TESTES DE COMPARAÇÕS DE MÉDIAS E DE GRUPOS DE MÉDIAS 2017 1

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CAP III - TESTES DE COMPARAÇÕS DE MÉDIAS E DE GRUPOS 
DE MÉDIAS 
 
INTRODUÇÃO 
Os modelos de análise de variância basicamente são usados para 
analisar os efeitos de um ou mais fatores (variável independente sob 
estudo) sobre a variável dependente. 
O teste de F tem seu emprego na análise de variância dos 
delineamentos experimentais. Ele é usado para comparar variâncias, e 
é um teste preliminar que estabelece se é necessária uma detalhada 
análise dos efeitos dos níveis do fator. 
Se o teste F leva a conclusão que os efeitos dos níveis do fator são 
iguais, a implicação é que não existe nenhuma relação entre o fator e 
a variável dependente. Por outro lado, se o teste F leva a conclusão 
que nem todos os níveis do fator têm efeitos iguais, a implicação é que 
existe uma relação entre o fator e a variável dependente. 
Em experimentos envolvendo mais que dois tratamentos (ou níveis do 
fator), quando o teste F leva a rejeição da hipótese de igualdade dos 
efeitos de tratamentos, geralmente é de interesse saber onde estão 
estas diferenças. 
Isso pode ser feito pela comparação direta dos tratamentos (ou efeitos 
dos níveis dos fatores), usando técnicas de estimação. Para tanto, 
podem estimar contrastes entre níveis do fator em estudo e também 
as variâncias dessas estimativas, e assim, aplicar um teste de médias. 
Existe um número grande de procedimentos para comparações, 
usados posteriormente à análise de variância com o teste F 
significativo, para se identificar os níveis dos fatores que diferem 
estatisticamente entre si, cada fundamentado num particular conjunto 
de suposições que o torna efetivo para os propósitos específicos. Pelo 
exposto acima, notamos que o melhor procedimento vai depender de 
cada caso particular. 
 
TESTE DE TUKEY 
 
O teste de Tukey () é usado na análise de variância para comparar 
todo e qualquer contraste entre duas médias de tratamento. É o teste 
de comparação de médias de tratamentos mais usado na 
experimentação agronômica, por ser bastante rigoroso e de fácil 
aplicação. 
O teste de Tukey, baseado na amplitude total estudentizada, pode ser 
utilizado para comparar todo e qualquer contraste entre duas médias 
de tratamentos, ou seja, para os  
2
1nn II 
 contrastes do tipo 
Yk = mi – mj; para i  j, em que nI é o número de tratamentos ou 
número de níveis em estudo. 
Este teste baseia-se na diferença mínima significativa (d.m.s.) 
representada por  e dada por: 
 
 YV
2
1
qΔ ˆˆ
 
em que: 
  = diferença mínima significativa; 
q = é o valor tabelado da amplitude estudentizada, que obtido 
em função: 
 q (n1 ; n2) , em que: 
  = é o nível de significância; 
 n1 = número de tratamentos ou níveis do fator; e 
 n2 = graus de liberdade do resíduo, da análise de variância. 
 
A estimativa da variância da estimativa da variância do contraste é 
dada por: 
 









ji r
1
r
1
QMResYV ˆˆ
 
Para ri  rj, o cálculo de , é dado pela seguinte fórmula: 
 
QMRes
r
1
r
1
2
1
qΔ
ji









 
Para ri = rj = r, o cálculo de , é dado pela seguinte fórmula: 
r
QMRes
qΔ
 
 
Para realização do teste Tukey, é necessário: 
a) enunciar as hipóteses: 
Ho : mi = mj 
Ha : mi  mj para i  j; 
b) obtenção das estimativas dos contrastes, 
jik mˆmˆYˆ 
, com base 
nos valores amostrais; 
c) cálculo da diferença mínima significativa (); 
d) concluir a respeito da significância dos  
2
1nn II 
 contrastes em teste, 
usando a seguinte relação: se 
ΔYk 
ˆ
, rejeita-se Ho; se 
Δˆ kY
 não 
rejeita-se Ho. 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra, 
não diferem entre si, ao nível % de probabilidade, pelo teste Tukey. 
 
