Características geométricas de superfícies planas

Prévia do material em texto

CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DE SUPERFICIES PLANAS
1 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
1.1 – Introdução
Freqüentemente consideramos a força peso dos corpos como cargas concentradas atuando num único ponto, quando na realidade o que se passa é que o peso é uma força distribuída, isto é, cada pequena porção de matéria tem o seu próprio peso. Esta simplificação pode ser feita se aplicarmos a força concentrada num ponto especial denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distribuição de matéria homogênea em torno de si. Terá importância também a determinação de um ponto de uma superfície e não somente de um corpo tridimensional que terá uma distribuição homogênea de área em torno de si. A este ponto especial chamaremos de Centróide (ou Centro de Gravidade – CG).
Demonstra-se que as coordenadas deste ponto serão obtidas, no caso geral, tomando-se um elemento de área dA e partindo do centróide deste elemento (xel; yel) fazemos a integração em toda a área A.
21
As coordenadas deste ponto serão:
A integral é conhecida como Momento Estático de 1a Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eixo y. Analogamente, a integral define o Momento Estático de 1ª Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eixo x.
1.2 – Determinação do Centróide 
a – Por Integração
Escolha do elemento de área – pode-se escolher qualquer elemento de área para o cálculo do CG. A resolução da maior parte dos problemas será possível com elemento de área em forma de uma faixa retangular ou um setor circular. Ex.:
Retângulo
y
dy
h
yel
x
b
Portanto, para o retângulo temos:
y
b/2
b/2
h/2
h
CG
x
h/2
b
A partir destes resultados, toda vez que utilizarmos um elemento de área em forma de faixa retangular colocaremos:
b – Por Composição de Figuras
Muitas figuras são resultantes de soma ou diferença de outras figuras conhecidas e para estas há um segundo método para se determinar o CG. Ex.:y
120mm
100mm
60mm
x
Notamos que a figura resultante pode ser obtida pela soma de um retângulo com um triângulo ou pela diferença de um outro retângulo e um triângulo. Faremos a opção pela soma.
Observamos que o CG de cada figura (retângulo e triângulo) já são conhecidos, pois foram obtidos por integração. Contudo, Estas coordenadas devem ser tomadas em relação à origem do sistema dado.
Como trata-se de soma de figuras conhecidas, as integrais 
	Figura
	
	
	A
	
	
	Retângulo
	60
	110
	12000
	720000
	1320000
	Triângulo
	40
	40
	3600
	144000
	144000
	
	
	
	15600
	864000
	1464000
1.3 – Aplicações do Cálculo do CG
Teoremas de Pappus-Guldinus: para a aplicação dos teoremas torna-se necessário definirmos:
Superfície de revolução: é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo dado.
Curva plana (reta)	Superfície de revolução – casca do cone
Corpo de revolução: é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma área plana em torno de um eixo fixo.
	
