Lista 2

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Campus de 
Ilha Solteira 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“Júlio de Mesquita Filho” 
Faculdade de Engenharia 
Departamento de Matemática 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear: 2o Semestre 2020 
2a Lista De Exercícios 
 
(1) Determine as coordenadas de Q, simétrico de P = (1, 0, 3) em relação a M = (1, 2, -
1); 
(2) São dados os pontos B = (-5, 0, -3) e C = (-4, -5, 6). Determine as equações vetorial 
e paramétrica para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha sua forma 
simétrica, se existir. O ponto D = (-3, 0, 1) pertence a essa reta? 
 
(3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A = (-2, 3, -2) e tem a direção 
do vetor (3, 0 2). Interprete geometricamente o que foi obtido. 
 
(4) Determine as equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (-2, 1, 
3) e é paralela à reta
6
3z
4
y3
5
x1
:s
+
==
−
. 
 
(5) Verifique se são concorrentes as retas e 





−=
+=
−=



22z
2y
49x
:s . Se forem, 
determine sua interseção. 
 
(6) Determinar uma reta que passa pelo ponto A = (-2, 1, 3) e que seja simultaneamente 
ortogonal às retas 





−=
+=
−=



3z
21y
2x
:s e r: 2y;
1
z
3
1x
=
−
=
−
−
.
 
 
 
(7) Dados A = (0, 2, 1) e r: X = (0, 2, -2) + (1, -1,2), ache os pontos de r que distam 
3 de A. Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual 
a 3 e porque. 
 
(8) Determine uma equação vetorial para o plano 





−=
+=
−=



3z
21y
2x
:s e obtenha três pontos 
não colineares nesse plano. 
 
(9) Obtenha uma equação geral para o plano que contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (-
1, 0, 1) e C = (2, 1, 2). 
 





+=
−=
+=



1z
1y
4x
r :
 
 
 
 
2 
(10) Obtenha equações paramétricas do plano x + 2y – z - 1 = 0. 
 
(11) Obtenha um vetor normal ao plano  nos seguintes casos: 
(i.)  passa pelos pontos A = (-1, 1, 2), B = (1, 0, -3) e C = (1, -2, 3); 
(ii.)  tem equações paramétricas ; 
(iii.)  tem equação geral 3x - 5y + 4z + 2 = 0. 
 
(12) Obtenha uma equação geral do plano  que passa pelo ponto P = (1, -1, 0) e é 
paralelo a 1 : x - y + 2z + 1 = 0. 
 
(13) Dê uma equação geral do plano  que passa pela origem e é perpendicular à reta 
que passa por A = (1, -1, 2) e B = (-2, 1, -3). 
 
(14) Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A = (1, 2,3) e é perpendicular 
ao plano : 2x + y - 3z = 1. 
 
(15) Obtenha a interseção de r: X = (0, 1, 1) + (2, 1, 3) com o plano : x + y + z = 
20. 
 
(16) Ache a equação paramétrica da interseção entre os planos e 
. 
 
(17) Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao 
plano . 
 
(18) Determine uma equação do plano que contém o ponto P = (1, 1, -3) e a reta 
. 
 
(19) Seja  o plano que contém a reta r: X = (1, 1, 0) + (1, 2, 3) e é transversal aos 
eixos coordenados 0y e 0z, interceptando-os, respectivamente, nos pontos A e B. 
Considere que o sistema de coordenadas utilizado seja ortogonal. 
(a) Obtenha uma equação da reta r dada pela interseção de dois planos; 
(b) Obtenha a equação do feixe de planos que contém a reta r; 





+−=
+−=
−=



4z
31y
21x





−−=
−=
+=



z
2y
1x
:1





−=
+=
−+=




3z
2y
1x
:2





=
+=
−−=




z
y
1x
:



=++
=+−
0zyx
02yx
:r
 
 
 
 
3 
(c) Obtenha uma equação geral do plano , sabendo que 0, A e B são vértices de 
um triângulo isósceles. 
 
(20) Obtenha uma equação geral do plano  que passa pelo ponto P = (-1, -1, 0) e 
contém a reta r: X = (0, 2, 2) + (1, 1, -1). 
 
(21) Obtenha a equação geral do plano , que contém o eixo dos x e é perpendicular à 
reta r: X = (1, 1, -1) + (0, -2, 1). 
 
(22) Obtenha a interseção entre a reta x = (1, 0, 1) + (2, 1, 3) e o plano x + y + z = 20. 
 
(23) Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos: 
(i.) r: X = (1, -1, 2) + (-2, 3, -1) e 



=−+
=+
6zyx
3zy
:s ; 
(ii.) r: X = (5, -1, 3) + (2, -1, -3) e s: X = (3, -4, 0)+ (1, -2, 2); 
(iii.) zy
2
1x
:r −==
+
 e 



=−−
=−+
0z2yx2
1z3yx
:s . 
 
(24) Determine m para que as retas r:X = (-1, 0, -2) + (2, -1, 1) e s: X = (0, 1, -1) + 
(1, m, 2m) sejam coplanares, e nesse caso estude a posição relativa das mesmas. 
 