 
TESTE DE DUNCAN 
 
O teste de Duncan (D) é também usado na análise de variância para 
comparar todo e qualquer contraste entre duas médias de 
tratamentos. É menos rigoroso que o teste de Tukey, pois pode 
detectar diferença significativa entre duas médias quando o teste de 
Tukey não o faz. 
O teste de Duncan foi introduzido em 1955, sua aplicação é bem mais 
trabalhosa do que a do teste de Tukey, mais chega a resultados mais 
detalhados e se discrimina com mais facilidade entre os tratamentos, 
isto é, o teste de Duncan indica resultados significativos em casos em 
que o teste de Tukey não permite obter significação estatística. 
Tal como o teste de Tukey, o teste de Duncan é um procedimento 
sequencial, válido para a totalidade dos contrastes de duas médias do 
tipo 
jik mˆmˆYˆ 
. 
O teste de Duncan necessita a prévia ordenação das médias, dos 
tratamentos (níveis do fator) em estudo. Este teste baseia-se na 
amplitude total mínima significativa (Di) dada por: 
 YV
2
1
zD ii
ˆˆ
 
em que: 
 Di = amplitude total mínima significativa; 
zi = é o valor tabelado da amplitude total estudentizada, que é 
obtido em função: 
 z  (n1 ; n2) . Em que: 
  = é o nível de significância; 
 n1 = número de médias ordenadas abrangidas pelo contraste, 
entre tratamentos ou níveis do fator em estudo; e 
 n2 = graus de liberdade do resíduo, da análise de variância. 
 
Obs.: Como se trata de um processo sequencial, n1 varia seu 
valor durante a aplicação do teste. 
 
Para ri  rj, o cálculo de Di, é dado pela seguinte fórmula: 
QMRes
r
1
r
1
2
1
ZD
ji
ii 








 
Para ri = rj = r, o cálculo de Di, é dado pela seguinte fórmula: 
 
r
QMRes
ZD ii 
 
 
Para realização do teste Duncan, é necessário: 
a) Hipóteses: Ho : mi = mj 
 Ha : mi  mj para i  j; 
b) Ordenar as médias dos tratamentos ou fator em estudo em ordem 
crescente ou decrescente; 
c) Obter o valor da estimativa do contraste, entre a maior e a menor 
média 
jik mˆmˆYˆ 
, com base nos valores amostrais; 
d) Calcular o valor da diferença mínima significativa (Di), com base no 
número de médias ordenadas abrangidas pelo contraste (n1 = i); 
e) Concluir a respeito da significância do contraste em teste, usando o 
seguinte critério: 
a) Se o valor de Di for maior do que o módulo da estimativa do 
contraste, não rejeita-se Ho e as médias são ligadas por um 
traço, indicando que não há diferença entre elas; 
b) Caso contrário, reduzir de uma unidade o valor de n1. Calcula-se 
o novo valor de Di e, para todos os pares de médias que não 
estejam ligadas por um mesmo traço e que envolvem n1 médias, 
repetir o procedimento que consta no item c e nos seguintes; 
f) Proceder ao item c e seguintes até que n1 = 2. 
Obs.: Quando a maior média não diferir significativamente da menor, 
não se admitirá diferença significativa, entre as médias 
intermediárias. 
 
Conclusão: as médias unidas por uma mesma barra, não diferem 
entre si, ao nível % de probabilidade, pelo teste Duncan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
1) Para os dados fornecidos a seguir, conclua pelos teste de Tukey e 
Duncan, Considerando o nível de significância igual a 5%. 
 
7,126mˆ1 
 
2,135mˆ2 
 
3,103mˆ3 
 
9,98mˆ4 
 
5,71mˆ5 
 
0,153mˆ6 
 
25D6 
 
23D5 
 
20D4 
 
15D3 
 
10D 2 
 
19
 
 
TESTE DE TUKEY 
 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj p/ i  j 
19
 
 
0,153mˆ6 
 a 
2,135mˆ2 
 a b 
7,126mˆ1 
 b 
3,103mˆ3 
 c 
9,98mˆ4 
 c 
5,71mˆ5 
 d 
 
261 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 153,0 – 135,2 = 17,8 não significativo 
 
162 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 153,0 – 126,7 = 26,3 * significativo------------------------------------------------- 
 
121 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 135,2 – 126,7 = 8,5 não significativo 
 
322 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 135,2 – 103,3 = 31,9 * significativo 
--------------------------------------------------- 
 
311 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 126,7 – 103,3 = 23,4 * significativo 
--------------------------------------------------- 
431 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 103,3 – 98,9 = 4,4 não significativo 
 
532 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 103,3 – 71,5 = 31,8 * significativo 
-------------------------------------------------- 
 
541 mmY ˆˆ
ˆ 
= 98,9 – 71,5 = 27,4 * significativo 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade, pelo 
teste de Tukey. 
 
