Séries de Potência e Série Binomial

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aproxima de Otornando a sequência {Sn} convergente e a sequência {Tn} divergente
-'
0.6
0.2
o
o
0.4
y
o o
o
o
o
o o
o o
0000000000
o
10
x
20
Para a última série vemos que ela converge absolutamente,
~C() 1 - ~ . d ~oo (_l)nc: -2' entao a convergencia e c: 1--2-
=1 n = n
mudanças de sinal nos seus termos mas ao fato que seus termos são suficientemente pequenos.
não depende de cancelamentos devidos a
Em geral podemos afirmar que para urna série absolutamente convergente ~:Iu-; a convergência
de ~oo Iunl é devida a que seus termos Iunl decrescem suficientemente rápido (ou são
=1
suficientemente pequenos) quando n -4 00, e então a convergência de ~:I u ; independe de
cancelamentos entre termos positivos e negativos. Se ~:Iu; for condicionalmente convergente a
situação é diferente: a divergência de ~:llunl mostra que os termos Iunl não decrescem
suficientemente rápido (ou não são suficientemente pequenos) quando n -4 00, e então a convergência
de ~oo u; depende de cancelamentos entre termos positivos e negativos.k.Jn=1
SÉRIES DE POTÊNCIAS
As séries consideradas até agora têm tido todos seus termos constantes e no caso de ser convergentes,
elas representavam números reais (a soma da série), mas tanto na teoria como nas diversas aplicações,
as séries mais importantes são aquelas cujos termos são funções de uma variável, de tal modo que a
soma resulta também uma função de urna variável. O caso particular que queremos estudar agora, e
um dos mais importantes, são as séries da forma
l:cn(x - xo)n
n=O
onde {cn} é uma sequência de números reais e Xo é um número real fixo. A série anterior recebe o
nome de "série de potências no ponto xo", ou "série de potências de x-xo". Escrevendo
x - Xo = z, a série se transforma em
Então podemos dirigir nossa atenção a este último tipo de série. Trocando a letra z pela letra x,
251
.._------ -- - - -- .~----_._-------_._---- -------. ~- - -----._------ --------------_._-------- --------~ --_.
temos a série
oo
LcnXn
n=fJ
que chamaremos de "série de potências no ponto O", ou "série de potências de x".
Existem séries de potências ~~ c.x" que divergem '\j x*- 0, convergem '\j x E ~ e convergem
apenas em intervalos da forma (xo - R,xo + R) onde R é um número real positivo:
EXEMPLO (9.50)
a A série ~:In'íx" diverge '\j x*-O :
Basta aplicar o teste do quociente com u; = Innxn I. Neste caso, lln+l---u;;- =
I (n + ~~::lXn+1I = (n + 1)( n ~ 1 ) n~~I, então temos que lim( n ~ 1 ) n =
lim(l+À)n=e~ Mml(n+1)(n~1)nllxl=oo '\jx*-O.Logoasériediverge V
x*-O
b ~
<Xl _xnA série converge absolutamente '\j x :
n=O n!
L
n!
a série converge absolutamente '\j x.
Un+l~ --u;;- =
xn+l
(n + 1)! = _l_lvl então lim Un+l = lim~ = ° V
n + 1 r", n-+w u; n-+wn + 1
x
c A série ~:2 .:c:) converge absolutamente '\j x E (-1, 1)
Se
Un+l~--=Un
ln(n+1)
~
ln(n)
ln(n) [x] r Un+l Ivl r ln(n) = Ixl
ln(n + 1) ~ n~ ----u,;- = r" n~ ln(n + 1) r
(aplicar a Regra de L'Hôpital -RLH- para mostrar que lim ln(n) = 1). Então de acordo
n-+wln(n + 1)
com o teste do quociente, se Ixl < 1, a série converge absolutamente e se Ixl > 1, a série
diverge.
o comportamento de uma série de potências do tipo ~~ c.x" em relação à convergência é dado
pelo seguinte teorema fundamental:
252
Teorema (9.51) - Teorema de Convergência de Séries de Potências
Se uma série de potências em x converge para um valor x = x I, então converge
absolutamente V x no intervalo (-~ 11,~ 11), ou seja V x tal que ~I < ~ 11.
ii Se uma série de potências em x diverge para um valor x = X2, então diverge V x
no conjunto (-00, -~21) U (~21, C(), ou seja V x tal que ~I> ~21.
Prova
Se a série ~:ocnx'i for convergente => a sequência {cnx'j} verifica a condição
necessária de convergência l~(CnX'j) = O. Isso significa que a sequência {cnx'j} é
limitada => :l K tal que Icnx'il :s K V n. Então V x tal que ~I < ~II =>
Icnxn 1= ICnx'ill;; In :s KIfI In
e concluimos que a série ~:Olcnxn I é majorada pela série K~:O I fI I". Esta
última série é uma série geométrica de razão I;; I < 1 => K~:O I;; In converge,
e então pelo 10 teorema de comparação (9.28) => a série ~:o Icnxn I converge.
ii Esta parte é uma consequência simples da parte i :
se x for tal que ~I> ~21 ,então a série ~:oc.x" deve divergir pois caso contrário
a parte iafirma que a série ~:ocnxz seria convergente .•
Como consequência desse último resultado percebemos que dada uma sene de potências do tipo.~:oc,x", podem ocorrer três alternativas mutuamente excludentes entre si:
1. A série diverge V x *' O
2. A série converge absolutamente V x
3. Se existir um valor x I *' O e outro X2 tal que ~:ocnxí', converge e ~:ocnxz diverge, a
série terá um intervalo de convergência, ou seja, existirá um número real positivo p tal que
V x com ~I< p, a série converge absolutamente e V x com ~I> p, a série diverge.
Quando ~I = p não podemos dar nenhum enunciado geral e deveremos pesquisar em cada
caso se as séries ~:OCn(-pr = ~:Ocn(-l)npn e ~:OCnpn são convergentes ou
divergentes.
Os casos limites 1 e 2 são expressados simbólicamente escrevendo p = O e p = C()
respectivamente.
