9 densidade probabilidade

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Francisco Beltra˜o - PR
Profa Naimara Vieira do Prado
Notas de aula
Probabilidade e Estat´ıstica
Distribuic¸a˜o normal
Versa˜o 0.1.0
2015
Probabilidade e Estat´ıstica Profa Naimara Prado
1 Distribuic¸a˜o normal de probabilidades e
Intervalos de confianc¸a
1.1 Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Seja X uma varia´vel aleato´ria que pode assumir qualquer valor num intervalo de
nu´meros reais. Dizemos que X e´ varia´vel aleato´ria cont´ınua se X ∈ [−∞,+∞].
Por exemplo: X: altura de pessoas, {X ∈ R|0 ≤ x ≤ 3, 0 m}.
1.2 Func¸a˜o densidade de probabilidade
Assim como as varia´veis aleato´rias discretas, as varia´veis aleato´rias cont´ınuas pos-
suem func¸o˜es ou “modelos” que descrevem a probabilidade da varia´vel aleato´ria assumir
um valor qualquer.
Para as varia´veis aleato´rias cont´ınuas, seja f a func¸a˜o densidade de probabilidade,
de tal forma que:
f : R→ R+
x→ f(x)
A func¸a˜o densidade de probabilidade (f.d.p), satisfaz as seguintes propriedades:
i) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ R;
ii)
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
e a probabilidade de ocorreˆncia de x nos intervalos de a ate´ b e´ dada por:
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx
Lembrando que a probabilidade de um ponto isolado e´ sempre zero, ou seja,
P (X = c) =
∫ c
c
f(x)dx = 0.
Desta forma, podemos concluir, quando X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, a
probabilidade de ocorrer um valor espec´ıfico e´ zero.
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Seja F (x) a func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada para a varia´vel aleato´ria X, de tal forma
que:
∂F (x)
∂x
= f(x), ou enta˜o:
F (x) =
∫
f(x)dx
.
Observac¸o˜es: Para uma func¸a˜o ser chamada de func¸a˜o densidade de probabilidade
deve satisfazer os itens (i) e (ii) descritos anteriormente. Ressaltando tambe´m, que a
func¸a˜o densidade de probabilidade na˜o representa uma probabilidade. Somente quando a
func¸a˜o for integrada entre dois limites, ela produzira´ uma probabilidade, que sera´ a a´rea
sob a curva da func¸a˜o entre o intervalo considerado.
1.2.1 Exemplos
Exemplo 1: A quantia gasta anualmente, em milho˜es de reais, na manutenc¸a˜o do
asfalto em uma cidade do interior e´ representada pela varia´vel aleato´ria Y com func¸a˜o
densidade dada por:
f(y) =
{
8
9
y − 4
9
, se 0, 5 ≤ y ≤ 2
0; caso contra´rio.
Obtenha:
i) P (Y < 0, 8)
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P (Y < 0, 8) =
∫ 0,8
−∞
f(y)dy =
∫ 0,5
−∞
0 dy +
∫ 0,8
0,5
(
8
9
y − 4
9
)
dy = 0, 04
ii)
P (Y > 1, 5) =
∫ +∞
1,5
f(y)dy =
∫ 2
1,5
(
8
9
y − 4
9
)
dy +
∫ +∞
2
0 dy = 0, 556
iii)
P (Y > 1, 5|Y ≥ 1) = P (Y > 1, 5 ∩ Y ≥ 1)
P (Y ≥ 1) =
P (Y > 1, 5)
P (Y ≥ 1) =
=
∫ +∞
1,5
f(y) dy∫ +∞
1
f(y) dy
=
∫ 2
1,5
(
8
9
y − 4
9
)
dy∫ 2
1
(
8
9
y − 4
9
)
dy
= 0, 625
Exemplo 2: O gra´fico abaixo representa a densidade de uma varia´vel aleato´ria X.
a) Obtenha o valor de a. Como a o gra´fico acima representa uma func¸a˜o densidade
de probabilidade, sua a´rea e´ igual a 1. Deste modo, efetuando os ca´lculos de a´reas de
retaˆngulos, encontramos a =
1
8
.
b) Determine P (X > 0|X < 3):
P (X > 0|X < 3) = P (0 < X < 3)
P (X < 3)
=
2
3
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Exemplo 3: A demanda dia´ria de arroz num supermercado, em centenas de quilos,
e´ uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o densidade de probabilidade:
f(x) =

(2/3)x, se 0 ≤ x < 1
−(x/3)− 1; se 1 ≤ x ≤ 3
0; se x < 0 ou x > 3
Qual a probabilidade de se vender mais do que 150kg, num dia escolhido ao acaso?