TESTE DE DUNCAN 
 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj p/ i  j 
 
0,153mˆ6 
 a 
2,135mˆ2 
 b 
7,126mˆ1 
 b 
3,103mˆ3 
 c 
9,98mˆ4 
 c 
5,71mˆ5 
 d 
 
256D
 
56 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 153,0 – 71,5 = 81,5 * significativo 
 
235D
 
461 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 153,0 – 98,9 = 54,1 * significativo 
522 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 135,2 – 71,5 = 63,1 * significativo 
 
204D
 
361 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 153,0 – 103,3 = 49,7 * significativo 
422 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 135,2 – 98,9 = 36,3 * significativo 
513 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 126,7 – 71,5 = 55,2 * significativo 
 
153D
 
161 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 153,0 – 126,7 = 26,3 * significativo 
322 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 135,2 – 103,3 = 31,9 * significativo 
413 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 126,7 – 98,9 = 27,8 * significativo 
534 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 103,3 – 71,5 = 31,8 * significativo 
 
102D
 
261 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 153,0 – 135,2 = 17,8 * significativo 
122 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 135,2 – 126,7 = 8,5 não significativo 
313 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 126,7 – 103,3 = 23,4 * significativo 
434 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 103,3 – 98,9 = 4,4 não significativo 
545 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 98,9 – 71,5 = 27,4 * significativo 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade, pelo 
teste de Duncan. 
 
2) Foi montado um experimento no DIC com o objetivo de verificar 
qual meio de cultura (A, B, C, D) propicia maior crescimento de 
colônias bacterianas. o número de colônias bacterianas, 48 horas 
após a inoculação é dado abaixo: 
 Totais 
A - 19 31 15 30 95 
B 40 35 46 41 33 195 
C 39 27 20 29 45 160 
D 27 12 13 28 30 110 
 560 
Pede-se o nível de significância igual a 5%: 
a) Comparar as médias pelo teste de Tukey. 
b) Comparar as médias pelo teste de Duncan. 
 
  400.18
30
28
...
31
19
3028...3119Y´Y 

















 
 
 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
 

















50005
05005
00505
00044
000019
M
 





















51000191
05100191
00510191
00041191
0000191
M 1
 
 
 








































































 
47,7
53,2
53,9
72,5
47,29
110
160
195
95
560
51000191
05100191
00510191
00041191
0000191
YX'M
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
mˆ
βˆ 1
4
3
2
1
 
 
 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
  25,401.17
110
160
195
95
560
47,753,253,972,547,29 

















 
 
SQResíduo = Y’Y - 
YX''βˆ
 = 18.400 – 17.401,25 = 998,75 
 
 
Quadro da Análise de Variância 
 
F.V. G.L. SQ QM F 
Tratamento 3 
Resíduo 15 998,75 66,58 
Total 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESTE DE TUKEY 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj p/ i  j 
 
q 0,05 ( 4; 15) = 4,08 
14,8866,58
5
1
5
1
2
1
4,08Δ1 






 
 
15,7966,58
4
1
5
1
2
1
4,08Δ2 






 
 
 
00,39mˆB 
 a 
00,32mˆC 
 a b 
75,23mˆA 
 a b 
00,22mˆD 
 b 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade, pelo 
teste de Tukey. 
 
TESTE DE DUNCAN 
 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj p/ i  j 
 
 
DB mmY ˆˆ
ˆ 
 = 39,00 – 22,00 = 17,00 * significativo 
z 0,05 ( 4 ; 15) = 3,25 
11,8666,58
5
1
5
1
2
1
3,25D4 






 
 
 
AB mmY ˆˆ
ˆ 
 = 39,00 – 23,75 = 15,25 * significativo 
 
DC mmY ˆˆ
ˆ 
 = 32,00 – 22,00 = 10,00 ns não significativo 
z 0,05 ( 3 ; 15) = 3,16 
12,2366,58
4
1
5
1
2
1
3,16D3 






 
11,5366,58
5
1
5
1
2
1
3,16D '3 






 
 
CB mmY ˆˆ
ˆ 
 = 39,00 – 32,00 = 7,00 ns não significativo 
z 0,05 ( 2 ; 15) = 3,01 
10,9866,58
5
1
5
1
2
1
3,01D2 






 
 
00,39mˆB 
 a 
00,32mˆC 
 a b 
75,23mˆA 
 b 
00,22mˆD 
 b 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade, pelo 
teste de Duncan. 
 
