lista vetores

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Exercícios: Vetores
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
1. Na figura a seguir, representa-se um paralelepípedo ABCDEFGH, sendo ~u =
−→
AB, ~v =
−−→
AD e
~w =
−→
AE.
~u
~v~w
A B
C
D
E
F
GH
Exprima
−−→
HB e
−−→
DF em função de ~u, ~v, ~w.
2. Determine a soma dos vetores indicados em cada caso.
(a)
A
B
C
D
(b)
A
B
C
D
(c)
A
B
C
D
(d)
A
B
C
D
E
F
G
H
3. Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso.
(a)
A B
C D
E
F
G
H
(b)
A B
CD
E
F
G
H
I
J
L
M
(c)
A B
CD
E F
GH
O
4. Determine o vetor ~x em cada caso:
A B
C D
E
F
G
H
(a) ~x =
−−→
GH −−−→HE −−→FE +−→AE +−→AB
(b) ~x =
−−→
HD −−→CF +−−→DG+−−→BC +−→AF −−−→BE
(c) ~x =
−→
AB +
−−→
HG+
−→
AC +
−−→
DF +
−−→
CE +
−−→
BD
5. Em cada caso, determine a soma dos vetores indicados. (Suponha que os hexágonos são regulares.)
(a)
A B
C
DE
F
O
(b)
A B
C
DE
F
O
(c)
A B
C
DE
F
O
(d)
A B
C
DE
F
O
6. Calcule a soma dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com origem em
cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular.
7. Quais são a origem e a extremidade de um representante do vetor
−−→
BC +
−−→
GH − −→FA − −→GC + −−→FB?
(Você não vai precisar de nenhuma figura para chegar à resposta correta.)
8. Sejam ~u =
−→
AB, ~v =
−−→
AH, ~w =
−→
AC.
A B
C D
E
F
G
H
Obtenha representantes dos vetores ~x e ~y tais que ~u+ ~v + ~x = ~0 e ~u+ ~v + ~w + ~y = ~0.
9. Dado ~u não-nulo, obtenha ~v de norma 6 tal que ~u e ~v sejam paralelos e de mesmo sentido.
10. Sendo ~u, ~v e ~w representados na figura abaixo, represente ~x = 2~u−~v+ 5
4
~w por uma flecha de origem
O.
~u
~v
~w
O
11. Na figura abaixo representa-se um hexágono regular ABCDEF .
A B
C
DE
F
O ~u
~v
~w
Determine X, sabendo que
−−→
CX = −3~u+ 2~v + 3
2
~w.
12. Na figura abaixo está representado um paralelepípedo.
A B
C
D
E F
GH
Sendo M tal que
−−→
BM =
−−→
BG
2
, indique a ponta da flecha de origem H que corresponde ao vetor
−−→
HB
2
+
−→
AB
3
− −−→CD
6
.
13. Resolva, na incógnita ~x, a equação 2~x− 3~u = 10(~x+ ~v).
14. Resolva os sistemas nas incógnitas ~x e ~y:
(a)
{
~x + 2~y = ~u
3~x − ~y = 2~u+ ~v (b)
{
~x + ~y = ~u− 2~v
~x − ~y = 3~u
15. Resolva o sistema nas incógnitas ~x, ~y e ~z:

~x + ~y − ~z = ~u+ ~v
~x − ~y + ~z = ~u− ~v
−~x + ~y + ~z = ~0
16. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~w tal que
(a) 4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w (b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)
17. Dados os pontos A = (−1, 3), B = (2, 5) e C = (3,−1), calcular −→OA−−→AB, −→OC−−−→BC e 3−→BA−4−−→CB.
18. Sabendo que (x, y, x− y) = (x2, y2, x+ y), calcule x2 + y2 − x.
19. Sendo ~u = (1,−1, 3), ~v = (2, 1, 3), ~w = (−1,−1, 4), determine a tripla de coordenadas de:
(a) ~u+ ~v (b) ~u− 2~v (c) ~u+ 2~v − 3~w
20. Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4)− ~v.
21. Verifique se ~u e ~v são paralelos.
(a) ~u = (0, 1, 0), ~v = (1, 0, 1)
(b) ~u = (0, 11, 1), ~v = (0,−22,−2)
(c) ~u = (0, 1, 1), ~v = (0, 3, 1)
(d) ~u = (1,−3, 14), ~v = ( 1
14
,− 3
14
, 1
)
22. Determine m e n tais que ~u e ~v sejam paralelos, sendo ~u = (1,m, n+ 1) e ~v = (m,n, 10).
23. Calcule m para que os vetores sejam paralelos.
(a) ~u = (m, 1,m), ~v = (1,m, 1) (b) ~u = (1−m2, 1−m, 0), ~v = (m,m,m)
24. Calcule ‖~u‖, nos casos:
(a) ~u = (1, 1, 1) (b) ~u = −~i+~j (c) ~u = 3~i+ 4~k (d) ~u = −4~i+ 2~j − ~k
Respostas
1.
−−→
HB = ~u− ~v − ~w; −−→DF = ~u− ~v + ~w
2. a)
−−→
AD
b)
−→
0
c)
−−→
AD
d)
−→
AC
3. a)
−→
AF
b)
−→
BL
c)
−→
AF
4. a)
−→
AG
c)
−−→
HD
b) 2
−→
AF
5. a)
−→
EA
b)
−→
FC
c)
−→
FC
d)
−−→
OD
6.
−→
0
7. A e H
8. x =
−→
GA; y =
−→
FA
9. 6~u
‖~u‖
10.
11. X = B
12. M
13. ~x = −3
8
~u− 5
4
~v
14. a) ~x = 5
7
~u+ 2
7
~v; ~y = 1
7
~u− 1
7
~v
b) ~x = 2~u− ~v; ~y = −~u− ~v
15. ~x = ~u; ~y = 1
2
~u+ 1
2
~v; ~z = 1
2
~u− 1
2
~v
16. (a) ~w =
(−15
2
, 15
2
)
(b) ~w =
(
23
5
,−11
5
)
17. (−4, 1), (2, 5), (−5,−30)
18. 0
19. a) (3, 0, 6)
b) (−3,−3,−3)
c) (8, 4,−3)
20. ~v = (1, 1, 1)
21. a) Não
b) Não
c) Não
d) Sim
22. m = 2; n = 4
23. (a) 1 e -1
(b) 0 e 1
24. a)
√
3
b)
√
2
c) 5
d)
√
21