Funções Inversas, Exponencial e Logaritmo

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4
•.
FUNÇÕES INVERSAS,"EXPONENC1AL'E"LOGARoITMO
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67
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..
A INVERSA DE UMA FUNÇÃO
A palavra "inversa" tem vários significados em Matemática: os números 2 e -2 são inversos para a
adição pois a soma é O; os números ~ e 2 são inversos para a multiplicação pois seu produto é 1. A
frase "função inversa" tem ainda outro .significado : dada uma função f: A ~ B, queremos determinar
se existe uma função g: B -+ A, tal que (fog)(x) = x "Ix E B, e (goj)(x) = x "Ix E A. Se tal
função existir dizemos que f é tnversivel-e escrevemos ~x)= fl.(X) ·rtX"E.B •.Dizemos que fi é a
"inversa de 1'.A notação fi (x) não significa o recíproco j{~) .
Uma função constante não pode ter inversa. Toda função independentemente que seja ou não inversível
estabelece uma correspondência tal que a cada x E A associa um único y na imagem B. Uma função
inversa reverte esse processo. Para que f seja inversível, ela deve ser um-a-um ou seja, para cada y na
imagem deve haver apenas um x no domínio tal que y = j{x). Isso pode ser descrito
matemáticamente afirmando que V par de pontos XI *- X2 => j{XI) *- j{X2) ou, equivalentemente, se
j{XI) = j{X2) => XI = X2. A função j{x) = x2 definida em todo ~ não tem essa propriedade:
j{ -2) = j{2) portanto não é inversível.
Como reconhecemos a inversibilidade de uma função f? A função fé um-a-um se passa (ou verifica) o
Teste da Reta Horizontal-TRH :
Nenhuma reta horizontal no plano corta o gráfico G(f) mais de uma vez.
No exemplo da função JCx)= x2, observamos que a reta constante y = e, com e < O, não corta G(f)
em nenhum ponto; se e = O, corta apenas no vértice da parábola (O, O) e se e > O, corta em dois
pontos distintos: (-/C,e) e (/C, e).
EXEMPLO (4.1)
Mostremos que JCx) = ~"'~2 é inversível: suponhamos quej(xI) = j(X2) =>
2"'1 - I = 2"'2 - I =>
xl-4 X2-4
(2"'1 - I )(X2 - 4) = (XI - 4 )(2x2 - I)
2xIX2 - &xl -X2 + 4 = 2xIX2 -XI - &x2 + 4
8.."'2 -X2 = &xl -XI
7X2 = 7xI
XI = x2
É fácil observar que o domínio é D(f) ~'~'\{4} = (-oo,4}U·(4,«».··Se quisermos determinara
imagem I(f) reescrevemos f na forma seguinte somando e subtraindo 8 no numerador:
JCx)= 2(x-4)+8-1 =2+_7_
x-4 x-4
Então f não assume o valor 2 pois a fração ~4 nunca é nula; além disso essa fração assumex-
qualquer valor real positivo e negativo (o gráfico é obtido a partir do gráfico de .i por meio de uma
translação horizontal de 4 unidades para direita, seguida de um alongamento vertical de 7 unidades);.
Então somando 2 unidades, obtemos o gráfico daf. Daí I(f) = ~ \.{2} = (-00,2) U (2,00).
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Sendo I inversível existe a ínversaj" I com a propriedade que/o r I (x) = x, \Ix ED(f). Então
21'-1 (x) - 1u-r' )(x) = :I = X ~
1-I(x)-4
2,r1 (x) - 1 = xj-I (x) - 4x ~
j'""1(x)(2 -x) = 1-4x ~
;1(x) = 1-4x
2-x
A funçãoj"" tem como domínio I(f) e como imagem D(f). O
EXEMPLO (4.2)
A função y = 3x2 - 2x + 1 não é inversível pois seu gráfico é uma parábola e portanto não passa o
TRH.D
Relação entre os gráficos de /e sua inversa I-I
Pela definição da inversa de 'uma função, temos que j(a) = b <::=) a =r' (b), em outras palavras,
(a, b) E G(j) <::=) (b, a) E G{f-I). Como os pontos (a, b) e (b, a) são simétricos em relação à reta y =x,
concluimos que o gráfico de f I é obtido rebatendo o gráfico deIem tomo dessa reta.
Devido a essa relação entre os gráficos de / e j:', vemos que seI é contínua em Xo e fixo) = Yo, então
. I-I será contínua em yo. O que podemos afrrmar sobre a diferenciabilidade da inversa? Assim como
os gráficos de f ef:' são simétricos em relação à reta y = x, podemos perceber que se o gráfico da I
tiver reta tangente (nem vertical nem horizontal) em um ponto (xo,Yo), então a reta tangente rebatida
em tomo de y = x será tangente (nem horizontal nem vertical) ao gráfico de r' .no .,ponto"Ú'o.,xo).
Lembrando o Ex. (1.5) podemos afrrmar que se a derivada! (xo) = m, então a Teta tangente ao gráfico
da inversa no ponto Yo terá inclinação ~ e isso significa afrrmar que se Yo = fixo) 'e·se·,m·= !{X'fJ),
então ([-I)' (Yo) = ~ .,
((-I )'(vo) = _1_
/(xo)
Então se I for diferenciável em um ponto x e sua derivada não for nula, / (x) *- 0, a inversa fi será
diferenciável no ponto y = j(x).
