Prova 1 (2) - Tópicos em Eletromagnetismo - UNISUL

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1 
RESOLUÇÃO DA PROVA 1 DE TÓPICOS DE ELETROMAGNETISMO-ENG.CIVIL-
2017.1- TURMA DE QUINTA-FEIRA. 
 
 
1)(1,50) Dois campos elétricos com valores 1 (280. / )E N C i
→ →
= − e 2 (380. / )E N C i
→ →
= geram fluxos 
elétricos através do dispositivo mostrado na figura desta questão. Considere o raio da 
superfície 1, 1 30r cm= , e da superfície 2, 2 15r cm= e determine a quantidade de elétrons(em 
falta ou excesso) na carga elétrica contida no dispositivo. 
 
 
 
 y(cm) 
 
 1E
→
 
 
 2E
→
 Q 
 x(cm) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
2 2 1 2
1 1
2 2 2
2 2
12 2 1
12
12 10
10
19
3,14(0, 3) 0, 28 2,83.10
3,14(0,15) 7, 07.10
8,85.10 ( 380)(7, 07.10 280(2,83.10 )
8,85.10 ( 26,87 79, 24)
8,85.10 ( 106,11) 9, 39.10
9, 39.10
1, 6.10
A A m m
A A m
q
q
q q C
qq ne n
e
−
−
− − −
−
− −
−
−
= → = =
= → =
− − =
− − =
= − → = −
−
= → = = → 85,87.10 Elétrons em excesso.n =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2) A figura desta questão, mostra três cargas elétricas, 64.10AQ C−= − , 62.10BQ C−= e 
68.10CQ C−= , dispostas num sistema de eixos coordenados. 
 
 y(m) 
 
 
 
 ´P 0,6 
 
 
 BQ CQ 
 
 0,6 0 1,8 x(m) 
 
 
 AQ 0,6 
 
 
 
 
a)(1,50) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante em P, 
representando-o num sistema de eixos coordenados. Considere que o sistema se encontra no 
óleo. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
6 6 6
2 2 2 2
2 2 1 0
1 0
4.10 2.10 8.10
0,6 1, 2 1,34 0,60 0,60 0,85
1, 22, 4 0,60 2, 47 63, 43 
0,6
0,6 45,00 
0,6
A B C
AP AP BP BP
CP CP A A
B B
Q C Q C Q C
r r m r r m
r r m tg
tg
θ θ
θ θ
− − −
−
−
= − → = → =
= + → = = + → =
 
= + → = = → = 
 
 
= → = 
 
1 0
9 6
2
0
0
0,6
 14,04
2, 4
1,9.10 (4.10 ) 4232,57(1,34)
4232,57 cos 63, 43 1893,19
4232,57 63, 43 3785,56
C C
A A
AX AX
AY AY
tg
NE E C
NE E C
NE sen E C
θ θ−
−
 
= → = 
 
= → =
= → =
= → = −
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
9 6
2
0
0
9 6
2
0
0
1, 9 .10 (2 .10 ) 5259, 52(0, 85)
5259, 52 cos 45 3719, 04
5259, 52 45 3719, 04
1, 9 .10 (8 .10 ) 2491, 44(2 , 47 )
2491, 44 cos 14, 04 2417 , 01
2491, 44 14 , 04 6
B B
B X B X
B Y B Y
C C
C X C X
C Y C Y
NE E C
NE E C
NE sen E C
NE E C
NE E C
E sen E
−
−
= → =
= → = −
= → =
= → =
= → = −
= → =
( )
( )
( ) ( )2 2
1 0 0
04, 42
1892, 04 3719, 04 2417 , 01 4244, 01
3783, 26 3719, 04 604, 42 540, 20
4244, 01 540, 20 4278, 25
540, 20 7 , 25 82, 75
4244, 01
R X R X
R Y R Y
R R
N
C
NE E C
NE E C
NE E C
tgθ θ θ
→ →
−
= − − → = −
= − + + → =
= − + =
 
= = − = − 
− 
 
 
 
 
 
 
 
 ( / )y N C 
 
 
 
 RE 
 RE 
 θ RYE 
 
 RXE ( / )x N C 
 
b)(0,50) Considere, agora, que uma carga elétrica 62.10q C−= − é colocada em P, e determine o 
módulo, a direção e o sentido da força elétrica resultante sobre a mesma, representando-a num 
sistema de eixos coordenados. 
 
