Aula 8 Os Modelos ARIMA e ARIMA S

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS 
 
AULA 8 – OS MODELO ARIMA E ARIMA-S 
Prof, Ricardo Chaves Lima 
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Modelos ARIMA 
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•  Uma série temporal não estacionária pode exibir tendência 
estocástica, o que é uma característica da ocorrência de 
raiz unitária; 
•  Os modelos univariados de séries temporais do tipo ARMA 
não podem ser utilizados para fazer previsão se os dados 
não estacionários; 
•  Através do processo de diferenciação, pode-se transforma 
uma série não estacionária com raiz unitária em uma série 
estacionária; 
•  As vezes é necessário mais de uma diferenciação para se 
obter estacionariedade em uma série com RU; 
•  Não se deve usar mais de duas diferenciação para efeitos 
de obter uma serie estacionária; 
•  Os modelos de previsão univariados do tipo ARMA, 
quando a série é diferenciada, são chamados ARIMA (auto 
regressivo integrado de média móvel); 
Modelos ARIMA 
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Os Modelos ARIMA(p,d,q) 
 yt = ϕ1yt-1 + ... + ϕpyt-p + εt - θ1εt-1 - ... – θqεt-q 
ϕ1yt-1 - ... - ϕpyt-p - yt = εt - θ1εt-1 - ... – θqεt-q 
ϕ(L)yt = θ(L)εt 
yt = [θ(L)/ϕ(L)]εt 
•  Seja Yt uma série temporal não estacionária com 
tendência estocástica, sendo que: 
 
onde o número de diferenciações d pode ser 1 ou 2 
 (1 – L)dYt = yt 
Modelos ARIMA 
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O Método de Box-Jenkins 
Identificação 
Estimação 
Diagnóstico 
Previsão 
(p, d, q) 
software 
AIC, SBC, R2-ajustado, t, Q 
Previsão ex-post, escolher o 
melhor modelo 
Modelos ARIMA 
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O Método de BJ – Identificação 
•  A escolha de d: 
v  A grau de diferenciação d, da série temporal, é o primeiro 
parâmetro a ser escolhido; 
•  A escolha de p e q 
v  Observar a FAC e a FACP (semelhante ao do modelos 
ARMA); 
O Método de BJ – Estimação e Diagnóstico 
•  Critérios AIC e SBC; 
•  Estatística Q (Ljung-Box-Pierce); 
•  Previsão ex-post – EQM; 
Propriedade da Previsão 
•  Semelhante ao modelo ARMA; 
Ajuste Sazonal 
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Ajuste Sazonal 
7 
Ajuste Sazonal 
8 
Modelos ARIMA-S 
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•  Os modelos ARIMA-S se aplicam a dados 
sazonais. Ou seja, que foram gerados de acordo 
com padrões que se repetem periodicamente 
(anual); 
Índice de Vendas de Produtos Farmacêuticos (média 2011=100)
Ve
nd
as
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
25
50
75
100
125
Modelos ARIMA-S 
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Diferenciação Sazonal 
yt = ΔsDYt = (1− Ls )DYt
Onde: yt é a série diferenciada sazonalmente, 
 Yt é a série sazonal, 
 D é o número de diferenciação sazonais (1 ou 2), e 
 s é o período sazonal (geralmente 12). 
 
Exemplo: 
 Para D = 1 
 Para D = 2 
 
yt = ΔsYt =Yt −Yt−s
yt = Δs2Yt = ΔYt −ΔYt−s = (Yt −Yt−s )− (Yt−s −Yt−2s )
Modelos ARIMA-S 
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Seja o modelo ARIMA(p,d,q)(P,D,Q): 
 
 
 
Onde 
•  p e P representam as memórias autoregressiva e autoregressiva sazonal, 
respectivamente, e 
•  q e Q representam as memórias de média móvel e média móvel sazonal, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yt = φ1yt−1 +...+φpyt−p +Φ1yt−s +...+ΦPyt−s−P +εt −θ1εt−1 −...−θqεt−q −Θεt−s −...−Θεt−s−Q
φ(L)Φ(Ls )ΔdΔsDYt =θ(L)Θ(Ls )εt
φ(L)Φ(Ls )yt =θ(L)Θ(Ls )εt
yt =
θ(L)Θ(Ls )
φ(L)Φ(Ls )εt
Modelos ARIMA-S 
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Onde: 
 é um polinômio autoregressivo simples de ordem p; 
 é um polinômio autoregressivo sazonal de ordem P; 
 é um polinômio de média móvel simples de ordem q; 
 é um polinômio de média móvel saznoalde ordem Q; 
 
φ(L) =1+φ1L ++φpLp
Φ(Ls ) =1+Φ1Ls ++ΘPLPs
θ(L) =1−θ1L −−θqLq
Θ(Ls ) =1−Θ1Ls −−ΘQLQs
Teste de Raiz Unitária Sazonal 
•  Procedimento no RATS (www.estima.com): 
 hegy.src 
•  Referências: 
 E. Ghysels, H. Lee, and J. Noh, "TESTING FOR UNIT ROOTS IN SEASONAL	
 TIME SERIES", Journal of Econometrics, 62, pp. 415-442. (1994).	
 S. Hylleberg, R. Engle, W. Granger, and B. Yoo "SEASONAL INTEGRATION AND	
 COINTEGRATION" Journal of Econometrics, 44, pp. 215-238. (1990).