 
 
3) Aplicar o teste de Tukey e Duncan às comparações múltiplas 
obtidas com as médias dos tratamentos analisados segundo o 
delineamento inteiramente casualisado (DIC). Concluir para o nível 
de 1% de probabilidade. 
 
r1 = r2 = r3 = 4 r4 = r5 = 3 
 
230,6mˆ1 
 
217,2mˆ2 
 
204,9mˆ3 
 
209,9mˆ4 
 
3,188mˆ5 
 
 
T1 = 922,4 T2 = 868,8 T3 = 819,6 T4 = 629,7 T5 = 564,9 
 
G = 3805,4 
49767808 ,.Y´Y 
 
 
 
 
 
 
 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
 





















300003
030003
004004
000404
000044
0000018
M
 




































3
1
0000
18
1
0
3
1
000
18
1
00
4
1
00
18
1
000
4
1
0
18
1
0000
4
1
18
1
00000
18
1
1M
 
 
 


































































































 
1123
511
516
795
1919
41211
9564
7629
6819
8868
4922
43805
3
1
0000
18
1
0
3
1
000
18
1
00
4
1
00
18
1
000
4
1
0
18
1
0000
4
1
18
1
00000
18
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
YX'M
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
tˆ
mˆ
βˆ 1
5
4
3
2
1
 
 
 
SQParâmetros = 
YX''βˆ
 
  63328808
9564
7629
6819
8868
4922
43805
1123511651795191941211 ,.
.
,
,
,
,
,
,,,,, 





















 
 
SQResíduo = Y’Y - 
YX''βˆ
 = 808.767,49 – 808.328,63 = 438,86 
 
Quadro da Análise de Variância 
 
F.V. G.L. SQ QM F 
Tratamento 4 
Resíduo 13 438,86 33,76 
Total 17 
 
 
TESTE DE TUKEY 
Ho: mi = mj 
H1: mi mj p/ i  j 
 
q 0,01 ( 5 ; 13) = 5,73 
16,6533,76
4
1
4
1
2
1
5,731 





Δ
 
 
19,2233,76
3
1
3
1
2
1
5,732 





Δ
 
 
17,9833,76
3
1
4
1
2
1
5,73 





3Δ
 
9,230mˆ1 
 a 
2,217mˆ 2 
 a b 
9,209mˆ 4 
 b 
9,204mˆ3 
 b c 
3,188mˆ5 
 c 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 1% de probabilidade, pelo 
teste de Tukey. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESTE DE DUNCAN 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj p/ i  j 
 
 
51 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 188,3 = 42,3 * significativo 
z 0,05 ( 5 ; 13) = 4,69 
14,7233,76
3
1
4
1
2
1
4,69D5 






 
 
 
31 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 204,9 = 25,7 * significativo 
 
52 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 217,2 – 188,3 = 28,9 * significativo 
 
z 0,05 ( 4 ; 13) = 4,62 
13,4233,76
4
1
4
1
2
1
4,62D4 






 
14,5033,76
3
1
4
1
2
1
4,62D'4 






 
41 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 209,9 = 20,7 * significativo 
32 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 217,2 – 204,9 = 12,3 ns não significativo 
54 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 209,9 – 188,3 = 21,6 * significativo 
 
z 0,05 ( 3 ; 13) = 4,48 
13,0133,76
4
1
4
1
2
1
4,48D3 






 
15,0333,76
3
1
3
1
2
1
4,48D'3 






 
14,0633,76
3
1
4
1
2
1
4,48D"3 






 
21 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 217,2 = 13,4 * significativo 
53 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 204,9 – 188,3 = 16,6 * significativo 
 
z 0,05 ( 2 ; 15) = 4,26 
12,3833,76
4
1
4
1
2
1
4,26D2 






 
13,3733,76
3
1
4
1
2
1
4,26D'2 






 
9,230mˆ1 
 a 
2,217mˆ 2 
 b 
9,209mˆ 4 
 b 
9,204mˆ3 
 b 
3,188mˆ5 
 c 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 1% de probabilidade, pelo 
teste de Duncan. 
 
 
TESTE DE NIWMAN KEULS 
 
 
Usado para testar contrastes entre duas médias. Em termos de rigor é 
intermediário entre os testes de Tukey e de Duncan. Assim como o 
teste de Duncan, este teste faz a aplicação de múltiplas amplitudes na 
comparação de médias. A diferença básica entre eles é o uso da 
amplitude q, utilizada no teste de Tukey, em substituição ao valor z 
nas mesmas condições do teste de Duncan. (Usa-se a metodologia de 
Duncan com a tabela de Tukey). 
 
