Variáveis aleatórias

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Varia´veis aleato´rias
Guilherme Biz
11 de marc¸o de 2014
Varia´veis aleato´rias
• Definic¸a˜o: Uma varia´vel aleato´ria e´ uma func¸a˜o definida num
espac¸o amostral, que assume valores reais.
• Exemplo 1: Uma moeda e´ lanc¸ada duas vezes sobre uma
superf´ıcie plana. Seja X a func¸a˜o definida no espac¸o amostral
que e´ igual ao nu´mero de caras nos dois lanc¸amentos. Temos:
Exemplos
a) O nu´mero de pec¸as defeituosas entre n pec¸as retiradas de
uma linha de produc¸a˜o.
b) O nu´mero de part´ıculas radioativas desintegradas em um dado
intervalo de tempo.
c) O nu´mero de ve´ıculos que passam por um posto de peda´gio
durante uma hora.
d) A durac¸a˜o de um componente de um circuito.
Exemplos
e) O tempo de vida ate´ a fadiga de um cabo de ac¸o.
f) O n´ıvel de a´gua em uma represa num dado instante.
g) O nu´mero de primogeˆnitos do sexo masculino em dez fam´ılias.
OBS 1: Nos exemplos a e g os valores assumidos pelas varia´veis
correspondentes pertencem a um conjunto finito de inteiros
na˜o negativos.
OBS 2: Nos exemplos b e c o conjunto de valores que as varia´veis
assumem e´ o conjunto dos inteiros na˜o negativos, que e´
enumera´vel e infinito.
OBS 3: Nos exemplos d , e e f os valores das varia´veis aleato´rias
podem ser qualquer real na˜o negativo.
• Definic¸a˜o: As varia´veis aleato´rias que assumem valores em
um conjunto enumera´vel sera˜o denominadas discretas e
aquelas que assumem valores num intervalo da reta real sera˜o
denominadas cont´ınuas.
Distribuic¸a˜o de probabilidade de varia´veis
aleato´rias discretas
• Definic¸a˜o: A distribuic¸a˜o de probabilidade de uma varia´vel
aleato´ria discreta X , definida em um espac¸o amostral S , e´
uma “tabela” que associa a cada valor de X sua
probabilidade.
• Cont. Exemplo 1: Uma moeda e´ lanc¸ada duas vezes sobre
uma superf´ıcie plana. Seja X a func¸a˜o definida no espac¸o
amostral que e´ igual ao nu´mero de caras nos dois
lanc¸amentos. A distribuic¸a˜o de probabilidade desta v.a. e´:
Exemplo
• Exemplo 2: Treˆs pec¸as sa˜o retiradas de uma linha de
produc¸a˜o. Cada pec¸a e´ classificada em boa (B) ou defeituosa
(D). Consideremos o nu´mero de pec¸as defeituosas, que
denominaremos de Y, entre as treˆs pec¸as retiradas da linha de
produc¸a˜o. Suponhamos que a frac¸a˜o de pec¸as boas que e´
produzida e´ 0,9. Suponhamos ainda que as retiradas podem
ser consideradas independentes. Determine a distribuic¸a˜o de
probabilidade da varia´vel aleato´ria Y.
• Definic¸a˜o: Chama-se func¸a˜o de probabilidade da v.a. discreta
X , que assume os valores x1, x2, ..., xn, ..., a func¸a˜o
{(xi , p(xi )), i = 1, 2, ...}, que a cada valor de xi associa a sua
probabilidade de ocorreˆncia, isto e´,
p(xi ) = P(X = xi ) = pi , i = 1, 2, ...
Os valores de uma distribuic¸a˜o de probabilidades devem ser
nu´meros do intervalo de 0 a 1. A soma de todos os valores de
uma distribuic¸a˜o de probabilidade deve ser igual a 1.
