Amostragem Estatística em Controle de Qualidade

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5 - AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA: PLANOS DE AMOSTRAGEM POR 
 ATRIBUTOS E POR VARIÁVEIS
2017 © José Benício Paes Chaves - DTA/UFV
5.1 - Inspeção de Produtos e Processos - Conceitos em Inspeção
por Amostragem
A inspeção 100%, o que poderia ser desejável, é raramente possível na área de ali-
mentos, principalmente por duas razões: primeiro porque a maioria dos testes de qualidade
é destrutiva (destrói a amostra analisada) e segundo por que o seu custo seria proibitivo. As-
sim, a inspeção por amostragem, em muitos casos, torna-se uma necessidade. Uma das
funções do departamento de controle de qualidade é estabelecer procedimentos eficientes
para o manuseio de amostras e, para determinação do número de unidades e a freqüência
de amostragem, de modo que a qualidade possa ser avaliada com um máximo de confiabili-
dade a um custo mínimo. 
A amostragem permite, mediante a análise de uma pequena parte do conjunto ou
lote, extrair conclusões sobre o restante não inspecionado. Assim, uma generalização é efe-
tuada e como tal, está sujeita a um erro. Consequentemente, por amostragem, uma conclu-
são absoluta sobre a qualidade do lote jamais será alcançada, existindo sempre uma taxa de
risco inerente ao plano de amostragem e dependente de seu poder discriminatório.
A inspeção de produtos e processos, por amostragem, é parte conhecida da opera-
ção de controle de qualidade em muitas indústrias de alimentos. Um cronograma de amos-
tragem bem definido pode assegurar a coleta de amostras adequadamente representativas,
para inspeção. 
Todavia, alguns erros são cometidos na interpretação dos dados da inspeção por
amostragem; por exemplo, quando se assume que o valor obtido de uma amostra seja idên-
tico à verdadeira média do lote testado. Mais errôneo ainda é assumir que a unidade testada
seja idêntica a cada unidade de todo o lote.
Essas pressuposições não são admitidas por aqueles que conhecem a variabilidade
inerente de material biológico; eles sabem que os resultados de uma inspeção por amostra-
gem, tornam-se mais representativos do lote, com o aumento do tamanho e freqüência de
amostragem. Isso leva alguns praticantes a aumentar o trabalho de inspeção ao máximo per-
mitido, o que pode se constituir em perda de tempo e de recursos, já que um procedimento
ótimo de inspeção deveria fornecer uma estimativa da qualidade do lote, a um nível mínimo
aceitável de exatidão, a um custo mínimo. Este procedimento ótimo pode ser obtido pela uti-
lização de certos princípios estatísticos.
Terminologia/Conceitos em Inspeção por Amostragem 
Inspeção - Processo de medir, ensaiar, analisar ou examinar unidades de um produto ou
parte de um processo ou de um instrumento, no sentido de verificar se suas características
de qualidade ou de desempenho estão de acordo com as especificações técnicas ou contra-
tuais. Os objetivos da inspeção podem ser resumidos como:
a) separar as unidades de produto aceitáveis das não aceitáveis;
b) avaliar o grau de conformidade ou não-conformidade com os requisitos estabelecidos;
c) fazer chegar, o mais breve possível, aos responsáveis (chefias de produção, gerências,
diretoria ...) os relatórios apontando as deficiências observadas;
d) assegurar que os requisitos de qualidade desejados foram atendidos.
Os critérios de inspeção usados na determinação de atendimento dos requisitos de
qualidade, normalmente estão descritos em documentos apropriados, tais como: descrições
de compras, de projetos, instruções de inspeção, boletins técnicos ou outros documentos si-
milares.
Nota: os lotes de unidades de produto submetidos a uma inspeção específica devem
ser de natureza homogênea, ou seja, as unidades de produto de que são compostos devem
ser do mesmo tipo, grau, classe, tamanho e composição e, devem ter sido fabricados, es-
sencialmente, sob as mesmas condições e dentro de um mesmo período de tempo.
Não-conformidade - Não atendimento a requisitos especificados para qualquer característi-
ca de qualidade estabelecida. A não-conformidade do produto com as características de qua-
lidade requeridas tem sido expressa em termos de "porcentagem defeituosa" (pd), de "defei-
tos por cem unidades" (dcu), de "fração defeituosa na amostra" (p’), de "número de unidades
defeituosas na amostra de tamanho n" (np) e de "número de defeitos por unidade" (c). 
 100 X No. de unidades defeituosas (nud ou d)
Percentagem defeituosa (pd) = ---------------------------------------------------------------
 No. de unidades inspecionadas (nui ou n)
 100 X número de defeitos (nd)
Defeitos por cem unidades (dcu) = ----------------------------------------
 n
Fração defeituosa (p) = d/n
Defeito e Defeituosas - defeito da unidade de produto é a falta de conformidade com qual-
quer dos requisitos especificados, ou seja, é o não atendimento do critério específico de
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classificação. Defeituosa é a unidade de produto que contém um ou mais defeitos. Uma uni-
dade defeituosa pode conter apenas um ou mais de um defeito. O inspetor é treinado especi-
ficamente para desempenhar sua função em cada situação.
Lote - Formação de Lotes - Tamanhos de Lote - lote é uma quantidade definida de unida-
des de produto em produção ou produzidas sob condições uniformes. Cada lote deve ser
constituído de unidades de produto de um único tipo, grau, classe, forma e composição, fa-
bricados essencialmente, sob as mesmas condições e no mesmo período de tempo. Por ex-
emplo, o lote pode ser formado por turno ou outra forma de definição do período de produ-
ção, a partir de determinada porção “uniforme” de matéria-prima, insumos de produção e
equipe de trabalhadores. Isto é, os produtos são elaborados essencialmente sob as mesmas
condições e no mesmo período de tempo; são codificados de forma apropriada para garantia
de sua identificação e recuperação de sua história, no sentido de possibilitar rastreabilidade,
quando necessária. Este é o conceito do chamado lote de produção. Na formação do lote o
produto deve ser agrupado de forma identificável e pré-estabelecida.
Lote de Inspeção - lote a ser amostrado para verificação de conformidade (ou não-
conformidade) com as exigências de aceitação especificadas. Pode ser definido por regula-
mentos próprios da inspeção oficial e não coincidir necessariamente com o “lote de produ-
ção” ou “lote de despacho”.
Tamanhos de Lote - o lote de inspeção é uma coleção de unidades de produtos da
qual a amostra é retirada e inspecionada para determinar se há conformidade com os critéri-
os de aceitação. O lote de inspeção pode diferir de uma coleção designada como lote ou
partida para outros propósitos, tais como, produção, embarque ou compra. O tamanho do
lote ou partida é um dos fatores determinantes da dimensão da amostragem para fins de ins-
peção.
Lotes grandes: em geral, a relação entre o tamanho da amostra e o tamanho do lote
diminui à medida que o tamanho do lote aumenta. Assim, a formação de lotes de tamanhos
maiores tende a reduzir os custos de inspeção. Lotes pequenos podem ser combinados,
quando as condições de homogeneidade são satisfeitas, para formar um lote maior chamado
“um grande lote”, sendo este então inspecionado por amostragem como se fosse um lote
único;
Lotes pequenos - a formação de lotes muito grandes pode ser indesejável uma vez
que pode criar problemas de custo de armazenagem ou perturbar o fluxo do produto ao con-
sumidor baseado em entregas regulares pré-fixadas, nos casos de haver rejeição. Em lotes
grandes, as dificuldades de acesso a todas as unidades dolote pode dificultar a obtenção de
amostra aleatória. Em certas condições, este problema pode ser minimizado, subdividindo o
lote em sub-lotes para a inspeção por amostragem. 
3
Por exemplo, se o lote representa a produção de uma semana de seis dias, o sub-
lote pode ser constituído da quantidade produzida em um dia e ser amostrado aplicando um
plano simples individualmente, ou fazendo uma única amostragem, baseada no lote total, to-
mando proporcionalmente 1/6 da amostra em cada sub-lote. Os critérios de aceitação/rejei-
ção serão aplicados então, tomando-se como base os resultados de inspeção acumulados
durante a semana.
Amostra - Uma ou mais unidades de produto retiradas do lote com o objetivo de fornecer in-
formações, mediante análise ou inspeção, sobre a conformidade deste lote com as exigênci-
as especificadas. 
Amostra aleatória - é aquela em que os "indivíduos" ou unidades do lote são retiradas ao
acaso e, todas têm a mesma chance de serem selecionadas como amostra. Sob o ponto de
vista de inspeção é a mais importante, uma vez que é a mais representativa do lote.
Amostra tendenciosa - ocorre quando uma parte ou porção do lote tem maior ou menor
probabilidade de ser selecionada como amostra. Na coleta de unidades para inspeção de-
vem ser observados todos os cuidados para se evitar este tipo de amostra. 
Amostra legal - é aquela que tem caráter de prova jurídica para sustentação do litígio cor-
respondente. Destina-se à verificação da qualidade dos alimentos colocados no mercado.
Contra-amostra - é a que se deixa em poder do proprietário da mercadoria, que é tomada
sob as mesmas condições e tamanho da amostra. Assim, a contra-amostra deve apresentar
as mesmas possibilidades de análise da amostra, permitindo uma comparação dos resulta-
dos.
Plano de Amostragem - é o procedimento que determina o número de unidades de produto
a ser inspecionado (tamanho da amostra) e o critério para aceitação do lote. Pelo plano de
amostragem, uma ou mais unidades do lote de inspeção é retirada com o propósito de deci-
dir pela sua aceitação ou rejeição.
Tamanho de Amostra (n) Unidade Amostral ou de Inspeção e Números de Aceitação (c) e
de Rejeição (r) 
O tamanho da amostra (n) em um plano de amostragem se refere ao número de unidades
amostrais que devem ser coletadas aleatoriamente no lote, para serem analisadas ou inspe-
cionadas ou o número de alíquotas (amostras) que devem ser analisadas ou inspecionadas,
4
no caso de “lotes contínuos”;
“Lotes contínuos” - ocorrem quando as unidades de produto apresentadas para inspeção
estão em fluxo contínuo, como numa esteira móvel na linha de produção, por exemplo. 
Unidade Amostral ou Unidade de Produto - são as unidades do produto que compõem o
lote ou a alíquota amostral em lotes contínuos. É o elemento de referência na inspeção - ele
é inspecionado no sentido de ser classificado como conforme ou não-conforme. Em um lote
de produto pré-envasado, cada embalagem representa uma unidade amostral. Assim, a uni-
dade de produto pode ser um artigo simples, um par, uma dúzia, ou qualquer quantidade
preestabelecida. Pode ser uma medida em termos de comprimento, área, volume, massa.
Pode ser matéria-prima ou produto em processo de elaboração. Também podem ser opera-
ções tais como: produção, obtenção, manutenção, limpeza.
Número de Aceitação (c) - é o número máximo de defeitos ou de unidades defeituosas na
amostra de tamanho n que permitirão a aceitação do lote ou partida em inspeção. 
Número de Rejeição (r) - é o menor número de defeitos ou de unidades defeituosas na
amostra de tamanho n que leva à rejeição do lote representado pela amostra.
Exemplo: Se o nível de qualidade de rejeição para fração defeituosa (p’) for fixado em 3%,
então um plano de amostragem de n=12, c=2 e r=3, significa o seguinte:
Coletar aleatoriamente, no lote, 12 unidades e inspecionar, se forem encontradas até duas
unidades defeituosas aceita-se o lote, se forem encontradas 3 ou mais unidades defeituosas,
rejeita-se o lote - como sendo proveniente de uma população de lotes, cuja fração defeituosa
média verdadeira seja de no máximo 3%.
Média de Processo - é a percentagem de defeituosos que normalmente são produzidas
quando o processo pode ser considerado sob controle. Isto é, a média do processo é o limite
de qualidade cuja produção é economicamente viável. É o valor médio do indicador de qua-
lidade (atributo ou variável) quando o processo é considerado estável, do ponto de vista da
qualidade. Para propósitos de inspeção por amostragem, a média do processo pode ser con-
siderada como a percentagem defeituosa média (ou o número médio de defeitos por cem
unidades) estimada a partir dos resultados da inspeção de amostras de pelo menos 10 (dez)
lotes consecutivos, apresentados para "inspeção original".
Nível de Qualidade Aceitável (NQA) - NQA é a percentagem defeituosa máxima (ou o nú-
mero máximo de defeitos por cem unidades - dcu) que, para propósitos de inspeção por
amostragem (por atributos), pode ser considerado satisfatório como média do processo. É o
limite do indicador de qualidade ou de não-conformidade que o comprador está disposto a
aceitar (tolerar). 
5
Isto quer dizer que quando o comprador estabelece um NQA, o fabricante não está
autorizado a deliberadamente fornecer produtos com fração defeituosa. Na verdade se isto
for tentado, o fornecedor correrá sérios riscos de ter uma alta proporção de seus lotes rejei-
tados pelos planos de amostragem. 
Nos planos de amostragem por variáveis, o NQA pode ser definido como um valor li-
mite médio (no lote) da característica de qualidade considerada, expressa em algum tipo
adequado de escala; por exemplo, acidez de no máximo 18 oDornic, teor de sólidos solúveis
ou ºBrix de no mínimo 10, ou contagem total de microrganismos mesófilos aeróbios de no
máximo 104 UFC/g do alimento. 
Quando o comprador determina algum valor específico de NQA para um certo defeito
ou grupo de defeitos, ele/ela está indicando ao fornecedor (fabricante) que seu plano de
amostragem aceitará a grande maioria dos lotes apresentados para inspeção, desde que a
percentagem média de unidades defeituosas do processo, nestes lotes, não seja maior do
que o valor do NQA determinado. O risco do fornecedor em ter lotes de "boa qualidade" rejei-
tados é pequeno. 
Os planos de amostragem são calculados de tal forma que a probabilidade de aceita-
ção (Pa), dado um determinado NQA, depende do tamanho da amostra. Em geral, a Pa é
maior para amostras grandes do que para amostras pequenas. 
O NQA por si só, não garante proteção ao consumidor, para lotes isolados, mas indi-
ca o que poderá ser esperado de uma série contínua de lotes, desde que seja seguido o pro-
cedimento indicado na norma. Há necessidade de consultar a Curva Característica de Ope-
ração (CCO) do plano para se determinar a proteção ao comprador que ele oferece. Há Ta-
belas (ou sistemas) de planos de amostragem (como as da NBR 5426) que são baseadas no
princípio do NQA. A probabilidade de aceitação de lotes de qualidade próxima ao NQA espe-
cificado é sempre muito alta. Esses planos de amostragem são indicados para inspeção de
lotes sucessivos (inspeção contínua por amostragem, para permitir o emprego do princípio
da comutação. Não se aplicam para lotes isolados.
O NQA a ser usado deve ser definido (determinado) no contrato de fornecimento ou
pelo responsável. Pode ocorrer de serem designados diferentes valores de NQA para grupos
de defeitos considerados em conjunto ou para defeitos considerados individualmente. Pode
ser determinado um NQA para um grupo de defeitos, além dos NQA’s para defeitos conside-
rados individualmente.
Se o plano de amostragem é para Pa = 0,95 por exemplo (probabilidade de aceitaçãode 95%), então os lotes provenientes de uma linha de produção cuja média de processo é
menor ou igual ao NQA especificado, serão aceitos pelo menos 95% das vezes. Ou ainda,
95% dos lotes apresentados para inspeção nestas condições, serão aceitos. (Mostrar exem-
plo de interpretação de NQA em uma CCO).
6
Fração Defeituosa Tolerável (FDT) ou Nível de Qualidade Limite (NQL) ou ainda Quali-
dade Limite (QL) - na inspeção por amostragem a FDT (atributos) ou o NQL (variáveis) é o
limite da não-conformidade ou do indicador da qualidade, além do qual o comprador não
aceita. Ou seja, na inspeção por atributos, a FDT é a máxima percentagem defeituosa, além
da qual a qualidade é considerada insatisfatória, para fins de inspeção por amostragem. A
FDT ou o NQL pode ser entendido como o ponto na CCO que fornece o valor da maior fra-
ção defeituosa ou o menor valor do indicador de qualidade que o comprador aceita excepci-
onalmente. Desta forma, os planos de amostragem baseados neste princípio (como os da
NBR 5427) associam uma probabilidade de aceitação muito reduzida para os lotes proveni-
entes de linhas de produção cuja média de processo ultrapassam “negativamente” estes li-
mites.
Os planos de amostragem baseados na FDT ou no NQL são indicados para inspeção
de lotes isolados (produção única ou intermitente com grandes intervalos de tempo) que, em
razão desta circunstância, foram submetidos a pouco ou nenhum controle durante o proces-
so de elaboração ou de fabricação. Eles visam portanto oferecer proteção ao comprador, de
forma mais direta. Não são usados para inspeção contínua de lotes. (Mostrar exemplo de in-
terpretação de FDT ou de NQL em uma CCO).
Risco do Vendedor ou do Fornecedor (Pa) e Risco do Comprador (Pc) - como pode ser
depreendido a partir da interpretação dos conceitos de NQA e de FDT em uma CCO, na ins-
peção por amostragem há sempre dois riscos envolvidos; ou seja, o resultado da inspeção
ou da análise da amostra pode levar à rejeição de um lote bom (que atende às especifica-
ções) - este é o chamado risco do fornecedor (do fabricante ou do vendedor). O risco do
fornecedor de que um lote aceitável seja rejeitado é igual a 1 - Pa. Mas também, há sempre
o risco de aceitação de um lote inadequado (que não atende às especificações) - este é o
chamado risco do comprador ou do consumidor. 
Desta forma, o risco do vendedor ou do fornecedor, quantitativamente, se confunde
com a probabilidade de aceitação (Pa) e pode ser definido como a probabilidade ou freqüên-
cia de aceitação de lotes com determinada fração média tolerável de unidades defeituosas,
em um processo sucessivo de inspeção por amostragem. 
Por exemplo, um plano de amostragem com Pa = 0,95 para lotes com p' = 0,01; sig-
nifica que lotes provenientes de um linha de produção com média de processo de 1% de fra-
ção defeituosa serão aceitos pelo menos 95% das vezes. Ou ainda, pelo menos 95 % dos lo-
tes, nessas condições, seriam aceitos na inspeção por este plano de amostragem. Assim, o
risco do fornecedor (vendedor) pode também ser entendido como a frequência ou probabili-
dade de aceitação de lotes cuja qualidade média corresponde à do NQA.
7
O risco do comprador (consumidor) ou probabilidade de rejeição (Pc) pode ser defini-
do como a probabilidade ou a frequência de rejeição de lotes com determinada fração média
de unidades defeituosas, em um processo sucessivo de inspeção. 
Um plano de amostragem com Pc=0,10 (risco do comprador de 10%) para lotes com
p'=0,03; significa que lotes provenientes de uma linha de produção cuja média de processo
seja de 3% de fração defeituosa, não passarão na inspeção mais do que 10% das vezes, ou
seja serão rejeitados pelo menos 90% das vezes. Assim, o risco do consumidor (comprador)
pode também ser entendido como a frequência ou probabilidade de aceitação de lotes cuja
qualidade média corresponde à do NQL ou da FDT.
Curva Característica de Operação (CCO) - são gráficos que indicam a percentagem de lo-
tes que se espera aceitar, dada a qualidade média do processo, para um dado plano de
amostragem. Para cada plano de amostragem pode-se construir uma CCO, onde a percen-
tagem (probabilidade) de aceitação é plotada no eixo das ordenadas e a qualidade média
verdadeira do lote (fração defeituosa, percentagem de unidades defeituosas ou limite médio
(variável) de determinada característica de qualidade) é plotada no eixo das abscissas. O po-
der de discriminação (de detectar lotes bons ou lotes ruins) do plano de amostragem é evi-
denciado pela CCO.
Desta forma a CCO é útil para demonstrar como um determinado plano de amostra-
gem se comporta para lotes com diferentes valores de qualidade média. Is é feito pela CCO.
Na Figura 1 é apresentado um exemplo de CCO para um plano de amostragem de 2-classes
e a Figura 2 representa a CCO de um plano de amostragem hipotético ideal. 
Figura 1 - Forma geral da CCO para um plano de amostragem n e c, mostrando os 
riscos do fornecedor (α) e do comprador (β).
8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5