Restringindo o Domínio para Obter Inversibilidade
->,
Já observamos que a funçãoj(x) = x2 não é inversível em seu domínio natural (~,oo). Como o efeito
de calcular r' é de "desfazer" o que a/faz, podemos pensar que a função "raiz quadrada" inverte o
processo de calcular "quadrados" ou seja, se g(x) = p, (g oj)(x) = g(x2) .o: X • Essa última equação
é verdadeira apenas quando x ? O; se x < O, R = -x. Essas duas equações podem 'Ser escritas "na
forma R = ~I e portanto, (g oj)(x) '* x \Ix E IR • Se restringirmos o domínio da I ao intervalo
[0,00), vemos fácihnente que o gráfico passa pelo TRH e portanto se denotarmos por h a função/com
seu domínio assim restrito, teremos que h é inversível.
Então h : [0,00) -+ [0,00) definida por h(x) = x2, tem inversa h-I: [0,00) -+ [0,00) definida por
h(x) = p. Se agora restringirmos a/ ao intervalo (~, O], o gráfico também passa pelo TRH, e então
tem inversa. Denotando por j essa função, teremos que j :(~,O] -+ [0,00) está definida por j(x) = x2
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- :-.'
e sua inversaj=! : [0,00) -+ (-00,0], está definida porrl(x) = -IX.
Notação: a restrição de uma funçãof a um intervalo I será denotada na forma f lI.
Os comentários anteriores mostram que uma função pode ser inversível em um domínio e não ser
inversível em outro. A moral de toda esta história é que quando trabalhamos com funções e suas
inversas devemos entender claramente qual é o domínio e imagem de cada função.
EXEMPLO (4.3)
A função definida pela equação y = 3x2 - 3x - 6 , não é inversível pois seu gráfico é uma parábola.
Vamos restringir seu domínio a dois intervalos de modo que as funções resultantes sejam inversíveis e
determinar as fórmulas das correspondentes inversas. O primeiro passo é determinar as raízes do
polinômio:
3x2 _ 3x _ 6 = O ~ x = 3 ± J9 + 72
6
x = { 2 ,
-1
Então y = 3(x + 1)(x - 2). O vértice da parábola tem como abscissa o valor medio das raizes -~+2 =
+, e como ordenada o valorj( +) = - 2: ' logo consideraremos as funções g = J1(-00, +] ~ [- 21 ,00)
, e h = J1[ +,00) -+[- 247,00). As correspondentes funções inversas estabelecem as correspondências
g-I : [_ 247,00) -+ .(-00, +] , e h-I : [- 2: ,00) -+ [+,00), e as fórmulas que defmem as inversas são
determinadas usando o processo de completar quadrados (usamos a notação y = g(x) que é
equivalente ax = g-l(y»:
Ig-l(y) - i I = _(g-l(y) - i)
= _g-l (y) + i '
g-I (y) = i - J ~ + ~ •
e trocando a letra y pela x, obtemos a fórmula
Ir-g---I (-x-) -=---i ---fFf---~-+-t-.-X-E-[-_-+-7 -,00-)--"1
70 .
",.........." .. _ .. _._-.___ •••..•..;.;.;.....•.••.""""""===.;o===.~..~.~~: _ .
Para a inversa de h ,partimos da igualdade h(x) = 3(x2 - X - 2) , e repetimos os mesmos cálculos
anteriores chegando na equação
(
X _ 1.) 2 = h(x) +.2.
2 3 4
Trocando as letras novamente, vem que
Definição Diremos que uma funçãofé crescente em um intervalo aberto (a,h), se para qualquer
par de pontos Xl < X2 do intervalo.j'(x.) < j{X2)' O gráfico é urna curva que "sobe" no
intervalo.
Diremos que uma funçãofé decrescente em um intervalo aberto (a,h), se para qualquer
par de pontos Xl < X2 do íntervalo.j'(xj ) > j{X2)' O gráfico é uma curva que "desce" no
intervalo.
Observação
Uma função pode ser crescente (ou decrescente) em dois intervalos adjacentes, sem
ser crescente (ou decrescente) na união dos intervalos : seja
{
-1 se X < O
j{x) =
__ o _1_ se X 2: O
x+2
e observe o gráfico da f
71
A função é crescente em (-<o, O) e em [O,co) , mas não é crescente em (-<o, O) U [O,co) = IR.
Neste exemplo a descontinuidade na origem é a "culpada" por esse comportamento. Já se f for
crescente (oudecrescente) em dois intervalos adjacentes I e J, e se ffor contínua na extremidade
comum, então/será crescente (ou decrescente) na união, respectivamente.
Se uma função / for crescente ou decrescente em um intervalo, então ela tem inversa nesse intervalo
pois passa pelo TRH.
O seguinte teorema, provado no próximo capítulo, fornece um critério simples para determinar
intervalos onde uma função diferenciável é crescente ou decrescente:
Teorema (4.4)
Seja/uma função diferenciável em um intervalo aberto I Então
a Sef(x) > O V X E I,fé crescente em I.
b Sef(x) < O V X E I,fé decrescente em I.
A afirmação desse teorema, é razoável: se a reta tangente em qualquer ponto do gráfico sobe, o gráfico
também sobe. A demontração deste teorema é baseada em um dos "grandes" teoremas do Cálculo : o
Teorema do Valor Médio- TVM, que será discutido no próximo capítulo.
INVERSAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
~,
As funções j(x) = sen(x) , e g(x) = cos(x) , definidas em IR, são periódicas de periodo 21l' , portanto
não são inversíveis em seus domínios. Fazendo restrições apropriadas, poderemos definir inversas em
cada caso. O mesmo ocorre para a função h(x) = tg(x) que tem periodo Te.
1. Para a primeira, restringimos o domínio ao intervalo [-; , ; ] , onde f é crescente pois em
(-; , ;) fx (sentx) = cos(x) > O, e então existe a função inversa fi e temos que
y = r' (x) <:::) x = sen(y) . Também escreveremos y = sen -1(x), interpretando essa igualdade
.-.. 72
/"'.. ,'o --,.:'" :.,: o .; ~'T'~
como equivalente à equação x = sen(y). Alertamos novamente ao leitor, que sen-1(x) , não é
o recíproco do número real sen(x). Desse modo temos que os domínios e imagems da
função e sua inversa, são f: [-; , ; ] -+ [-1, 1] , ef" 1 : [-1, I] -+ [-; , ; ]. A continuidade e
diferenciabilidade da inversa são consequência das mesmas propriedades do seno, com a
resalvaquesendo j(-;)=-1 e !(-;)=O,e .f(;)= I e !(;) = 0, a inversa não é
diferenciável nos pontos -1 e 1.
Calcularemos a seguir a derivada da inversa, e notaremos que a pesar que as funções seno e
sua inversa são trascendentais (não têm fórmulas para serem calculadas), a derivada de sen" é
uma função algébrica. Partimos das equações seguintes
-Iy = sen (x) ~ x = sen(y)
Agora calculamos a derivada em relação a x de ambos os membros da segunda equação e
levamos em consideração que na expressão sen(y), y denota uma função de x. Pela RC vem
que:
I = dx = -1L(sen(y» dy = cos(y) dy
dx dy dx dx
Logo, : = cO;(y)' Usando a relação fundamental cos2(y) + sen2(y) = 1, obtemos
cos(y) = Jl - sen\v) (a raiz é positiva pois cos(v) > 0, se y E (-; , ; ». Concluimos
então que
com x E (-1, 1).
JI -x2
2. Para a função cosseno, restringimos o domínio ao intervalo [O,1r] onde a função é decrescente
pois em (0,1r) fx (cosfx)) = -sen(x) < O.Essa função temirrversa'e 'seg:>!"denota'ti inversa,
então as equações seguintes são equivalentes: y =",g-I{X) ~ X = cos(y). Escrevemos
também y = cos " (x). Os domínios e imagens do cosseno e sua inversa são
g : [O,1r] -+ [-I, I] e g-I : [-I, I] -+ [O,1r]. A continuidade e diferenciabilidade do cosseno
asseguram as mesmas propriedades para a inversa, com uma resalva: sendo que g(O) = 1 , e
g'(O) = 0, e g(1r) = -1 e g'(1r) = 0, deduzimos que a inversa não é diferenciávéI nos pontos
-1 e 1. Para determinar a derivada de cos:", usamos a equação x = cos(y) (equivalente a
y = COçl(X», e derivamos em relação a x usando a RC no segundo membro pois y é uma
função diferenciável de x:
1 = dx = -1L(cos(y» dy = -sen(y) dy
dx dy dx dx
Então dydx= 1, mas sen(y) = Jl - cos2(y) (a raiz é positiva pois se y_ E (0,1r) ~~M -
sen(y) > O); logo,
3. A função h(x) = tg(x) é periódica de periodo 1r e não está definida nos pontos da forma
(2k + 1) '-' k 7L A . - d d ,. . I ( Ir 1C)' •2 n v E. restrição o OmInIOao ínterva o -2' 2 tem inversa pOIS
h' (x) = ~( ) > °em (- ; , ; ) e então h é crescente. A inversa é denotada por tg:" (x) e as
cos x
equações y = tg-I (x) e x = tg(y) são equivalentes. Os domínios e imagens são
73
,,-..-------- -"-.-- .."
h : (-; , ; ) -+ IR e h-I: IR -+ (-; , ; ). Sendo h contínua e diferenciável com derivada =1= °
nesse intervalo, concluimos que a inversa também é contínua e diferenciável em todo seu
domínio IR. Para determinar a derivada de h-I, usamos as equações y = tg-I (x) e x = tg(y) ;
derivando esta última em relação a x , temos
1 = d:x = A...(tg(y» dy =
d:x dy dx
1 dy
cos2(y) dx
de onde obtemos : = cos~(Y) = '- "cos
2
(y) 2
cos2(y) + sen (y)
= _~_~l--=-_ =
2
1 + sen (y)
cos2(y)
d:xd
y= 12,xEIRL
l+x
1 ';'ou seja
1 +x2
,-. Argumentos similares são usados para determinar as inversas das restantes funçõestrigonométricas : para a função y = cotg(x) , o domínio é o intervalo (0,1l') onde resulta uma
função decrecente e sua imagem é IR portanto a inversa tem domínio IR e imagem (0,1l'). A
derivada é dada por' d:xdy = 1 2. Para as funções sec(x) e cosec(x), periódicas de periodo
. 1+x
21l', não há escolhas aceitas universalmente. Alguns matemáticos escolhem -O domínio
[0,; )u (; ,1t'] para a função y = sec(x) , enquanto que outros preferem escolher o domínio
[O, ; ) u (1t', 3;] . Dependendo da escolha do domínio, o sinal da derivada da inversa será
diferente.