Exerc´ıcios
1 Considere uma urna contendo treˆs bolas vermelhas e cinco
pretas. Retire treˆs bolas, sem reposic¸a˜o, e defina a v.a. X
igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a distribuic¸a˜o de
X .
2 Repita o problema anterior, mas considerando extrac¸o˜es com
reposic¸a˜o.
3 Uma moeda perfeita e´ lanc¸ada quatro vezes. Seja Y o
nu´mero de caras obtidas. Calcule a distribuic¸a˜o de Y .
Valor me´dio ou esperanc¸a matema´tica
• Definic¸a˜o: Dada a v.a. X discreta, assumindo os valores
x1, ..., xn, chamamos valor me´dio ou esperanc¸a matema´tica de
X o valor
E (X ) =
n∑
i=1
xiP(X = xi ) =
n∑
i=1
xipi
• Definic¸a˜o: Chamamos de variaˆncia da v.a. X o valor
Var(X ) =
n∑
i=1
[xi − E (X )]2 pi
ou
Var(X ) = E (X 2)− E (X )2
• O devio padra˜o X , DP(X), e´ definido como a raiz quadrada
positiva da variaˆncia.
Exerc´ıcios
4- Obtenha a me´dia e a variaˆncia da v.a. X dos exerc´ıcios 1 e 2.
5- Obter a me´dia e a variaˆncia da v.a. Y do exerc´ıcio 3.
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
• Definic¸a˜o: Dada a varia´vel aleato´ria X , chamaremos de
func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (f.d.a.) ou simplesmente a
func¸a˜o de distribuic¸a˜o (f.d) F(x) a` func¸a˜o
F (x) = P(X ≤ x).
Observe que o dom´ınio de F e´ todo o conjunto dos nu´meros
reais, ao passo que o contradom´ınio e´ o intervalo [0, 1].
Exerc´ıcios
6- Obtenha a f.d.a. F(x) da v.a. X dos exerc´ıcios 1 e 2.
7- Obtenha a f.d.a. F(Y) da v.a. Y do exerc´ıcio 3.
8- Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia,
um ou dois clientes, com probabilidade de 1/3 ou 2/3,
respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de
um equipamento por $50 000,00 (com probabilidade 1/10) ou
nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o
valor total de vendas dia´rias desse vendedor, escreva a func¸a˜o
de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de
vendas dia´rias.
Exerc´ıcios
9- Calcule a variaˆncia da v.a. Y definida no exerc´ıcio 8.
10- Verifique se a correspondeˆncia dada por
f (x) =
x + 3
15
, para x = 1, 2 e 3
pode ser a distribuic¸a˜o de probabilidade de alguma varia´vel
aleato´ria.
Alguns modelos probabil´ısticos para
varia´veis aleato´rias Discretas
• Algumas v.a. adaptam-se muito bem a uma se´rie de
problemas pra´ticos. Portanto, sera´ apresentado alguns dos
principais modelos probabil´ısticos utilizados para descrever
va´rios fenoˆmenos ou situac¸o˜es reais.
• Estes modelos probabil´ısticos dependem de um ou mais
paraˆmetros.
Principais Distribuic¸o˜es de probabilidades
• Distribuic¸a˜o Uniforme Discreta
• Distribuic¸a˜o de Bernoulli
• Distribuic¸a˜o Binomial
• Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica
• Distribuic¸a˜o Geome´trica
• Distribuic¸a˜o de Poisson
• Distribuic¸a˜o Binomial Negativa
Distribuic¸a˜o de Bernoulli
• Nos experimentos de Bernoulli o espac¸o amostral e´ composto
por apenas dois resultados poss´ıveis: “sucesso” ou “fracasso”.
• Exemplos:
• Lanc¸ar uma moeda: o resultado e´ cara ou na˜o.
• Uma pec¸a e´ escolhida ao acaso de um lote contendo 500
pec¸as: essa pec¸a e´ defeituosa ou na˜o.