P
a
 NQA FDT 
 % p

1
0 1
A análise da Figura 1 é a seguinte: Os lotes provenientes de linhas de produção cuja
média de processo, em termos de %p, sejam iguais ou menores do que o valor do NQA têm
pelo menos (1-α)% de chance de aceitação. Ou ainda, lotes desse tipo têm no máximo α%
de chance de rejeição. Daí o α ser chamado de risco do fornecedor, isto é, a chance de lotes
“bons” serem rejeitados pelo ou com base no plano de amostragem. 
Se α for fixado em 5% e o NQA em p=0,02; ou seja 2% de unidades não-conformes (defeitu-
osas), então os lotes provenientes de linhas de produção cuja média do processo seja igual
ou menor de que 2% de unidades não conformes têm pelo menos 95% de chance de aceita-
ção. Isto pode ser afirmado de outra forma: Pelo menos 95% dos lotes provenientes de li-
nhas de produção cuja média de processo seja igual ou menor do que 2% de unidades não
conformes serão aceitos pelo ou com base no plano de amostragem. Ou ainda, lotes deste
tipo têm no máximo 5% de chance de rejeição.
Ainda, analisando a CCO da Figura 1 observa-se que no máximo β% dos lotes provenientes
de linhas de produção cuja média de processo é maior ou igual ao valor da FDT serão acei-
tos. Se o β for fixado em 10% e a FDT em p=0,03; ou seja FDT igual a 3% de unidades não-
conformes, então os lotes provenientes de linhas de produção cuja média do processo seja
igual ou maior do que 3% de unidades não conformes têm no máximo 10% de chance de
aceitação. Afirmando de outra forma, a expectativa de aceitação de lotes de qualidade igual
ou pior do que a FDT é de no máximo 10%. A Figura 2 é um esquema de CCO de um plano
de amostragem ideal, ou seja, aceitaria 100% dos lotes bons e rejeitaria 100% dos lotes ina-
dequados. É evidente que tal plano exigiria a análise de todos os elementos que compõem o
lote.
Figura 2 - Curva característica de operação para um plano de amostragem 
 ideal para p = 3%. 
 
