Aula 06 - Geometria Analítica

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Conversa inicial 
Nesta aula serão estudadas as quádricas, superfícies obtidas a partir da 
equação geral do 2º grau: paraboloides, esferas e elipsoides, 
hiperboloides, além de cones e cilindros. Para compreender essas 
superfícies e sua visualização no espaço tridimensional, você 
estudará os traços e as curvas de nível, isto é, a interseção da superfície 
com os planos coordenados xy, xz eyz e a análise do comportamento da 
superfície em diferentes alturas. 
 
O objetivo desta aula é saber como classificar as quádricas, 
determinando seus traços e realizando a análise das curvas de nível. 
Esses conceitos exigem o conhecimento prévio das cônicas, tema 
abordado na aula teórica 5. 
 
Assista à introdução do professor Nacib Mattar Júnior sobre esses temas 
acessando o material on-line! 
 
Contextualizando 
As quádricas são superfícies provenientes das cônicas e também podem 
ser vistas em diversas situações práticas. Navegue pelos slides para 
conhecer algumas delas! 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Geometria Analítica 
MÓDULO A1 2016 
AULA 6 
PROFESSOR Nacib Mattar Jr 
 
É fácil perceber que as superfícies quádricas fazem parte da nossa 
realidade e que podem ser encontradas em diversos exemplos práticos. 
Nesta aula, vamos aprender mais sobre elas. 
A forma de um paraboloide pode ser observada em luminárias, onde uma 
lâmpada é colocada no ponto que coincide com o foco do paraboloide e 
assim os raios luminosos são refletidos paralelamente. 
As esferas também são amplamente encontradas em diversos exemplos 
práticos. Bolas de basquete e futebol, por exemplo, têm formato esférico. 
Em rolamentos também é possível encontrar esferas que facilitam o 
movimento dessas peças. 
O teatro nacional de Beijing, na China, é um bom exemplo de uma 
construção inspirada em um elipsoide. 
Torres de usinas nucleares e de usinas movidas a carvão possuem o 
formato de um hiperboloide. Esse formato é muito adequado para essas 
torres de resfriamento. As usinas de geração de energia de grande 
potência realizam trocas de calor em grandes quantidades e por isso 
precisam dessas torres. 
Até móveis tais como mesas ou banquetas utilizam a forma de um 
hiperboloide na sua criação. 
 
Paraboloide 
Equação geral do 2º grau 
As quádricas são superfícies dadas pela equação: 
ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + mx + ny + pz + q = 0 
O estudo que se segue procura estabelecer um método para se 
determinar, a partir de uma equação dada, qual é a quádrica em questão, 
não fazendo uso de fórmulas ou relações entre os coeficientes da 
equação, mas pela análise de traços e curvas de nível. 
 
As quádricas denominadas de paraboloides são assim chamadas porque 
podem ser obtidas a partir da rotação de uma parábola em torno de seu 
próprio eixo. Acompanhe os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 1: classifique a quádrica dada por z – x² – y² = 0 
Em um primeiro passo, determine as interseções da superfície dada por z 
- x² – y²= 0 com os planos coordenados: xy, xz e yz. 
Traço xy: como o plano coordenado xy é caracterizado pela equação z = 
0 (em caso de dúvida, revise a aula teórica 4 em que foram estudados os 
planos e suas equações) e pretende-se obter a interseção entre esse 
plano e a superfície em questão, deve-se resolver o seguinte sistema de 
equações: 
 
Na prática, para resolver esse sistema e nos demais traços, o processo 
será análogo: basta que se substitua z = 0 na equação dada: 
0 - x2 - y2 = 0 
-x2 - y2 = 0 (÷ -1) 
x2 + y2 = 0 
Deve-se, agora, identificar a cônica dada pela equação encontrada. A 
equação está no formato da equação reduzida de uma circunferência: (x 
– x0)² + (y – y0)² = R², sendo x0 = y0 = 0 e R = 0. Mas, como o raio é nulo, 
trata-se de uma circunferência degenerada, ou seja, a equação 
representa somente um ponto no plano cartesiano: o ponto que seria o 
centro da circunferência caso o raio encontrado fosse um número real 
positivo, o ponto (0,0). 
 
