Resistencia dos materiais 2 P2

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Torção = momento(torque) e a distância é Radial( raio) a unidade então é radiano.
 (σ) 
Tensão mínima= não tiver material no centro da peça será = 0
p/Eixo Sólidos
p/Eixo Tubular
Ângulo de torção 
* G(Módulo de elasticidade ao cisalhamento)
Quando o torque não for constante fazer o somatório das áreas dos módulos de elasticidade. quanto maior o raio + deformação cisalhante.
Condição de compatibilidade: estaticamente indeterminados carregados por toque, usa-se a técnica de definir os apoios como fixos.
Torção eixos maciços não circulares:
 Ʈ = tensão máxima Ф = ângulo de torção
 Quadrado Ʈ max.=4,81*T÷ a3 | Ф=7,10*T*L ÷ a4*G
Retangular= Ʈ max=T÷ C1*a*b2 | Ф=T *L ÷ C2*a*b3 *G
Triângulo eqüilátero= Ʈ max=20*T÷ a3 | Ф=46*T*L ÷ a4*G
 ellipse= Ʈ max=2*T÷ π *a* b3 | Ф=(a2* b2 )*T*L ÷ π *a3 *b3*G
Quando o momento é plástico A1=A2 Então a linha deu três irá estar no meio da peça( dividir a área em dois)
 Se aumentar o diâmetro e a peça circular ficar OCA, Diminuir o peso da estrutura.
 mas não é a região central da Viga que sofre o maior tensão de cisalhamento.
Torção
1) Um eixo circular vazado de Aço tem comprimento L= 15 metros e diâmetro interno e externo respectivamente 40 e 60 mm . a) Qual é o momento máximo de torção que pode ser aplicado ao eixo para que as tensões de cisalhamento não excedam 120 Mega Pascoal? 
Ʈmáx.=120x ; diâmetro Ext.=60 mm p/m ÷ 1000 = 0,06 m ; diâmetro Interno =40 mm p/m ÷ 1000 = 0,04 m	Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,06 m ÷ 2 = 0,03 m ; C Interno =0,04 m ÷ 2 = 0,02 . p/Eixo Tubular
 → → 
 → T .= → T = 4,8xN/m ou 4,8 kN/m torque ou momento necessário. 
 b) Qual é o valor máximo de cisalhamento para esse caso?
 → Ʈ mÍn. = 120x * → Ʈ mín. = 80x Pa ou 80 MPa.
2) O eixo circular BC é vazado e tem diâmetro de 90 mm e 120 MM respectivamente interno e externo os eixos A B e C D são maciços com diâmetros ”d”. 
 Ta= 6 kN/M d Tb=14 kN/m d
. 
 120 mm 
 0,9 m 0,7 m 0,5 m 
a) Determinar para o carregamento indicado. A o valor máximo e valor mínimo da tensão de cisalhamento no eixo BC?
Ʈmáx.=120x ; diâmetro Ext.=120 mm p/m ÷ 1000 = 0,12 m ; diâmetro Interno =90 mm p/m ÷ 1000 = 0,09 m	Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,12 m ÷ 2 = 0,06 m ; C Interno =0,09 m ÷ 2 = 0,045 . p/Eixo Tubular
Secionar o elemento p/ver qual o esforço agindo em cada seção.
 6 14 Resultante 20 kN/m
 T = 20 kN/m ou 20x
 N/m ou 86,33 MPa 
 Pa ou 64,75 MPa.
b) Qual é o diâmetro necessário nos eixos A B e C D se a tensão admissível no material é de 65 Mega Pascal?
 