(25) Estude a posição relativa da reta r e do plano  nos seguintes casos: 
(i.) r: X = (1, -1, -2) + (0, -3, 1), : x - 2y -4z = 5; 
(ii.) r:X = (0, 1, 0) + (1, -4, 1), : X = (1, -1, -2) + (1, 1, -2) + (3, -1,0). 
 
(26) Calcule m para que a reta r:
m
z
2
y
m
1x
==
−
 seja transversal ao plano : -3x + my + 
2z = 0. Determine o ponto de interseção. 
 
(27) Estude a posição relativa entre os planos 1 : 4x - y + 5z - 1 = 0 e 2 : X = (1, 0, 1) 
+ (1, -1, 3) + (-1, 2, -1). 
 
(28) Calcule m para que os planos 1 : X = (1, 1, 1) + (m, 1, 2) + (1, -1, m) e 2 : 2x 
-y + 2z -7 = 0 sejam paralelos distintos. 
 
(29) Obtenha uma equação vetorial para a reta t nos seguintes casos: 
(i) Que passa por P = (1, 0, -3) e é concorrente com as retas 



=+−
=+−−
04zx2
05zyx
:r e 
3
z
3
2y
2
3x
:s =
−
=
−
; 
(ii) Que passa por P = (3, -2, 1) e é concorrente com as retas r: X = (-1, 0, 1) +  
(2, -1, 2) e s: X = (-5, -2, 3) + (1, 0 -1). 
 
 
 
 
 
4 
(30) Obtenha uma equação vetorial da reta t, contida no plano :x - y + z = 0, e que é 
concorrente com as retas 



=
=++
yx
2z2yx
:r e 



=
+=
0y
2xz
:s . 
 
(31) Verifique se as retas r: X = (1, 2,3) + (1, 2, 1) e s: X = (2, 4, 4,) + (-1, 1, -1) são 
ortogonais. Em caso afirmativo, se são também perpendiculares. Caso sejam 
perpendiculares, determinar a interseção. 
 
(32) Dê a equação paramétrica da reta que passa por P = (1, 0, 1) e é perpendicular à 
reta r que passa por A = (1, 0, -1) e B = (1, 2, 0). 
(33) Verifique se a reta 



=−+
=++
0zyx2
1zyx
 é perpendicular a : 2x - y + 3z = -1. 
 
(34) Ache uma equação geral do plano  que passa por P = (3, 2, -1) e é perpendicular 
à reta r: 



=−+−
=+−
01zy3x2
0zy2x . 
 
(35) Ache uma equação geral do plano  que passa por (-1, 2, 0) e é perpendicular aos 
planos 0 4 3z -2y x : 1 =++ e 0 1 -16z 4y 8x : 2 =++ . 
 
(36) Ache a medida, em radianos, do ângulo entre as retas += 1),- 1, (0, 9) 1, (1, x : r  e 



+=
−=+
8 3z 
y3 1 2x
 : s . 
 
(37) Ache a medida, em radianos, do ângulo entre a reta 0) 1,- t(-1, 0) 1, (0, x : r += , 
 t e o plano 0 8 -z -2y x : =+ . 
 
(38) Obtenha as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P = (1, -1, 1), é 
paralela ao plano 0 z -2y x : 1 =+ e forma com o plano 1 z 2 y x : 2 =+− um 
ângulo de rd 3
 . 
 
(39) Ache a medida do ângulo entre os planos 10 3z 2y 3x : 1 =+− e 0 5z 2y x- : 2 =++
. 
 
(40) Obtenha uma equação geral do plano  que contém a reta 



=+
=+
0 7z 5y - 3x
0 2z 2y - x 
 : r e 
forma com 0 z 2 x : 1 =− um ângulo de rd 4
 . 
 
(41) Ache os pontos da reta 



+=
=+
z y x
2 y x
 : r que distam 3 u. c. do ponto A = (-2, 0, 1). 
 
 
 
 
 
5 
(42) Calcule a distância do ponto A= (1, -2, 1) ao plano 2), 1,- (0, 2) 2, (1, 1) 0, (2, x  ++= 
 ,  . 
 
(43) Calcule a distância entre as retas paralelas += t 1) , - t(-2, 1)- 0, (1, x : r
2
1 e 
+= m 1), , - m(-2, 2)- 1, (1, x : s
2
1 . 
 
(44) Calcule a distância entre as retas reversas += t 1), 3, (1, t 0) 2, (-1, x : r e 



=
=
0 2 -z - y
0 3 -2z - x3
 : s . 
 
(45) Dadas as retas r: X = (0, 0, 1) + (1, 1, 1) e s: X = (0, 0, 0) + (0, 1, 0) e os pontos 
P = (0, 1, 1) e Q = (0, 1, 2), obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P, 
é concorrente com r e eqüidista de Q e s. 
 
(46) Calcule a distância entre os planos, 





=
==
 , ,
 z 
 y 
 - - 2 x
 : 1 



 e 
2
5
 z 3y - 2x : 2 =+ .