P2 CALCULO 3 ALINE COM GABARITO

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T02
Prof.a: Aline Data: 07/11/2017
1a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Considere a integral dupla
∫
4
0
∫ √
4−y
4−y
2
f(x, y) dx dy,
onde f e´ uma func¸a˜o cont´ınua sobre a regia˜o de integrac¸a˜o.
(a) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o no plano xy. (1,0 pt)
(b) Escreva uma integral dupla, equivalente a`quela apresentada no enunciado desta
questa˜o, invertendo a ordem de integrac¸a˜o de maneira apropriada. (1,0 pt)
2a Questa˜o: Considere a integral dupla
∫ ∫
D
dx dy,
onde D e´ a regia˜o no plano xy limitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = 4y.
(a) Esboce a regia˜o D no plano xy. O que essa integral dupla representa geometricamente
em relac¸a˜o a` regia˜o D? (1,0 pt)
(b) Use mudanc¸a para coordenadas polares para calcular a integral dupla dada.
(1,5 pt)
3a Questa˜o: Esboce o so´lido E =
{
(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x
2
, 0 ≤ z ≤ 4
}
e
calcule a integral tripla ∫ ∫
E
∫
2 cos(x2)√
z
dy dx dz.
(2,5 pt)
4a Questa˜o: Use integral tripla para calcular o volume do so´lido E ⊂ R3, o qual esta´
limitado inferiormente pelo plano xy, limitado superiormente pelo cone z =
√
x2 + y2
3
e
limitado lateralmente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4. Esboce o so´lido E. (3,0 pt)
Formula´rio:
sen 2θ + cos2 θ = 1 cos2 θ =
1 + cos(2θ)
2
sen 2θ =
1− cos(2θ)
2
Boa Prova!