P (X > 1, 5) = 0, 375 = 37, 5%.
Exemplo 4: Encontre o valor da constante c para que a func¸a˜o abaixo seja func¸a˜o
densidade de probabilidade:
f(x) =
{
c(1− x2), se − 1 ≤ x ≤ 1
0; caso contra´rio
Resposta: c =
3
4
.
1.3 Distribuic¸a˜o normal de probabilidades
A distribuic¸a˜o normal de probabilidades, tambe´m conhecida como distribuic¸a˜o gaus-
siana e´ sem du´vida a mais importante distribuic¸a˜o cont´ınua, tal importaˆncia se deve entre
va´rios fatores, ao resultado do Teorema do Limite Central, o qual garante que mesmo
quando os dados na˜o sejam distribu´ıdos segundo uma distribuic¸a˜o normal, a me´dia dos
dados converge para uma distribuic¸a˜o normal conforme o tamanho da amostra aumenta.
Ale´m disso, diversos estudos pra´ticos tem como resultado uma distribuic¸a˜o normal.
Podemos citar como exemplo, a altura de determinada populac¸a˜o, em geral, segue uma
distribuic¸a˜o normal, com valores em torno de uma me´dia e a frequeˆncia diminui conforme
se afasta desse valor me´dio.
Definic¸a˜o: Uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o Normal se sua func¸a˜o den-
sidade de probabilidades for dada por:
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f(x) =
1√
2piσ2
e−(
x−µ
2σ )
2
, x ∈ [−∞,+∞]
Notac¸a˜o: X ∼ N(µ, σ2). A distribuic¸a˜o normal possui dois paraˆmetros: a me´dia µ
e a variaˆncia σ2.
Va´rios processos naturais e industriais que possuem comportamento aleato´rio va-
riam conforme uma distribuic¸a˜o normal de probabilidades.
A curva normal tem forma de sino (conforme a figura abaixo), ou seja, e´ unimodal e
sime´trica, e o seu valor de ma´xima frequ¨eˆncia coincide com o valor da me´dia e da mediana.
Considerando a probabilidade de ocorreˆncia, a a´rea sob sua curva soma 100%. Isso
quer dizer que a probabilidade de uma observac¸a˜o assumir um valor entre dois pontos
quaisquer e´ igual a` a´rea compreendida entre esses dois pontos. A figura a seguir mostra
alguma a´reas importantes da curva normal:
Para encontrar a a´rea sob a curva devemos conhecer dois valores nume´ricos, a me´dia
µ e o desvio padra˜o σ. Para cada valor de µ e/ou σ temos uma curva de distribuic¸a˜o de
probabilidade. Pore´m, para se calcular a´reas espec´ıficas, faz-se o uso de uma distribuic¸a˜o
particular: a “distribuic¸a˜o normal padronizada”, o qual e´ a distribuic¸a˜o normal com me´dia
µ = 0 e σ = 1. O uso da distribuic¸a˜o normal padronizada nos permite calcular a´reas sob
a curva de uma distribuic¸a˜o normal qualquer, pois as a´reas associadas com a normal
padronizadas sa˜o tabeladas.
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Para obter tal distribuic¸a˜o, isto e´, quando se tem uma varia´vel X com distribuic¸a˜o
normal com me´dia µ diferente de zero e/ou desvio padra˜o σ diferente de 1, devemos
reduzi-la a uma varia´vel Z, efetuando o seguinte ca´lculo:
Z =
x− µ
σ
A “nova” varia´vel aleato´ria Z tem me´dia zero e variaˆncia unita´ria, ou seja, | ∼
N(0, 1), que tambe´m e´ conhecida como distribuic¸a˜o normal padra˜o. Qualquer a´rea
(probabilidade) sob a densidade de X pode ser avaliada sob a densidade de Z, conforme a
figura abaixo. Dessa forma, qualquer problema relativo a uma distribuic¸a˜o normal pode
ser pensado em termos da distribuic¸a˜o normal padra˜o.
