Aula 10 - Momento de Inércia - Parte 02

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Aula 08: Momento de Inércia
Mecânica Geral
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Definição de momentos de inércia para áreas
Momento de inércia
Por definição, os momentos de inércia de uma área diferencial dA em relação aos eixos x e y são dIx = y2 dA e dIy = x2 dA, respectivamente (Figura 10.2). Para a área total A, os momentos de inércia são determinados por integração, ou seja,
Nome da sua empresa
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Definição de momentos de inércia para áreas
Momento de inércia
Também podemos formular essa quantidade para dA em relação ao “polo” O ou eixo z (Figura). Isso é conhecido como o momento de inércia polar. 
Ele é definido como dJO = r2dA, em que r é a distância perpendicular do polo (eixo z) até o elemento dA. Para a área completa, o momento de inércia polar é
Essa relação entre JO e Ix, Iy é possível porque r2 = x2 + y2 (Figura).
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Teorema dos eixos paralelos para uma área
O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo que seja paralelo a um eixo passando pelo centroide e em relação ao qual o momento de inércia seja conhecido.
E, finalmente, para o momento de inércia polar, como JC = Ix’ + Iy’ e d2 = d2x + d2y, temos:
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Raio de giração de uma área
O raio de giração de uma área em relação a um eixo tem unidades de comprimento e é uma quantidade normalmente usada para projetos de colunas na mecânica estrutural. 
Se as áreas e os momentos de inércia forem conhecidos, os raios de giração serão determinados pelas fórmulas:
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Procedimento para análise
Caso 1
Oriente o elemento de modo que seu comprimento seja paralelo ao eixo em relação ao qual o momento de inércia é calculado. 
Essa situação ocorre quando o elemento retângulo mostrado na Figura a é usado para determinar Ix para a área. 
Aqui, todo o elemento está a uma distância y do eixo x, pois tem espessura dy. Assim, Ix = integral(y2dA). 
Para achar Iy, o elemento é orientado como mostra a Figura 10.4b. Esse elemento se encontra à mesma distância x do eixo y, de modo que Iy = Integral(x2dA).
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Procedimento para análise
EXEMPLO 10.2
(Caso 01) Determine o momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura a em relação ao eixo x.
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Exemplos
EXEMPLO 10.2
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Exemplos
EXEMPLO 10.2
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Exemplos
EXEMPLO 10.3
(Caso 01) Determine o momento de inércia em relação ao eixo x da área circular mostrada na Figura a.
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Exemplos
EXEMPLO 10.3
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Procedimento para análise
Caso 2
O comprimento do elemento pode ser orientado perpendicularmente ao eixo em relação ao qual o momento de inércia é calculado; porém, todos os pontos no elemento não terão o mesmo comprimento de braço de momento a partir do eixo. 
Por exemplo, se o elemento retangular na Figura 10.4a for usado para encontrar Iy, primeiramente será necessário calcular o momento de inércia do elemento em relação a um eixo paralelo ao eixo y que passe pelo centroide do elemento, e depois determinar o momento de inércia do elemento em relação ao eixo y usando o teorema dos eixos paralelos. 
A integração desse resultado gerará Iy. Ver exemplos 10.2.
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Exemplos
EXEMPLO 10.2
(Caso 01) Determine o momento de inércia da área sombreada mostrada na Figura b em relação ao eixo x.
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Exemplos
EXEMPLO 10.2
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Momentos de inércia para áreas compostas
Uma área composta consiste em uma série de partes ou formatos “mais simples” conectados, como retângulos, triângulos e círculos. 
Se o momento de inércia de cada uma dessas partes for conhecido ou puder ser determinado em relação a um eixo comum, o momento de inércia da área composta em relação ao eixo é igual à soma algébrica dos momentos de inércia de todas as suas partes.
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Momentos de inércia para áreas compostas
EXEMPLO 10.4
Determine o momento de inércia da área mostrada na Figura 10.8a em relação ao eixo x.
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Momentos de inércia para áreas compostas
EXEMPLO 10.4
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Momentos de inércia para áreas compostas
EXEMPLO 10.5
Determine os momentos de inércia da área da seção transversal do membro mostrado na Figura em relação aos eixos centroidais x e y.
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Momentos de inércia para áreas compostas
EXEMPLO 10.5
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Momentos de inércia para áreas compostas
EXEMPLO 10.5
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Produto de inércia de uma área
A propriedade de uma área, chamada produto de inércia, é necessária para determinarmos os momentos de inércia máximo e mínimo desta área. 
Esses valores máximo e mínimo são propriedades importantes, necessárias para projetar membros estruturais e mecânicos como vigas, colunas e eixos.
O produto de inércia da área na Figura em relação aos eixos x e y é definido como:
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Produto de inércia de uma área
O produto de inércia pode ser positivo, negativo ou zero, dependendo da posição e da orientação dos eixos de coordenadas. 
Por exemplo, o produto de inércia Ixy de uma área será zero se o eixo x (ou y) for um eixo de simetria da área, como na Figura.
Aqui, cada elemento dA localizado em um ponto (x, y) tem um elemento correspondente dA localizado em (x, -y). Como os produtos de inércia desses elementos são, respectivamente, xy dA e -xy dA, a soma algébrica ou integração de todos esses pares de elementos será nula. Consequentemente, o produto de inércia da área total torna-se zero.
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Teorema dos eixos paralelos
Considere a área sombreada mostrada na Figura, onde x’ e y’ representam um conjunto de eixos que passam pelo centroide da área, e x e y representam o conjunto correspondente de eixos paralelos, o teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia torna-se:
É importante que os sinais algébricos para dx e dy sejam mantidos ao se aplicar essa equação.
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Produto de inércia de uma área
EXEMPLO 10.6
Determine o produto de inércia Ixy do triângulo mostrado na Figura.
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Produto de inércia de uma área
EXEMPLO 10.6
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Produto de inércia de uma área
EXEMPLO 10.6
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Produto de inércia de uma área
EXEMPLO 10.7
Determine o produto de inércia da seção transversal do membro mostrado na Figura a, em relação aos eixos centroidais x e y.
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Produto de inércia de uma área
EXEMPLO 10.7
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Obrigado
Mauro.lobato@faculdadeideal.edu.br
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