• Uma pessoa escolhida ao acaso dentre 1000 e´ ou na˜o do sexo
masculino.
• Definic¸a˜o: A varia´vel aleato´ria X, que assume apenas os
valores 0 e 1, com func¸a˜o de probabilidade (x , p(x)) tal que
p(0) = P(X = 0) = 1− p
p(1) = P(X = 1) = p
e´ chamada varia´vel aleato´ria de Bernoulli.
• Notac¸a˜o: X ∼ Be(p).
• Func¸a˜o de probabilidade: A func¸a˜o de probabilidade de uma
distribuic¸a˜o de Bernoulli e´ dada por:
P(X = x) = px(1− p)1−x , x = 0; 1.
• Exemplo 3- Um dado e´ lanc¸ado: seja a v.a. X ocorrer face 5
ou na˜o. Supondo o dado perfeito, teremos P(X = 0) = 5/6,
P(X = 1) = 1/6. Calcule a esperanc¸a e a variaˆncia da v.a. X.
Distribuic¸a˜o Binomial
• Definic¸a˜o: Chama-se de experimento binomial ao
experimento
1 que consiste em n ensaios de Bernoulli;
2 cujos ensaios sa˜o independentes; e
3 para o qual a probabilidade de sucesso em cada ensaio e´
sempre igual a p, 0 < p < 1.
• Notac¸a˜o: X ∼ b(n, p).
Exemplos
• Uma moeda e´ lanc¸ada treˆs vezes; qual e´ a probabilidade de se
obter duas caras?
• Um dado e´ lanc¸ado cinco vezes; qual e´ a probabilidade de se
obter face 5 no ma´ximo treˆs vezes?
• Dez pec¸as sa˜o extraidas, ao acaso, com reposic¸a˜o, de um lote
contendo 500 pec¸as; qual e´ a probabilidade de que todas
sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das pec¸as do lote sa˜o
defeituosas?
• Cinco pessoas sa˜o escolhidas ao acaso entre 1000; qual e´ a
probabilidade de que duas sejam do sexo masculino?
• Func¸a˜o de probabilidades: A func¸a˜o de probabilidade de
uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o binomial b(n,p) e´
dada por:
P(X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x , x = 0, 1, ..., n.
• Exemplo 1: Uma moeda e´ lanc¸ada duas vezes sobre uma
superf´ıcieplana. Seja X a func¸a˜o definida no espac¸o amostral
que e´ igual ao nu´mero de caras nos dois lanc¸amentos. Temos:
• Exemplo 2: Treˆs pec¸as sa˜o retiradas de uma linha de
produc¸a˜o. Cada pec¸a e´ classificada em boa (B) ou defeituosa
(D). Consideremos o nu´mero de pec¸as defeituosas, que
denominaremos de Y, entre as treˆs pec¸as retiradas da linha de
produc¸a˜o. Suponhamos que a frac¸a˜o de pec¸as boas que e´
produzida e´ 0,9. Suponhamos ainda que as retiradas podem
ser consideradas independentes. Determine a distribuic¸a˜o de
probabilidade da varia´vel aleato´ria Y.
Exerc´ıcios
11- Dez pec¸as sa˜o extra´ıdas, ao acaso, com reposic¸a˜o, de um lote
contendo 500 pec¸as; qual e´ a probabilidade de que todas
sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das pec¸as do lote sa˜o
defeituosas?
12- Se a probabilidade de um eleitor qualquer votar em
determinada eleic¸a˜o for de 0,7, qual e´ a probabilidade de dois
dentre cinco eleitores da lista votarem na eleic¸a˜o?
13- A probabilidade de que uma pessoa fazendo compras num
certo supermercado aproveite uma promoc¸a˜o especial de
sorvete e´ de 0,30. Determine as probabilidades de que dentre
seis pessoas fazendo compras nesse supermercado, haja
0,1,2,3,4,5 ou as 6 aproveitando a promoc¸a˜o. Tambe´m esboce
um histograma desta distribuic¸a˜o de probabilidade.