Para o caso de uma série de potências do tipo ~:OCn(X-xor, temos similarmente as três únicas
possibilidades:
1. A série diverge V x *' Xo
2. A série converge absolutamente V x
3. Se existir um valor XI *' Xo e outro X2 tal que ~:oCn(XI - Xor, converge e~:oCn(X2 - Xor diverge, a série terá um intervalo de convergência, ou seja, existirá um
253
número real positivo p tal que \;j x com ~ - xo I < p, a série converge absolutamente e \;j x
com ~ - xo I > p, a série diverge. Quando ~ - xo I= p não podemos dar nenhum enunciado
geral e deveremos pesquisar em cada caso se as séries L::O cn(-p)n = L::O cn(-I tp" e.2::0 cnpn são convergentes ou divergentes.
Os casos limites 1 e 2 também são expressados simbólicamente escrevendo p = O e p = ro
respectivamente.
Definição (9.52)
O valor p é o raio de convergência da série correspondente.
O intervalo de convergência é em geral (xo - p,xo + p) acrescido da (ou das)
extremidades onde a série resulte convergente.
O interior do intervalo de convergência é (xo - P,Xo + p).
A aplicação dos testes do quociente e da raiz permite determinar o raio de convergência de uma série
em muitos casos, mas o teste usado para determinar o raio não deve ser usado para testar a
convergência nos extremos do intervalo pois o limite L sempre será I e nada poderemos concluir.
EXEMPLO (9.53)
As séries do exemplo (9.50) têm raios p = O, P = ro e p = 1 respectivamente.
EXEMPLO (9.54).
1. Para a série geométrica 1 +x+x2 +x3 + ... = L::Oxn, se u; = ~nl
==> Uun+1 = ~I :::::)lim~1 = ~I; logo se ~I < 1 a série geométrica converge absolutamente e se
n n-+<:IJ
~I > 1 a série diverge ==> p = 1. Nas extremidades do intervalo (-1,1), a série diverge: se
x = -1 e se x = 1, as séries resultantes L::O(-l t ou L::O 1n não verificam a condição
necessária de convergência. O intervalo de convergência é (-1, 1).
2. Para a série 1+ L + x2 + ~ + ... = ~CX) L se U _ I xn I ==> Un+1 = jvl_n_
J
2 3 .Lin=1 n ' n >: n u; r n + 1
==> lim(~I--.lLI = ~I; logo se ~I < 1 a série converge absolutamente e se ~I > 1
n...a:> n+
diverge ==> p = 1. Nas extremidades do intervalo temos:
• se x = -1 a série é L::
I
(_~)n ; essa série converge (condicionalmente) .
• se x = 1 a série é L::) À e ela diverge. O intervalo de convergência é [.-1,1).
3. Para a série L::O 2n; (x + 1t, se Un = 12n; (x + 1ti:::::) U,,+I = 2 n2 ~ + 11 ==>
ú; (n + 1)2
lim 2n
2
2 ~ + II= 2~ + 11; logo se 2~ + 11 < 1, ou ~ + 11 < l, temos convergência
n-eo (n + 1) 2
absoluta e se [x + 11 > ~ a série diverge :::::)p = ~ e Xo = -1. Nas extremidades do
intervalo, quando ~ + 11= ~, temos x = - ~ e x = - ~ :
254
------- ----
• se x = - ~ , a série é L::O ~; (- ~ ) n = 2::0 (~?n que convergeabsolutamente.
1 ,., ",00 2n ( 1 ) n _ ,",00 1 ., ,.• se x = -2' a sene e L.Jn=()-;;r- 2 - L.J,r=On2 que converge pois e a sene-p com
p = 2. O intervalo de convergência é [- ~ ,- ~ J.
4. Para a série 2::2 ~~~; (2x - 3 r, é necessário primeiro reescrever a série na forma
,",00 (-Ir n( 3)n _I (-Ir n( 3 )nl Un+1 _ ln(n) I 31L.Jn==2ln(n) 2 x- 2 . Se lln - ln(n) 2 x- 2 => u;;- - 2ln(n+ 1) x- 2
=> lim2 ln(n) Ix-li = 2Ix-ll; logo se 2lx-ll < 1 ou seja Ix-li <.l an-+«>ln(n+l) 2 2 2 2 2'
série converge absolutamente e se Ix - ~ I > ~, a série diverge => p = ~ e Xo = ~.
Nas extremidades do intervalo, quando Ix - ~ I = ~ temos x = -2 e x = -1:
2 ,., ",00 (-ir 2n( l)n _ ,",00 1. ,. d·• se x = - a sene e L.Jn==2ln(n) -2 - L.Jn=2 ln(n) , essa sene rverge pois
_1_) > n1 e L:CO 2 n1 diverge.ln(n n==
1 ,., ",00 (-lr2n(l)n ,",<X> (-Ir .• se x = - a sene e L.Jn==2ln(n) 2 = L.Jn=2 ln(n) ; essa séne é alternada e
verifica o teste (9.35), logo converge e o intervalo de convergência é (-2,-1].
OPERAÇÕES COM SÉRIES DE POTÊNCIAS
Podemos operar com séries de potências como operamos com polinômios, mas devemos levar em
conta os raios de convergência de cada série. Sem fazer uma análise dos raios de convergência,
enunciamos o seguinte resultado cuja demonstração está baseada nas propriedades das séries
absolutamente convergentes.
Teorema (9.55)
Suponhamos que as séries de potências :L.:O c.x" e :L.:O d.x" têm raios de
convergência positivos Pie P2 respectivamente.
