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19/11/2023, 17:21 UNIRUY: Alunos
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Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
A interpretação das posições relativas entre os planos vai depender dos coe�cientes de suas equações.
Considerando os planos π1: ax + by + 4z - 1 = 0 e π2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos
sejam paralelos é, respectivamente:
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Lupa  
 
ARA1517_201851144731_TEMAS
Aluno: DALVAN BATISTA DOS SANTOS Matr.: 201851144731
Disc.: METOD.QUANTIT  2023.2 (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
RETAS E PLANOS
 
1.
-5 e 3.
6 e -10.
3 e -5.
-6 e 10.
-1 e 5.
Data Resp.: 19/11/2023 17:21:20
Explicação:
Temos que:
Para serem paralelos, pelo menos 3 coe�cientes devem ser proporcionais:
Igualando as coordenadas:
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (a, b, 4, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (3, −5, −2, 5)
(a, b, 4, −1) =∝ (3, −5, −2, 5)
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19/11/2023, 17:21 UNIRUY: Alunos
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O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até
mesmo a estética urbana. Considere as retas e como as equaçöes de
reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:
Substituindo , nas expressöes encontradas, temos:
Para os planos serem paralelos, , mas como sabemos que são paralelos distintos.
 
2.
60º.
45º.
30º.
90º.
120º.
Data Resp.: 19/11/2023 17:21:10
Explicação:
Sabemos que:
Do enunciado, tiramos:
Calculando o produto escalar:
Calculando os módulos:
Voltando, temos:
x → a = 3α
y → b = −5 ∝
z → 4 = −2 ∝→ α = −2
−1 =∝ 5
α = −2
a = −6
b = 10
−1 ≠ −10
a = −6eb = 10 −1 ≠ −10
r1 :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 3 + t
y = t
z = −1 − 2t
r1 : = y − 3 = 2
x+2
−2
cos θ =
∣
∣
→
r1 +
→
r2 ∣∣
∣
∣
→
r1 ∣∣
∣
∣
→
r2 ∣∣
→
r1 = (1, 1, −2)
→
r2 = (−2, 1, 1)
→
r1 ⋅
→
τ2 = (1, 1, −2) ⋅ (−2, 1, 1) = 1 × (−2) + 1 × 1 + (−2) × 1 = −3
∣
∣
→
r1 ∣∣ = √1
2 + 12 + (−2)2 = √6
∣
∣
→
r2 ∣∣ = √(−2)
2 + 12 + 12 = √6
19/11/2023, 17:21 UNIRUY: Alunos
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Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma
linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1,
2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.
Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, de�nida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o
plano α, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta
entre a reta r e o plano α:
 anngulo cujo cosseno é 
 
3.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 18/11/2023 20:02:44
Explicação:
Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano:
Onde: .
Substituindo:
Voltando
Logo,
 
4.
A reta r é paralela ao plano α.
A reta r está contida no plano α.
A reta r intercepta o plano α em um único ponto.
A reta r é perpendicular ao plano α.
A reta r e o plano α são coincidentes.
Data Resp.: 19/11/2023 17:21:03
cos θ = = = =
∣
∣
→
r1 ⋅
→
r2 ∣∣
∣
∣
→
r1 ∣∣
∣
∣
→
r2 ∣∣
| − 3|
√6 × √6
3
6
1
2
O  é 60∘12 logo, θ = 60
∘
r ∩ α = { , , −1}1
2
1
2
r ∩ α = { , , 1}1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}1
2
1
2
r ∩ α = {− , − , −1}1
2
1
2
r ∩ α = {− , , −1}1
2
1
2
x = −t, y = t, z = 2t
(−t, t, 2t)
−t + t + 2t = 1
t = 1/2
(−t, t, 2t)
(− , , 1)1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}1
2
1
2
19/11/2023, 17:21 UNIRUY: Alunos
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Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os planos e
, assinale o correto sobre a posiçäo relativa dos planos e .
Sejam o plano   e o plano  . Sabe que os planos
são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de
( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.
Explicação:
Para determinar a relação entre a reta r e o plano α, podemos veri�car se a reta intercepta o plano em algum
ponto. Substituindo as coordenadas dos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) na equação do plano α, obtemos duas
equações:
2x - y + 3z = 7
2(1) - 2 + 3(3) = 7
2(4) - 5 + 3(6) = 7
 
Simpli�cando, temos:
3 = 7 (falso)
19 = 7 (falso)
 
Como nenhuma das equações é verdadeira, concluímos que a reta r não está contida no plano α. Portanto, a reta
r intercepta o plano α em um único ponto.
 