6 3
. 4278,25(2.10 ) 8,56.10F E q F F N− −= → = → =
 
 
 
 
4 
9 6 6
3
2
3 0 3
3 0 3
9 6 6
2
2
2 0
1,9.10 (4.10 )(2.10 ) 8,47.10(1,34)
8,47.10 cos 63,43 3,79.10
8,47.10 63,43 7,58.10
1,9.10 (2.10 )(2.10 ) 1,05.10(0,85)
1,05.10 cos 45
Aq Aq
AqX AqX
AqY AqY
Bq Bq
BqX B
F F N
F F N
F sen F N
F F N
F F
− −
−
− −
− −
− −
−
−
= → =
= → = −
= → =
= → =
= → 3
2 0 3
9 6 6
3
2
3 0 3
3 0 3
3
7,42.10
1,05.10 45 7,42.10
1,9.10 (8.10 )(2.10 ) 4,98.10(2,47)
4,98.10 cos14,04 4,83.10
4,98.10 14,04 1,21.10
3,79.10 7,42.10
qX
BqY BqY
Cq Cq
CqX CqX
CqY CqY
RX
N
F sen F N
F F N
F F N
F sen F N
F
−
− −
− −
−
− −
− −
−
=
= → = −
= → =
= → =
= → = −
= − +( )
( )
( ) ( )
3 3 3
3 3 3 3
2 23 3 3
3
1 0 0
3
4,83.10 8,46.10
7,58.10 7,42.10 1,21.10 1,05.10
8,46.10 1,05.10 8,52.10
1,05.10 7,07 82,93
8,46.10
RX
RY RY
R R
F N
F F N
F F N
tgθ θ θ
− − −
− − − −
→ →
− − −
−
−
−
+ → =
= − − → = −
= + − =
 −
= = − = − 
 
 
 
 
 ( )y N 
 
 
 
 
 RXF 
 
 RYF 0 θ ( )x N 
 RF 
 
 
 
 
 
 
 
5 
3)(2,00) Considere o disco mostrado na figura desta questão, com carga elétrica 
uniformemente distribuída em sua superfície. Demonstrando todos os passos, "apenas" 
monte a integral para o campo elétrico ao longo do eixo desse disco. 
 
 yP 
 0 x 
 R 
 
 
 z 
 
 
 
2 2 2 2 2 1/2
2 2 1/2
2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 3/2
( ) cos cos ( )
Definindo a área de um retângulo( um anel)
2 2
.
cos ( ) ( ) ( )
2
X X x x
x x
r a x r a x
r a x
dqdA ada dq dA dq ada
dA
kdq kdq x kdq x kdq xdE dE dE dE
r r r a x a x a x
kdEx
θ θ
pi β β piβ
θ
piβ
= + → = + → = → =
+
= → = → = → =
= → = → = → =
+ + +
=∫ 2 2 3/2 2 2 3/2
0
. 2 .
( ) ( )
a R
a
ada x k ada xEx
a x a x
piβ=
=
→ =
+ +∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
4)(2,00) Duas cargas elétricas, 61 5,0.10Q C−= e 62 3,0.10Q C−= − , cujas coordenadas, localizadas 
no plano xy são: 1 4,5.x cm= , 1 1,5y cm= , 2 2,5.x cm= − e 2 2,0y cm= − . Plote-as num sistema de 
eixos coordenados xy e determine qual o trabalho realizado para colocar essas cargas elétricas 
nessas posições finais, considerando que as mesmas se encontram em uma separação infinita. 
O sistema se encontra no ar. 
 
 
 y(cm) 
 