a 2::OCnxn + :L.:Odnxn = L::O(cn +dn)xn
b 2::0c.x" - :L.:O d.x" = 2::O(cn - dn)xn
c k(L::O cnXn) = L::O kc.x"
d (:L.:OCnxn) (:L.:Odnxn) = :L.:OCcodn +c1dn-1 + ... +cndo)xn
e Se do"* O e no intervalo a série ,",<X> d x" -I- OL.Jn=() n -r- , o quociente
---------- - -------------- -- -.---------------- 255
"'" C() n
L...Jn={) c-x "",C() n com coeficientes ifi -
C() = L...Jn={) enx e; que ven icam as equaçoes
~n={) d.x"
Co = doeo
c} = d}eo + doe}
C2 = d2eo + dçe, + dOe2
Essas equações permitem calcular os coeficientes e; :da Ia equação calculamos eo,
da 2a calculamos eJ, ... , e da última calculamos e.; Observemos que a condição
do =I=- O é necessária para a determinação de todos os coeficientes e.;
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIAS
Se uma série de potências ~:o c.x" tiver um raio de convergência p > O, então para cada
x E (-p, p) podemos definir uma função f cujo valor em x é a soma da série
C()
JCx) = LcnXn
n={)
Dizemos que a série representa a função f no intervalo de convergência. O domínio da f é o intervalo
(-p, p) acrescido das extremidades onde a série for convergente. É importante mencionar aqui que
muitas séries de potências representam funções que não estão definidas por fórmulas envolvendo
funções conhecidas, ou em outras palavras, muitas funções defmidas como somas de séries de
potências, não são funções elementares. Como exemplo dessa situação, podemos observar que a
função f defmida por
C()
JCx) = ~ xn-:t 2n(n2+n+I)
no intervalo [-2,2] (o raio é p = 2 e a série converge absolutamente nas duas extremidades), não
pode ser escrita de outra forma que não seja como soma dessa série. Neste sentido destacamos que
funções representadas por séries de potências com raios de convergência positivos, definem uma
coleção de funções totalmente novas e que nunca poderiam ser analisadas sem a noção das séries
infinitas.
Também é importante poder representar funções conhecidas por meio de séries pois certas
propriedades dessas funções podem ser deduzidas fácilmente a partir de uma representação por séries.
EXEMPLO (9.56)
A função de Bessel de ordem 0, Jo(x), é defmida pela série
~ (_1)nx2n
Jo(x) = ~ 22n(n!)2
cujo raio p = 00, então Jo(x) está defmida \:j x E [RL
256
A função de Bessel de ordem I, J1 (x), é definida pela série
~ (_l)nx2n+1
J1(x) = L.J 22n+1 '( I)'
n={) n.n+.
CUJO raro p = 00, então J1 (x) está definida V x E~. Ambas funções aparecem em diversas
aplicações na Matemática e Física e nenhuma delas pode ser defmida por meio de fórmulas
envolvendo funções conhecidas.
EXEMPLO (9.57)
1. A série geométrica E:Oxn representa a função fCx) = 1 ~x no intervalo (-1,1)
00
_1_ = 1+ x + x2 + x3 + ... = ~ x", se Ixl < 11 -x L.J
n={)
2. Trocando x por -x na série anterior e observando que l-xl = Ixl,~
00
1 ~x = 1 -x+x2 -x3 + ... = L(-l)nxn, se Ixl < 1
n={)
3. Trocando x por x2 na série anterior e observando que 1x21 < 1 é equivalente a [x] < 1,~
00
1 , = 1 _x2 +x4 -x6 + ... = ~(_I)nx2n, se Ixl < 1
1+x- ;:;
4. Multiplicando a série da parte 3 por x3 ~
DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
Devido às propriedades particulares da convergência das séries de potências no interior dos intervalos
de convergência, é possível provar os dois teoremas seguintes
Teorema (9.58)
Seja E:O c.x" uma série de potências com raio de convergência p > O. Então
:1x (tcn-"\:n) = tncnxn-I
n={) n=1
e o raio de convergência da série derivada coincide com p.
Atenção: os raios das duas séries são iguais, mas os intervalos de convergência
podem ser distintos.
257
Teorema (9.59)
Seja Z::O c.x" uma série de potências com raio de convergência p > O. Então
f(tc.x}x ~C+ t n": 1x""
e o raio de convergência da série integrada coincide com p.
Atenção: os raios das duas séries são iguais, mas os intervalos de convergência
podem ser distintos.
EXEMPLO (9.60)
A função Seno-Integral que aparece na reconstrução de sinais digitais, é defmida por
Si(x) = fX sen(t) dt =t (-I)n x2n+\
o t n=O (2n + 1) !(2n + 1)
tem raio p = 00 e não pode ser definida por uma fórmula elementar.
o teorema (9.59) sobre derivação de séries de potências, pode ser aplicado repetidamente, deduzindo
que se j{x) = E:O c.x" com raio p > 0, então se ~I < p, a derivada k-ésima é dada por
co
jk)(x) = L:n(n - 1)(n - 2)···(n - k + 1)cnXn-k, V k E N
n=k
e todas essas séries têm o mesmo raio p da série original (mas não necessáriamente o mesmo
intervalo de convergência). Em particular, a função f é contínua em (-p, p).
Esta propriedade de continuidade permite afirmar em geral que se j{x) = E~cnxn, V X E (-p,p)
onde p é o raio de convergência da série, e se a E (-p,p), então pela continuidade da f vale a
igualdade limj(x) =j(a) ou seja
X->G
I t~Z:~ cnxn=~~cnan, Va E (-p,p) I
Essa igualdade pode ser interpretada como a afirmação de que o limite de uma soma infinita é a soma
infinita (ou série) dos limites, mas é válida apenas quando a E (-p,p).
A lei da soma de limites vale em geral para somas finitas. Quando a = -p ou a = p, não podemos
garantir a validade da igualdade anterior em geral.
EXEMPLO (9.61)
A função 1 2 pode ser representada pela série
l+x
258
Então integrando em relação a x =?
00
tg-I(x) = J dx = ~(_1)n Jx2ndx1 +x2 L..J
n=O
00
= C + ~ (-I)n x2n+1 se Ivl < 1L..J 2n + 1 ' r"
n=O
Então fazendo x = O obtemos O = tg-I (O) = C =?
tg-I (x) = ",",00 (_1)n x2n+1 se ~I < I
LJn=O 2n + I '
Neste exemplo podemos mostrar mais ainda: a igualdade anterior vale também para ~I :::;1. Para isso,
usamos a fórmula
1 = 1 - t2 + t4 - ... + (-1 )n-It2n-2 + (-Ir~
I+P I+P
que é consequência da igualdade (verificar)
(l-t)(1 +t+t2 +t3 + ... +tn-I) = I-tn
com -t2 no lugar de t. Então integrando entre O e x,
tg-I(x) =x-~+L_ ... +(_1)n-1 X2n-1 +Jx(-1)n~dt
. 3 5 2n - 1 o I + t2
Em particular, se x = 1 ou x = -I, temos
I 1 1 1 J I t2nlL = tg- (1) = 1 - - + - - ... + (_1)n-1 + (-I)n_-dt
4 3 5 2n - 1 o 1 + t2
ou
._lL=tg-I(-I)=-I+1--1-- ... +(_1)n 1 -r-» t2n dt
4 3 5 2n - 1 o 1 + t2
respectivamente. A primeira igualdade pode ser reescrita na forma
tg-1(1) - {I - 1- + 1- - ... + (_1)n-1 I } = JI (-1)n~dt = s, =?