Outro ponto a ser considerado é que, ao contrário de uma crença geral, o tamanho
da amostra (n) e o número de aceitação (c), independente do tamanho lote, é que são os pa-
9
Pa
1
0
 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 
 p
râmetros decisivos para aceitação ou rejeição de lotes contendo qualquer valor médio de
percentagem defeituosa. As CCO’s mostradas na Figura 3 ilustram bem este fato. Como se
observa são CCO’s para um plano de amostragem de n=10 e c=1, para diferentes tama-
nhos de lote N. As sete curvas se encontram muito próximas umas das outras, independente
do tamanho do lote. Por exemplo, uma amostra de 10 unidades de um lote contendo um nú-
mero muito grande (5000)de unidades oferece praticamente a mesma proteção de uma
amostra de 10 unidades proveniente de um lote de 50 unidades. Portanto, do ponto de vista
estatístico, o tamanho do lote N, não é necessário para se dimensionar o tamanho da amos-
tra. 
Figura 3 – CCO’s para o plano de amostragem de 2-classes, n = 10 e c =1 e diferentes tama-
nhos de lotes, PAIVA (2000).
Entretanto, deve-se considerar que há fatores econômicos tais como tempo e custo
da amostragem e inspeção (análise) que precisam ser levados em conta em relação ao ta-
manho do lote. Se o teste é destrutivo o fator custo se torna ainda mais importante e geral-
mente leva a uma análise do equilíbrio entre riscos, tamanho da amostra e Nível de Qualida-
de aceitável (NQA). Este é um problema presente em grande parte da inspeção de alimentos
e produtos relacionados. Ou seja, nestes produtos a porção analisada (inspecionada) é con-
sumida (destruída) pelos procedimentos do teste ou se tornam impróprias para uso como ali-
mento. Assim, o tamanho da amostra tem que ser limitado, independente de conseqüências
estatísticas. 
10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a
N=50 N=100 N=200 N=500
N=1000 N=2000 N=5000
A Figura 4 é um esquema de curvas características de operação (CCO’s) de um pla-
no de amostragem representando 10% do tamanho do lote e o número de aceitação c = 1.
Observa-se que o rigor da inspeção é diferente, dependendo do tamanho do lote. Ao utilizar
este procedimento, os lotes com tamanhos diferentes e mesma fração defeituosa (p) terão
níveis de inspeção variados. Na Figura 4, observa-se que lotes com 5% de unidades não-
conformes (p=0,05) seriam aceitos 92% das vezes se N=100; 74% das vezes se N=200;
26% das vezes se N=500 e 3% das vezes se N=1000. Além de ser um plano de amostragem
com um desempenho diferente para cada tamanho de lote, ele seria inexequível para lotes
de tamanhos maiores, pois exigiria a análise de amostras muito grandes. Isto mostra que é
incorreto utilizar uma fração ou percentagem do lote para definir o tamanho da amostra.
Figura 4 – CCO’s para o plano de amostragem de 2-classes com n = 10% de N e c = 1 (PAIVA, 2000).
O efeito de n (tamanho da amostra) no desempenho de planos de amostragem de
2-classes, utilizando-se a distribuição binomial, é mostrado na Figura 5. Para cada gráfico
têm-se as CCO’s, com a Pa em função da fração defeituosa (p), para um dado número de
aceitação (c) e os tamanhos de amostras n = 5, 10 ou 20. O mesmo esquema foi adotado
para mostrar o efeito de c na Pa, como se verifica na Figura 6, em que, para cada gráfico, as
CCO’s foram determinadas para c = 0, 1, 2 e 3, mantendo-se constantes os demais fatores
da distribuição (p e n). 
Ao analisar s Figuras 5 e 6, observa-se que quanto à forma da CCO, os planos de
amostragem com número de aceitação c = 0 determinam uma hipérbole, e para valores dife-
rentes de zero (c = 1, 2 e 3), a CCO determina uma curva com dois pontos de inflexão.
Quanto ao efeito destes fatores, observa-se que quanto maior o valor de n, mais ri-
goroso será o plano de amostragem, ou seja, melhor é o desempenho do plano para discri-
11
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
p
P
a
N=100 e n=10 N=200 e n=20
N=500 e n=50 N=1000 e n=100
minar entre lotes bons e ruins, considerando-se o valor de c adotado (Figura 5). Portanto,
menor é a Pa do lote a um dado p. Por outro lado, o c exerce efeito contrário. Quanto maior
o valor de c, para um dado n, mais flexível será o plano de amostragem, ou seja, maior será
a Pa do lote a um dado valor de p (Figura 6).
Figura 5 – CCO’s para planos de amostragem de 2-classes, mostrando o efeito do tamanho 
da amostra (n) sobre a probabilidade de aceitação (Pa), em função da fração 
defeituosa (p) no lote, para um determinado número de aceitação (c), PAIVA, 
2000. 
12
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(c
 =
 0
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(c
 =
 1
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(c
 =
 2
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
Pa
 (c
 =
 3
) 
n = 5 n = 10 n = 20
Figura 6 – CCO’s para planos de amostragem de 2-classes, mostrando o efeito do número 
de aceitação (c) sobre a probabilidade de aceitação (Pa), em função da fração 
defeituosa (p) no lote, para um determinado tamanho de amostra (n), PAIVA, 
2000.
13
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(n
 =
 5
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(n
 =
 1
0)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(n
 =
 2
0)
c=3 c=2 c=1 c=0
Níveis de Inspeção - o nível de inspeção fixa a relação entre o tamanho do lote e o tama-
nho da amostra. O nível de inspeção a ser usado para um requisito particular será prescrito
pelo responsável pela inspeção. Nos planos de amostragem pré-estabelecidos, como os da
NBR 5426 (amostragem por atributos), são fornecidas Tabelas para sete níveis de inspeção.
Três níveis de inspeção: I, II e III são dados para uso geral. 
Salvo indicação em contrário, será sempre adotada a inspeção nível II. O nível I po-
derá ser adotado quando for necessária menor discriminação. Caso contrário, se maior dis-
criminação for necessária, o nível III será utilizado. Também são fornecidas Tabelas para
quatro níveis especiais de inspeção: S-1, S-2, S-3 e S-4, que poderão ser adotados quando
forem necessários tamanhos de amostras relativamente pequenos e onde possam ou devem
ser tolerados grandes riscos de amostragem. A disponibilidade destes sete níveis de inspe-
ção da NB 5426 permite ao usuário equilibrar o custo de inspeção e a proteção da qualidade
requerida.
Os níveis gerais de inspeção de I a III são em geral usados em inspeção do tipo não
destrutiva. Os níveis especiais de inspeção de S-1 a S-4 são comumente usados em inspe-
ções tipicamente destrutivas ou de custo elevado, em que são adequados pequenos tama-
nhos de amostra. Os níveis S-1 a S-4 podem, também, ser considerados adequados quan-
do os produtos provêm de processos repetitivos.
Antes de se especificar o nível de inspeção deve-se fazer uma análise detalhada de
alguns fatores, no sentido de melhorar a relação custo-risco. Esta análise deve incluir mas
não se limitar a fatores tais como:
a) as curvas características de operação (CCO) para avaliar o desempenho dos vários pla-
nos;
b) o risco do fornecedor e a discriminação oferecida pelos vários níveis de inspeção;
c) conhecimento do processo de produção, sua capacidade e desempenho histórico da
qualidade dos produtos;
d) complexidade do item;
e) o custo e a importância do exame ou análise, principalmente quando a análise for cara,
demorada e de caráter destrutivo;
f) a importância das diversas características de qualidade que estão sendo examinadas - a
gravidade das falhas geradas em casos de não conformidade;
g) análise do risco do consumidor.
O poder discriminatório (rigor) dos planos de amostragem aumenta do nível S-1 para
S-4 e de do nível I para o III. As Figura 5 e 6 representam este fato para vários planos de
amostragem. Para um valor de n constante, o aumento do número de aceitação resulta em
14
aumento da probabilidade de aceitação de um lote de produto com a mesma qualidade mé-
dia (isto eqüivale a situação de se mudar de inspeção severa para normal ou para atenuada,
no mesmo nível de inspeção). Por outro lado, para um valor constante do número de aceita-
ção, o aumento do tamanho da amostra n, torna a declividade da CCO mais acentuada, au-mentando o rigor (poder discriminatório) da inspeção, ou seja, diminuindo a probabilidade de
aceitação de um lote de mesma qualidade média.
Regime de Inspeção - este aspecto refere-se ao grau de risco que o comprador está dis-
posto a assumir na inspeção por amostragem. A maioria dos planos de amostragem estabe-
lece três graus de severidade de inspeção: severa, normal e atenuada. Estes graus de seve-
ridade são aplicáveis aos planos de amostragem tanto por atributos quanto por variáveis. 
Inspeção normal - é utilizada quando não há evidência de que a qualidade do produto em
questão seja melhor ou pior do que o nível de qualidade especificado. É geralmente posta
em prática no início do processo de inspeção por amostragem, sendo continuada enquanto
perdurar a evidência de que a qualidade do produto está de acordo com as exigências espe-
cificadas. A inspeção severa é instituída de acordo com normas específicas, quando se tor-
na evidente que a qualidade do produto, durante o processo sucessivo de inspeção, está se
deteriorando. A inspeção atenuada pode ser instituída de acordo com procedimentos estabe-
lecidos em normas específicas, quando se torna evidente que a qualidade do produto, du-
rante o processo sucessivo de inspeção, foi melhorada. 
Ao se iniciar um procedimento de inspeção deve ser empregada a inspeção normal,
salvo determinação em contrário.
Inspeção severa - a inspeção severa utiliza o mesmo nível de qualidade que a inspeção
normal, mas requer maior severidade no critério de aceitação. Isto é geralmente conseguido,
determinado-se um número de aceitação (c) menor para o mesmo tamanho de amostra. No
caso de evidente melhoria na qualidade do produto, é permitido o retorno à inspeção normal,
de acordo com procedimentos estabelecidos em normas específicas. 
Inspeção atenuada - a inspeção atenuada utiliza um nível de qualidade similar ao da inspe-
ção normal, porém requer amostra menor para inspeção. As exigências, ao se efetuar a co-
mutação de inspeção normal para atenuada, são mais rigorosas do que ao se mudar de ins-
peção normal para severa. Um resumo histórico da qualidade do produto é essencial para
decisão de uma possível comutação de inspeção normal para atenuada. A comutação de
inspeção normal para severa é geralmente, obrigatória, sendo que a transferência de normal
para atenuada é permissível, sob certas condições. Quando a qualidade do produto, durante
15
um processo sucessivo de inspeção, evidencia sinais de deterioração, a transferência de ins-
peção atenuada para normal torna-se obrigatória. 
 Sistema de Comutação 
a) Normal para Severa: quando a inspeção normal estiver sendo aplicada, será necessário
passar para inspeção severa, se dentre 5 (cinco) lotes consecutivos, 2 (dois) tiverem
sido rejeitados na inspeção original (Não serão computados para este item os lotes rea-
presentados para inspeção);
a) Severa para normal: quando estiver sendo utilizada a inspeção severa, a normal só de-
verá substituí-la, se 5 (cinco) lotes consecutivos tiverem sido aprovados em inspeção ori-
ginal;
a) Normal para atenuada: quando estiver sendo utilizada a inspeção normal, pode-se pas-
sar para inspeção atenuada se todas as condições a seguir forem satisfeitas:
.os 10 (dez) lotes precedentes tenham sido submetidos à inspeção normal e nenhum tenha
sido rejeitado;
.a percentagem defeituosa estimada para cada um dos 10 (dez) lotes precedentes, submeti-
dos à inspeção normal e não rejeitados for igual ou menor que o limite dado em Tabelas
apropriadas de "limites da percentagem defeituosa estimada do lote" Tabela 17 da NBR
5426 - se amostragem dupla ou múltipla estiver sendo aplicada será computado o número
total de unidades defeituosas encontrado em todas as amostras, para efeito de comparação
com os números previstos na Tabela 17 da NBR 5426;
.a produção se desenvolve com regularidade;
.a inspeção atenuada é considerada apropriada pelo responsável.
d) Atenuada para normal: estando em aplicação a inspeção atenuada, deve-se passar para
a normal, se qualquer uma das situações mencionadas a seguir for observada:
.o lote for rejeitado;
.o lote foi aprovado mas excedeu o limite dado em Tabelas apropriadas de "limites da per-
centagem defeituosa estimada do lote", Tabela 17 da NBR 5426 ou ocorreu d (número de
defeituosas) acima do número de aceitação, mas abaixo do número de rejeição;
.a produção tornou-se irregular;
.há ocorrência de condições adversas que justificam a mudança para inspeção normal.
Interrupção da Inspeção - todos os procedimentos de amostragem devem prever situações
em que a inspeção por amostragem deve ser interrompida. Se eventualmente 10 (dez) lotes
(ou outro número de lotes, a critério do responsável) permanecerem em regime de inspeção
severa, recomenda-se interromper a inspeção efetuada sob as diretrizes da norma, até que
16
sejam adotadas providências para aprimoramento da qualidade do produto.
Seleção do Nível de Qualidade - as situações que requerem inspeção por amostragem são
variadas. Por esta razão há uma grande variedade de planos de amostragem; alguns prote-
gem mais o fornecedor no sentido de ser evitada a rejeição de produtos cuja qualidade é sa-
tisfatória (NQA); outros privilegiam a proteção do comprador (consumidor), evitando que lo-
tes de “baixa qualidade” sejam facilmente aceitos (FDT ou NQL ou ainda LQMR). Há ainda
os planos de amostragem baseados no Nível de Qualidade Indiferente (NQI), oferecendo ris-
cos iguais para o fornecedor e para o comprador. Os três níveis de qualidade podem, facil-
mente serem combinados, dois a dois, associados aos respectivos riscos do comprador e do
vendedor (fornecedor). 
Assim, um plano de amostragem pode ser desenvolvido de modo a assegurar ao for-
necedor que os produtos com um dado nível satisfatório de qualidade (NQA) terão uma pro-
babilidade muito pequena de ser rejeitado (baixo risco para o fornecedor) e, ao mesmo tem-
po, assegurar ao comprador uma baixa probabilidade de aceitação, estando a qualidade mé-
dia do produto recebido abaixo de um determinado nível (FDT ou NQL), conseqüentemente
um baixo risco para o comprador. Para que tais planos sejam práticos deve haver uma dife-
rença razoável entre os valores de NQA e de FDT envolvidos – para efeito de exemplo, ní-
veis de 1% para NQA e de 6,5% para FDT são típicos.
Se os dois níveis (NQA e FDT) forem muito próximos entre eles o tamanho da amos-
tra aumenta muito, podendo até chegar à necessidade de inspeção 100%. Este seria o preço
a se pagar ao se buscar o rigor descrito no parágrafo anterior.
A seleção de um valor para o nível de qualidade depende da análise de diversos fato-
res, entre os quais se destacam: exigências do projeto, proteção necessária da qualidade,
custo do produto, custo da inspeção, capacidade do processo, tipos de defeitos, dados dis-
poníveis (histórico) da qualidade do produto...
Limitações da Inspeção por Amostragem - a primeira consideração a ser feita ao se deci-
dir pela inspeção por amostragem para uma característica de qualidade particular é - “qual
deverá ser o resultado da passagem de um defeito?” Se o defeito é de tal natureza que pos-
sa causar uma falha de segurança, resultar em grandes perdas, resultar numa eficiência
operacional muito baixa ou acarretar reparações onerosas - a conclusão lógica é de NÃO
usar a inspeção por amostragem para aceitação/rejeição e concentrar o esforço em sistema
dinâmico (preventivo) para a garantia da qualidade. 
17
5.2 - Tipos de Planos Amostragem 
Os sistemas de amostragem podem ser agrupados em quatro tipos básicos: simples,
dupla, múltipla e seqüencial. A utilização de qualquer um destes sistemas, normalmente re-
quer o agrupamento da produção em lotes ou partidas, os quais serãoaceitos ou rejeitados,
dependendo dos resultados da inspeção por amostragem. Quanto ao tipo de inspeção a ser
realizada ela pode ser por atributos ou por variáveis.
5.2.1 - Atributos e Variáveis 
A inspeção por atributos consiste em classificar as unidades de um produto simples-
mente como aceitáveis ou inaceitáveis, com base na presença ou ausência de uma determi-
nada característica qualitativa, em cada unidade inspecionada de produto do lote ou amos-
tra. Os resultados da inspeção por atributos são expressos em termos de: passa/não-passa,
defeituosa/perfeita, dentro ou fora de tolerância ou completo/incompleto. Na linguagem do
controle estatístico os resultados da inspeção por atributos seguem distribuições de variáveis
aleatórias discretas, como as de Poisson e Binomial. 
A inspeção por atributos é mais frequentemente utilizada para exames visuais de uni-
dades de produto, em verificação de desempenho de operações, defeitos de mão-de-obra,
dimensões erradas, deformações em materiais e embalagens, como manchas, trincas, dife-
renças na tonalidade de cor. É normalmente mais simples e mais rápida que a inspeção por
variáveis, sendo portanto de menor custo. Mas também pode ser a avaliação da qualidade
microbiológica, como por exemplo, unidades de produto contaminadas com Salmonella entre
certo número de unidades analisadas. Entretanto, os planos de amostragem por atributos re-
querem sempre maior tamanho de amostra (n) do que os planos por variáveis.
Os planos de atributos são estabelecidos com o objetivo de detectar a proporção de
unidades amostradas que deixam de atender a um padrão ou critério pré-fixado. Portanto,
nesse tipo de plano aplica-se o conceito de “passa ou não passa”. 
A inspeção por variável é aquela em que as características (indicadores) de qualida-
de, mensuráveis, da unidade do produto são analisadas e os seus resultados são expressos
por meio de alguma escala numérica contínua. Isto é, enquanto os atributos assumem valo-
res do conjunto dos números inteiros, as variáveis assumem valores do conjunto dos núme-
ros reais. Esta inspeção registra o grau de conformidade (ou não conformidade) da unidade
de produto com os requisitos especificados, para a característica de qualidade considerada
e, servem para a determinação de níveis de qualidade. Medidas como as de pH, acidez titu-
lável, teor de sólidos solúveis (º Brix), teor de gordura, de resíduos de defensivos agrícola,
medidas objetivas de dimensões de cor e de textura, entre outras, são do tipo de variável. 
Há situações no monitoramento da qualidade em que características que são variá-
veis podem ser controladas como atributos, embora o inverso não seja possível. Assim,
18
quando se fixa um limite de tolerância para um determinado tipo de contagem microbiana no
produto alimentício (UFC/g ou ml) ou o teor de sólidos solúveis de determinada matéria-pri-
ma, como critério para aceitação/rejeição, está-se efetuando esta conversão. Desta forma,
todos os itens examinados serão avaliados em termos de “passa/não-passa”, em compara-
ção com aquele critério de decisão.
Na comparação entre os dois tipos de planos de amostragem pode-se chegar a algu-
mas conclusões:
a) Pela inspeção do mesmo número de amostras (mesmo esforço analítico), os planos por
variáveis geralmente fornecem maiores níveis probabilísticos do os por atributos. Isto é,
permitem uma definição num determinado nível probabilístico ainda que com a inspeção
de menor tamanho de amostras.
b) A aplicação dos planos por variáveis exige o conhecimento da distribuição dos valores da
característica de qualidade em estudo. No caso de microrganismos em alimentos, esta
distribuição nem sempre é conhecida.
c) A inspeção por atributos é mais simples, um vez que requer um registro menos detalhado
que no caso das variáveis. O custo da inspeção por unidade de produto é baixo e ela é
menos complicada.
d) O controle por variável fornece maior número de informações sobre a amostra do que o
controle por atributos.
5.2.2 - Amostragem simples: é quando os resultados da inspeção de uma única amostra
(amostra simples) de um lote de inspeção são suficientes (conclusivos) na determinação da
aceitação ou rejeição do lote. O número de unidades inspecionadas deve ser igual ao tama-
nho da amostra indicado no plano de amostragem, sendo normalmente designado por n. Se
o número de unidades defeituosas (d) encontrados na amostra for igual ou menor que o nú-
mero de aceitação "c", o lote ou partida é considerado aceito e, se o número de defeituosas
(d) for igual ou maior do que o número de rejeição "r", o lote será considerado rejeitado. 
Exemplo: Para NQA = 0,03 (fração defeituosa); n=20; c=4. Coletar 20 unidades em cada
lote e analisar, se forem encontradas até 4 unidades defeituosas (d=4), aceita-se o lote; caso
contrário, isto é, se forem encontradas mais de quatro das 20 unidades defeituosas, rejeita-
se o lote, como sendo proveniente de uma população de lotes cuja fração defeituosa seja de
no máximo 3%. 
5.2.3 - Amostragem dupla: a amostra é dividida em duas subamostras. Coleta-se aleato-
riamente a primeira subamostra de n1 unidades e faz-se a sua inspeção (análise), anotando-
se o número de unidades defeituosas (d1). Se d1 for igual ou menor do que a1, aceita-se o
lote; se d1 for igual ou maior do que r1, rejeita-se o lote; se d1 for maior do que a1, mas menor
19
do que r1, então coleta-se aleatoriamente a segunda subamostra de n2 unidades e faz-se a
sua inspeção, anotando o número de defeituosas d2. Se d=d1 + d2 for menor ou igual a a2,
aceita-se o lote; se d for maior ou igual a r2, rejeita-se o lote. 
A grande vantagem da amostragem dupla, em relação a amostragem simples, é a
possibilidade de tomada de decisão, com menor trabalho de inspeção, isto é, apenas com a
primeira subamostra. 
Exemplo de um plano de amostragem dupla (descrever a interpretação):
ni n ai rj
20 20 3 6
20 40 6 7
5.2.4 - Amostragem múltipla - é uma extensão da amostragem dupla, com a possibilida-
de de mais de duas subamostragens. Sua grande vantagem é também a possibilidade de to-
mada de decisão (aceitar ou rejeitar o lote) com menor trabalho de amostragem e inspeção,
já que menor número de unidades amostrais seriam trabalhadas, quando a decisão for toma-
da nas primeiras subamostras, reduzindo assim o custo da inspeção. Entretanto, tanto na
amostragem dupla quanto na múltipla, esta vantagem desaparece, se o processo de inspe-
ção se estender até a última subamostra, para tomada de decisão; já que o tamanho da
amostra inspecionada nestes casos seria maior do que aquela requerida pela amostragem
simples, para o caso. 
5.3 - Planos de Amostragem de 2-classes e de 3-classes
Outro conjunto de planos de amostragem que tem sido recomendado, principalmente
na avaliação da qualidade microbiológica, em algumas situações especiais como quando
não há risco direto (contagem de mesófilos aeróbios) são os chamados planos de 3-classes.
Nos planos de 2-classes o produto é classificado como aceitável ou inaceitável, em
função de um valor ou índice microbiológico estabelecido como critério de aceitação ou de
rejeição (valor normalmente representado por m). Nos planos de 3-classes o produto alimen-
tício pode ser enquadrado em três classes (situações) em função das contagens microbioló-
gicas que ele venha a apresentar: inteiramente aceitável (contagens m); de qualidade mar-
ginal (contagens entre m e M) e inaceitável (contagens > M).
Planos de 2-classes Planos de 3-classes
Aceitável m Inaceitável Aceitável m Marginal M Inaceitável
c = nº. de unidades amostraisc = nº. de unidades amostrais toleradas
toleradas com contagens > m . com contagens na faixa marginal.
20
Nos planos de 2-classes os lotes são considerados como tendo duas frações ou pro-
porções de itens: a proporção de itens de produto conforme, que atendem a especificação e
a proporção de itens não conformes, que não atendem à especificação, denominada de fra-
ção defeituosa (p). Nos planos de 3-classes os lotes são considerados como tendo três fra-
ções ou proporções de itens: a proporção de itens de produto completamente conforme, de
boa qualidade (p0) que atendem perfeitamente a especificação; uma proporção (pm) de itens
de qualidade marginal (contagens microbiológicas entre m e M) e o restante de itens de qua-
lidade defeituosa ou inaceitável (pd).
Os planos de 3-classes têm sido recomendados apenas nos casos de microrganis-
mos que não oferecem riscos diretos e extensos ao consumidor. Para os patógenos de maior
importância para a saúde pública, sua presença não deve ser tolerada no alimento; nestas
condições c = 0 e, consequentemente, apenas os planos de 2-classes são empregados.
A Figura 7 ilustra o efeito, dentro de um lote, de várias distribuições de frequência do nível de
contagem microbiana sobre a localização de m e M para os planos de 3-classes. A curva I
representa um lote com qualidade totalmente satisfatória, com uma população microbiana
reduzida e pequena variabilidade, sem exceder o limite m. A curva II mostra um lote com ní-
vel de contagem média similar à I, entretanto, apresenta maior variação, e pequena propor-
ção das unidades de amostra excedeu o limite m. A curva III mostra um lote com alto nível de
contaminação e grande variação, em que grande proporção do lote encontrava-se na faixa
marginalmente aceitável e pequena proporção está acima do limite inaceitável M. Assim,
este lote seria provavelmente rejeitado. O lote representado pela curva IV seria sempre rejei-
tado, uma vez que todas as unidades de amostras superaram o limite inaceitável M (ICMSF,
1982).
21
 m M
Freqüência relativa de 
unidades de amostras no lote
Contagem (UFC/g ou mL)
I
I
I
III
IV
Figura 7 - Distribuição de microrganismos dentro do lote e limites microbiológicos (M e m) 
para planos de 3-classes. Fonte: ICMSF (1982).
 
Exemplos de planos de amostragem de 3-classes para alguns produtos, exigidos pela RDC 
12/2001 da ANVISA_MS_Brasil.
 Categoria Método de 
Produto Microrganismo Critério Aceitação ICMSF Análise
Queijos de baixa Coliformes/g FIL 73 A:
Umidade (45ºC) n=5 c=2 m=200 M=1000 5 1985
 Estafilococos
 Coag. Pos/g n=5 c=2 m=100 M=1000 5
 Salmonella sp/25g n=5 c= 0 Aus -
Queijo ralado Estafilococos FIL 145:
 coag. pos/g n=5 c=2 m=100 M=1000 5 1990
 Fungos e FIL 94B:
 Leveduras/g n=5 c=2 m=500 M=5000 2 1990
A Figura 8 é um esquema explicativo para escolha do tipo de plano de amostragem.
O MICRORGANISMO DE INTERESSE É MEDIDO POR:
MÉTODOS DE MÉTODOS DE CONTAGEM
PRESENÇA OU
AUSÊNCIA (+/-)
 PREFERENCIALMENTE
PLANOS DE PLANOS DE 3-CLASSES
2-CLASSES
PARA DETERMINAR PARA DETERMINAR Pa
Pa USAR AS TABELAS USAR TABELA ESPECÍFICA
NORMAIS BASEADAS BASEADA EM n, c, Pd, Pm
EM n, c, Pd
Figura 8 – Escolha entre os planos de 2-classes e de 3-classes.
22
5.4 - Desenvolvimento de Planos de Amostragem Simples por Atributos
5.4.1 - Considerações Gerais
As Tabelas dos sistemas se amostragem como as das normas NBR 5426 ou NBR
5429, sem prejuízo de outras disponíveis na literatura especializada, são muito úteis e, fre-
quentemente fornecem um plano de amostragem pronto ao operador de controle de qualida-
de, que atende às suas necessidades. Entretanto, na prática do dia a dia podem ocorrer situ-
ações em que nenhum plano preestabelecido atende a uma determinada condição, sendo,
portanto, necessário o desenvolvimento de um plano de amostragem, para atender a um
caso particular. 
A estatística dispõe de várias distribuições teóricas de variável aleatória discreta. Os
planos de amostragem por atributos são normalmente baseados em uma das três seguintes
distribuições teóricas de frequência: Hipergeométrica, Binomial ou de Poisson. A exceção
dos casos de lotes muito pequenos ou de proporção defeituosa muito grande (acima de
10%), a aproximação Binomial da distribuição de Poisson é inteiramente satisfatória, como
base para o desenvolvimento de planos de amostragem por atributos. Por esta razão este tó-
pico será discutido por meio da utilização de alguns exemplos, aplicando a distribuição de
Poisson. 
A seguir apresenta-se um resumo das três distribuições de variável aleatória discreta
acima citadas.
A distribuição hipergeométrica é aplicável em planos de amostragem por atributos para
lotes de tamanho finito, sem recolocar a amostra analisada no lote. As equações para a fun-
ção de probabilidade P(x) e função de distribuição acumulada F(x) são:
 N = tamanho do lote;
 n = tamanho da amostra, n = 0, 1, ..., N;
 p = fração de unidades defeituosas no lote, 0 < p < 1;
 q = fração de unidades não-defeituosas no lote, q = 1 - p; e
 x = número de ocorrências ou unidade de amostras defeituosas, xi =0, 1, 2, ..., n.
Uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica é, portanto, descrita pelos
parâmetros N, p e n. Para a distribuição hipergeométrica, a média e o desvio-padrão são de-
terminados pelas equações:
23
n
xn-
NqNp
N
x
C
CC
P(x)x)P(X 

