Ajuste de curvas MMQ

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Métodos Experimentais em Engenharia 
 
 
 
 
 
 
AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) 
 
Introdução 
 
Em muitos ramos da ciência, dados experimentais são utilizados para se deduzir uma relação 
matemática entre as variáveis que estão sendo medidas. Esses dados são resultado de experimentos 
físicos que poderão conter erros e incertezas inerentes que, em geral, não são previsíveis. Surge, 
então, a necessidade de se ajustar a estes dados uma função que seja uma “melhor aproximação” 
que descreva o que está ocorrendo no sistema e que nos permita “extrapolar” com certa margem de 
segurança a operação do sistema. Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função y por 
outra função f(x) para se obter valores numéricos de parâmetros cujo significado é definido pelo 
modelo teórico que está sendo ajustado. 
 Consideremos a seguinte tabela de valores de uma função y = f(x): 
 
nº do experimento 1 2 3 4 
xi 2 4 6 8 
yi 2 11 28 40 
 
Pretende-se estimar valores da função em pontos não tabelados. Experimentemos 
primeiramente, representar em eixos cartesianos o conjunto de pontos da tabela (Figura 1) 
 
Figura 1- Representação gráfica dos valores tabelados. 
 
 
Verifica-se que os pontos se dispõem quase em linha reta (representação gráfica de um 
polinômio do 1º grau). Se usarmos essa linha reta para aproximar os valores de f(x), essa função 
“não passará” pelos pontos tabelados, ou melhor dizendo, não será interpoladora de f(x), nesses 
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mesmos pontos. Assim sendo, deve-se utilizar a reta que “passe mais próximo” dos pontos 
tabelados, ou seja, que minimize a soma das distâncias dos pontos tabelados à reta. Mas minimizar 
a soma das distâncias dos pontos tabelados à reta é equivalente a minimizar a soma dos quadrados 
das distâncias dos pontos tabelados à reta. A aproximação por mínimos quadrados consiste em 
encontrar a função que “melhor se ajuste” ao conjunto de pontos dado, minimizando o erro 
resultante do ajuste, ou seja, pretende-se minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os 
valores tabelados e os valores obtidos pela aproximação. 
Esse ajuste por mínimos quadrados está disponível em diversos softwares numéricos e é 
conhecido, também, como aproximação por mínimos quadrados, otimização linear, análise de 
regressão, suavização de dados, entre outros. Apesar de amplamente utilizado, pouco se entende do 
mecanismo de ajuste quando se utilizam recursos computacionais. O presente documento tem o 
objetivo de elucidar e discutir como é feita a estimativa pelo método por mínimos quadrados 
(MMQ). 
 
Ajuste por MMQ 
 
Consideremos duas variáveis físicas quaisquer x e y que suspeitamos que estejam 
correlacionadas por uma relação linear na forma 
 
 y = a + bx (1) 
 
onde a e b são constantes. 
 
Se as duas variáveis y e x estão linearmente relacionadas, então um gráfico de y por x deve 
ser uma reta com inclinação b e que intercepta o eixo y em y = a. Se tivéssemos que medir N 
valores distintos de x1, x2, …, xn e os valores correspondentes y1, y2, …, yn (e se nossas medidas 
não estivessem sujeitas a incertezas) então cada ponto (xi, yi) cairia exatamente sobre a reta y = a + 
bx. 
Entretanto, na prática, há incertezas associadas aos valores e o que podemos esperar é que a 
distância de cada ponto (xi, yi) até a reta seja a menor possível. Dessa forma, devem-se determinar 
as melhores estimativas para essas constantes a e b de forma a se obter analiticamente a melhor reta 
de ajuste aos dados. Esse método analítico de ajuste é denominado MMQ. 
Mostremos, inicialmente, como ajustar um conjunto de pontos à reta y = a + bx para 
determinação de a e b. Neste caso, estamos interessados em minimizar a distância de cada ponto (xi 
, yi ) à cada ponto (xi , a + bxi) da reta, conforme ilustra a Figura 2. 
 
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Figura 2- Distância de um ponto (xi , yi ) à reta y = a + bx. 
 
A declividade da reta de regressão (b) pode ser estimada por: 
 
(2) 
 
 
 
 
A ordenada na origem (a) será determinada pela seguinte expressão: 
 
(3) 
 
 
 
 
Define-se ainda um coeficiente de determinação, R2, que assume valores entre 0 e 1 e que 
indica o quão bem a equação determinada se ajusta aos pontos dados. Quanto mais próximo da 
unidade, tanto melhor o ajuste. 
 
 
 ; (4) 
 
sendo . (5) 
 
 
Observe que o coeficiente de determinação R2 é uma medida da proporção da variação total 
dos dados em torno da média. De fato, o numerador desta expressão representa a soma dos 
quadrados dos desvios de cada ponto da reta de ajuste ao ponto médio. Já o denominador representa 
a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto dado ao ponto médio . 
 
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Influência das incertezas dos dados no ajuste por MMQ 
 
Uma vez calculados os valores a e b que determinam a melhor reta (calculada com o MMQ), 
pode-se estimar as incertezas δa e δb. Considerando que a incerteza na medida x é desprezível, a 
grandeza que quantifica a incerteza do observável y é: 
 
; (6) 
 
Note que a incerteza acima deve ser calculada para, no mínimo, 3 pontos. 
 