 
5.
Paralelos distintos.
Paralelos concorrentes.
Paralelos reversos.
Transversais.
Paralelos coincidentes.
Data Resp.: 18/11/2023 20:03:01
Explicação:
Comparando os coe�cientes:
Como os très primeiros coe�cientes säo proporcionais, os planos säo paralelos distintos.
 
6.
π1 : 2x − y + z− 1 = 0
π2 : x − y + z − 9 = 0
1
2
1
2
π1 π2
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (2, −1, 1, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (1, − , , −9)
(2, −1, 1, −1) = α(1, − , , −9)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 = 1 ∝→ ∞ = 2
−1 = − ∝→ ∞ = 2
1 = ∝→ ∞ = 2
−1 = −9 ∝→ ∞ =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
9
π : ax + by + cz + d = 0 μ : 2x + y − z + 2 = 0
19/11/2023, 17:21 UNIRUY: Alunos
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Determine a distância entre a reta  e o ponto P(0, 2, 0)
A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na matemática em geral, e tem
amplas aplicações em diversos campos, desde navegação e geogra�a até física e engenharia.
Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os pontos e 
seja de 6.
1
0
2
3
4
Data Resp.: 19/11/2023 17:20:51
Explicação:
A resposta correta é: 2
 
7.
1
0
3
4
2
Data Resp.: 18/11/2023 20:03:13
Explicação:
A resposta correta é: 2
 
8.
4.
6.
2.
5.
3.
Data Resp.: 19/11/2023 17:20:22
Explicação:
A resposta correta é: 6
A distância pode ser calculada por:
= =x
2
y
2
z−1
1
A (2, −1, 2) B (k, 1, −2)
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
6 = √(k − 2)2 + (1 − (−1))2 + (−2 − 2)2
6 = √(k − 2)2 + 4 + 16
6 = √(k − 2)2 + 20
62 = (k − 2)2 + 20
19/11/2023, 17:21 UNIRUY: Alunos
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Determine o ponto de interseção da reta  com o plano 2x-y+z-3=0.
 
Determinar a distância entre um plano e um ponto no espaço tridimensional é um problema
comum na geometria analítica. Determine a distância entre o plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o ponto
P(1,1,1).
Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando um valor positivo, a
resposta é 6.
 
9.
I(1,-6,-11).
I(-1,6,11).
I(-11,6,1).
I(-1,-6,-11).
I(6,6,11).
Data Resp.: 19/11/2023 17:20:30
Explicação:
A opção correta é: I(-1,6,11).
Determinando as coordenadas:
O ponto de interseção é I(-1,6,11).
 
10.
36 = (k − 2)2 + 20
(k − 2)2 = 36 − 20
(k − 2)2 = 16
k − 2 = ±4
k′ = 2 + 4 = 6
k′′ = 2 − 4 = −2
r :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 1 + γ
y = 2 − 2γ
z = 5 − 3γ
2x − y + z − 3 = 0
2(1 + γ) − (2 − 2γ) + 5 − 3γ − 3 = 0
2 + 2γ − 2 + 2γ + 5 − 3γ − 3 = 0
γ = −2
x = 1 + γ = 1 + (−2) = −1
y = 2 − 2γ = 2 − 2(−2) = 6
z = 5 − 3γ = 5 − 3(−2) = 11
.
4√17
17
.
2√17
17
19/11/2023, 17:21 UNIRUY: Alunos
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Data Resp.: 19/11/2023 17:20:38
Explicação:
A resposta correta é: 
A fórmula para calcular a distância entre um plano e um ponto:
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 18/11/2023 20:01:18.
.
√17
17
.
3√17
17
.
5√17
17
.
2√17
17
D =
|Ax0+By0+Cz0+D|
√A2+B2+C2
D =
|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|
√22+22+(−3)2
D =
|2+2−3+1|
√4+4+9
D =
|2|
√17
D = ⋅
|2|
√17
√17
√17
D =
2√17
17