 Formula geral: 
 YV
2
1
qNK ii
ˆˆ
 
em que: 
 NKi = diferença mínima significativa; 
 qi = é o valor tabelado da amplitude estudentizada, que obtido 
em função: 
 q  (n1 ; n2) , em que: 
  = é o nível de significância; 
 n1 = número de médias ordenadas abrangidas pelo contraste, 
entre tratamentos ou níveis do fator em estudo; e 
 n2 = graus de liberdade do resíduo, da análise de variância. 
 
Obs.: Como se trata de um processo sequencial, n1 varia seu valor 
durante a aplicação do teste. 
 
A estimativa da variância da estimativa da variância do contraste é 
dada por: 
  






2i r
1
r
1
QMResYV ˆˆ
 
Para ri  rj, o cálculo de , é dado pela seguinte fórmula: 
 
QMRes
r
1
r
1
2
1
qNK
ji
ii 








 
Para ri = rj = r, o cálculo de NK, é dado pela seguinte fórmula: 
 
r
QMRes
qiiNK
 
 
 
EXEMPLO: 
Aplicar o teste de NIWMAN KEULS aos exemplos 2 e 3. 
 
Exemplo 2: 
 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj p/ i  j 
 
 
 
DB mmY ˆˆ
ˆ 
 = 39,00 – 22,00 = 17,00 * significativo 
q 0,05 ( 4 ; 15) = 4,08 
14,8866,58
5
1
5
1
2
1
4,08NK 4 






 
 
AB mmY ˆˆ
ˆ 
 = 39,00 – 23,75 = 15,25 * significativo 
 
DC mmY ˆˆ
ˆ 
 = 32,00 – 22,00 = 10,00 ns não significativo 
q 0,05 ( 3 ; 15) = 3,67 
14,2066,58
4
1
5
1
2
1
3,67NK3 






 
13,3966,58
5
1
5
1
2
1
3,67D '3 






 
 
CB mmY ˆˆ
ˆ 
 = 39,00 – 32,00 = 7,00 ns não significativo 
 
q 0,05 ( 2 ; 15) = 3,01 
10,9866,58
5
1
5
1
2
1
3,01D2 






 
 
00,39mˆB 
 a 
00,32mˆC 
 a b 
75,23mˆA 
 b 
00,22mˆD 
 b 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade, pelo 
teste de Niwman Keuls. 
 
 
Exemplo 3: 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj p/ i  j 
 
 
 
51 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 188,3 = 42,3 * significativo 
 
q 0,01 ( 5 ; 13) = 5,73 
17,9833,7585
3
1
4
1
2
1
5,73NK5 






 
 
 
311 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 204,9 = 25,7 * significativo 
 
522 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 217,2 – 188,3 = 28,9 * significativo 
q 0,01 ( 4 ; 13) = 5,40 
15,6833,7585
4
1
4
1
2
1
5,40NK4 






 
16,9433,7585
3
1
4
1
2
1
5,40NK'4 






 
 
411 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 209,9 = 20,7 * significativo 
322 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 217,2 – 204,9 = 12,3 ns não significativo 
543 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 209,9 – 188,3 = 21,6 * significativo 
q 0,01 ( 3 ; 13) = 4,96 
14,4133,7585
4
1
4
1
2
1
4,96NK3 






 
16,6433,7585
3
1
3
1
2
1
4,96NK'3 






 
15,5633,7585
3
1
4
1
2
1
4,96NK"3 






 
211 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 230,6 – 217,2 = 13,4 * significativo 
532 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 204,9 – 188,3 = 16,6 * significativo 
 q 0,01 ( 2 ; 13) = 4,26 
 
12,3833,7585
4
1
4
1
2
1
4,26NK2 






 
13,3733,7585
3
1
4
1
2
1
4,26NK'2 






 
9,230mˆ1 
 a 
2,217mˆ 2 
 b 
9,209mˆ 4 
 b 
9,204mˆ3 
 b 
3,188mˆ5 
 c 
 
Conclusão: as médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não 
diferem entre si, ao nível de 1% de probabilidade, pelo 
teste de Niwman Keuls. 
 