 
Traço xz: como o plano coordenado xz é caracterizado pela equação y = 
0, deve-se resolver o sistema de equações: 
 
E então: 
z - x2 - 0 = 0 
z - x2 = 0 
z = x2 
A cônica dada pela equação encontrada é: 
 Uma parábola (somente uma das incógnitas é de 2º grau); 
 Possui abertura para cima (coeficiente de x² é positivo); 
 Possui vértice em (0,0) – verifique usando as fórmulas da aula teórica 4; 
 Tangencia o eixo x na origem. 
 
Traço yz: como o plano coordenado yz é caracterizado pela equação x = 
0, deve-se resolver o sistema de equações: 
 
 
E então: 
 
A equação encontrada é análoga à do traço xz, apenas diferindo pelo 
“nome” da incógnita, aquiy e lá x. Portanto, trata-se da mesma cônica 
obtida no traço xz: 
 Uma parábola (somente uma das incógnitas é de 2º grau); 
 Possui abertura para cima (coeficiente de y² é positivo); 
 Possui vértice em (0,0) – verifique usando as fórmulas da aula teórica 4; 
 Tangencia o eixo y na origem. 
 
A quádrica dada por z - x² - y² = 0 é um paraboloide cujo eixo central é o 
eixo z: 
 
 
Vale ressaltar que se representou na imagem acima somente uma parte 
do paraboloide, visto que sua superfície é ilimitada (pois prossegue para 
alturas cada vez maiores em z). 
 
Como as curvas dadas pelos traços xz e yz são idênticas, esse 
paraboloide é circular, característica que pode ser percebida pela análise 
das curvas de nível. 
Uma curva de nível “k”, denotada por Ck, é a projeção da curva dada pela 
interseção do plano z = k com a superfície – nesse caso, o paraboloide. 
 
A seguir, observe alguns exemplos de curvas de nível do paraboloide em 
questão: 
C0 : 0 - x² - y² = 0 → x² + y² = 0 → traço xy: ponto (0,0) 
C1 : 1 - x² - y² = 0 → x² + y² = 1 → circunferência de centro em (0,0) e raio 
1 
C2 : 2 - x² - y² = 0 → x² + y² = 2 → circunferência de centro em (0,0) e 
raio √2 
C3 : 3 - x² - y² = 0 → x² + y² = 3 → circunferência de centro em (0,0) e 
raio √3 
C4 : 4 - x² - y² = 0 → x² + y² = 4 → circunferência de centro em (0,0) e raio 
2 
 
Representação geométrica das curvas de nível calculadas: 
 
 
O paraboloide é circular e suas curvas de nível circulares indicam essa 
característica. Observe ainda que não há curvas de nível para valores 
negativos de z porque a superfície é dada apenas para valores positivos 
de z ou para z = 0. 
Observe os contornos circulares na superfície: 
 
Por analogia, verifique que a quádricas dada por x – y² – z² = 0 é um 
paraboloide idêntico ao apresentado neste exemplo, mas com eixo sobre 
o x, enquanto que y – x² – z² = 0 representa também o mesmo 
paraboloide, mas com eixo central sobre oy. 
Por exemplo, o paraboloide dado por y – x² – z² = 0 é: 
 
Exemplo 2: classifique a quádrica dada por z = -2x² – 4y² + 16. 
Em um primeiro passo, determine as interseções da superfície dada por z 
= -2x² – 4y² + 16 com os planos coordenados: xy, xz e yz. 
Traço xy: (z = 0) 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
elipse: 
 
Sendo x0 = y0 = 0 e a = √8 e b = √4 = 2. 
 
Traço xz: (y = 0) 
z = -2x² – 4y² + 16 
z = -2x² – 0 + 16 
z = -2x² + 16 → Parábola 
 
A cônica dada pela equação encontrada é: 
 Uma parábola (somente uma das incógnitas é de 2º grau); 
 Possui abertura para baixo (coeficiente de x² é negativo); 
 Possui vértice em (0,16) – verifique usando as fórmulas da aula teórica 
4; 
 
 Intersecta o eixo x em (- √8,0) e (√8,0) - verifique usando as fórmulas da 
aula teórica 4. 
 