14- A probabilidade de um eclipse lunar ser ocultado por nuvens
num observato´rio perto de Sa˜o Paulo e´ de 0,60. Calcule a
probabilidade de:
1 no ma´ximo treˆs dentre dez eclipses lunares serem ocultados
por nuvens naquele local;
2 no m´ınimo sete dentre dez eclipses lunares serem ocultados por
nuvens naquele local.
Distribuic¸a˜o de Poisson
• A distribuic¸a˜o de Poisson e´ empregada em experimentos nos
quais na˜o se esta´ interessado no nu´mero de sucesso obtido em
n tentativas, como ocorre no caso da distribuic¸a˜o binomial,
mas sim no nu´mero de sucessos ocorridos durante um
intervalo cont´ınuo, que pode ser um intervalo de tempo,
espac¸o, comprimento, a´rea ou volume.
Exemplos
• Nu´mero de defeitos por cent´ımetros quadrado.
• Nu´mero de acidentes por dia.
• Numero de clientes por hora.
• Nu´mero de chamadas telefoˆnicas recebidas por minuto.
• Nu´mero de falhas de um computador num dia de operac¸a˜o.
• Nu´mero de relato´rios de acidentes enviado a uma companhia
de seguros numa semana.
• Func¸a˜o de probabilidades: Dizemos que a v.a.X tem
distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ > 0, se
P(X = x) =
e−λλx
x!
, se x = 0, 1, 2, ...
• Notac¸a˜o: X ∼ Pois(λ)
• Exemplo 4- Um departamento de conserto de ma´quinas
recebe uma me´dia de cinco chamadas por hora. Calcule a
probabilidade de que menos de treˆs chamadas sejam recebidas
durante uma hora.
• Exemplo 5- O fio de uma ma´quina teˆxtil rompe-se em me´dia
uma vez a cada quatro horas de funcionamento dessa
ma´quina. Calcule a probabilidade de:
(a) numa hora o fio se romper menos de 2 vezes.
(b) em 8 horas de funcionamento o fio se romper menos de 2
vezes.
Exerc´ıcios
15- Dado que um banco recebe em me´dia λ = 6 cheques sem
cobertura por dia, qual e´ a probabilidade de receber quatro
cheques sem cobertura em um dia qualquer?
16- Se podemos antecipar λ = 5, 6 imperfeic¸o˜es por pec¸a de um
determinando material de cortina, qual e´ a probabilidade de
uma pec¸a conter x = 3 imperfeic¸o˜es?
Relac¸a˜o entre as Distribuic¸o˜es Binomial e
Poisson
• Quando n e´ grande e a probabilidade de sucesso (p) e´
pequena, tal que np < 10, pode-se aplicar a distribuic¸a˜o de
Poisson como aproximac¸a˜o da Binomial.
b(n, p) ≈ e
−np(np)x
x!
.
Exemplo
• Exemplos 6- A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo
com uma u´nica flecha e´ de 0,05. Caso, ele tenha 50 flechas,
qual a probabilidade de que:
(a) ele acerte 4 flechas no alvo?
(b) ele acerte pelo menos 3 flechas no alvo?
Exerc´ıcios
17- Em me´dia ha´ 2 chamadas por hora numa central telefoˆnica.
Calcule a probabilidade desta central receber:
1 no ma´ximo 3 chamadas em 2 horas.
2 nenhuma chamada em 90 minutos.
18- Sabe-se por experieˆncia que 2% dos livros encadernados em
certa gra´fica apresentam defeitos de encadernac¸a˜o. Use a
aproximac¸a˜o de Poisson da distribuic¸a˜o Binomial para
encontrar a probabilidade de que cinco apresentem defeitos de
encadernac¸a˜o, num lote de 400 livros encadernados nessa
gra´fica.