 Área plana (triângulo)	 Corpo (cone)
Teorema I: a área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz, multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a geração da superfície.
Teorema II: o volume de um corpo de revolução é igual à área geratriz, multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da área durante a geração do corpo.
1.4 – Centróide de um Corpo Tridimensional
Analogamente ao que foi feito para áreas planas, a determinação do Centróide de um Corpo Tridimensional pode ser obtida pelas expressões:
Para corpos homogêneos, isto é, os que possuem peso específico constante, o Centróide coincide com o Baricentro. Relembremos que Centróide é um ponto com distribuição de volume homogênea em torno de si (do ponto de vista geométrico) e Baricentro é um ponto com distribuição homogênea de massa em torno de si (ponto onde deve situar a força peso, que sozinha substitui o peso distribuído de cada porção de matéria).
A integral é conhecida como Momento Estático ou Momento de Primeira Ordem de Volume em relação ao plano yz. Analogamente, com em relação a xz e em relação a xy.
No cálculo de centróide de áreas pudemos observar que figuras com eixo de simetria possuíam o CG sobre este eixo. O mesmo se aplica para o CG de corpos tridimensionais. Desta forma é imediato o CG de esferas, elipsóides, cubos, paralelepípedos, etc.
Semelhante ao que foi feito para as áreas, há dois métodos para determinar o CG de volumes: por Integração e Composição de Corpos.
Lista de Exercícios
1. Determinar, por integração direta, o CG das áreas abaixo:
a) Triângulo
b) Parábola do 2° grau 
2. Determinar, por composição de figuras, o CG das áreas abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
3. Um cone e um cilindro de mesmo raio a e altura h estão unidos como ilustrado abaixo. Determine a posição do centróide do corpo.
2. Momento de Inércia de Figuras Planas
No desenvolvimento da expressão da tensão Normal no estudo da flexão, surgem as integrais chamadas de Momento estático de 2ª ordem ou Momento de Inércia. Estudaremos o desenvolvimento e expressões finais dessas integrais para as figuras mais comuns.
Momento de Inércia é uma grandeza que mede a resistência que uma determinada área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo. Normalmente representamos pelas letras I e J. Assim a resistência que a Figura 1 oferece ao giro em torno do eixo z é representada e em torno de eixo y representada por , onde dS é um elemento de área da Figura 5.1, é a distância do elemento de área ao eixo y e y é a distância do elemento de área ao eixo z.
Da mesma maneira que fizemos para os Momentos Estáticos de 1a ordem (cálculos de Centro de Gravidade), desenvolveremos as integrais para as figuras comuns, retângulo, triângulo, parábola e círculo. A escolha do elemento de área adequado facilita a resolução das integrais. Deve-se utilizar um elemento de área que eqüidiste do eixo em torno do qual se calcula o Momento de Inércia.
· Retângulo
· Triângulo
2.1. Teorema dos Eixos Paralelos
Freqüentemente necessitamos do momento de inércia de uma área em relação a um eixo qualquer (este eixo será qualquer para a figura em si, mas especial para a seção da qual a referida figura faz parte). para evitar o cálculo constante de integrais, desenvolveremos uma expressão para o cálculo do momento de inércia em relação a este eixo qualquer a partir do valor do momento de inércia em relação a outro eixo, já conhecido.dS
B
y '	B
CG
y
d
A	A	
A integral já é conhecida . Como o eixo BB é Horizontal que contém o CG, esta integral é chamada .
A integral é igual a zero, pois refere-se ao CG.
A integral resulta a área S.
Portanto:
Sendo “d” a distância de eixo a eixo.
Para eixos horizontais teremos:
· Retângulo
· Triângulo
3. Momento Polar de Inércia
No estudo da torção em peças cilíndricas terá grande importância a integral , que é chamada de Momento Polar de Inércia. É utilizada quando houver solicitação em torno de um eixo (na seção estudada teremos um ponto = Pólo).
A terceira figura importante para a qual precisamos dos valores dos Momentos de Inércia é o Círculo. A dedução mais simples é a de J0.