1.3.1 Tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜o
Como descrito anteriormente, as probabilidades de uma varia´vel com distribuic¸a˜o
normal podem ser representadas por a´reas sob a curva da distribuic¸a˜o normal padra˜o.
Algumas observac¸o˜es a cerca da distribuic¸a˜o normal padra˜o:
i) A a´rea total sob a curva e´ igual a 1;
ii) A curva e´ sime´trica em torno da me´dia µ = 0, assim, P (Z < 0) = P (Z > 0) = 0, 5;
No final do material, consta a Tabela Normal Padra˜o Reduzida, a qual sera´ utilizada
para resoluc¸a˜o dos exemplos e exerc´ıcios posteriores. Os valores de z sa˜o apresentados
com duas casas decimais na tabela. A primeira decimal fica na coluna da esquerda e a
segunda decimal na linha do topo da tabela. A figura a seguir mostra como podemos
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usar a Tabela Normal Padra˜o Reduzida para encontrar os valores de a´rea, respectivos aos
ca´lculos de probabilidades:
Figura 1: Ilustrac¸a˜o do uso da tabela da Distribuic¸a˜o normal padra˜o para encontrar
P (Z > 0, 21).
A a´rea 0,4168 corresponde a` probabilidade P (Z > 0, 21).
1.4 Exemplos
Exemplo 5: Considerando uma varia´vel aleato´ria Z com distribuic¸a˜o de normal,
com me´dia zero e variaˆncia unita´ria, isto e´, Z ∼ N(0, 1). Encontre os valores de probali-
dades usando a tabela Normal padra˜o.
a) P (0 < Z < 1, 65)
b) P (Z > 1, 65)
c) P (Z < 1, 65)
d) P (−1 < Z < 1)
e) P (−2 < Z < 2)
f) P (−3 < Z < 3)
g) P (Z > 6)
h) O valor de z, tal que P (−z < Z < z) = 0, 90
i) O valor de z, tal que P (−z < Z < z) = 0, 99
Exemplo 6: Os depo´sitos efetuados em um banco comercial durante o meˆs de
janeiro sa˜o distribu´ıdos normalmente, com me´dia de R$ 10.000,00 e desvio padra˜o de R$
1.500,00. Um depo´sito e´ selecionado ao acaso dentre todos efetuados no meˆs em questa˜o.
Encontrar a probabilidade de que o depo´sito seja:
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a) R$ 10.000,00 ou menos;
b) Um valor entre R$ 12.000,00 e R$ 15.000,00;
c) Maior do que R$ 20.000,00;
Exemplo 7: Suponha que o tempo necessa´rio para atendimento de clientes em uma
central de atendimento telefoˆnico siga uma distribuic¸a˜o normal de me´dia de 8 minutos e
variaˆncia de 2 minutos2.
a) Qual e´ a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
b) Mais do que 9,5 minutos?
c) Entre 7 e 10 minutos?
d) 75% das chamadas telefoˆnicas requerem pelo menos quanto tempo de atendi-
mento?
Exemplo 8: Um servic¸o de fiscalizac¸a˜o e´ criado para averiguar se garrafas de um
certo refrigerante conte´m, de fato, o volume especificado pelo fabricante. Para tanto, 10
garrafas do produto sa˜o compradas no varejo, em va´rias regio˜es da cidade. Cada uma
dessas garrafas e´ esvaziada e o volume medido. Se a me´dia do volume for inferior a
290 ml, o fabricante sera´ multado. Variac¸o˜es no processo de fabricac¸a˜o sempre ocorrem,
considerando que o volume de conteu´do das garrafas segue um modelo Normal, com me´dia
µ = 300 ml e desvio padra˜o σ = 25 ml. Qual a probabilidade de que o fabricante seja
multado?
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1.5 Intervalo de confianc¸a para a me´dia populacional µ
Embora uma estimativa pontual seja o melhor valor para se estimar um paraˆmetro
populacional, ela na˜o nos oferece qualquer indicac¸a˜o de qua˜o boa e´ essa melhor estimativa.