-
AS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARíTMICAS
Estas funções, junto com as rrigonométricas, consfiniem as 'funções transcentientais-mais importantes
do Cálculo e aparecem com frequência em diversas aplicações de várias áreas científicas.
Definição Dado um número real positivo b =f: 1, a função exponencial com base b é definida pela
equação y = b", para todo x E IR. A imagem desse domínio pela função expone.ncial é o
intervalo (0,00).
Como é calculado o valor b" ? Se b e x , forem racionais e b > O, o valor b" é obtido por meio de
aproximações: suponhamos que esses números são representados por quocientes de inteiros b = ~ ,e
x = f. Então b" = ::::.' onde o cálculo das raízes pode ser realizado por aproximações sucessivas
iq'
c<?mo no Ex. (1.1). Se ambos b e x forem irracionais, ambos podem ser aproximados por números
. .. b b b . .pod trad +~ • - bJ:I bJ:l bJ:3 -racionais. I, 2, 3, ... e x),x2,x3, ... ,-e" e-ser·mos· o,-.que.as·.po\.WncIaS - I ~ 2' 3' ..• , se
aproximam de um único número real. Esse real é denotado por b" .
As funções assim definidas têm a propriedade de seremcorftinuas;'poS"ÍtÍVas'e--crescentes·quando b .> 1
e decrescentes quando O < b < 1, em todo IR, e verificam as mesmas propriedades algébricas das
potências de base positiva e expoentes inteiros:
(b) (d) bO = 1.
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A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL :
Seja j{x) = b", então usando as propriedades das potências temos formalmente que
!(x) ::;:lim j{x + àx) - j{x) = lim bX+lu - bX = lim bX blu - 1 = bX lim b~T - 1 .~T-O õx lu-O ôx lu-O õx lu-O õx
Por tanto a existência da derivada! (x) está condicionada à existência do limite lim b~;;1 . Pode ser
lu-O
mostrado que esse limite lim bt.x~ 1 sempre existe para qualquer real positivo b; denotando esse
~T-O
valor por C, temos que 'if x E IR{,
I!(x) = Cj{x) I
ou seja,
-
Essa é uma das propriedades notáveis das funções exponenciais : a inclinação da tangente em
qualquer ponto é proprocional ao valor da função no mesmo ponto. Claramente o cálculo da derivada
anterior será mais fácil se a constante C for 1. O seguinte teorema indica porque o número e, um dos
números mais importantes do Cálculo, (base dos logaritmos naturais e da exponencial natural), é o
preferido quando trabalhamos com funções exponenciais
...••...
Teorema (4:5)
Existe um único número real denotado por e ,tal que lim e~T - 1 ::;:1
~T-O õx
Então dentre todas as funções exponenciais do tipo b", aquela com a base e tem .a.derivada .mais
simples:
Como podemos determinar aproximações desse número? Observemos que de lim e~~ 1 = 1,t.x-o
negativo), devemos ter et.x~ 1 ~ 1 , ou
Então escrevendoSx = ~ , com n inteiro
concluímos que para tlx pequeno {positivo ou
I
et.x -1 ~ tlx => e~T ~ 1+tlx => e ~ (1 + éx) lu
positivo, a condição lim et.x~ 1 1 , sugere quet.x-o
e = lim(l + l)n.
1t-.a:>. n
Uma tabela de valores da expressão ( 1 + À ) n para vários valores de n confirma que a sequência de
números (1 + À ) n se aproxima de um único real quando n cresce sem limitação: se
F(n) = (1 + À ) n, então (com 6 casas decimais exatas),
F(IO) ~ 2,593742
F(3000) ~ 2,717602
F(20000) ~ 2,718213
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Os valores dessa tabela mostram também que os valores F(n) se aproximam "lentamente" de e pois é
necessário tomar n muito grande para obter uma boa aproximação do limite: para n = 20000 o valor
coincide com e nas 4 primeiras casas decimais apenas. Outros métodos mais eficientes permitem
resultados mais rápidos: a soma 1+ -Ir + i! + j! + ... + 1~! = 2.7182818284590452267
aproxima e com 16 casas decimais exatas. Na figura abaixo exibimos os gráficos da funçãoj{x) = e",
junto com sua reta tangente no ponto (O, 1), de equação y = x + 1
Sendo a exponencial natural y = e' : (-<XJ,00) ~ (0,00) uma função crescente, ela tem inversa; a
inversa é a função logarltmica de base e , denotada por y = loge(x) : (0,00). ~ (-<XJ,00). Ela também
é crescente, contínua e diferenciável em todo seu domínio pois a derivada da exponencial nunca é nula.
É costume denotar o loge(x) como In(x), o logaritmo natural, e valem as relações
x= In(e='), 'ílXE (~,oo), e x=e1n(x), VXE (0,00)
Observemos a simetria dos dois gráficos
-2
Em geral urna função exponencial y = b" com base b > O, é crescente se b > 1 e é decrescente se
O < b < 1, portanto sempre é inversível. A inversa da exponencial y'= b", é efunção logaritmica de
base b, denotada por y = logb(x). Os domínios e imagens de todas elas são
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Iy = b% : (--00,00) -+ (0,00) Iy = logb(x) : (0,00) -+ (-<0,00) I
e valem as relações~-------------------,-----------------.