Usa-se a propagação quadrática das incertezas para calcular as incertezas dos coeficientes a 
e b. Os resultados encontrados são: 
 
; (7) 
 
; (8) 
 
 
 
Ajuste de curvas como um modelo para o fenômeno 
 
Ao ajustar uma curva a um conjunto de dados, devemos ser cuidadosos e verificar se o 
resultado do ajuste realmente descreve a relação entre a variável independente e a variável 
dependente. Há um conjunto de dados, o Quarteto de Anscombe 
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Quarteto_de_Anscombe), que possuem medidas estatísticas básicas 
similares e o mesmo ajuste de reta, mas que são completamente diferentes quando visualizados 
(Figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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R2 = 0,816 
y = 3,00 + 0,500x 
 
 
Figura 3: Os quatro conjunto de dados são idênticos quando examinado usando estatística básica, 
mas variam consideravelmente quando graficados. (R2 = 0,816; y = 3,00 + 0,500x). 
 
Outro ponto importante é considerar que a incerteza da medida pode afetar o ajuste de curva. 
A Figura 4 a seguir mostra um mesmo conjunto de dados mas com valores de incerteza diferentes e 
o correspondente ajuste de reta. Esta figura mostra dois fatos: a) colocar incertezas com mesmos 
valores para todos os dados produz o mesmo ajuste de curva que não colocar incertezas e b) dados 
com maior incerteza tem menor peso sobre o ajuste de curva. 
 
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Figura 4: A incerteza da medida afeta o ajuste de curva. Primeira linha: colocar incerteza com 
mesmo valor para todos os dados produz o mesmo ajuste de curva que não colocar incertezas. 
Segunda linha: dados com maior incerteza tem menor peso sobre o ajuste de curva. Fonte 
http://nbviewer.ipython.org/github/duartexyz/BMC/blob/master/CurveFitting.ipynb. 
 
 
Exemplo de aplicação de MMQ 
 
Exemplo: Força peso (P = mg) – adaptado da referência1. 
 
Para determinar a aceleração da gravidade local utilizou-se um dinamômetro tubular, 
algumas massas e um gancho. Mediu-se, então, a força peso de uma combinação de quatro massas 
aferidas de 50 g. As medidas da força peso foram feitas com um dinamômetro tubular de carga 
máxima de 2N (e cuja incerteza é de 0,01 N). Foi necessário descontar a força peso do gancho, cujo 
valor medido foi de (0,04 ± 0,01) N. A partir dessas medidas, construiu-se a Tabela 1 a seguir. A 
partir desses dados, plotou-se o gráfico apresentado na Figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 1: Dados obtidos pela leitura do dinamômetro tubular. 
 
 
 
Figura 5: Força peso em função da massa para os dados da Tabela 1. 
 
De acordo com as leis da mecânica, o módulo da força peso P = | | é proporcional ao valor 
da massa m do corpo, sendo a constante de proporcionalidade dada pela aceleração da gravidade g 
= | |. Para verificar essa relação, foi feita a regressão linear das medidas apresentadas na Tabela 1. 
Considere a relação linear existente entre o módulo da força peso P e a massa m do objeto: 
 
 
Portanto, é possível obter indiretamente o valor da aceleração da gravidade local, g = B ± 
δB, e de um possível desvio da origem dos eixos, P0 = A ± δA. 
 
A partir dos dados apresentados na Tabela 1, construiu-se a Tabela 2. 
 
 
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Tabela 2: Análise estatística dos dados. 
 
 
Os dois valores calculados na última linha da tabela acima são suficientes para calcular o 
coeficiente linear A e angular B. É preciso, sobretudo, calcular primeiro o coeficiente angular 
usando a equação (2): 
 
 
Em seguida, o coeficiente linear A é calculado a partir dos valores de B, m e P com a 
equação (3): 
 
 
 
É importante destacar que, embora o valor da aceleração da gravidade encontrado esteja 
próximo do valor esperado, e a reta ajustada passe próxima da origem, é necessário calcular as 
incertezas de cada um desses coeficientes. Para tanto, uma vez construídas as Tabelas 1 e 2, pode-se 
elaborar a Tabela 3: 
 
Tabela 3: Análise estatística dos dados. 
 
 
Para calcular a incerteza δP, usou-se o valor calculado na última linha da Tabela 3 na 
equação (6). 
Σ(Pi – A – Bxi)2 
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A incerteza do coeficiente linear, δA, é calculada com a equação (8), ao substituir os valores 
apropriados das últimas linhas das Tabelas 2 e 3, 
 
 
 
A incerteza do coeficiente angular, δB, é calculada com a equação (7), substituindo o valor 
apropriado da última linha da Tabela 2, 
 
 
 
Verifique como fica o ajuste linear dos dados da Tabela 1 com os parâmetros A e B 
calculados (Figura 6). 
 
Figura 6: Força peso em função da massa para os dados da Tabela 1 com ajuste linear dos dados por 
MMQ. 
A análise dos dados medidos permitiu encontrar o valor da aceleração da gravidade local, 
com respectiva incerteza: 
 
bem como o provável intervalo do valor da reta quando m = 0, ou seja, A = (−0,005 ± 0,005) N. 
Bibliografia 
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1- Cury, H. N. (2007). Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. 
Belo Horizonte: Autêntica. 
2- Squires, G.L. (1985). Practical Physics, 3rd. Ed. Cambridge University Press, Cambridge. 
3- Taylor, J.R. (2012). Introdução à análise de erros: O estudo de incertezas em medições 
físicas. Tradução Waldir Leite Roque - 2a ed. Porto Alegre: Bookman. 
 
Autores 
 
Apostila elaborada pela professora L.H.G. Coelho e revisada pelos profs. M. Duarte e D. Consonni.