3 5 2n - 1 o 1 + t2
IRnl:::; J11(-ly4Idt= Jll~2ldto I+t o I+t
t2ne como O < -- < t2n =?
- 1 + t2 -
IRnl :::;J
O
I
t2ndt = 1
2n + 1
Isso mostra que limlRn I = O => lim R; = O, e tomando limites para n -+ con-eon-eo
lim{tg-l(l) - [1 - 1- + 1- - ... + (_1)71-1 I J} = O =?
n-+<Xl 3 5 2n - 1
tg-I(1) = lim[1 - 1- + 1- - ... + (_1)n-1 1 ] =?
n-sa: 3 5 2n - 1
00
tg-I(1) = 1 - 1- + 1- - ... + (_I)n-I I + ... = ~(_l)n-I I
3 5 2n - 1 L..J 2n - I
n=1
Para tg-1(-I) o argumento é similar. Em particular mostramos que a série de Gregory que
mencionamos no início da discussão sobre séries infinitas, converge a ~
~--- -_._------- ----------~~~- 259
EXEMPLO (9.62)
A função f representada pela série de potências
00
x x2 x3 ~ x"
j(x) = 1+ TI + 2T + 3T + ... = ~-;if
11=0
está definida \:j x pois o raio da série é 00. Derivando
00 00
! ~ nxn-I ~ xn-I(x) = ~---nr- = ~ (n- I)!
n=1 n=1
e fazendo j = n - 1 =>
00
J(x) = L ~;= j(x)
j=O J.
Queremos mostrar que j(x) = eX: seja
cp'(x) = O \:j x, concluimos pelo TVM
=> I = j(0) = C, logo j(x) = e" =>r---------------------------------~
I x - X x
2 x3 _ ~oo x" Ie-I + TI + 2T + 3T + ... - "'-'11=0 -;if' \:j X •
cp(x) = ~:) => cp'(x) = J (x)eXe~j(x)eX = O então se
que cp(x) = C => j(x) = Ce" e fazendo -x = O
A SÉRIE BINOMIAL
Newton foi o primeiro matemático a descobrir a série binomial para expoentes fracionários. Para
expandir a função (1 + x) c, c constante real, como uma série de potências de x, usamos um
argumento semelhante àquele do último exemplo. Seja j(x) = 2::0 C ~ )xn, onde C ~) denota o
C) c( c-I) (c - 2)·· .(c - n + 1) ( )número combinatório ~ = n! se n =I=- O e se n = O, g = 1. O
raio da série que representa f é calculado como nos exemplos anteriores:
Se Un = IC c )xnl => Un+1 = I c-n I~I=> lim Un+1 = liml c-n I~I= [x] ,então p = 1.n u., n + 1 n--+oo Un n--+oo n + 1 r
Para ~I < 1, a derivada de f é calculada diferenciando termo a termo
~ c( c-I) (c - 2)· ..(c - n + 1) .J (x) = ~ n! nxn-l, e se J = n - 1,
n=1
=t c(c-l)(c-2) ....,(c-j+l)(c-j)xj
j=O J.
= ~ c(c-l)(c-2) ... (c-n+l)(c-n)xn
~ n!
11=0
00
~ c(c-l)(c-2)···(c-n+ l)(c-n)
= c+ ~ x"n! .n=1
_2.6.0 ~
e também
~ c(c-I) (c - 2)· ..(c - n + 1)
xf(x) = L.J , nx"n.n=1
então somamos as duas últimas séries convergentes absolutamente no intervalo (-1, 1) e obtemos
( )/()
~ c(c-l)(c-2)···Cc-n+l){ } n
I+x x = c + L.J , c - n + n xn.n=1
~ c(c-I) (c - 2)· .. (c - n + 1)
= c+ c L.J , x"n.n=1
{ ~
oo c(c-I) (c - 2)· .. (c - n + 1) }
= c 1+ x"n!n=1
logo V ~I < 1
(1 +x)/(x) = cj(x)
Agora consideramos a função ",(x) = (lj(:~t; sua derivada é dada por
'(x) f(x)(1 +x)C - j(x)c(1 +xt-I
'" X = (1 +x)2C
_ f (x) (1 + x)C - cj(x)
- (1 +x)2c
=0
=> ",(x) = C pelo 1VM. Fazendo x = O vem que C = 1 => j(x) = (1 +x)c. Provamos então que
00 c(c-l)(c-2)···(c-n+l) n
(1 +x)" = 1+ 2:n=1 , x , se ~I < 1n.
Muitas funções em Matemática não tem primitivas que possam ser escritas em termos de funções
"elementares", como por exemplo f e=' dx, c constante, ou f dx ,ou seja, nenhuma técnica de
~l -x2
integração conhecida permite "calcular" as primitivas. As séries de potências fornecem um
procedimento sistemático para determinar as primitivas de algumas dessas funções.
EXEMPLO (9.63)
1. Para calcular as primitivas de e-cx2 expandimos a função em série de potências de x e
integramos a série termo a termo:
2 3 n
na série de e' = 1+ f! + ~! + ~! + ... = 2::0 ~! com raio p = 00, substituimos x por
-cx e obtemos a igualdade e-CX = Z::O (-c~r = 2::0 C-l),ncn x", válida V x; agora
n. n.
substituimos x por x2 para obter
------ ~-------_._----------- --- ---------- 261------------
2. Para calcular as primitivas de 1 ,procedemos como no exemplo anterior: primeiroJ./l - x2
I
calculamos a série da função (1- x) -3; essa função é representada por uma série binomial
cujos números combinatórios são(-J ) = (-i-)(-i- -1)(-i-n~2)"'(-i- -n+ 1)
(-i- )(-i- - 1)(-i- - 2)···( -1-~n+3 )
n!