No entanto, um intervalo de confianc¸a no da´ informac¸a˜o que nos permite compreender
melhor a precisa˜o dessa estimativa. O intervalo de confianc¸a esta´ associado ao um n´ıvel
de confianc¸a, por exemplo, 0,95 (ou 95%). O n´ıvel de confianc¸a nos da´ a taxa de sucesso
do procedimento usado para a construc¸a˜o do intervalo de confianc¸a, em outras palavras,
para um n´ıvel de confianc¸a de 95%, por exemplo, indica se realiza´ssemos a amostragem
100 vezes, em 95% das vezes o valor da me´dia amostral estaria dentro do intervalo de
confianc¸a estabelecido para a me´dia.
O complemento do n´ıvel de confianc¸a e´ chamado de n´ıvel de significaˆncia, deno-
tado por α. Para um n´ıvel de confianc¸a de 95%, o n´ıvel de significaˆncia sera´ de α = 5%.
Para uma confianc¸a de 99%, temos α = 1% ou 0, 01 em decimal.
1.5.1 Construc¸a˜o do intervalo de confianc¸a (IC)
Quando coletamos um conjunto de dados amostrais, obtemos a me´dia amostral x¯,
e essa me´dia e´ tipicamente diferente da me´dia populacional µ. A diferenc¸a entre a me´dia
amostral e a me´dia populacional e´ um erro (E). Em populac¸o˜es normalmente distribu´ıdas
esse erro, ou margem de erro (E) e´ obtido da seguinte forma:
Margem de erro = E = zα/2
S√
n
em que:
zα/2: e´ o valor obtido na tabela Normal padra˜o para o n´ıvel de confianc¸a adotado;
S: desvio padra˜o amostral;
n: tamanho da amostra.
Considerando a margem de erro existente entre o valor da me´dia amostral e a me´dia
populacional, podemos expressar a me´dia populacional (µ) na forma do seguinte intervalo:
Limite inferior (Li) ≤ µ ≤ Limite superior(Ls)
isto e´,
x¯− E ≤ µ ≤ x¯+ E
ou
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IC(µ, (1− α)%) = x¯− zα/2 S√
n
≤ µ ≤ x¯+ zα/2 S√
n
(1− α)% = n´ıvel de confianc¸a.
Exemplo 9: Suponha que X represente a durac¸a˜o da vida de uma pec¸a de equipa-
mento. Admita-se que 100 pec¸as sejam ensaiadas, fornecendo uma durac¸a˜o de vida me´dia
de x¯ = 501, 2 horas, supondo desvio padra˜o seja igual a 4 horas, e que se deseje obter um
intervalo de confianc¸a de 95% para a me´dia populacional.
Exemplo 10: Num grupo de pacientes, o n´ıvel de colesterol e´ uma varia´vel alea-
to´ria com distribuic¸a˜o Normal, com variaˆncia de 64 (mg/ml)2. Para uma amostra de 46
indiv´ıduos, o n´ıvel me´dio de colesterol foi de 120 mg/ml.
a) Construa um intervalo de confianc¸a de 88%.
b) Foi apresentado um intervalo de 105 a 135 mg/ml, qual o n´ıvel de confianc¸a
adotado nesse caso?
Exemplo 11: O consumo de combust´ıvel e´ uma varia´vel aleato´ria com paraˆmetros
que dependem do tipo de ve´ıculo. Suponha que, para um certo automo´vel, o desvio padra˜o
seja de 2 Km/L. Foi coletada uma amostra de 40 automo´veis do mesmo modelo e forneceu
um consumo me´dio de 9,3 Km/L.
a) Construa um intervalo de confianc¸a de 90% para a me´dia de consumo desses
carros.
b) Para um intervalo de confianc¸a com 99%, cuja amplitude do intervalo e´ 1,6. Ou
seja, o IC(µ, 99%) = [8,5; 10,1] Km/L. Qual o tamanho da amostra utilizada para esse
intervalo?
12 UTFPR
	Variáveis aleatórias contínuas
	Função densidade de probabilidade
	Exemplos
	Distribuição normal de probabilidades
	Tabela da distribuição normal padrão
	Exemplos
	Intervalo de confiança para a média populacional 
	Construção do intervalo de confiança (IC)