 
 
 
TESTE ‘t’ DE STUDENT 
 
É usado para testar contrastes entre duas médias ou contrastes que 
envolvem grupos de médias. 
Para a sua aplicação correta deste teste, o pesquisador deve-se 
considerar os seguintes requisitos: 
a) Os contrastes devem a serem testados devem ser ortogonais entre 
si; 
b) Os contrastes devem ser estabelecidos antes de serem examinados 
os dados (na fase de planejamento do experimento). 
 
A estatística do teste, denotada por t, é calculada por: 
 






n
1i i
2
i
cal
r
a
QMRes
0Y
)Y(V
YY
t
ˆ
ˆˆ
ˆ
 
que tem distribuição t de Student com n2 graus de liberdade, sendo n2 
o número de graus de liberdade do resíduo e QMRes o quadrado 
médio residual da análise de variância. 
 
Hípoteses: Ho : Y = 0 
 Ha : Y  0 
Se | tcal |  ttab  rejeita-se Ho, ao nível de % de probabilidade; 
Se | tcal | < ttab  não se rejeita H0, ao nível % de probabilidade. 
 
TESTE DMS 
O teste da diferença mínima significativa (DMS), apesar de sujeito a 
severas restrições, ainda é um teste bastante empregado na 
comparação de médias de tratamentos. Apesar desse teste se basear 
no teste t, sua aplicação é mito mais simples, por ter apenas um valor 
do DMS para comparar com todos os contrastes, o que não ocorrecom o teste t. 
O teste DMS é utilizado quando deseja fazer comparações planejadas, 
ou seja, as comparações devem ser estabelecidas antes de serem 
examinados os dados (na fase de planejamento do experimento). 
A estatística do teste, denotada por t, é calculada por: 
 
        QMRes
r
1
r
1
%DMS
ji








 2%tYˆs%t
 
 
 
TESTE DE SCHEFFÉ 
 
Esse teste pode ser aplicado para testar todo e qualquer contraste 
entre duas médias de tratamentos. É freqüentemente utilizado para 
testar contrastes que envolvem grupos de médias. 
A estatística do teste, denotada por S, é calculada por: 
)Y(V.F.1)(IS ˆˆ
 
em que: 
 I = é o número de tratamentos (fator) em estudo; 
 F = F (n1; n2); valor tabelado de F, obtido em função: 
 = nível de significância do teste; 
n1 = graus de liberdade de tratamentos; e 
n2 = graus de liberdade do resíduo. 
  










n
1i i
2
i
r
a
QMResYˆVˆ
 











n
1i i
2
i
r
a
.QMRes.F.1)(IS
 
 
Hípoteses: Ho : Y = 0 
 Ha : Y  0 
Se |
Yˆ
|  S, rejeita-se Ho, ao nível % de probabilidade; 
Se |
Yˆ
| < S, não se rejeita Ho, ao nível % de probabilidade. 
 
Exemplo: 
 
Utilizando os dados e os contrastes fornecidos abaixo, extraído de um 
experimento montado segundo o delineamento inteiramente 
casualizado (DIC). Pede-se: testar os contrastes pelo teste de “t” e 
Scheffé. 
r1 = r2 = r3 = 4 r4 = r5 = 3 SQRes. = 389,4638 
4,891mˆ1 
 
3,012mˆ2 
 
2,931mˆ3 
 
5,102mˆ4 
 
3,208mˆ5 
 
Y1 = m1 + m2 + m3 – 3m4 e Y2 = m1 + m2 - 2m3 
 
QMRes = 
13
4638,389 = 29,9587 
 
43211 mˆ3mˆmˆmˆYˆ 
= 189,4 + 201,3 + 193,2 – 3 . 210,5 = - 47,6 
 
3212 mˆ2mˆmˆYˆ 
= 189,3 + 201,3 – 2 . 193,2 = 4,2 
Teste de ‘t’ 
Ho : Y1 = 0 
 Ha : Y1  0 
 
 
49,4
9587,29.
3
3
4
1
4
1
4
1
6,47ˆ
ˆˆ
ˆ
2222








 









n
1i i
2
i
11
cal
r
a
QMRes
0Y
)Y(V
YY
t 
ttab = t0,05 (13) = 2,16 
 
 16,249,4
rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade 
 
Ho : Y2 = 0 
 Ha : Y2  0 
 
 
62,0
9587,29.
4
2
4
1
4
1
2,4ˆ
ˆˆ
ˆ
222








 








n
1i i
2
i
22
cal
r
a
QMRes
0Y
)Y(V
YY
t 
ttab = t0,05 (13) = 2,16 
 16,262,0
não rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade 
 
Teste de Scheffé 
Ho : Y1 = 0 
 Ha : Y1  0 
 
43211 mˆ3mˆmˆmˆYˆ 
= 189,4 + 201,3 + 193,2 – 3 . 210,5 = - 47,6 
 
 
7432
3
3
4
1
4
1
4
1
9587291834
2222
,,.,. 