Traço yz: (x = 0) 
z = -2x² – 4y² + 16 
z = -0 – 4y² + 16 
z = -4y² + 16 → Parábola 
 
A cônica dadapela equação encontrada é: 
 Uma parábola (somente uma das incógnitas é de 2º grau); 
 Possui abertura para baixo (coeficiente de y² é negativo); 
 Possui vértice em (0,16) – verifique usando as fórmulas da aula teórica 
4; 
 Intersecta o eixo y em ( -2,0) e (2,0) – verifique usando as fórmulas da 
aula teórica 4. 
 
A quádrica dada por z = -2x² – 4y² + 16 é um paraboloide elíptico cujo 
eixo central é o eixo z: 
 
 
Vale ressaltar que se representou na imagem acima somente uma parte 
do paraboloide, visto que sua superfície é ilimitada (pois prossegue 
indefinidamente para baixo). 
 
Observe alguns exemplos de curvas de nível do paraboloide em questão: 
 
Veja a representação geométrica das curvas de nível calculadas: 
 
 
Aproveite para acessar vídeos na internet que contenham resoluções de 
exercícios envolvendo as paraboloides. Pois, quanto mais você interagir 
com essas atividades, mais você dominará esse conteúdo. 
https://www.youtube.com/watch?v=9tE5ClBDZas 
Que tal recapitular toda essa matéria assistindo à explicação do professor 
Nacib Mattar Júnior no material on-line? Não perca tempo, reveja esse 
conteúdo e acabe com suas possíveis dúvidas! 
 
Esferas e elipsoides 
As equações dos paraboloides possuem um dos termos de 2º grau, x², 
y² ou z², com coeficiente nulo. Os exemplos da seção anterior foram: z – 
x² – y² = 0 e z = -2x² – 4y² + 16, que podem ser escritos como: 
z – x² – y² = 0 → -x² – y² + 0z² + 0xy + 0xz + 0yz + 0x + 0y + 1z + 0 =0 
z = -2x² – 4y² + 16 → 2x² + 4y² + 0z² + Oxy + 0xz + 0yz + 0x + 0y + 1z + 
0 =0 
Esferas e elipsoides serão dados por equações em que não será nulo 
nenhum dos coeficientes dos termos de 2º grau, x², y² ou z². Acompanhe 
os exemplos a seguir: 
 
 
Exemplo 1: classifique a quádrica dada por x² + y² + z² = 16. 
Traço xy: (z = 0) 
x2 + y2 + z2 = 16 
x2 + y2 + 0 = 16 
x2 + y2 = 16 
A equação encontrada está no formato da equação reduzida de uma 
circunferência: 
(x – x0 )² + (y – y0 )² = R², sendo x0 = y0 = 0e R=4. 
 
 
Traço xz: (y = 0) 
x2 + y2 + z2 = 16 
x2 + 0 + z2 = 16 
x2 + z2 = 16 
A equação encontrada é análoga à do traço xz, apenas diferindo pelo 
“nome” da incógnita, aqui z e lá y. Portanto, trata-se da mesma cônica 
obtida no traço xz: circunferência de centro na origem e raio 4: 
 
 
 
Traço yz: (x = 0) 
x2 + y2 + z2 = 16 
0 + y2 + z2 = 16 
y2 + z2 = 16 
Novamente, a cônica obtida no traço yz é uma circunferência de centro 
na origem e raio 4: 
 
 
A quádrica dada por x² + y² + z² = 16 é uma esfera de centro na origem 
(0, 0, 0) e raio 4: 
 
 
Observe alguns exemplos de curvas de nível dessa esfera: 
C0: x² + y² + 0 = 16 → x² + y² = 16 → traço xy: circunferência de centro 
em (0,0) e raio 4 
 
C1: x² + y² + 1 = 16 → x² + y² = 15 → circunferência de centro em (0,0) e 
raio √15 
C2: x² + y² + 4 = 16 → x² + y² = 12 → circunferência de centro em (0,0) e 
raio √12 
C3: x² + y² + 9 = 16 → x² + y² = 7 → circunferência de centro em (0,0) e 
raio √7 
C4: x² + y² + 16 = 16 → x² + y² = 0 → circunferência degenerada: ponto 
(0,0) 
 
Representação geométrica das curvas de nível calculadas: 
 
 
As curvas de nível da esfera x² + y² + z² = 16 são circunferências 
quando -16 < z < 16 e pontos para z = –16 e z = 16. Não há curvas de 
nível para z < -16 ou z > 16. 
 