 → C= 0,0008386 ou 8,386x m
Ângulo de Torção
3) Considere o eixo abaixo submetido a 4 torque. determine o ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade D?
 A B C D
20 mm 80 150 60 10 (kN/m)
 0,8 0,5 0,8 (m)
Secionar o elemento p/ver o Torque em cada seção.
Seção AB - 80 = 80 Resultante 80 kN/m
 Seção AB → T = 80 kN/m ou 80x N/m
Seção BC 80 - 150 = - 70 Resultante - 70 kN/m
 Seção BC →T = - 70 kN/m ou - 70xN/m
Seção CD 10 = - 10 Resultante - 10 kN/m
 Seção CD → T = - 10 kN/m ou - 10x N/m
Saindo da peça Positivo é Entrando na peça e Negativo 
diâmetro Ext.= 20 mm p/m ÷ 1000 = 0,02 m ; C =0,02 m ÷ 2 = 0,01 . p/Eixo Sólidos
 → → 1,57 x . Seção AB Seção BC Seção CD → → Ф= 27,17662081+ (- 14,86199575x) + (- 3,397027601) → Ф= 8,92 rad 180º ------ π rad . Ф ------ 8,92 rad → Ф = → Ф = 511 º 
Torção Elementos Estaticamente Indeterminados 4) Determine as reações nos apoios fixos A e B ( usar equação de compatibilidade)? tb A D=500 N/m
 C=800 N/m B tb . 0,3 1,5 0,2 (m)
Σ Mx=0 ∴ - Ta+500 - 800 -Tb = 0 Ф AB = 0 (Equação de compatibilidade) . . Seção AD Seção DC Seção CB Ф=Σ = 0 assim = 0 
 → → = - 750 antes Ta + Tb = 300 Isolar um dos termos Tb= 300 - Ta → → → 
5) O eixo composto( 2 materiais) tem núcleo de Aço recoberto com tubo de alumínio. sabendo que a máxima tensão do Alumínio + 60 Mega Pascoal, determine o valor máximo da tensão de cisalhamento no núcleo de Aço, Tem sim G do Aço = 80 GPa; G alumínio = 27 GPa?
Torque Aço Alumínio 
 60(mm) . 80(mm) 2 m
Ф Aço = Ф Alumínio (Equação de compatibilidade)
Ʈmáx. Aço=? ; Ʈmáx. Alumínio =60x; diâmetro Ext.=80 mm p/m ÷ 1000 = 0,08 m ; diâmetro Interno =60 mm p/m ÷ 1000 = 0,06 m	 Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,08 m ÷ 2 = 0,04 m ; C Interno =0,06 m ÷ 2 = 0,03 . p/Eixo Tubular
 
Ʈ máx. = → → Ʈ 𝑚á𝑥. = 0,22243
Torção Eixos maciços não Circulares 6)Determine omaior torque que pode ser aplicado considerando, tensão admissível igual a 56 Mega Pa, (Ф)rotação admissível = 0,02 radianos, G = 26 GPa? 
 T
 1,2 40 mm
Ʈ adm.=56 MPa ou 56xPa ; Ф adm. = 0,02 rad 
Triângulo eqüilátero= Ʈ max= | Ф=
56x = → T= → T = 179,2 N/m
Ф= → 0,02 = → 0,02* = T* 55,20 → 1331,2 = T* 55,20 → T = → T= 24,12 N/m
A Ʈ máxima menor prevalece que a Ʈ=24,12 N/m restrita pela (Ф)Rotação de 0,02 radianos
7) A extremidade B da barra de aço inoxidável indica giro de 2% pela ação do torque (T). sabendo-se que G= 80 GPa determine a máxima tensão de cisalhamento na Barra? . 20 mm A a . 30 mm b 
 750 mm B
1º ------ = 0,01745 2º = → 2º = 0,0349 rad
Ф = → 0,035 = → = T → = 175,43 N/m
8) Determinar em cada uma das Barras o maior valor de torque T que pode ser aplicado, e o correspondente ângulo de torção, adotar (Ʈ) tensão admissível = 35 MPa e G = 40 GPa. a) Maior dimensão? 
 → 35x = 
→ 35x * 0,208 * 0,05 * = → T = 910 N/m
 
