ESTUDO DIRIGIDO 1 - P3 - 2013-01 - SOLUÇÕES (1)

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ICEx – ESTUDO DIRIGIDO I – PROVA P3 – 16/07/2013 – Prof. Armando 
 
Q1. (2,5 pontos) Um cilindro homogêneo de raio 
r
 rola sem deslizar desde o topo de um domo hemicilíndrico de raio 
R
. (a) 
Depois de percorrer que ângulo 

 em relação à vertical o cilindro deixará a superfície? (b) Com que velocidade 
v
 isso 
acontece? 
(a) Inicialmente, o cilindro tem energia total igual à energia potencial gravitacional 
 0E mg R r 
. Ao rolar, ele descreve 
um ângulo 

 em torno do centro do hemicilindro, girando sempre em torno do eixo instantâneo de rotação que passa no 
ponto de contato 
0P
 com a superfície, e tem a energia dada pela soma da energia de rotação com a energia de translação do 
centro de massa: 
0
2
2 2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2 2
P
mr
E I mv mr mv        
 
. 
A partir do instante em que o cilindro se solta, no caso do rolamento puro, o ponto de contato permanece imóvel, e, portanto, 
a rotação cessa, só existindo movimento de translação. Por este motivo, no exato instante em que isso ocorre, a energia é 
igual à diferença entre a energia potencial inicial e a energia cinética de translação do cilindro: 
  2
1
2
E mg R r mv   
. 
Igualando as duas expressões, resulta que 
 2
4
7
v g R r 
. 
Por outro lado, a condição para que o cilindro se solte é que a componente do seu peso que é normal à superfície seja igual e 
de sentido contrário à força centrífuga que atua no referencial do centro de massa, em relação ao centro do hemicilindro: 
 
 
2
2cos cos
mv
mg v g R r
R r
    

. 
Igualando as duas expressões, tiramos que 4
cos 55º
7
   
. 
(b) A velocidade de saída será, portanto, 
 
4
7
v g R r 
. 
 
 
Q2. (2,5 pontos) Uma fita sem massa está enrolada em volta de um disco circular de massa 
m
 e raio 
r
, que rola sem 
deslizar sobre um plano inclinado áspero de inclinação 

. A fita passa por uma roldana fixa de massa desprezível e está 
presa a um corpo suspenso de massa 
m
, de acordo com a figura. Considerando que o disco é tracionado para cima pela 
queda da massa, calcule (a) a aceleração 
a
 da massa 
m
; (b) a tensão 
T
 na fita. 
 
Solução: 
 Temos três equações de movimento: uma aplicando a segunda lei de Newton, as outras duas são análise do torque 
sobre o disco, ou cilindro, uma vez que a altura do cilindro não altera o resultado. A rotação se dá em torno do centro 
instantâneo de rotação 
0P
, contato do cilindro com o plano inclinado. 
Eq. 1: 
 T m g a 
; Eq. 2: 
   0 0
3
2 4
a
P I P mar
r
  
; Eq. 3: 
 0 2 senP rT mgr  
. 
(a) Unindo as três equações, temos que 
 
3 sen
8 2
mg
T ma m g a

   
 
  
 
sen 2
3 8
g m m
a
m m
 
 

 
 
(b) Finalmente, 
 
3 4sen 3 8 2sen
3 8 3 8
T m g a mm g mm g
m m m m
  
     
  
 
 
 
Q3. (2,5 pontos) Uma haste metálica delgada, de comprimento e massa 
M
, pode girar livremente em torno de um eixo 
horizontal que a atravessa perpendicularmente, à distância 
6d 
 de uma extremidade. A haste é solta a partir do repouso, 
na posição horizontal. Calcule (a) o momento de inércia 
I
 da haste, com respeito ao eixo em torno do qual ela gira; (b) a 
velocidade angular 

 adquirida pela haste após ter caído de um ângulo 

, como ilustra a figura; (c) a aceleração angular 

 
nesse instante. 
 
Solução: 
(a) O momento de inércia da haste em relação ao eixo de rotação é dado pelo teorema dos eixos paralelos: 
27
36
O
M
I 
. 
(b) A velocidade angular é dada pela conservação da energia: 
21 24sen sen
2 3 7
OI Mg g     
. 
(c) A aceleração angular sai diretamente da expressão do torque: 
cos 12
cos
3 7
O
M g g
I
      . 
 
Q4. (2,5 pontos) Um objeto na forma de halter foi construído da seguinte forma: uma barra horizontal de comprimento 
L
 e 
massa 
BM
 une, sempre normalmente às superfícies laterais, uma esfera com massa 
EM
 e raio 
R
 a um cilindro de eixo 
vertical com massa 
CM
, raio 
r
 e altura 
h
. Todos os sólidos possuem a mesma densidade uniforme de massa, e o 
comprimento da barra é medido entre as superfícies externas da esfera e do cilindro. Sabendo que os raios de giração da 
barra, da esfera e do cilindro, em relação ao eixo central de cada um, são, respectivamente, 
2 3L
, 
2 5R
 e 
2r
, 
calcule: (a) o momento de inércia do objeto em relação a um eixo de rotação que coincide com o diâmetro vertical da esfera; 
(b) idem, em relação a um eixo que coincide com o eixo vertical do cilindro; (c) idem, em relação a um eixo vertical que 
passa no centro da barra. 
Solução: 
Pelos raios de giração, sabemos que os momentos de inércia dos sólidos em relação aos seus próprios eixos são: 
22
5
E EI M R
; 2
2
C
C
M r
I 
; 2
12
B
B
M L
I 
. 
Usando-se agora, em cada caso, o Teorema dos Eixos Paralelos: 
(a) 
 
2
2
2
E B B C C
L
I I I M R I M r L R
                  
 
(b) 
 
2
2
2
E E B B C
L
I I M r L R I M r I
                 
 
(c) 2 2
2 2
E E B C C
L L
I I M R I I M r
      
            
         