Sinais Soma de Convolução

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Sinais e Sistemas
Soma de Convolução
Soma de Convolução
� Os sistemas mais utilizados em quase todas as áreas da Engenharia
são os sistemas lineares invariantes no tempo (abreviadamente,
LIT).
� O principal motivo para esta preferência é que este tipo de sistema� O principal motivo para esta preferência é que este tipo de sistema
fica totalmente caracterizado pela sua resposta ao impulso, ou seja,
pela saída do sistema quando colocamos em sua entrada o sinal
impulso unitário.
� Em outras palavras, caso conheça-se a resposta de um sistema LIT a
uma entrada impulso, sabe-se calcular sua resposta para qualquer
entrada.
Soma de Convolução
� Como qualquer sinal x[n] pode ser descrito como uma soma
ponderada de impulsos, sendo o sistema LIT e conhecendo-se a
resposta a um impulso, poderemos determinar a saída devida a
qualquer entrada x[n].
� Se a entrada de um sistema linear for expressa como uma� Se a entrada de um sistema linear for expressa como uma
superposição ponderada de impulsos deslocados no tempo, a saída
será uma superposição ponderada da resposta do sistema a cada
impulso deslocado no tempo.
� Se o sistema for também invariante no tempo, a resposta do sistema
a um impulso deslocado no tempo será uma versão deslocada no
tempo da resposta do sistema a um impulso.
� Por isso, a saída de um sistema LIT é dada por uma superposição
ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo.
Soma de Convolução
� Resposta ao Impulso
�Para sistemas Lineares e Invariantes no
Tempo - LTI, pode-se determinar a respostaTempo - LTI, pode-se determinar a resposta
temporal a uma entrada arbitrária através da
superposição de respostas ao impulso
deslocadas no tempo.
Soma de Convolução
� Resposta ao Impulso
�O sinal de entrada é amostrado de forma
impulsiva, ponderando o impulso com o valorimpulsiva, ponderando o impulso com o valor
instantâneo do sinal de entrada. Para sistemas
LTI, cada impulso ponderado pode ser
considerado como um sinal de entrada
independente no sistema (superposição).
Soma de Convolução
�Resposta ao Impulso
�Esta superposição das respostas ao impulso�Esta superposição das respostas ao impulso
ponderadas pelo sinal de entrada é chamada
de Soma de Convolução para sistemas de
tempo discreto, e de Integral de Convolução
para sistemas de tempo contínuo.
Soma de Convolução
� A Soma de Convolução é uma operação
matemática formal, assim como a soma:
�Soma: toma dois números e gera um terceiro.
�Convolução: toma dois sinais para gerar um
terceiro.
Soma de Convolução
Soma de Convolução
Soma de Convolução
� Ou seja, a multiplicação de um sinal por um impulso deslocado no
tempo resulta em um impulso deslocado no tempo com amplitude
dada pelo valor no instante em que o impulso ocorre.
� Esta propriedade nos permite expressar x[n] como a seguinte soma
de impulsos deslocados no tempo:
� ou ainda como:
Soma de Convolução
Soma de Convolução
Soma de Convolução
� Definindo um operador H que representa o sistema ao qual a entrada
x[n] é aplicada:
� Levando-se em conta que o sistema é linear, pode-se aplicar a
superposição e a homogeneidade para aplicar o operador a cada
uma das parcelas da somatória.
� Obtemos assim:
Soma de Convolução
� Onde o termo
� representa a resposta ao impulso do sistema H para
um impulso aplicado no instante k. A equação
anterior também pode ser escrita na forma:
Soma de Convolução
� Tal operação é chamado de Soma de
Convolução e também pode ser expressa na
forma:forma: