Lista 3 de Geometria Analítica
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Lista 3 de Geometria Analítica


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MTM 5512 \u2013 GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof: Ro\u2c6mulo Maia Vermersch
3a Lista de Exerc´\u131cios - Retas e planos
Exerc´\u131cio 1. Escreva equac¸o\u2dces parame´tricas para a intersec¸a\u2dco dos planos:
(a) 2X + Y \u2212 Z = 0 e X + Y + Z = 1.
(b) X + 2Y = 1 e Z = 2.
Exerc´\u131cio 2. Determine o ponto de intersec¸a\u2dco da reta\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 1 + t
y = \u22122 (t \u2208 R)
z = 4 + 2t
com cada um dos seguintes planos:
(a) X \u2212 2Y + 3Z = 8
(b) 2X + Z = 5
(c) X = 2
Exerc´\u131cio 3. Verifique que a reta\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = \u22121 + t
y = 2 + 3t (t \u2208 R)
z = 5t
esta´ contida no plano 2X + Y \u2212 Z = 0.
Exerc´\u131cio 4. Verifique que a reta\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 2 + 2t
y = 1 + t (t \u2208 R)
z = 2 + 3t
na\u2dco intersecta o plano X + Y \u2212 Z = 3.
Exerc´\u131cio 5. Determine os valores de a e b para que as retas r e s dadas por\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 1 + at
y = 2 + bt (t \u2208 R)
z = \u22121 + 2t
e
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 2 + t
y = 1 + bt (t \u2208 R)
z = \u22121 + 2t
sejam
(a) paralelas
(b) concorrentes
(c) reversas
Exerc´\u131cio 6. Determine os valores de a, b e d para que o plano aX + bY + 3Z = d seja
(a) paralelo ao plano 2X + Y \u2212 5Z = 4
(b) igual ao plano 2X + Y \u2212 5Z = 4
Exerc´\u131cio 7. Verifique que as retas r e s dadas por\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 1 + t
y = 2\u2212 t (t \u2208 R)
z = 5 + t
e
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = \u22122 + 2t
y = \u22125 + 3t (t \u2208 R)
z = 2 + 2t
sa\u2dco concorrentes e determine uma equac¸a\u2dco para o plano deter-
minado por elas.
Exerc´\u131cio 8. Determine a dista\u2c6ncia do ponto (2, 1, 3) a cada um dos planos:
(a) X \u2212 2Y + Z = 1
(b) X + Y \u2212 Z = 0
(c) X \u2212 5Z = 8
Exerc´\u131cio 9. Determine:
(a) A dista\u2c6ncia do ponto (5, 4,\u22127) a` reta
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 1 + 5t
y = 2\u2212 t (t \u2208 R)
z = t
(b) A dista\u2c6ncia do ponto (2, 3, 5) a cada um dos eixos coordenados.
Exerc´\u131cio 10. Escreva uma equac¸a\u2dco do plano que conte´m o ponto (1,\u22122, 3) e e´ perpen-
dicular a cada um dos planos 2X + Y \u2212 Z = 2 e X \u2212 Y \u2212 Z = 3.
Exerc´\u131cio 11. Determine o a\u2c6ngulo entre a reta\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 3 + 3t
y = \u22121 + t (t \u2208 R)
z = \u22123 + 2t
e o plano 2X \u2212 Y + 2Z = 1.
Exerc´\u131cio 12. Determine o a\u2c6ngulo entre as retas\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 1 + 2t
y = 2\u2212 t (t \u2208 R)
z = 3 + t
e
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 4 + t
y = 2 + t (t \u2208 R)
z = 5 + t
Exerc´\u131cio 13. Determine o a\u2c6ngulo entre os planos 2X\u2212Y + 3Z = 0 e X+Y \u2212 8Z = 1.
Exerc´\u131cio 14. Verifique que qualquer ponto da reta\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 2
y = 2 + t (t \u2208 R)
z = 3\u2212 t
e´ equidistante dos pontos A(1, 2, 1), B(1, 4, 3) e C(3, 2, 1). Deter-
mine o ponto desta reta que esta´ mais pro´ximo desses pontos A, B e C.
Exerc´\u131cio 15. De\u2c6 a posic¸a\u2dco relativa das retas\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = 2\u2212 t
y = 1 + 3t (t \u2208 R)
z = 5 + t
e
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = t
y = 4t (t \u2208 R)
z = 2 + 3t
e calcule a dista\u2c6ncia entre elas.
Exerc´\u131cio 16. Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano X + Y + Z = 0 e
que forma um a\u2c6ngulo de pi
4
com o plano X = Y .
Exerc´\u131cio 17. Ache uma equac¸a\u2dco geral de um plano que conte´m a reta{
X = Z + 1
Y = Z \u2212 1 e que forma um a\u2c6ngulo de
pi
3
com o plano X + 2Y \u2212 3Z + 2 = 0.
Exerc´\u131cio 18. Ache os pontos da reta{
X + Y = 2
X = Y + Z
que distam
\u221a
6 do plano X \u2212 2Y \u2212 Z = 1.
Exerc´\u131cio 19. De\u2c6 uma equac¸a\u2dco geral do plano pi que conte´m a reta r : X = (1, 0, 1) +
t(1, 1,\u22121) (t \u2208 R) e dista \u221a2 do ponto P (1, 1,\u22121).