Em função da simetria, podemos concluir que para o círculo os valores de Jz e Jy são iguais. Como o ponto O é o encontro dos eixos z e y, teremos:
Portanto, para o círculo teremos:
Ou, escrevemos em função do diâmetro:
Figuras Circulares
Para escrever o círculo deve variar de .
Para o semi-círculo deve variar de a . Então 
Resumindo teremos:
3.1. Teorema dos Eixos Paralelos
· Círculo: os valores obtidos já são em relação aos eixos que passam pelo Centro de Gravidade.
· Semi-Círculo:
· Quarto de Círculo:
4. Produto de Inércia
É definido com a integral obtida multiplicando-se cada elemento de área dS de uma área S por suas coordenadas z e y em relação aos eixos coordenados z e y e integrando sobre a área.
Ao contrário dos Momentosde Inércia Jz e Jy, o Produto de Inércia pode ser positivo, negativo ou nulo e não tem significado físico. Será útil mais tarde para a determinação dos próprios Momentos de Inércia. É indicado pela abreviação Jzy.
Calculando para as figuras mais comuns temos:
· 	Retângulo: 
· Triângulo:
Há quatro posições para os triângulos. Desenvolveremos uma delas.
4.1. Teorema dos Eixos Paralelos
De forma semelhante ao que fizemos com os Momentos de Inércia teremos:
Aplicando para cada uma das figuras principais teremos:
· Retângulo:
· Triângulo:
5 – Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados
Muitas vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Ix’, Iy’ e Ix’y’ para uma área em relação a um par de eixos u e v inclinados em relação aos eixos x e y , sendo os valores de , Ix, Iy e Ixy conhecidos. Para isso utilizaremos as equações de transformação que relacionam as coordenadas x, y e x’ e y’.
Sabendo-se que :
Substituindo x’ e y’ na expressão acima, tem-se:
Expandindo cada expressão e lembrando que
obtem-se
Simplificando estas equações utilizando as identidades trigonométricas
sen 2  2 sen cos cos 2  cos 2   sen 2  resulta:
(1)I	 I x  I y  I x  I y cos 2  I	sen 2
x'
2
2
xy
I	 I x  I y  I x  I y cos 2  I	sen 2
y '
2
2
xy
I	 I x  I y sen 2  I	cos 2
x' y '
2
xy
Se a primeira e a segunda equações forem somadas, pode-se mostrar que o momento polar de inércia em relação ao eixo z que passa pelo ponto O é independente da orientação dos eixo x’ e y’, ou seja:
I 0  I x '  I y '  I x  I y
Momentos principais de inércia
As equações (1) mostram que Ix’, Iy’ e Ix’y’ dependem do ângulo de inclinação □ dos eixos x’e y’. Deseja-se determinar agora a orientação desses eixos para os quais os momentos de inércia da área, Ix’ e Iy’ são extremos, isto é, máximo e mínimo. Este par de eixos em particular é chamado de eixos principais de inércia e os correspondentes momentos de inércia em relação a eles são os chamados momentos principais de inércia . Em geral existe um par de eixos para cada origem O escolhida. Nos projetos estruturais e mecânicos de um elemento, a origem O é geralmente localizada no centróide da área de seção reta.
O ângulo p que define a orientação dos eixos principais da área pode ser obtido por derivação da primeira das equações (1) em relação a  , impondo-se resultado nulo.
dI x'
d
 2 I x  I y sen 2  2I
2	xy
cos 2  0
Assim, em p
(2)tan 2	 2
I xy
p
(I  I )
x	y
Essa equação possui duas raízes p1 e p2 defasadas de 90 º e estabelecem a inclinação dos eixos principais. De forma a substitui-las nas equações (1) devemos inicialmente obter o seno e o cosseno de 2 p1 e 2p2 o que pode ser feito pela relação (2) em associação com a identidade trigonométrica sen 2 2  cos2 2  1. Obtem-se dessa forma:p	p
Para  p1
sen 2 p1 · I xy
 I


x
· I
2
y   I

2
2
xy
cos 2 p1  I x  I y 


2


 I


x
· I
2
y   I

2
2
xy
Para  p2
sen 2 p2 I xy
 I


x
· I
2
y   I

2
2
xy
 I x  I y 


2


 I


x
· I
2
y   I

2
2
xy
cos 2 p2 
Substituindo esses dois pares de relações trigonométricas nas equações (1) e simplificando tem-se:
I max  I1 
min	2
I12  0
I  I
x	y
2

 I


x	y
2
· I
2
  I xy

2
Lista de Exercícios
1. Calcular os valores de Jz e Jy em relação ao sistema de eixos que passa pelo CG da seção.
a)
b)
2. Determine o produto de inércia (Jzy) para as figuras abaixo.
a) 
b) 
c) 
30
3. Determine o valor para as figuras abaixo.
a) 
b) 
c)
31