x = logb(fr), Vx E (-<.0,00) X = bIOSb(;r) , Vx E (0,00)
Além disso temos,-------------------------y---------------------------,
lim b" = O e limP = 00 se b > 1 lim b" = 00 e limb" = O se ° < b < 1
X--+-OO .x-t<:O ' x-........c:o X-+<Xl'
lim logb(x) = -<O e lim logb(x) = 00, se b > I lim logb(x) = 00 e lim logb(x) = -<o, se ° < b < I
%-+0+ %-+00 %-+0+ %....a)
As funções logarítmicas possuem propriedades algébricas que de,correm das propríedades.aías
exponenciais :
(a) logb(XIX2) = logb(xd + logb(x2), (b) logb(~~) = logb(xd -logb(x2),
(c) logb(x12) = X21ogb(xI) somente se XI > O, (d) logb(l) = °
Observação
Uma aplicação incorreta da propriedade (c) acima pode nos levar a conclusões equivocadas. Por
exemplo, se j{x) = In(x2), podemos concluir que j{x) = 2In(x) ? A resposta é não e a razão é muito
simples: f está defmida V x =/:- 0, enquanto que a expressão 2 In(x) somente está definida para x > O.
Apenas quando ambos expressões estão bem definidas podemos afirmar que elas são iguais; neste
caso, podemos afirmar que In(x2) = 2 In(x) V x E (0,00).
Para derivar a função logaritmo natural, escrevemos y = In(x) , que é equivalente a x = eY e
derivamos em relação a x usando a RC na última equação:
I = A..(eY) = -ª-(eY) dy = eY dy
dx dy dx dx
de onde resulta
Para derivar uma função logaritrnica com base b, usamos o fato geral que se u = u(x) for uma função
diferenciável de x, então pela RC deduzimos que 1x (e") = tu (e"): = eU:. Então
reescrevemos y = Iogb(x) na forma equivalente x = bY e observamos que b = eln{b) ~ x =
(e1n(b»' = ey1n(b),então derivando em relação a x e usando a RC , .
I = A..(eyJn{b» = A..(eYln(b» dy = eyJn{b)In(b) dy
dx dy dx dx
de onde vem que
dy = _I 1_ = ----:1,---
dx In(b) eyln(b) In(b)x
Por último, observemos que se c = logb(e), então b" = e ~ 1 = In(bC) = cIn(b)
logb(e) = c = Jn~b)' e substituindo na última derivada
77
(quando b = e, logb(e) = 1). Concluimos com o cálculo da ua'lV!ln
equação y = b", deduzimos que
Resumindo,
..,..-.... .-' '-,-
-: -:
_I
In(b)x
. .
EXEMPLO (4.6) Derivada de Funções Compostas com Logaritmo~ e-Ex~,,!enciais
Seja u = u(x) uma função diferenciável de x. Então as derivadas das seguintes funções são calculadas
aplicando a RC: .. ' -----------
1 Se y = ln(u) então dy = dy du = 1.. du
· 'dx _ du dx u dx
2 Se y = 100 (u) então dy = dy du = logb(e) du
• ob' dx du dx li dx
3 Se y = e" então dy = dy du = eU du
· 'd" du dx dx
4. Sey = b", então : = : ~~ = ln(b)bU ~
1 du
ln(b)u dx
Agora estam os em condições de calcular a derivada da função potência com expoente irracional n,
escrevendo a função y = x" como uma potência com base e:
EXEMPLO (4.7)
Seja y = x", com n irracional e x > O, então y = e1n(y)= en1n{x)=> : =enln(x) :Ix (n ln(x» .= xnn .~ =
nxn-I•
Observação
Quando n é um número irracional, a função potência y = x" tem como domínio o intervalo (O, IX». Isso
é devido a que a expressão x" para x < O não está definida para expoentes fracionáríos do tipo ~ com
q número natural par e p inteiro ímpar (lembre o Exemplo (13) e o problema A sobre números reais:
entre dois números reaisquaisquer existem infmitos ~cionais~ , ~ tambérl!jnIDmQ§..fOQ1_qnatural par
e p inteiro ímpar), portanto a função y = xn estaria indefinida em -UIJia iqfinidácle·denÍimeros· de
qualquer intervalo contido em (--«>,O). Por isso é natural considerar córricfâoiiÍíriióoiritei-Wl0 (O, IX».
EXEMPLO (4.8) Derivadas de funções exponenciais com bases e expoentes variáveis
Seja y = j{x)g{x), onde f e g são funções diferenciáveis de x. Então existe : em todo ponto do
domínio o(y) = o(f) n o(g) n{x E D(f) Ij(x) > O} e é calculada da seguinte forma (observar que
y> O), usando a parte 3 do Exemplo (4.6):
y = e In(y) = eg(x) ln(j{x))
78
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dy = eg(x) I~»..il...(g(x) ln(j(x»
dx dx
~ - .''1= eg(x) In(.t{.t»[gl(x) ln(t{X» +g(X)/(X) ]
j{X)
Então,
dy = j{~)g{.t)[gl(X)In(j(X» + g(X)/(X) ] I
dx j{x),
ALGUMAS APLICAÇÕES DA EXPONENCIAL E LOGARITMO
EXEMPLO (4.9) Juros Compostos
Quando uma quantidade de dinheiro Po é investido a uma taxa anual r de juros por um ano (chamado
periodo de capitalização), os juros são Pr e a quantidade total de dinheiro no' final do ano é
Q = Po + Por = Po(1 + r). Seessa quantidade de dinheiro for reinvestida por outro período igual, os
juros estarão gerando mais juros; nesse caso dizemos que os juros são compostos e no final do segundo
período haverá uma quantidade Q = Po(l + r)(l + r) = Po(1 + r)2. Desse modo, se Po for investido
por k períodos de capitalização reinvestindo os juros (dizemos que os juros são compostos k vezes), no
[mal do k-ésimo período, haverá uma quantidade Q = P(1 + r)k. Observe que essa é uma função
exponencial com base (1 + r), e representa a quantidade de dinheiro gerada pelo investimento ajuros
compostos durante k períodos.