Exemplo 2: classifique a quádrica dada por 16x² + 4y² + z² = 64. 
Traço xy: (z = 0) 
 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
elipse: 
. 
Sendo x0 = y0 = 0 , a = 2 e b = 4. 
 
 
Traço xy: (y = 0) 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
elipse, , sendo x0 = y0 = 0, a = 2 e c = 8. 
 
 
 
Traço yz: (x = 0) 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
elipse, , sendo x0 = y0 = 0, b = 4 e c = 8. 
 
 
 
A quádrica dada por 16x²+ 4 y² + z² = 64 é um elipsoide de centro na 
origem (0, 0, 0) e semieixos de medidas 2, 4 e 8: 
 
 
Observe alguns exemplos de curvas de nível desse elipsoide: 
 
 
Representação geométrica das curvas de nível calculadas: 
 
 
As curvas de nível do elipsoide 16x² + 4y² + z² = 64 são elipses quando – 
8 < z > 8 e pontos para z = – 8 e z = 8. Não há curvas de nível para z < -
8 ou z >8. 
 
Um bom jeito de compreender e aprofundar seus conhecimentos sobre 
elipsoides e esferas é aprender a fazê-los no winplot. Veja, no vídeo a 
seguir, as indicações de como você pode construir essas figuras 
utilizando os conhecimentos adquiridos nesta aula. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=Vl3UYai8FbU 
 
 
Quer aprender mais sobre esse assunto? Então, assista à explicação do 
professor Nacib Mattar Júnior no material on-line! 
 
 
Hiperboloides 
 
Nas equações de esferas e elipsoides, os coeficientes dos termos de 2º 
grau (x², y² ou z²) são não nulos e possuem sinais iguais quando escritos 
no formato geral. Por exemplo, a equação a seguir representa o elipsoide 
da seção anterior: 
16x² + 4y² + z² = 64 → 16x² + 4y² + 1z² + 0xy + 0xz + 0yz + 0x + 0y + 0z 
– 64 = 0 
 
Nas equações de hiperboloides um dos sinais será diferente dos demais. 
Acompanhe os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 1: classifique a quádrica dada por – 16x² – 4y² + z² = 64 
Traço xy: (z = 0) 
 
 
 
A equação encontrada não possui solução, portanto, a superfície dada 
por – 16x² – 4y² + z² = 64não intersecta o plano xy. 
 
Traço xz: (y = 0) 
 
 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
hipérbole de ramos “verticais”, , 
sendo x0 = z0 = 0, a = 2 e c = 8. 
 
Traço yz: (x = 0) 
 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
hipérbole de ramos “verticais”, , 
sendo y0 = z0 = 0, b = 4 e c = 8. 
 
 
 
A quádrica dada por – 16x² – 4y² + z² = 64 é um hiperboloide de duas 
folhas de centro na origem (0, 0, 0) e coeficientes a = 2, b = 4 e c = 8: 
 
 
Verifique que as curvas de nível desse hiperboloide são elipses quando z 
> 8 ou z < -8 e pontos para z = –8 e z = 8. Não há curvas de nível para – 
8 < z < 8. 
 
Exemplo 2: classifique a quádrica dada por 4x² + 16y² - z² = 64 
Traço xy: (z = 0) 
 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
elipse, , sendo x0 = y0 = 0, a = 4 e b = 2. 
 
 
Traço xz: (y = 0) 
 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
hipérbole de ramos “horizontais”, , 
sendo x0 = y0 = 0, a = 4 e c = 8. 
 