(-1 )(-4)(-7)···(-3n + 2)
3nn!
= (-ly 1.4.7 ... (3n-2)
3nn!
então
(1 )_..L = 1 ~(-I)n 1.4.7 ... (3n-2) n âlid 1""1 1+ x 3 + L.i 3n I X , va 1 o para I"" < .n.
n=l
agora basta substituir x por - x2, e observando que l-x21 < 1 é equivalente a ~I < 1,
temos o desenvolvimento
1 1 ~(I)n 1.4.7 ... (3n-2) ( 2)n âlid--=--- = + L.i - 3n I -x, va 1 o para ~I < I,=>J./l -x2 n=1 n.
1 _ 1 ~ 1.4.7 ... (3n-2) 2n âlid 1""1 < 1.- + ~ 3n I x, va 1 o para I""b -x2 n=l n.
Então
1.4.7 ... (3n - 2) 2n+1
3nn!(2n+ 1) x ,se ~I < 1
3. A série da função inversa sen" (x) : neste exemplo vemos que se j(x) = sen"! (x) então
j(x) = 1 então como no exemplo anterior
Jl-x2
(1 +x)-t = 1 +f (-f )xn, se ~I < 1
n=1
262---- --- ---------'-------------
e Vn ~ 1
(
-~ ) = (_I)n 1.3.5 ... (2n-l)
n 2nn!
substituindo x por - x2 e notando que l-x21 < 1 é equivalente a ~I < 1,
(1- 2)-~ = 1 ~ 1.3.5 ... (2n-l) 2nX + L.J 2nn! x, se ~I < 1
n=1
então
00
J dx - C ~ 1. 3. 5 ... (2n - 1) 2n+ 1--;::::===- - +x +.L..J 2nn!(2n + l ) x ,se ~I < 1Jl -x2 n=1
Se x = O => sen " (O) = O => C = O :.
I() "'00 1.3.5 ... (2n-l) 2n+1
sen- x = x + "'-.In=1 2nn!(2n + 1) x ,se ~I < 1
4. Alguns casos especiais da série binomial:
a. _1_ = (1+X)-I = 1+ ",00 (-1 )xn se [x] < 1;neste caso1 + X "'-.II/=:) n ' r"
(
-1 ) = (-1 )(-2)(-3)···(-1 - n + 1)
n n!
= (_l)n 1.2.3... n
n!
= (_l)n =>
b. 1 = (1 +X)-2 = 1+ :E:1 (-; )xn, se ~I < 1; neste caso(1 + X)2
(-2) = (-2)(-3)(-4)···(-2-n+l)n n!
= (_l)n 1.2.3.4 ... (n+ 1)
n!
= (-lr(n+ 1) =>
1 = 1+:Eoo (-lr(n+ l)xn, se jx] < 1
(1 + x)2 n=1
c. Destacamos o desenvolvimento obtido na parte 3 acima,
(1 +x)-~ = 1 + t(-lt 1.3.5·2}~n-l) xn, se ~I < 1, ou
n.
n=1
1 = 1 _ .l.x + ilx2 _ ..L.lix3 + 1. 3. 5. 7 x4 - ... se ~I < 1.ff+X 2 2.4 2.4.6 2.4.6.8 '
263
d. Também temos com cálculos semelhantes,
(I )..1..=1 ~(_I)n1.1.3.5 ... (2n-3) n+X 2 + L.J 2n , x ,n.
n=1
se jxl c l , ou
!f+X = 1+ 1..x - _1_x2 + ~x3 - 1.3.5 x4 + ... se Ixl< 12 2.4 2.4.6 2.4.6.8 '
e. A série de ln(1 + x); para esta função temos que dxd (ln( 1+x) = -1_1_, então. +x
integrando termo a termo o desenvolvimento Ilx = ~:O(-Itxn válido se
~I< 1, obtemos ln(1+x)= C+~:o S-!); xn+l, e fazendo x=o vem que
C = O =>
00 (_I)n
ln(1 + x) = ~ xn+1 se Ixl< 1.n=<ln+I '
Trocando x por -x na representação anterior deduzimos
Iln(1-X) = -~:o nh-Xn+I, se Ixl< 1.1
e subtraindo as duas senes anteriores obtemos com o cancelamento dos termos
correspondentes aos valores ímpares de n,~--------------------------~
Iln 1+x = 2~00 x
2n+1 se Ixl< 1.1
. 1 - x n=<l 2n + 1 ' .
Outra observação que podemos fazer em relação a essas séries é a seguinte: \;f n vale a
igualdade
1- t + t2 - t3 + ... + (-1 t t" + (-1)n+I tn+I = _1_ =>
I+t I+t
SI (1- t+ t2 - t3 + ... + (-1ttn)dt = SI --1lL - (-1)n+1 SI ~dt =>o ol+t oI+t
1 1 1 (-It n+1 fi tn+11-2+3-4+.'.+ n+I =ln(2)-(-I) o I+tdt
Mas se t E [0,1] => 1(-1 )n+1 J~ ::It dtl s J~I t;1 Idt = ~ n! 2 . Esta expressão
tende a O quando n -+ 00 e então
lim(I _1.. + 1.._1.. + ... + (_I)n ) = ln(2) -lim(-I )n+1 SI tn+1 dt) = ln(2)
n-.oo 2 3 4 n+I n-+oo o I+t
10 b I·· ,. ~oo (_I)n-Ie ornem ro tem como umte a sene L.Jn=1 n =>
1 1 1 00 (_1)n-1
ln(2) = 1 - 2 + 3 - 4"+ ... =L n
n=1
Se fizermos x = - ~ no desenvolvimento de ln(1 +x) obtemos
264
00
ln(l..) - _ ~ 1
2 - .LJ 2n+l(n+l)
n=l
e levando em conta que ln( à ) = -ln(2) =>
Da equação 1+ x = 2 obtemos
l-x
x = l.. resulta
3
00
_ 1 1 1 _~ 1
ln(2) - 2.4 + 3.8 + 4.16 + ... - L.J 2n+l(n + 1)
n=l
X = j, então na expansão de ln 1+xl-x com
00
2 1 2 2 ~ 2
ln(2) = T.3'l + 3.33 + 5.35 + 7.37 + ... = ~ (2n + 1)32n+l
Obtivemos então três desenvolvimentos distintos com a mesma soma In(2); dos três, o
mais conveniente é o terceiro pois percebemos fácilmente que seus termos são
comparativamente menores o que assegura uma convergência mais rápida, ou em outras
palavras, somando menos termos na 3a série, teremos uma precisão maior no cálculo
de ln(2).