xix
i
)f(xx)P(XF(x)
A distribuição binomial é uma das mais usadas em amostragem de aceitação/re-
jeição, pois complementa a distribuição hipergeométrica e é empregada para lotes ou pro-
cesso de tamanho infinito ou para lotes de tamanho finito, em que a amostra analisada é re-
colocada no lote. As equações para a função de probabilidade P(x) e função de distribuição
acumulada, pela binomial, F(x) são:
 n = tamanho da amostra, n > 0;
 p = fração de unidades defeituosas no lote, 0 < p < 1;
 q = fração de unidades não-defeituosas no lote, q = 1 - p; e
 x = número de ocorrências, xi = 0, 1, ..., n.
Os dados de uma amostra podem ser descritos através de uma distribuição binomial quando
satisfeitas as seguintes condições:
 há dois possíveis resultados por julgamento. Ex.: conforme vs não-conforme, acima
ou abaixo do padrão, entre outros.
 a proporção de defeituosos (p) no lote é constante, para um determinado tipo de re-
sultado, por exemplo, parte não-conforme; 
 independência dos julgamentos: cada julgamento é independente do resultado ante-
rior; e
 a partir da amostra n, deseja-se obter o número de observações que produzem o
tipo de ocorrência em questão.Nestas condições, uma variável aleatória tem distribuição binomial com parâmetros
n e p, isto é, X~B(n,p).
Para a distribuição binomial, a média e o desvio-padrão são determinados pelas
equações:
A distribuição de Poisson é muito usada em controle estatístico da qualidade para desen-
volvimento de planos de amostragem e para análise da contagem de defeitos nas unidades
de amostras. São condições para aplicação da distribuição de Poisson aos dados:
24

xx ii
)P(xx)P(XF(x)
xnxqpCP(x)x)P(X xn


npq
np




1N
nN
npqσ
np




 o número c de defeitos, adequadamente definido, a ser determinado no lote, em que
a distribuição permita igual oportunidade de ocorrência;
 os defeitos ocorrem independentemente; e
 o número máximo possível de defeitos na amostra é muito maior do que a média. 
As equações para a função de probabilidade P(x) e função de distribuição acumula-
da, por Poisson, F(x) são:

 λ é o número médio de defeitos, sendo λ = np;
 n = tamanho da amostra , n > 0;
 p = fração de unidades defeituosas no lote, 0 < p < 1; e
 x = número de ocorrências, xi = 0, 1, ..., n.
O parâmetro λ define uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Portanto, co-
nhecendo λ, pode-se encontrar a probabilidade para a ocorrência de qualquer número de de-
feitos. Sendo a média e o desvio-padrão para distribuição de Poisson assim representados:
 
5.4.2 - Desenvolvimento de Planos de Amostragem Simples por 
 Atributos Utilizando a Distribuição de Poisson 
Para o preparo dos planos de amostragem e das CCO que os descrevem, utiliza-se a
Tabela 27 (soma dos termos do limite binomial da distribuição de Poisson). Qualquer plano
de amostragem deve ter o tamanho do lote (N), do qual a amostra deve ser retirada, o tama-
nho da amostra (n), o número máximo aceitável de defeitos em uma amostra (c ou número
de aceitação) e o número de rejeição r. 
Também necessitam ser especificados "a priori" o risco do vendedor (Pa) e o risco do
comprador (Pc). Neste processo de desenvolvimento do plano de amostragem, o tamanho N
do lote não é levado em consideração. Sua influência está na decisão de se utilizar ou não a
distribuição de Poisson e no estabelecimento dos riscos do vendedor (Pa) e do comprador
(Pc). Por exemplo, se o tamanho do lote é 100, com um valor de CR$ 100.000,00 um risco
do comprador de 3% pode ser adequado, mas se o tamanho do lote é de N=1.000.000, com
um valor de Cr$ 10.000.000,00 o comprador pode desejar reduzir este risco para 1%, au-
mentando substancialmente o tamanho da amostra.
Exemplo 1. Lotes de N=1.000 garrafas de suco de maracujá têm fração defeituosa p’=0,04.
Calcular as probabilidades de aceitação (Pa) e de rejeição (Pc) de lotes, com amostras de
25