 
Traço yz: (x = 0) 
 
 
A equação encontrada está no formato da equação canônica de uma 
hipérbole de ramos “horizontais”, , 
sendo x0 = y0 = 0, b = 2 e c = 8. 
 
 
 
A quádrica dada por 4x² + 16y² – z² = 64 é um hiperboloide de uma folha 
de centro na origem (0, 0, 0) e coeficientes a = 4, b = 2 e c = 8: 
Verifique que as curvas de nível desse hiperboloide são elipses para 
qualquer z real. 
 
 
 
Que tal mais alguns exercícios para você se aperfeiçoar nos cálculos 
envolvendo hiperboloides? Confira alguns deles no vídeo a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=wK1FU3Yw2rI 
Agora que você já aprendeu um pouco sobre os hiperboloides, assista à 
explicação do professor Nacib Mattar Júnior sobre esse conteúdo no 
material on-line! 
 
Cônicas e cilindros 
 
Exemplo 1: classifique a quádrica dada por x² + 4y² - z² = 64 
Traço xy: (z = 0) 
x² + 4y² – z² = 0 
x² + 4y² – 0 = 0 
x² + 4y² = 0 → Ponto x = y = 0 
 
 
Traço xz: (y = 0) 
x² + 4y² – z² = 0 
x² + 0 – z² = 0z² = x² 
z = +x → duas retas concorrentes na origem 
 
Traço yz: (x = 0) 
x² + 4y² – z² = 0 
0 + 4y² – z² = 0 
4y² – z² = 0 
z² = 4y² 
y = +2y → duas retas concorrentes na origem 
 
 
A quádrica dada por x² + 4y² – z² = 0 é um cone elíptico de centro na 
origem: 
 
Verifique que as curvas de nível desse cone são elipses para 
qualquer z real, exceto para z = 0, caso em que a curva de nível é um 
ponto (origem). 
Exemplo 2: represente os cilindros dados por y = x², com 0 ≤ z ≤ 4 e z = 
x² + y², 0 ≤ z ≤ 4. 
A equação y = x², com 0 ≤ z ≤ 4, representa um cilindro parabólico, obtido 
pela “reprodução” da parábola y = x² ao longo de todas as alturas tais 
que 0 ≤ z ≤ 4: 
 
 
 
A equação x² + y² = 4, com 0 ≤ z ≤ 4, representa um cilindro circular, 
obtido pela “reprodução” da circunferência x² + y² = 4 ao longo de todas 
as alturas tais que 0 ≤ z ≤ 4: 
 
 
Agora que você já analisou alguns exemplos de cálculos envolvendo 
cones e cilindros, assista à explicação do professor Nacib Mattar Júnior 
no material on-line! 
 
Na prática 
 
Agora chegou o momento de você colocar em prática um pouco do que 
aprendeu na nossa aula de Geometria Analítica. 
Essa atividade é bem importante no que se refere à visualização das 
quádricas a partir das suas projeções nos planos xy, xz e yz. Essas 
projeções são muito utilizadas no desenho técnico, onde podemos 
representar um determinado modelo tridimensional em um plano 
contendo a vista frontal, superior e lateral. 
 
É claro que existem outras formas de projeções, mas a ABNT adota a 
projeção ortogonal por ser considerada a mais fiel ao formato do modelo. 
Primeiramente, observe as projeções a seguir: 
 
 
Dadas as projeções nos planos xy, xz e yz, determine qual é a respectiva 
quádrica de cada figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Confira o gabarito da atividade no material on-line! 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Nessa aula você aprendeu sobre as superfícies quádricas: esferas, 
cilindros, paraboloides, elipsoides e hiperboloides. Viu que as quádricas 
estão presentes em muitos objetos e construções e que se pode 
identifica-las a partir de suas projeções nos planos xy, xz e yz. 
Com isso terminamos o conteúdo da disciplina de Geometria Analítica de 
acordo com a ementa, e caso queira mais detalhes, exemplos e 
exercícios, consulte outras fontes de pesquisa e aprimore cada vez mais 
seus conhecimentos. 
Até uma próxima vez! 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2014.