EXEMPLO (9.64)
fu fi) ln(1 + x) rÓ» d ~. d' I de multiI· -A expansão da nção x = 1 em sene e potências e x, e um exemp o e mu tip icaçao+x
de séries de potências que resulta em uma série notável pela forma de seus coeficientes
fix) = ln(1 +x)(_I_) = (x- ~ + ~ - ~ + ... )(1 -x+x2 -x3 +x4 - ••• )
l+x 2 3 4
= x - ( 1+ à )x2 + ( 1 + à + j )x3 - ( 1+ à + j + !)x4 + ...
e essa série, com sinais alternadamente positivos e negativos, converge absolutamente se ~~I< 1.
Relacionada com as representações de funções por séries, aparece naturalmente a questão seguinte:
Quais funções podem ser representadas por séries de potências?
Essa pergunta está relacionada com a questão de saber se é possível aproximar uma função geral por
polinômios e em caso afirmativo, como fazé-lo.
A fórmula que iremos mostrar foi descoberta no começo do desenvolvimento do Cálculo por Taylor,
um estudante de Newton, e é conhecida como a Fórmula de Taylor. Essa fórmula permite escrever
uma função "bem comportada" em um intervalo, como um certo polinômio particular mais um termo
de correção que representa o "erro" entre os valores da função e do polinômio
j{x) = Pn(x) + R;
Antes de analisar esse problema, fazemos as seguintes observações: se uma função f pode ser
representada por uma série de potências em um ponto Xo com raio de convergência positivo,
---------- 265
2 ~ nJCX) = Co + C\(X -Xo) + C2(X-XO) + ... = ~ClI(X -XO)
n=O
então os coeficientes c; da série estão totalmente determinados pela funçãoj:
Diferenciando sucessivamente e fazendo depois x = Xo,
00
fl)(x) = Lncn(x-xo)11-1 :=) fI) (xo) = CI
n=\
co
f2)(X) = Ln(n-l)cn(x-xo)11-2 :=)f2)(xO) = 2!C2
n=2
00
f3)(X) = Ln(n -l)(n - 2)cn(x -xO)11-3 :=) f3)(xO) = 3!C3
n=3
etc, então em geral,
Conclusão Se JCx) é representada por uma série de potências na forma
00
JCx) = Lcn(x-xot
n=O
com raio de convergência positivo, então Cn = fn)(xo), V n.n!
Cuidado : a conclusão anterior afirma que se f é representada por alguma série de potências
convergente à própria JCx) em um certo intervalo (o intervalo de convergência), então os
coeficientes devem ser necessáriamente dados por c; = fn)(~o), V n, e nesse caso teremos
n.
JCx) = t fn)~~o) (x - xo)n
11=0
e o raio de convergência será positivo. Essa série de potências é a Série de Taylor da f no ponto
Xo·
Pergunta:
Dada uma função f indefinidamente diferenciável em um ponto Xo, a série de Taylor dessa função
J, . ~oo fn)(xo) ( )n JC) .sempre representa a ou seja ~n=O , x - xo = x, em um mtervalo em tomo de Xo ?n.
Resposta: INÃO Iem geral.
Observe o seguinte exemplo
266 ---
EXEMPLO (9.65)
Seja
{
...l..
JCx) = o x2
se
se x"* O . Se x "* O, calculamos as derivadas
x=O
1
fn)(x) = (polinômio em 1)e-~ V n e daí concluimos que
fl)(O) = lim JCÓ.x:) = O
ill-+O ~x
1
(polinômio em 1x) e- ~2
f2)(0) = lim = Oill--.O 6..,'(
e assim por diante => fn)(o) = O V inteiro positivo n, então
~ fn)(O) xn == O V xL.J n!
n=\J
então sendo JCx) > O V x "* O => j(x) =1= 1:00 fn)(O) x" "Ix =1= O, ou seja a série de Taylor da f
n=\J n!
coincide com a própria função apenas no ponto Xo = O.
Então quando procuramos representar uma função j(x) por uma série de potências em um ponto xo,
a série 1:00 fn)(~o) (x-xo)n deve ser considerada a candidata natural, mas também deve ser
n=\J n.
provado que essa série converge a j(x) V x pertencente a algum intervalo em tomo de Xo. No
Exemplo (9.68) indicamos exatamente como realizar esse procedimento corretamente ..
De um modo geral, quando queremos determinar a representação de uma dada função f como uma
série de potências em um ponto Xo, determinar a série de Taylor da f em xo, resolve completamente
o problema, apenas se fornecemos uma prova que essa série converge a j(x) em todo um
intervalo que contém xo.
Teorema (9.66) (Teorema de Taylor)
Seja f uma função definida e com derivadas de ordem até n + 1 em um intervalo I
que contém os pontos a e x. Então se Pn (x) denota o polinômio
Pn(x) = JCa) + fl~~a) (x - a) + f2~~a) (x - a)2 + ... + fn~~a) (x - ar, a diferença
Rn = j(x) - P n(x), pode ser escrita na forma
s, = ~ fh (h - ryfn+l) (a + r)dr
n. o
Observação Pn(x) é o "polinômio de Taylor de/no ponto a"; sua importância não consiste
em poder escrever JCx) como a soma Pn(x) + Rn, (qualquer polinômio serve
para isso), mas no fato que R; pode ser escrito fácilmente de uma forma
muito útil e apropriada para o cálculo aproximado de valores da função f
Um cálculo simples mostra também que as derivadas de P n(x) no ponto a,
267
coincidem com as derivadas de f em a até ordem n, p~k)(a) = f"k) (a)
k=O,I, ... ,n.