xx ii
)P(xx)P(XF(x)
x!
e
P(x)x)P(X
x


λσ
λμ


n=50 garrafas e c (número de aceitação) sucessivamente igual a 2, 3 ou 5. Utilize a função
de distribuição de Poisson, f(x) = e-m mX/X!, em que m = np’ = 50(0,04) = 2.
Solução. Para c=2, a Pa será dada por f(X 2), ou seja, a probabilidade de ocorrer até duas
unidades defeituosas numa amostra de 50 unidades. A Pc será dada por Pc = 1 - Pa.
Para c=2, f(X 2) = f(X=0) + f(X=1) + f(X=2)
 f(X 2) = e-2 20/0! + e-2 21/1! + e-2 22/2! 
 f(X 2) = e-2 + 2 . e-2 + 2 . e-2 = 5 . e-2 = 0,6767
 f(X 2) = 0,6767 ou 67,67%
Este valor de Pa pode ser obtido diretamente da Tabela 27, entrando na linha de np'= 2 e na
coluna de c = 2. 
Pc = 1 - Pa = 1 - 0,6767 = 0,3233 ou 32,33%
Assim, para c = 2 e n = 50 garrafas, a probabilidade de aceitação dos lotes é de 67,67% e a
probabilidade de rejeição de lotes é de 32,33%.
Para c = 3, f(X 3) = f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3)
 f(X 3) = f(X≤2) + f(X=3) = 0,6767 + e-2 23/3!
 f(X 3) = 0,6767 + 8/6 e-2 = 0,6767 + 0,1804 
 f(X 3) = 0,8571 ou 85,71%
Este valor de Pa pode ser obtido diretamente da Tabela 27, entrando na linha de np'= 2 e na
coluna de c = 3.
Pc = 1 - Pa = 1 - 0,8571 ou Pc = 0,1429 ou 14,29%
Assim, para c = 3 e n = 50 garrafas, a probabilidade de aceitação dos lotes é de 85,71% e a
probabilidade de rejeição de lotes é de 14,29%.
Para c = 5, f(X 5) = f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5)
 f(X 5) = f(X≤3) + f(x=4) + f(X=5)
 f(X 5) = 0,8571 + e-2 24/4! + e-2 25/5!
 f(X 5) = 0,8571 + 16/24 e-2 + 32/120 e-2 
 f(X 5) = 0,8571 + 0,0902 + 0,0361
 f(X 5) = 0,9834 ou Pa = 98,34%
26
Este valor de Pa pode ser obtido diretamente da Tabela 27, entrando na linha de np'= 2 e na
coluna de a = 5.
Pc = 1 - Pa = 1 - 0,9834 ou Pc = 0,0166 ou 1,66%.
Assim para c = 5 e n = 50 garrafas, a probabilidade de aceitação dos lotes é de 98,34% e a
probabilidade de rejeição de lotes é de 1,66%.
Exemplo 2. Um comprador aceita lotes de um determinado produto, no mínimo 95% das ve-
zes, se o nível verdadeiro de unidades defeituosas não exceder a 1%; isto é, Pa = 0,95 e p'=
0,01. Isto equivale a uma exigência de que o plano de amostragem deverá rejeitar lotes com
nível verdadeiro de unidades defeituosas de 1%, não mais do que 5% das vezes. Ele tam-
bém quer alguma segurança de que lotes contendo até 3% de unidades defeituosas não
passem na inspeção mais do que 10% das vezes; isto é, Pc = 0,10 e p'= 0,03. Isto equivale a
uma exigência de que lotes contendo até 3% de fração defeituosa serão rejeitados pelo me-
nos 90% das vezes. Desenvolva um plano de amostragem simples por atributos para satisfa-
zer a estas exigências. Explique a utilização do plano desenvolvido. Faça a Curva Caracte-
rística de Operação (CCO) para este plano. 
Solução. Para desenvolver o plano de amostragem será utilizada a Tabela 27, da soma de
probabilidades da distribuição de Poisson. Observa-se que a primeira coluna da Tabela 27 é
de np', isto é, o tamanho da amostra n, multiplicado pela fração defeituosa p'. 
Assim, para o risco do vendedor em que p'=0,01 tem-se np'= 0,01n. Da mesma for-
ma, para o risco do comprador em que p'=0,03 tem-se np'= 0,03n. O problema portanto, será
encontrar um tamanho de amostra n, que satisfaça simultaneamente as duas situações, ou
seja, que 0,01n seja aceitável a uma probabilidade de 0,95 e que 0,03n seja aceitável a uma
probabilidade de 0,10. 
Para seguir o processo completamente, constrói-se o Quadro 1 a seguir. Na primeira
coluna lista-se o número de aceitação, começando com c = 0. Na segunda coluna tem-se o
valor de np' tomado da Tabela 27 (soma das probabilidades da distribuição de Poisson) que
seja o mais próximo superior de 0,95 (de cima para baixo) para o valor particular do número
de aceitação c. Este valor de np' é dividido por p' (0,01 neste caso) para fornecer o tamanho
da amostra n correspondente à situação do risco do vendedor (Pa), mostrado na coluna 3.
 Na coluna 4 lista-se os valores de np' para o risco do comprador, também tomado da
27
Tabela 27, que seja o mais próximo inferior de Pc = 0,10 (de baixo para cima) para o valor
particular do número de aceitação c. Este valor de np' é dividido por p' (0,03 neste caso, a
fração defeituosa para o risco do comprador), para obter o tamanho da amostra n correspon-
dente à situação do risco do comprador (Pc), mostrado na coluna 5, do Quadro 1 a seguir.
Este procedimento para os riscos do vendedor e do comprador é repetido para cada número
de aceitação c, até que o tamanho da amostra n seja aceitável para as situações de risco do
vendedor e do comprador, isto é, quando elas forem iguais para os dois casos.
Quadro 1. Desenvolvimento do plano de amostragem para o problema
 em discussão, utilizando a Tabela de PoissonNúmero de Risco do Vendedor Risco do Comprador 
Aceitação Pa = 0,95 para p'= 0,01 Pc = 0,10 para p'= 0,03 
 c np' n = np'/p' np' n = np'/p'
 0 0,04 4 2,40 80
 1 0,35 35 4,00 133
 2 0,80 80 5,40 180
 3 1,30 130 6,80 227
 4 1,90 190 8,00 267
 5 2,60 260 9,50 317
 6 3,20 320 11,00 367
 7* 3,80 380 12,00 400
 8* 4,60 460 13,00 433
 9 5,40 540 14,50 483
Ao observar as colunas 3 e 5 do Quadro 1, tamanho de amostras para o risco do ven-
dedor e para o comprador, respectivamente, verifica-se que com o aumento do número de
aceitação c e tamanho da amostra n para os valores de Pa e Pc, os tamanhos das amostras
se aproximam até que se cruzam em algum ponto entre n=400 e n=460 com número de
aceitação entre c=7 e c=8. 
Assim, tem-se que um dos quatro planos a seguir irá satisfazer as condições de risco
do comprador e do vendedor:
28
Plano______n___ _c____ O melhor entre os quatro planos pode ser 
1) 380 7 determinado por um processo interativo,
2) 400 7 sendo escolhido aquele que mais se
3) 433 8 aproximar das condições pré-fixadas de
4) 460 8 risco e p' para o vendedor e de risco
--------------------------------- e p' para o comprador.
Para a escolha do melhor entre os quatro planos:
1) Fixa Pa=0,95; p'=0.01; (risco do vendedor e fração defeituosa, pré-estabelecidos anteri-
ormente); c = 7; n = 380 e resolve o sistema para Pc. Isto equivale a determinar o risco
do comprador ao utilizar este plano de amostragem, ou seja de n=380 c=7; se o valor
encontrado para Pc neste plano, se aproximar satisfatoriamente de Pc=0,10 (valor prees-
tabelecido), este será o melhor plano.
 
Assim, np'=(380)(0,03) = 11,4; Na Tabela 27 não se tem np'= 11,4; mas sim 11,0 ou 11,5. O
valor da probabilidade Pc, correspondente a np'= 11,4 e c = 7, pode ser determinada por
interpolação linear, com erro muito pequeno. 
Para np'= 11,0 tem-se Pc = 0,143 (coluna de c = 7 na Tabela 27) e para np'= 11,5 tem-se Pc
= 0,114. Fazendo-se a interpolação linear encontra-se que para np'= 11,4 o valor de Pc =
0,120. Portanto, o plano de n = 380 e c = 7, fornece um risco de 0,12 ou 12% para o com-
prador. Este valor é comparado a Pc = 0,10 ou 10% preestabelecido, o que resulta numa di-
ferença de 2% para mais. O comprador pode não estar disposto a assumir este acréscimo
de risco, necessitando portanto, verificar se existe um plano melhor.
2) Fixa Pa = 0,95; p'= 0,01; c = 8; n = 460 e resolve o sistema para PC. 
 Isto equivale a determinar o risco do comprador ao utilizar este plano de amostragem, ou
seja, n = 460 e c = 8. Se o valor encontrado para Pc neste plano, se aproximar satisfatoria-
mente de Pc = 0,10 (valor preestabelecido), este será o melhor plano.
 
Assim, np'= (460)(0,03) = 13,8; Na Tabela 27 não se tem np'= 13,8; mas sim 13,5 ou 14,0. O
valor da probabilidade Pc, correspondente a np'= 13,8 e c = 8, pode ser determinado por in-
terpolação linear, com erro praticamente desprezível. Para np'= 13,5 tem-se Pc = 0,079 (co-
luna de c = 8 na Tabela 27 e para np'= 14,0 tem-se Pc = 0,062. Fazendo-se a interpolação li -
near encontra-se que para np'= 13,8 o valor de Pc = 0,069 ou 6,9%. 
Portanto, o plano de n = 460 e c = 8 fornece um risco de 6,9% para o comprador. Este valor
é comparado a Pc = 0,10 ou 10%, preestabelecido, o que resulta numa diferença de 3,1%.
Este seria um plano bom, pois atende ao risco do vendedor e apresenta até um risco menor
que o pré-fixado, para o comprador. Entretanto, ele requer um maior tamanho de amostra, o
que resulta em maior custo da inspeção. Assim, há necessidade de se testar outro plano, en-
29
tre os disponíveis. 
3) Fixa Pc = 0,10; p'= 0,03 (valores pré-estabelecidos de risco e fração defeituosa para o
comprador); c = 7; n = 400 e resolve o sistema para Pa. Isto equivale a determinar o risco do
vendedor (Pa), ao utilizar este plano de amostragem, ou seja n = 400 e c = 7. Se o valor en-
contrado para Pa neste plano, se aproximar satisfatoriamente de Pa = 0,95 (valor pré-
fixado), este será o melhor plano. 
Assim, np'= (400)(0,01) = 4. Levando este valor de np'=4 na Tabela 27, coluna de c = 7, en-
contra-se o valor de Pa = 0,949 ou 94,9%. Comparando este valor com Pa = 95% (valor pré-
fixado) verifica-se que são muito próximos, com uma diferença de apenas 0,1%. Possivel-
mente este será o melhor entre os quatro planos. Entretanto, a título de exemplo, testa-se o
último dos quatro planos.
4) Fixa Pc = 0,10; p'= 0,03; c = 8; n = 433 e resolve o sistema para Pa.
 np'= (433)(0,01) = 4,33; Na Tabela 27 não se tem np'= 4,33; portanto há necessidade de
realizar uma interpolação. Para np'=4,2 na coluna de c = 8 tem-se Pa = 0,972 e para np'=
4,4 na mesma coluna, tem-se Pa = 0,964. Fazendo-se a interpolação encontra-se que Pa =
0,967 ou 96,7% para o plano de c = 8 e n = 433. 
 