 






 

n
1i i
2
i
r
a
.QMRes.F.1)(IS
 
 74,3260,47
rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade 
 
Ho : Y2 = 0 
 Ha : Y2  0 
 
3212 mˆ2mˆmˆYˆ 
= 189,3 + 201,3 – 2 . 193,2 = 4,2 
 
6111
4
2
4
1
4
1
9587291834
222
,,.,. 







 






 

n
1i i
2
i
r
a
.QMRes.F.1)(IS
 
 
 61,1120,4
não rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade 
 
 
 
TESTE DE DUNNETT 
 
Este teste é utilizado quando as únicas comparações que interessam 
ao pesquisador, são aquelas feitas entre um determinado tratamento 
padrão, geralmente a testemunha, e cada um dos demais tratamentos, 
não havendo interesse na comparação dos demais tratamentos entre 
si. Assim, um experimento com I tratamentos (um dos quais a 
testemunha ou padrão, P), permite a aplicação do teste a I-1 
comparações. 
 A estatística do teste, denotada por d’, é calculada por: 
QMRes.
r
1
r
1
.t)Y(Vtd'
ip
dd 







 ˆˆ
 
td = valor dado na tabela de Dunnett, que é função ( ; n1; n2 ); 
  = nível de significância; 
 n1 = graus de liberdade de tratamentos; 
 n2 = graus de liberdade de resíduo. 
 
 
Para realização do teste Dunnett, é necessário: 
a) enunciar as hípoteses: 
Ho : Y = 0 
Ha : Y  0 
b) obter o valor da estimativa do contraste, 
Yˆ
, com base nos valores 
amostrais; 
c) calcular o valor da estatística do teste, d’; 
d) concluir a respeito da significância do contraste em teste, usando o 
seguinte critério: 
1. Se |
Yˆ
|  d’, será significativo, indicando que a média do 
testemunha (ou padrão), difere significativamente da média do 
tratamento com ele comparado, ao nível % de probabilidade; 
2. Caso contrário, se |
Yˆ
| < d’, será não significativo, indicando que 
as médias desse contraste não difere entre si, ao nível % de 
probabilidade. 
 
 
Exemplo: 
Os dados abaixo foram obtidos num delineamento inteiramente 
casualizado (DIC), onde foram testados 5 métodos de determinação 
de umidade no solo (A, B, C, D, E) e 4 repetições: 
TA = 25,0; TB = 24,1; TC = 23,6; TD = 22,1; TE = 24,6; SQRes.= 2,91 
Admitindo, o método A como padrão, compara-lo, através do teste de 
Dunnett, com os demais tratamentos, para o nível de 5% de 
probabilidade. 
 
Ho : Y = 0 
Ha : Y  0 
 
 
Quadro da Análise de variância 
 
F.V. G.L. SQ QM F 
Tratamento 4 
Resíduo 15 2,91 0,194 
Total 19 
 
QMRes.
r
1
r
1
.)15;(4td'
ip
0,05d 








= 
0,600,194.
4
1
4
1
.2,73 






 
 
BA1 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 6,25 – 6,02 = 0,23 ns 
CA2 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 6,25 – 5,75 = 0,50 ns 
DA3 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 6,25 – 5,52 = 0,83 * 
EA4 mmY ˆˆ
ˆ 
 = 6,25 – 6,15 = 0,10 ns 
 
1. Verifica-se que os contrastes
421 YˆeYˆ,Yˆ
 < d’, então não foram 
significativos, indicando que a média do padrão, não difere 
significativamente da média do tratamento com ele comparado, 
ao nível 5% de probabilidade; 
2. Verifica-se que o contraste 
3Yˆ
> d’, então foi significativo, 
indicando que a média do padrão, difere significativamente da 
média do tratamento com ele comparado, ao nível 5% de 
probabilidade. 
TESTE DE SCOTT E KNOTT 
 
 INTRODUÇÃO 
 
Como já vimos um teste F significativo na análise de variância indica 
que as médias dos tratamentos são diferentes. Frequentemente, 
deseja-se verificar onde estão estas diferenças. 
A literatura é rica em testes de comparação múltipla propostos para 
apontar diferenças entre as médias dos tratamentos. Contudo, a 
validade prática destes testes para situações com grande número de 
tratamentos é questionável. Para estes casos, os testes usuais de 
comparação de médias duas a duas não são os mais indicados, 
porque não permitem uma separação adequada de grupos de médias 
e, consequentemente, dificultam a interpretação dos resultados. 
O teste proposto por Scott e Knott (1974) tem por objetivo agrupar as 
médias de tratamento sem um grupo bem definido, através da 
minimização da variação dentro de grupos. Eles usam o método da 
análise de conglomerados no lugar da técnica de comparação 
múltipla. Através deste procedimento, formamos grupos de médias 
mais definidos e interpretamos os resultados com mais objetividade e 
clareza. 
 