Seja Pn(x) = JCa) + fl~~a) (x - a) + f2;~a) (x - a)2 + ... + fn:~a) (x - at , e
Rn = JCx) - Pn(x)
Pensemos a x como fixo e a variável na equação que define R; => R; depende de a e
escrevemos então R; = Rn(a) e se a = x, Rn(x) = O. Na equação R; = JCx) - Pn(x)
diferenciamos em relação à variável a e obtemos
ia (Rn(a» = 0- ia (.tca) + fl~~a) (x - a) + f2~~a) (x - a)2 + ... + fn:~a) (x - ar )
(
f2)(a) fI) (a) f3)(a) f2)(a) fn+I)(a)
=- fI) (a) + (x-a)- + (x-a)2-2 (x-a)+···+ (x-àI! I! 2! 2! n!··
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e concluimos que
Rn(a) = Rn(a) - Rn(x) = J:R~(t)dt
Ia Ân+I)(t)= - j' , (x-tYdtx n.
Jx fn+I)(t)= (x - ty'dta n!
e se escrevemos h = x - a,
Rn(a) = -.l, r+hfn+1) (t)(a + h - tYdt
n. a
e fazendo a substituição r = t - a, com dr = dt =>
IRn = ~ S:(h-T)nfn+l)(a+ T)dTI
Isto finaliza a demonstração .•
o n-ésirno polinômio de Taylor fornecerá uma boa aproximação dos valores JCx) se o resto R; for
suficientemente pequeno. Então dirigimos nossa atenção ao problema de determinar estimativas do
resto. O seguinte teorema dá uma condição suficiente sobre a função f que garante que R; tende a
zero em um intervalo quando n -+ 00 :
Teorema (9.67) (Desigualdade de Taylor)
_._--- _ ..._-------- _._.-268
Se lfn+') (x) ! < M V x E I e V n =>
IRnl::::: (n ~1 )! lx - aln+l, V n.
Prova
Basta observar que
IRnl::::: ~! S:(h-rtlfn+')(a+r)!dr::::: ~ S:(h-rtdr = (n~I)! Ix-aln+'··
EXEMPLO (9.68)
As representações das funções sen(x) e cos(x) em potências de x. Neste exemplo determinamos as
séries de Taylor de cada função no ponto Xo = O, e enseguida mostramos que elas convergem à
função correspondente no intervalo (-00,00).
1. Seja j(x) = sen(x), então
j(x) = sen(x) = f4)(X) = f8)(x)
f')(X) = cos(x) = f5)(x) = f9)(x)
f2)(x) = - sen(x) = f6)(x) = f'O)(x)
f3)(x) = -cos(x) = f7)(X) = f")(X)
etc. Fazendo x = O obtemos
f2n+l)(o) = {I se n for par
-I se n for ímpar
Todas as derivadas da f de ordem par são nulas em x = O => a série de Taylor de sen(x) no
O r ,,<Xl (_l)n 2n+1ponto , e LJn=IJ (2n + I)! x .
Atenção: não podemos concluir ainda que a soma dessa série é sen(x). Para isso, usamos a
Fórmula de Taylor correspondente a Xo = O :
_ _ x3 x5 (_l)n 2n+1 .
sen(x) - P2n+1(x) + R2n+1 - X - 3T + 5f - ... + (2n + 1)! x + R2n+1
{
I± sen(x) I
Observamos que lfn)(x)! = I I ' dependendo da paridade de n. Então em
± cos(x)
qualquer caso temos lfn)(x)! :::::1 V n ,
lx12n+2
logo, IR2n+11::::: (2n + 2)! pela desigualdade de Taylor, e essa expresão tende a O quando
n --+ 00 para qualquer x => llmR2n+1 = O V x. Calculando limites quando n --+ 00 na
Fórmula de Taylor,
269
sen(x) = lim(sen(x» = lim(P2n+1 (x) +R2n+1(x)n~ n-sa:
- ~ (-1Y x2n+1 V X E ~- f:::t (2n + I)!
2. Se g(x) = cos(x), cálculos similares mostram que
{
I seg(2n)(0) =
-1 se
n for par
n for ímpar
Todas as derivadas da g de ordem ímpar são nulas em x = O => a série de Taylor de cos(x)
O ' ~co (_l)n 2nno ponto ,e ~n=O (2n)! x .
Atenção: não podemos concluir ainda que a soma dessa série é cos(x). Para isso, usamos a
Fórmula de Taylor correspondente a Xo = O :
_ x2 x4 x6 (_l)n 2n
cos(x) = P2n(X) +R2n - 1 - 2f + 4T- 6f - ...+ (2n)! x +R2n
Sendo que !g(n) (x) ! = { I±sen(x) I dependendoda paridade de n, concluimos que
I±cos(x)I
~12n+l
!g(n) (x) ! :s 1 V n, e pela Desigualdade de Taylor obtemos IR2nl:S (2n + 1)! . Essa expresão
tende a O quando n -+ 00 para qualquer x => lirnR2n = O V x. Calculando limites quando
n-+co
n -+ 00 na Fórmula de Taylor,
cos(x) = lirn(cos(x» = lim(P2n(x) + R2n(X»n~ n-KIJ
~ (-I)n
= f:::t (2n)! x2n V x E ~.
o Exemplo anterior fornece as primeiras "fórmulas", desde o início deste curso de Cálculo, que
definem cada função trigonométrica sen(x) e cos(x).
EXEMPLO (9.69)
Neste exemplo aproximaremos o valor sen " (O, 5) usando os quatro primeiros termos não nulos da
série
co
-1() ~ 1.3.5 ... (2n-l) 2n+1 Ivl
sen x = x + ~ 2nn!(2n + 1) x ,se tA' < 1
n=1
e estimaremos a erro da aproximação;
sen-1(0 5):::::0 5+ 1 (05)3+ 1.3 (05)5+ 1.3.5 (05)7:::::0523526
, , 2.1!.3' 22.2!.5' 23.3!.7' ,
arredondando na 6a casa decimal.