Se o juro anual r é composto n vezes no ano, então teremos n períodos e em cada periodo a taxa de
juros é ~; em t anos haverá lJ1D toralde 111períodos de capízalízação, Então sePo for investido durante
t anos, sem ter havido saques, a fórmula,Q.,.(t} = ?,o( 1+~ )nt, representa o dinheiro no final de t
anos de investimento. Nessa fórmula, o número r é a taxa de crescimento percentual (anual), e n é o
número de vezes que os juros são compostos por ano (por exemplo, se r = 14 % ao ano e os juros são
compostos mensalmente, ~ = °i~4 ~ 0, 0117). Nas fórmulas de juros compostos, o valor r é escrito
na forma decimal em lugar de percentagen (se os juros forem de 14 % por ano, tomamos r = 1~ =
0,14).
O que ocorre se os juros são compostos um número crescente de vezes para um valor fixo t ? Em geral
os saldos no [mal dos t anos de investimento também serão crescentes, mas como é que esses saldos
aumentam? Se m = ~, então a quantidade total de dinheiro Qn(t)no final de t anos de investimento
com juros compostos n vezes ao ano é dada por
__,Qn(t) = Po{1 + ~)nI = por (1+ ~) ~ JI1 = por (I+ ~ )m]11
e lembrando que e = l~ (I+ ~ ) ", temos que se n -jo =, Qn(t) aumentará aproximando-se do valor
/imQn(t) = Po[~( 1+ ~ ) m JI1 = Q(t)
onde
Q(t) = Poel1
Essa expressão dá a quantidade final de dinheiro obtida quando um capital inicial P o é investido
durante o tempo t, a uma taxa anual r (r escrita como decimal) e os juros são compostos
"contínuamente" ou "em todo instante".
79
a outra, P(t) = Po(1 + c)' = Po e", o valor de r é dado por r = Jn(1 + c), mas como a aproximação
linear local de ln(1 + x) no ponto Xo = O é a reta y = x, podemos afirmar que se x está próximo de O,
ln( I + x) ::::::x, e então para taxas c S 10%, podemos usar que ln( 1 + c) ::::::c, ou seja r ::::::c.
EXEMPLO (4.12) Decaimenlo Radioativo
Substâncias radioativas decaem pela .emissão espontânea de radiação. Pode ser mostrado que se M(l)
denota a massa da substância radioativa presente no instante t, M(t) = Moe-n, onde r é a taxa de
decaimento expressa como uma proporção .da.massa e Mo é a quantidade de massa radiatíva inicial.
Neste caso, e-n é o "fator de decrescimento". Os fisicos descrevem a taxa de decaimento em termos
da meia-vida de uma substância, ou seja, o tempo necessário para que a quantidade de substância
radioativa decaia à metade da substância radioativa original. Podemos obter o valor de r da seguinte
forma: se h denota a meia-vida de uma substância, então uma massa radioativa de 1 unidade se
transformará em +. unidade quando t = h. Substituindo na fórmula da massa ~ ~ = 1.e:", e
calculando o logaritmonatural ~ r = ln?).
As usinas nucleares de produção de energia, produzem o isótopo de plutônio radioativo 239Pu que tem
uma meia-vida de 24.360 anos; por causa disso essas usinas permanecem controvertidas até hoje.
Suponhamos que uma amostra dessa substância tem uma massa inicial de 200 gr.
Determinar:
a a quantidade de 239Pu remanescente no instante t
b o tempo necessário para que a massa de substância radioativa se reduza a 20 gr
SOLUÇÃO
a Basta calcular o valor de r: r = 2~;~ % 0,000028 ==> M(t) = 200e-ü·OOOO281
20 = 200e-{),OOOO281 ~ t = In(lO) ::::::82.235 anos .•
0,000028b
EXEMPLO (4.13) Datação por Isótopos Radioativos
O método de datação por radiocarbono tem sido usado para determinar a idade de objetos antigos. A
proporção do isótopo radioativo 14Cem relação ao carbono J2C (não radioativo), está presente em todo
tecido vivo em uma proporção fixa. Ele tem uma meia-vida de aproximadamente 5.730 anos. Todas as
plantas e tecidos vivos contém ambos tipos de carbono na mesma proporção de 1 parte de 14C, para
1012partes de J2C. Enquanto a planta ou o animal está vivo, essa proporção se mantém. Depois que o
organismo morre, ele pára de absorver o 14Ce a quantidade presente desse isótopo começa a decair
como mencionamos no exemplo anterior. Calculando a quantidade restante de 14C no organismo, é
possível determinar o momento quando o organismo morreu. "Este método é efetivo para detectar
idades que estão entre 500 e 50.000 anos.