180º ------ π rad . . Ф ------ 0,0084 rad → Ф = → Ф = 0,4812 º ; Ф = 0,48º
b ) Menor dimensão?
→ N|m ou 0,0092 rad 
180º ------ π rad . Ф ------ 0,0092 rad → Ф = → Ф = 0,5271 º Ф = 0,52º
Os dois eixos maciços de aço mostrados na figura estão interligados por meio das engrenagens engrenadas. Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o (T) torque= 45 N/m. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm.
Dados: T = 45 N/m; G=80xPa; Diâmetro Ext.= 20 mm p/m ÷ 1000 = 0,02 m Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,02 m ÷ 2 = 0,01 m ; 
Engrenagem AB= 150 mm p/m ÷1000= 0,150 m Engrenagem DC= 75 mm p/m ÷1000= 0,075 m Engrenagem AB: Força = Momento(Torque) ÷ Distância → . = 300 N Engrenagem DC: F = = 22,5 N/m 
p/Eixo Sólidos
Ф Seção CD → → Ф cd = 2,687x → Ф cd = 0,0268 rad
Ф b*c= Ф c*c → Ф b*(0,15)= 0,0268*(0,075) → Ф b= → Ф b= 0,0134 rad Seção AB → Ф ab= 7,165x Ф ab = 0,0716 rad Ф a= Ф ab + Ф b → Ф a= 0,0716 + 0,0134→ Ф b= 0,0850 rad 
O eixo tubular de transmissão para a hélice de um aero deslizador tem (L) comprimento = 6 m. Se o motor transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25 rad/s, determine o diâmetro interno exigido para o eixo, considerando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está em operação? Considere τ adm. = 90 MPa e G = 75 GPa. 
Ʈ adm.= 90x ; G= 90x ; L=6 m; W=25 rad/s; P= 4 MW; Diâmetro Ext.=250 mm p/m ÷ 1000 = 0,250 m ; Centro ou Raio= diâmetro ÷ 2 então C Ext.= 0,250 m ÷ 2 = 0,125m ; Diâmetro Interno? 
 p/Torque → P=T*W → T= P ÷ W → T = → T = 160xN/m. . p/Eixo Tubular
J=
→ 
 Assim teremos Duas INCÓGNITAS 
Ʈ = →
 →
 → 
 → 
 → 
→ → C interno = 0,10059 m C interno = Diâmetro interno ÷ 2 , então 0,10059 = Diâmetro interno ÷ 2 → Diâmetro interno = 0,10059 * 2 → Diâmetro interno = 0,20118 m 
 C Interno= 0,10059 m; C Externo= 0,125 m
 → → J= 2,2267x Ф = → Ф = → Ф = 0,0574 rad 
 → Ф = 3,28 º → Ф ≅ 3,30 º
 . Ф _______ 0,0574 rad 
. Flexão Plástica ou Inelástica
Uma barra é constituída de material elastoplástico com tensão de escoamento de 240 MPa e tem seção Transversal indicada abaixo. Determinar seu momento plástico. 
 LN → (Linha Neutra)
Ha( Linha Neutra será a metade da área total, assim na A1=A2
A total= (100*20)+(20*80)+(60*20) = 4800 ÷ 2 = 2400 
 → (100*20) + (20* )=2400 → → 20 mm
 R1
 R2
 R3
 R4
R1 = σ *A1 → R1 = 240 * (0,1 * 0,02) → R1 = 480xou 480 kN
R2 = σ *A1 → R2 =240 * (0,02 * 0,02) → R1 = 96x ou 96 kN
R3 = σ *A1 → R3 =240 * (0,02 * 0,06) → R1 = 288x ou 288 kN
R4 = σ *A1 → R4 =240 * (0,02 * 0,06) → R1 = 288x ou 288 kN
 → Momento Plástico= (480*(40 - ()+ (96*(0,01) + (288*(0,03)) + (288 *(0,07) → Momento Plástico = 44,16x ou 44,16 kN/m
Flexão Pura
Para a viga constituída de perfil de aço laminado com abas largas e submetida ao carregamento indicado. determine a máxima tensão normal na seção localizada no meio do vão.
 
diâmetro (e a distância até a linha neutra)
 → 
 ]
→ 
 → → kN/M ou 12000 kN/cm
C=d ÷ 2 → C= → C= 203,5 m converter para (cm) ÷ 100 → C=2,035 m
σ máx. = → σ máx. = → σ máx.= 1,146 N/ p/ * 1000 → 1.146 N/
Modulo de Resistência a Flexão (momento estático) 
W =→ W= W=