Pode ser usado o teste do quociente para mostrar que a série de sen " (O, 5) converge: seja
1.3.5 ... (2n-l) _
u; = então
2nn!(2n + 1)22n+1
_________ 2}SL . _
r = Un+1
n u;
1. 3. 5... (2n - I )(2n + I)
23n+4(n + I)!(2n + 3)
1.3.5 ... (2n-I)
n!(2n + I )23n+1
(2n + 1)2= ~~~--~----
23(n + 1)(2n + 3)
4n2 + 4n + I
8(2n2 + 5n + 3 )
e lim Un+1 = .Í, = L < 1. Fácilmente verificamos que a sequência {rn} é decrescente e então o
n-o<rJ u; 4
erro é
UsR~ S ...,....:~-
I - rs
u~
Us - U6
S 7,3 x lO-s
= 0,000073 < 0,00005 ~
podemos garantir que o valor aproximado 0,523526 tem 4 casas de precisão, ou seja,
-Isen (0,5)::::: 0,52352
• com um erro inferior a 5x I 0-5•
EXEMPLO (9.70)
Vamos estimar o erro nas aproximações da raiz r de uma equação j(x) = O usando o método de
Newton. Esse método fornece a seguinte sequência que aproxima o valor r
I ... I j(xn) \.-I Iva or mlCla XI; Xn+1 = x; - f(xn) V n 2: .
Tomando a = Xn, X = r e supondo que V z em um intervalo I que contém a raiz r, Xn e Xn+I,
valem as desigualdades lf'(z)1 S M e JI(z) I 2:N, obtemos, aplicando a desigualdade de Taylor,
máxlf2)(z) I
lf{x) - (f(a) +f (a) (x - a)} I S 2 Ixn - rl2
e então sendo j(x) = O e j(a) = j(xn),
lf{xn) +f (xn)(r - xn)1 S ~ Ixn - rl2
lf(xn)II;~:) - (xn -r) I S ~ Ixn _r12
I
j(xn)
f(xn)
- X + r I < M I.•.. - rl2 ~n - 2N r"n
1xn+1- ri S tfv Ixn - rl2
Isso significa que se a estimativa do erro na etapa n-ésima for Ixn - ri < lO-k, então a estimativa na
etapa seguinte será Ixn+l - ri < .ffv 1O-2k, ou seja, se a constante .tfv S 5, a precisão da
271
aproximação Xn+\ dobra devido ao expoente 2 em relação à aproximação anterior x.;
Finalmente respondemos a pergunta que formulamos no início:
Quais funções podem ser representadas por séries de potências?
Uma função que possui derivadas de todas as ordens em um intervalo aberto I, pode ser representada
em I por sua série de Taylor em um ponto Xo desse intervalo, se limRn(x) = ° \;j X E I, onde Rn(x)n-sa:
denota o resto n-ésimo da Fórmula de Taylor
Devemos reconhecer que esta não é uma resposta muito esc1arecedora pois mostrar que limRn(x) = °
n-+oo
\;j x de um intervalo é em geral dificil. A desigualdade de Taylor dá uma condição suficiente
razoávelmente simples de verificar para muitas funções e que garante a representação
j(x) = ~ .fn)(xo) (x-xorL.J n!
n=()
\;j x em um intervalo em torno de Xo ..
EXEMPLO (9.71) (Estimativas do resto n-ésimo em intervalos)
3 5
A partir da representação sen(x) = x - ~! + ~! - ... , queremos determinar em qual intervalo em
tomo de Xo = ° da forma (-8,8), o polinômio de Taylor P3(X) = x - ~~ aproxima o sen(x) .com
um erro inferior a 10-3 = 0,001.
O polinômio P3(X) = P4(X) e podemos assegurar que
3
sen(x) = P3(X) + R3(X) = P4(X) + R4(X) = X - ~! + R4(X)
e IR4(x)l:S ~I;, então se escolhemos
~15x E (-8,8), ---s! < 0,001. Tomamos
Seja então 8 = 0,6 => IR4(X) I < 0,001.
8 de tal modo que ~~ < 0,001 podemos assegurar que \;j
\
8 tal que 85 < (120)(0,001) => 8 < (0,12) 5" ~ 0,65....
EXEMPLO (9.72)
Quantos termos da série de Taylor de sen(x) no ponto °devem ser somados para assegurar que o erro
seja inferior a 0,00001 \;j X E (-t, ~)? Sabemos que
( ) x3 x
5 (_l)n 2n+\ R ()sen x = x - 3f + 5T - ... + (2n + I)! x + 2n+\ X
n tal que IR2n+2(x) I :s 0,00001 \;j ~I < t = 0,5
~12n+3
(2n + 3 )! ' então devemos encontrar o menor
(0,5 )2n+3
ou seja (2n + 3)! < 0,00001. Se E; =
e como R2n+\ = R2n+2, temos a estimativa IR2n+2(X) I :s
(0,5 )2n+3
(2n + 3)! => E\ ~ 2,6 X 10-4; E2 ~ 1,5 x 10-6 e então basta tomar n = 2. Então podemos
272
--------------_ ....
assegurar que se ~I < 0,5
x3 xSsen(x) ~ x - - + -3! 5!
com um erro inferior a 2x 1O-{) •
EXEMPLO (9.73)
A série de Taylor da função Seno-Integral Si(x) convergente "i/ x real, é dada por
S.( ) - ~ (-I)n 2n+\
I X - ~ (2n + I ) !(2n + 1 ) X
x3 xS=x---+---···3!.3 5!.5
com p = 00. Queremos estimar o erro quando aproximamos Si(x) pelo polinômio de Taylor
x3 xSPs(x) = x- 3!.3 + 5!.5 nos intervalos
I = [_l.. +l
2 ' 2
ii 1=[-1,1].
Para a parte i, observamos que a série que defme Si(x) é alternada quando x > O, então
podemos usar a estimativa do erro dada no teorema (9.35),
ISi(x) - Ps(x)1 ~ t~~
Quando x < O ,sendo Si(x) uma função ímpar, vale a mesma estimativa para os x
negativos, então se x E [--t,+] :::::}~I ~ i :::::} -.
~17 1 1-- < < 2,3 X 10-7 < 3 X 10-77!.7 - 7!.7.27 4.515.840
Para a parte ii, se x E [-1,1]:::::} ~I ~ 1 :::::}
< 3 x lO-s.
~17 1--<--=7!.7 - 7!.7 35i80 < 2,9 X 10-5
273
------ ---------- - -- - - -- --- _._-- - -- -.