadas cartesianas; 
• Regiões circulares → coordenadas polares. 
 
Técnicas de Integração 
• A integração de curvas 
sempre envolvem 
integração simples, ao 
longo do comprimento 
desta; 
• As expressões para 𝑑𝑠 
podem ser expressas 
tanto em coordenadas 
cartesianas como polares; 
• Em alguns casos, não é 
possível resolver as 
integrais analiticamente, 
sendo necessário resolvê-
la numericamente. 
Áreas compostas 
• 𝐴 = 𝑑𝐴𝐴 = 𝑑𝐴𝐴1
+ 𝑑𝐴𝐴2
+
 𝑑𝐴𝐴3
+⋯ = 𝐴𝑖𝑖 
• 𝑄𝑦 = 𝑥𝑑𝐴𝐴 = 𝑥𝑑𝐴𝐴1
+
 𝑥𝑑𝐴𝐴2
+ 𝑥𝑑𝐴𝐴3
+⋯ = 𝑄𝑦 𝑖𝑖 
 
• Método das áreas compostas: 
• 𝑥 =
𝑄𝑦
𝐴
=
 𝐴𝑖𝑥 𝑖𝑖
 𝐴𝑖𝑖
; 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴
=
 𝐴𝑖𝑦 𝑖𝑖
 𝐴𝑖𝑖
 
 
• Método das curvas compostas: 
• 𝑥 =
𝑄𝑦
𝐿
=
 𝐿𝑖𝑥 𝑖𝑖
 𝐿𝑖𝑖
; 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐿
=
 𝐿𝑖𝑦 𝑖𝑖
 𝐿𝑖𝑖
 
 
Momento de Inércia de Área 
• Primeiro momentos de área: 𝑥𝑑𝐴 e 𝑦𝑑𝐴; 
• Segundo momentos de áreas planas (momento de 
inércia): 𝑥2 𝑑𝐴 e 𝑦2𝑑𝐴; 
• Produto de inércia: 𝑥𝑦𝑑𝐴; 
• Momentos e produtos de inércia surgem na análise da 
distribuição carga linear que atuam em áreas planas; 
• Tais distribuições ocorrem em membros submetidos à 
flexão (vigas) ou em eixo circulares sujeitos a momentos 
torçores; 
• Além disso, momento e produtos e inércia são 
encontrados na determinação de resultantes atuando em 
superfícies submersas. 
 
Momento de Inércia de Área 
• O momento de inércia de área 
em relação ao eixo 𝑥 e 𝑦, 
respectivamente, são definidos 
por: 
 
𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴
𝐴
 
𝐼𝑦 = 𝑥
2𝑑𝐴
𝐴
 
 
• As dimensões para o momento 
de inércia de área é 𝐿4 . 
• O momento de inércia é sempre 
positivo. 
Momento Polar de Inércia 
• O momento polar de inércia de 
área em relação ao ponto 𝑂 
(rigorosamente falando, em 
relação a um eixo que passe 
por 𝑂, perpendicular ao plano 
de área) é definido por: 
 
𝐽𝑂 = 𝑟
2𝑑𝐴
𝐴
 
 
sendo 𝑟 é a distância de 𝑂 até o 
elemento diferencial de área 𝑑𝐴; 
 
• De 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2: 
 
𝐽𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
Teorema dos Eixos Paralelos 
• Há uma relação simples entre 
os momentos de inércia de dois 
eixos paralelos, considerando 
que um dos eixos passe pelo 
centroíde da área; 
 
𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴
𝐴
= 𝑦 + 𝑦′ 2
𝐴
= 𝑦 2 𝑑𝐴
𝐴
+ 2𝑦 𝑦′𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑦′ 2𝑑𝐴
𝐴
 
 
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥 + 𝐴𝑦 
2 
𝐼𝑦 = 𝐼 𝑦 + 𝐴𝑦 
2 
Teorema dos Eixos Paralelos 
• Para um eixo 𝑎 
arbitrariamente orientado: 
 
𝐼𝑎 = 𝐼 𝑎 + 𝐴𝑑
2 
 
• Para o momento polar de 
inércia: 
 
𝐽𝑂 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
= 𝐼 𝑥 + 𝐴𝑦 
2
+ 𝐼 𝑦 + 𝐴𝑥 
2 
 
𝐽𝑂 = 𝐽 𝑂 + 𝐴𝑟 
2 
Raio de giração e Técnicas de Integração 
• Em algumas aplicações de engenharia 
estrutural (flambagem), é uma prática 
comum a introdução do raio de giração da 
área; 
• O raio de giração de uma área em relação 
ao eixo 𝑥, 𝑦 e a origem 𝑂, é definido como: 
 
𝑘𝑥 =
𝐼𝑥
𝐴
; 𝑘𝑦 =
𝐼𝑦
𝐴
; 𝑘𝑂 =
𝐽𝑂
𝐴
 
 
𝑘𝑂
2 = 𝑘𝑥
2 + 𝑘𝑦
2
 
 
• A dimensão do raio de giração é 𝐿 ; 
• Para calcular o momento de inércia de 
uma área em relação a um determinado 
eixo por integração, deve-se escolher um 
sistema de coordenadas e decidir-se por 
integral simples ou dupla; 
• Se integração dupla for utilizada, o 
momento de inércia pode ser calculado de 
maneira direta. Entretanto, em integração 
simples, as seguintes equações devem ser 
utilizadas: 
 
𝐼𝑥 = 𝑑𝐼𝑥
𝐴
 𝐼𝑦= 𝑑𝐼𝑦
𝐴
 
 
onde 𝑑𝐼𝑥 e 𝑑𝐼𝑦 são os momentos de inércia 
do elemento de área 𝑑𝐴 em relação aos 
eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente; 
 
• Em geral, 𝑑𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴 somente se todas as 
partes do elemento de área estão à 
mesma distância 𝑦 do eixo 𝑥; 
Método das áreas compostas 
• Considere uma região plana 𝐴 que foi dividida em sub-
regiões 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, ⋯ O momento de inércia da área 𝐴 em 
relação a um eixo pode ser calculado pela soma dos 
momentos de inércia das sub-regiões em relação ao 
mesmo eixo. 
 
𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴
𝐴
= 𝑦2𝑑𝐴
𝐴1
+ 𝑦2𝑑𝐴
𝐴2
+ 𝑦2𝑑𝐴
𝐴3
⋯ 
 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 1 + 𝐼𝑥 2 + 𝐼𝑥 3 +⋯ 
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 1 + 𝐼𝑦 2 + 𝐼𝑦 3 +⋯ 
𝐽𝑂 = 𝐽𝑂 1 + 𝐽𝑂 2 + 𝐽𝑂 3 +⋯ 
Produto de Inércia de Área 
• O produto de inércia da área plana 
em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 é 
definido por: 
 
𝐼𝑥𝑦 = 𝑥𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
 
• Dimensões: 𝐿 4 
• Pode ser positivo, negativo ou nulo; 
 
• Se uma área possui um eixo de 
simetria, este eixo e os eixos 
perpendiculares a ele constituem 
um conjunto de eixo para o qual o 
produto de inércia é nulo; 
Teorema dos eixos paralelos 
𝐼𝑥𝑦 = 𝑥𝑦𝑑𝐴
𝐴
= 𝑥′ + 𝑥 𝑦′ + 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑥′𝑦′𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑥 𝑦′𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑦 𝑥′𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑥 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
 
 
𝐼𝑥𝑦 + 𝐼 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 𝐴 
 
• O método das áreas compostas 
também é válido para o produto 
de inércia.