 1,5 
 
 2,5 
 0 4,5 x(cm) 
 
 2,0 
 
 
( ) ( )
( )
2 2
12 2
9 6 6
2 2
9 6 6
12 122
. .7,0 3,5 7,83 .
8,99.10 (5.10 )(3.10 ) 22(7,83.10 )
8,99.10 (5.10 )( 3.10 ) 1,72
7,83.10
1,72 1,72
kQ Q kQ Q
r cm F r r
r r
F F N
U U J
U J J
τ τ
τ τ τ
− −
−
− −
−
 
= + = → = → = = 
 
 
= → = 
 
−
= → = −
= −∆ → = − − → =
 
 
 
 
 
 
 
5)A figura desta questão mostra um anel cujo raio é R, carregado uniformemente com uma 
carga elétrica Q. O anel se encontra no ar. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R P 
 
 0 x 
 
 
 z 
 
 
7 
 
a)(0,75) Obtenha a expressão para o potencial elétrico do anel mostrado na figura desta 
questão, demonstrando todos os passos que levaram à equação em sua forma final. 
 
2 2 2 2 2 1/2
2 2 1/2
2 2 1/2 2 2 1/2
( ) ( )
( ) ( )
kdq kdq
r R x r R x dV dV
r R x
kdq kQdV V
R x R x
= + → = + → = → =
+
= → =
+ +∫ ∫
 
 
b)(1,00) A partir da equação obtida em (a), obtenha, por derivação, a expressão do campo 
elétrico e demonstre, a partir dela, que o módulo do campo elétrico é máximo quando a 
distância ao longo do eixo central deste anel é 
2
R . (Lembrar que no ponto de máximo tem-
se, para este caso, 0dE
dx
= ) 
2 2 1/ 2
2 2 1/ 2
2 2 1/ 2
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2
2 2 3/ 2
2 2 3/ 2 2 2 2 1/ 2
2 2 3/ 2
2
( ) ( )( )
1 ( ) (2 ) ( ) ( )
2 ( )
( )
0 ( ) 3 ( ) 0( )
(
x x
x
x
kQd
R xkQ dVV E E x R x
R x dx dx
dV kQxR x x E R x x E
dX R x
d dv du
uv u v
dx dx dx
dE x R x x R x
dx R x
R
−
− −
 
 +   = → = − → = − = − + → +
− 
= − + → = + → =  + 
= +
= = → + − + =
+
( )
2 1/ 2 2 2 2
2 2 1/ 2
2
2 2 2 2 2 2 2
) ( ) 3 0
( ) 0
( ) 3 0 2 0 2
2 2
x R x x
R x fornece valor imaginário para x
R RR x x R x x R x
 + + − = 
+ =
 + − = → − = → = → = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
c)(0,75) Determine, a partir da equação obtida por derivação em (b), o módulo, a direção e o 
sentido do campo elétrico resultante no ponto P, que dista 0,30x m= do centro de cada um dos 
anéis mostrados na figura abaixo. Considere as seguintes informações: 61 5.10 .Q C−= , 
1 0, 20R m= , 
6
2 8.10 .Q C−= e 2 0,35R m= . 
 
 
 y y 
 
 (1) (2) 
 
 
 
 R P R 
 
 0 RE
→
 0 x 
 
 z z 
 
 
 
 
 
 
9 6
5
1 12 2 3/ 2 2
9 6
5
2 22 2 3/ 2 2
5
1 2
8, 99.10 (5.10 )0, 30 13485, 00
 2,88.10 /((0, 20) (0, 30) ) 4, 69.10
8, 99.10 (8.10 )0, 30 21576, 00
 2, 20.10 /((0, 35) (0, 30) ) 9,80.10
 (2,88.10 2, 20.10
X X
X X
RX X X RX
E E N C
E E N C
E E E E
−
−
−
−
= = → =
+
= = → =
+
= − → = − 5
4
) /
 6,8.10 / Direção: Horizontal
 Sentido: Para a direita
RX
N C
E N C=