Uma forma efetiva de medição para a datação é medindo o nível de radioatividade em número de
desintegrações por hora por grama de carbono (dhg). Se D representa o nível presente de
radioatividade, medido em número de desintegrações por hora por grama, T a idade da amostra, e Do
representa o nível da radioatividade T anos antes (estimativas permitem afirmar que Do ::::::920 dhg)
então temos em geral que se t = O representa o momento em que a amostra morreu, D(t) = Die:" e
em particular D(I) = Doe-rT, então deduzimos como antes que r = ~~~~ D(1) = 920e-rT ~
81
--.~.
EXEMPLO (4.10)
A quantidade de dinheiro Po que deve ser investida por um prazo de tempo I a uma taxa anual r com
juros compostos contínuamente para gerar um capital final de C R$, é chamado de "valor presente do
capital C',ou seja C = Pse",
Qual é o valor presente de um capital de R$ 100.000,00 a ser recebido em 5 anos se for Investido a
uma taxa anual de 12% compostos contínuamente?
Devemos determinar o valor Po tal que
100.000 = POeC°,12)5
Po = 100.000 e-{l,6
Daí deduzimos que Po :::::R$ 54.880,00
EXEMPLO (4.11) Crescimento Populacional
Outra situação semelhante aparece no crescimento populacional onde a população de um pais (ou de
bactérias de uma cultura), P(/), é uma função exponencial (neste exemplo o crescimento P(t) é
chamado de crescimento não inibido pois não são levados em consideração nenhum efeito do meio
ambiente que possa limitar o crescimento).
Suponhamos que ~ população de um certo pais, em milhões de habitantes, era de Po= 4,2 milhões em
1986, e estava crescendo a uma taxa de 2,6 % ao ano. Então P(t) = Po(l + c)", onde c representa a
taxa de crescimento anual escrito como um decimal.
1. Qual será a população no ano de 2004 ?
Primeiro determinamos a fórmula de P(t): em t= O (ano de 1986), P(O) = 4.2 ~ Po = 4,2;
o valor que expressa c como uma porcentagem é 2,6 ~ c = ~~ = O, 026 ~
P(t) = 4,2(1 + 0,026)'. Se quisermos reescrever essa última fórmula com uma exponencial
natural, devemos determinar r tal que e' = I, 026 ~ r = In(l, 026) :::::O, 026 ~ P(t)
= 4,2eo,026'. O ano de 1986 corresponde a I = O e o ano de 2004 corresponde ao valor de
t = 18 ~ a população no ano de 2004 será P(18) :::::6,7 milhões de habitantes. Observe que
neste caso podemos usar qualquer fórmula indistintamente para calcular P(t):
P(t) = 4,2(1,026)' ou P(t) = 4,2 eO,026/).
2. Se a taxa de crescimento percentual anual de 2,6 % continuar inalterada, quando a população
vai dobrar?
O valor de t para o qual a população será o dobro daquela do ano de 1986, será aquele para o
qual
2P° == Poeo,026t ~
eO,026t = 2 ou seja
1n(2) 26I = 0,026::::: , 7 anos
Então como t = O corresponde a 1986, o valor t = 26,7 corresponde ao ano de
1986 + 26,7 = 2012,7
Observação
Neste exemplo de crescimento populacional não irubido, para passar de uma fórmula exponencial para
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r-,
T=
IX..D
5,7301n(920)
ln(2)
o número r é a constante de decaimento ou taxa de decaimento.
1. Os manuscritos do Mar Morto foram descobertos acidentalmente em 1947 por um pastor de
ovelhas em cavernas da margem oeste do Mar Morto na Palestina. Quando o envoltório de
linho que os protegia foi analisado, o nível de radioatividade medido foi de 723 dhg. Uma
estimativa da idade dos manuscritos usando a fórmula acima, realizada em 1951; dá um valor
5730ln(723)
aproximado da idade dos manuscritos de T = 1n(2~O::::::1992 anos » 40 AC.
2. A idade de rochas pode também ser estimada pelo método do rubídio-estrôncio, usado na
estimativa da idade de rochas lunares trazidas pelas missões Apollo. O Rubídio-87, 87R, é um
isótopo radioativo cuja meia-vida é de 4,7xl01O anos e que decai e se transforma na substância
estrôncio-87 não radiativa. Suponhamos que no momento em que a rocha foi formada, havia
Ao átomos de 87R e nenhum de estrôncio. Quando o tempo 'foi passando, átomos de 87R
decairarn em átomos de estrôncio, mantendo o mesmo número total de átomos Ao. Seja Ta
idade da rocha, As o número de átomos de estrôncio e Ar O número de átomos de rubídio
presentes atualmente. Depois de T anos, teremos Ao = Ar +As e devido ao decaimento do
rubídio, A, ~ Aoe'T, então A, ~ A,e-,T - A, => T ~ In[ ( ~ + I)J. Para o rubídio, a
meia-vida é de 4,7x10 10 e a constante de decaimento resulta r = 4,~:(~~IO::::::-1,47 x 10-11.
De acordo com análises das rochas trazidas pela ApoIlo 11, a proporção ~; = 0,0588 e então
a idade estimada dessas rochas é de aproximadamente T = :~~~~15;~~::::::3,88 x 109anos. Para
a rocha" génesis li, da missão Apollo 15, a proporção medida foi de ~; ='0;'6636 o 'que
permite estimar a idade da rocha no valor T = :~~~~~~~~::::::4,19 x 109 anos.
Devido a que o rubídio decai muito lentamente, esta técnica é considerada efetiva apenas para
objetos com idade superiora 10 milhões de anos.
