Lista 3 de Geometria Analítica

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MTM 5512 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof: Roˆmulo Maia Vermersch
3a Lista de Exerc´ıcios - Retas e planos
Exerc´ıcio 1. Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a intersec¸a˜o dos planos:
(a) 2X + Y − Z = 0 e X + Y + Z = 1.
(b) X + 2Y = 1 e Z = 2.
Exerc´ıcio 2. Determine o ponto de intersec¸a˜o da reta
x = 1 + t
y = −2 (t ∈ R)
z = 4 + 2t
com cada um dos seguintes planos:
(a) X − 2Y + 3Z = 8
(b) 2X + Z = 5
(c) X = 2
Exerc´ıcio 3. Verifique que a reta
x = −1 + t
y = 2 + 3t (t ∈ R)
z = 5t
esta´ contida no plano 2X + Y − Z = 0.
Exerc´ıcio 4. Verifique que a reta
x = 2 + 2t
y = 1 + t (t ∈ R)
z = 2 + 3t
na˜o intersecta o plano X + Y − Z = 3.
Exerc´ıcio 5. Determine os valores de a e b para que as retas r e s dadas por
x = 1 + at
y = 2 + bt (t ∈ R)
z = −1 + 2t
e

x = 2 + t
y = 1 + bt (t ∈ R)
z = −1 + 2t
sejam
(a) paralelas
(b) concorrentes
(c) reversas
Exerc´ıcio 6. Determine os valores de a, b e d para que o plano aX + bY + 3Z = d seja
(a) paralelo ao plano 2X + Y − 5Z = 4
(b) igual ao plano 2X + Y − 5Z = 4
Exerc´ıcio 7. Verifique que as retas r e s dadas por
x = 1 + t
y = 2− t (t ∈ R)
z = 5 + t
e

x = −2 + 2t
y = −5 + 3t (t ∈ R)
z = 2 + 2t
sa˜o concorrentes e determine uma equac¸a˜o para o plano deter-
minado por elas.
Exerc´ıcio 8. Determine a distaˆncia do ponto (2, 1, 3) a cada um dos planos:
(a) X − 2Y + Z = 1
(b) X + Y − Z = 0
(c) X − 5Z = 8
Exerc´ıcio 9. Determine:
(a) A distaˆncia do ponto (5, 4,−7) a` reta

x = 1 + 5t
y = 2− t (t ∈ R)
z = t
(b) A distaˆncia do ponto (2, 3, 5) a cada um dos eixos coordenados.
Exerc´ıcio 10. Escreva uma equac¸a˜o do plano que conte´m o ponto (1,−2, 3) e e´ perpen-
dicular a cada um dos planos 2X + Y − Z = 2 e X − Y − Z = 3.
Exerc´ıcio 11. Determine o aˆngulo entre a reta
x = 3 + 3t
y = −1 + t (t ∈ R)
z = −3 + 2t
e o plano 2X − Y + 2Z = 1.
Exerc´ıcio 12. Determine o aˆngulo entre as retas
x = 1 + 2t
y = 2− t (t ∈ R)
z = 3 + t
e

x = 4 + t
y = 2 + t (t ∈ R)
z = 5 + t
Exerc´ıcio 13. Determine o aˆngulo entre os planos 2X−Y + 3Z = 0 e X+Y − 8Z = 1.
Exerc´ıcio 14. Verifique que qualquer ponto da reta
x = 2
y = 2 + t (t ∈ R)
z = 3− t
e´ equidistante dos pontos A(1, 2, 1), B(1, 4, 3) e C(3, 2, 1). Deter-
mine o ponto desta reta que esta´ mais pro´ximo desses pontos A, B e C.
Exerc´ıcio 15. Deˆ a posic¸a˜o relativa das retas
x = 2− t
y = 1 + 3t (t ∈ R)
z = 5 + t
e

x = t
y = 4t (t ∈ R)
z = 2 + 3t
e calcule a distaˆncia entre elas.
Exerc´ıcio 16. Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano X + Y + Z = 0 e
que forma um aˆngulo de pi
4
com o plano X = Y .
Exerc´ıcio 17. Ache uma equac¸a˜o geral de um plano que conte´m a reta{
X = Z + 1
Y = Z − 1 e que forma um aˆngulo de
pi
3
com o plano X + 2Y − 3Z + 2 = 0.
Exerc´ıcio 18. Ache os pontos da reta{
X + Y = 2
X = Y + Z
que distam
√
6 do plano X − 2Y − Z = 1.
Exerc´ıcio 19. Deˆ uma equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m a reta r : X = (1, 0, 1) +
t(1, 1,−1) (t ∈ R) e dista √2 do ponto P (1, 1,−1).