Daí conclui-se que o melhor plano de amostragem é aquele de tamanho de amostra
n = 400 unidades e número de aceitação c = 7, testado no item 3 acima. 
Na sua utilização, coleta-se ao acaso 400 unidades em cada lote e analisa-se a amos-
tra; se forem encontradas até 7 unidades consideradas defeituosas, aceita-se o lote;
se forem encontradas 8 ou mais defeituosas na amostra de 400 unidades, rejeita-se o
lote.
 Definido o plano de amostragem deve-se montar a sua Curva Característica de Opera-
ção (CCO). Esta curva deverá fornecer as probabilidades de aceitação de lotes com diferen-
tes frações defeituosas médias ("fração defeituosa verdadeira do lote"). Assim, estabelece-se
"arbitrariamente" alguns valores de p’ (fração defeituosa média de lotes - percentagem de
unidades defeituosas) e as respectivas probabilidades de aceitação (Pa), com o auxílio da
Tabela 27 (soma de probabilidades da distribuição de Poisson) e plota-se em um gráfico de
Pa versus p’.
30
Para o desenvolvimento da CCO do plano de n = 400 e c =7, monta-se o Quadro 2 a
seguir, com auxílio da Tabela 27. Escolhe-se alguns valores de np', com suas respectivas
probabilidades obtidas na coluna de c = 7. A partir de p'= np'/n, obtém-se as respectivas fra-
ções defeituosas p’.
Para se obter a respectiva CCO, plota-se os valores de p(%) no eixo das abcissas
contra os valores de Pa(%) no eixo das ordenadas, dados do Quadro 2. As colunas 4 e 5 do
Quadro 2 podem ser consideradas uma Tabela Característica de Operação do plano de
amostragem de n = 400 e c = 7. A CCO pode ser obtida plotando esses dados, colunas 4 e
5. Observe nesta Tabela as probabilidades de aceitação de lotes com diferentes médias de
frações defeituosas.
Quadro 2. Valores de Pa (%) e de p (fração defeituosa) para montagem da CCO do plano de 
 amostragem c = 7 e n = 400.
Média de Probabilidade Fração c = 7 e n = 400
defeit. de aceitação defeituosa p’ 
 np' Pa (p'=np'/n) p(%) Pa(%)
 3,0 0,988 0,0075 0,75 98,8
 3,8 0,960 0,0095 0,95 96,0
 4,0 0,949 0,0100 1,00 94,9
 4,60,905 0,0115 1,15 90,5
 5,2 0,845 0,0130 1,30 84,5
 6,0 0,744 0,0150 1,50 74,4
 6,6 0,658 0,0165 1,65 65,8
 7,4 0,539 0,0185 1,85 53,9
 8,0 0,453 0,0200 2,00 45,3
 9,0 0,324 0,0225 2,25 32,4
10,0 0,220 0,0250 2,50 22,0
11,0 0,143 0,0275 2,75 14,3
12,0 0,090 0,0300 3,00 9,0
13,0 0,054 0,0325 3,25 5,4
14,0 0,032 0,0350 3,50 3,2
15,0 0,018 0.0375 3,75 1,8
17,0 0,005 0,0425 4,25 0,5
Exemplo 3. Descreva um plano de amostragem simples por atributos a ser utilizado na ins-
peção de lotes de 38.000 latas, para presença de defeitos na costura lateral. O risco do ven-
dedor é Pa = 0,90 com um nível de defeituosas p'= 0,02. O risco do comprador é Pc = 0,12
com um nível de defeituosas p'= 0,04.
a) Quais são os valores de n e de c ?
b) Desenhe a CCO do plano.
31
c) Qual é a probabilidade de aceitação de lotes cuja fração defeituosa média seja p’ =
0,01480 ?
Solução. a) Utiliza-se a Tabela 27 (Soma das probabilidades da distribuição de Poisson) para
montagem do Quadro 3 a seguir. A primeira coluna do Quadro 3 são números de aceitação,
começando a partir de zero. As colunas 2 e 3 são, respectivamente, np' e n correspondentes
ao risco e fração defeituosa do vendedor, Pa = 0,90 e p'= 0,02. As colunas 4 e 5 são, res-
pectivamente, np' e n correspondentes ao risco e fração defeituosa do comprador, Pc = 0,12
e p'= 0,04. Vale lembrar que ao retirar os valores de np' da Tabela 27, considera-se as proba-
bilidades mais próximas superiores de 0,90 (risco do vendedor) de cima para baixo, enquan-
to que para o risco do comprador considera-se os valores de probabilidade mais próximos in-
feriores de 0,12 (de baixo para cima). 
Pelos resultados do Quadro 3 observa-se que o plano de amostragem que satisfaz as
condições do vendedor e do comprador é aquele de n = 500 unidades com número de acei-
tação c = 14. Neste caso não há necessidade do exercício de interpolação para escolher o
melhor plano, uma vez que os planos de amostragem que satisfazem as condições do com-
prador e do vendedor foram coincidentes, para n = 500 e c = 14.
Assim, o uso do plano de amostragem será coletar ao acaso 500 latas em cada
lote e analisar para defeitos na costura lateral. Se forem encontradas até 14 delas com
defeito, aceita-se o lote; se forem encontradas 15 ou mais, rejeita-se o lote.
b) Para o desenvolvimento da CCO deste plano, monta-se o Quadro 4 a seguir. A primeira
coluna do Quadro 4 refere-se a alguns valores de np', "arbitrariamente" selecionados da Ta-
bela 27, de modo a fornecer probabilidades de aceitação (Pa), dado p’, no intervalo de 0 a
100%, com incrementos suficientemente pequenos, visando a um bom desenho da CCO. 
32
Quadro 3. Desenvolvimento do plano de amostragem para o exemplo 3, utilizando a 
 distribuição de Poisson.
Número de Risco do vendedor Risco do comprador
aceitação Pa = 0,90 para p'= 0,02 Pc = 0,12 para p'= 0,04
 c np' n = np'/p' np' n = np'/p'
 0 0,10 5 2,2 55
 1 0,50 25 3,8 95
 2 1,10 55 5,2 130
 3 1,70 85 6,4 160
 4 2,40 120 7,8 195
 5 3,00 150 9,0 225
 6 3,80 190 10,5 263
 7 4,60 230 11,5 288
 8 5,40 270 13,0 325
 9 6,20 310 14,0 350
 10 7,00 350 15,0 375
 11 7,80 390 17,0 425
 12 8,50 425 18,0 450
 13 9,00 450 19,0 475
 14 10,00 500 20,0 500
A segunda coluna do Quadro 4 são valores de Pa, também obtidos da Tabela 27, coluna de c
= 14, correspondentes aos valores de np' previamente selecionados. A terceira coluna do
Quadro 4 são valores de p' (fração defeituosa) obtidos a partir de p'= np'/n. A quarta e quinta
colunas do Quadro 4 são respectivamente, p' e Pa expressos em percentagem, para o dese-
nho da CCO. Para obtenção da CCO plota-se os dados do Quadro 4, em que p(%) é coloca-
do no eixo das abcissas e Pa(%) no eixo das ordenadas. Observe nas colunas 4 e 5 do
Quadro 4 as probabilidades de aceitação de lotes com diferentes frações defeituosas médi-
as.
Quadro 4. Valores de Pa(%) e de p (fração defeituosa) para montagem da CCO para o 
 plano de amostragem c = 14 e n = 500, do exemplo 3
Média de Probabilidade Fração c = 14 e n = 500
defeitos de aceitação defeituosa p
 np' Pa (p'= np'/n) p(%) Pa(%)
 6,2 0,998 0,0124 1,24 99,8 
 7,8 0,986 0,0156 1,56 98,6
 8,5 0,973 0,0170 1,70 97,3
 9,5 0,940 0,0190 1,90 94,0
 10,5 0,888 0,0210 2,10 88,8
 11,0 0,854 0,0220 2,20 85,4
 12,0 0,772 0,0240 2,40 77,2
 13,0 0,675 0,0260 2,60 67,5
 14,0 0,570 0,0280 2,80 57,0
 15,0 0,466 0,0300 3,00 46,6
 17,0 0,281 0,0340 3,40 28,1
 19,0 0,150 0,0380 3,80 15,0
 20,0 0,105 0,0400 4,00 10,5
 7,4 0,991 0,0148 1,48 99,1
33
5.5 - Sistema de Amostragem da Norma NBR 5426
Um dos sistemas de amostragem por atributos mais comumente utilizados é o descri-
to na norma NBR 5426, que é uma adaptação do "Military Standard-105D, americano. 
Conhecidos o tamanho do lote (N), o nível de qualidade aceitável (NQA) e um históri-
co sobre a qualidade do produto do referido fabricante ou fornecedor (seu sistema de garan-
tia de qualidade), podem ser determinados (por meio das Tabelas da NBR 5426) o tamanho
da amostra (n) e os limites de aceitação (c) ou de rejeição (r) do lote, para amostragem sim-
ples, dupla ou múltipla. 
Esses planos de amostragem são calculados com base no NQA, portanto privilegiam
o risco do vendedor. Assim, eles são recomendados para inspeções de lotes sucessivos, não
sendo aplicáveis para situações de lotes isolados. O risco do comprador é protegido pelo sis-
tema de comutação estabelecido pela norma.
Os riscos do comprador e do vendedor, para cada plano de amostragem, podem ser
determinados por meio da utilização das curvas características de operação (CCO) que
acompanham as Tabelas da norma. 
A utilização dessas Tabelas para o estabelecimento de planos de amostragem