EXEMPLO (4.14) Volume do Som
Os logaritmos são utilizados frequentemente para medir quantidades que estão entre valores muito
pequenos a muito grandes. Se uma certa variável v assume valores em um intervalo enorme como
(10-10,1010], então o 10glO(v)assume valores de -10 até 10. Essa situação se aplica ao volume do
som. Os fisicos definem a intensidade de uma onda sonora como a quantidade de energia transmitida
pela onda através de uma área dada. A menor intensidade que o ouvido humano pode detectar a uma
frequência de 1000 Hz, está próxima de 10-12W:~s . O volume L(x) medido em decibéis (dB), de
um som de intensidade x (medido em Watts por metro quadrado), é dado por L(x) = 10loglO( to ) ,
onde 10 = 10-12Wa~s . Quando x = 10, L{1o) = O dB. Observemos que a escala de decibéis não ém
linear: um som de 20 dB corresponde a um volume 100 vezes maior que um de O dB pois se
L(x) = 20 ,=>x = 10010; um nível de som de 30 dB é 1000 vezes maior que um de O dB, etc.
• Se um som é 50 vezes mais intenso que outro, qual é a diferença de volumes entre eles?
Sejam XI ,e X2 as intensidades de cada som, e XI = 50X2 ,=>
82
,....-.... ..~- ,.;._.,. -..:;.; ..•..-_ ..-. -- ._-----------_._-
L(xl) -L(X2) = 10(loglO( S~2 ) -loglO( ~~ ))
= 101oglO(SO)~ 17dB
• Uma aeronave Boeing 727, com seus motores funcionando a plena capacidade, produz um
barulho de 0,15 Wafs de intensidade. Qual é o volume?
m
L(O, 15) = 10loglO(~o~;)= 10loglO(15x 1010) = lO[loglO{l5) + loglO(1Õ 10)]
~ 10[1,18 + 10] = 111,8 dB
EXEMPLO (4.15) Escala Richter
Em 1935 o ~eólogo americano Charles Richter definiu a magnitude de um terremoto como
M = loglo ( ~ J, onde 1é a magnitude do terremoto medida como a amplitude de uma leitura de um
sismógrafo situado a 100 km do epicentro e S é a magnitude de um terremoto "padrão" cuja amplitude
é de 1 mícron = lO-4cm. A magnitude desse terremoto padrão é nula pois 10glO(1) = O. Como no
exemplo anterior, um terremoto cuja magnitude é uma unidade maior do que outro, é 10 vezes mais
forte.
• Em 1906, ocorreu um terremoto na cidade de San Francisco, California, que alcançou uma
magnitude estimada de 8,3 na escala Richter. No mesmo ano, na fronteira entre Colombia e
Ecuador, houve otro terremoto de intensidade 4 vezes maior (e considerado o mais forte já
medido até hoje). Qual foi sua magnitude na escala Richter?
Temos que se 1denota a intensidade do terremoto de San Francisco, M = loglo ( ~) = 8,3.
Como a intensidade do terremoto na Colombia e Ecuador foi de 41. sua magnitude foi
M = loglO(:/) = loglo(4) + IOglO(~) = loglO(4)+ 8,3 ~ 8,9.
• O terremoto na América do Sul de setembro de 2004, perto da divisa entre Argentina e Chile,
teve uma magnitude de 6,5 na escala Richter. Quantas vezes mais intenso foi o de Colombia e
Ecuador?
Suponhamos que II e h foram as intensidades dos terremotos de 1906 e 2004
respectivamente. Então queremos determinar o valor do quociente ~I . O logaritmo desse
( li ) 2
quociente é 10g1OU; ) ~ loglo (~) ~ 10glO(1)-loglO( ~ ) ~ 8,9-6,5 ~ 2,4 =
(11) .1 loglo T
l~ = 10 2 =102.4~2S1 :=>11 ::::250h.
O LOGARITMO NA ENGENHARIA
A Torre Eiffel foi projetada por Alexandre-Gustave Eiffel, um dos grandes engenheiros da França,
como parte da Exposição Centenária de 1889 para comemorar o centésimo aniversário da Revolução
Francesa. Naquela época não houve um consenso sobre a construção dessa estrutura e pouco antes do
início da Ia guerra mundial, personalidades influentes da política da França cogitaram em desmontá-Ia,
83
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mas ela se revelou muito útil na transmissão de comunicações secretas importantes)Iurante a guerra o
que eliminou as críticas s.obre sua construção, Esse projeto valeu ao Eiffel o apelido de "mago do
ferro". Ela tem uma altura de 300 m e um peso total de pouco mais de) toneladas. As seções
horizontais da Torre são todas quadradas e como uma medida de segurança assim como de economia
na construção, ela foi projetada de tal rnodo que qualquer seção horizontal suporte uma presão de
compressão constante (a presão interna do material. ferro, devida ao peso da estrutura acima da seção
horizontal). Por causa disso é que ela abre a medida que a altura é menor, Pode ser. provado que se
considerarmos um sistema de coordenadas retangulares tal que o eixo x coincide com o solo e o eixo y
coincide com o eixo de simetria da Torre, então se (x, h) denota um ponto situado sobre o "perfil" da
Torre, a função h(x) tem a propriedade que
h'(x) = ~
para uma certa constante c, com x = 63 m quando h = O. O perfil portanto tem a forma da função
logaritmo (o verdadeiro perfil desde o solo até o primeiro deque de observação é reto).
/'
-------
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84.,-..,
~
~
r--.
r--..