A TÉCNICA DE APLICAÇÃO DO TESTE: 
 
O teste de Scott e Knott é definido pela estatística: 
  20
0
ˆ22 




 
 
0 = Valor máximo da soma de quadrados entre grupos de 
tratamentos, tomados sobre todas as possíveis (I – 1) 
repartições de I tratamentos em dois grupos distintos;2
0ˆ
 = estimativa de 2 dada por: 
     22
22
0
ˆˆˆˆ 





 

I/msmm
I
1i
i
2
i
 
 
 sendo, 
 
imˆ
 = média do tratamento i; 
 
mˆ
 = média geral do experimento; 
 
)mˆ(s i
2
 = variância média = QMRes / J ; 
 QMRes = quadrado médio do resíduo; 
 J = número de observações com que se estimou cada média de 
tratamento; 
 I = número de tratamentos considerados; 
 η2 = número de graus de liberdade do erro (resíduo); 
  = constante de valor 3,141593. 
 
A estatística  segue aproximadamente a distribuição de 
2
 com 
 2π
I
v0


 graus de liberdade. 
A hipótese em teste é H0 = i =  ( i = 1, 2, ..., I ) contra a alternativa 
que i é igual a m1 ou m2, onde m1 e m2 representam as médias 
verdadeiras dos dois grupos distintos. 
Não rejeita-se H0, se  < 
2
 (v0); 
Rejeita-se H0, se  ≥ 
2
 (v0). 
Ho: m1 = m2 = m 
Ha: m1 ≠ m2; onde m1 e m2 representam as médias verdadeiras dos 
dois grupos distintos. 
É importante observar que existem [   12 1I  ] repetições possíveis de 
I médias em dois grupos distintos, mas Fisher tem demonstrado em 
seus trabalhos que é necessário considerar apenas (I – 1) repartições 
obtidas pela ordenação das médias e sua divisão entre duas partições 
sucessivas. 
Esta simplificação torna possível a aplicação do teste, por meio de 
uma calculadora, mesmo para 11 ou 12 tratamentos. Para I = 3, por 
exemplo, é necessário repetir as médias ordenadas, em dois grupos, 
envolvendo as duas médias de maior amplitude para determinar qual a 
partição que maximizaria Bo. 
Para compreender melhor o processo, suponha que num experimento 
você tenha as médias ordenadas A, B, C, D e E. 
Existe (25 – 1 – 1) = 15 repartições destas 5 médias em dois grupos 
distintos. 
Pela simplificação de Ficher é necessário considerar as 5 – 1 = 4 
repartições das médias ordenadas, em grupos distintos: 
 
 1a repartição: A versus B C D E 
 2a repartição: A B versus C D E 
 3a repartição: A B C versus D E 
 4a repartição: A B C D versus E 
 
Na aplicação do teste, quando muitas médias são consideradas, 
dificilmente a operação termina com apenas uma partição. Após 
encontrar a melhor separação entre dois grupos, repetimos o processo 
em cada subgrupo. A partir daí, prosseguimos com a subdivisão até 
que os grupos resultantes sejam considerados estatisticamente iguais 
pelo teste de 2. 
Suponha como ilustração que a 2a repartição que maximiza Bo foi 
considerada estatisticamente diferente pelo teste de 2 e as demais 
foram estatisticamente iguais. Tomamos então o primeiro subgrupo AB 
e formamos o grupo: 
 
 1. A versus B 
 
Em seguida, procedemos a repartição do segundo CDE nos grupos: 
 
1. C versus D E 
2. C D versus E 
 
Para cada situação calculamos a estatística  e verificamos se ela foi 
significativa ou não. Os grupos que foram classificados como 
estatisticamente iguais receberão as mesmas letras. O método é fácil 
de ser aplicado e tem uma interpretação bem objetiva porque evita as 
situações ambíguas, que são frequentes nos outros testes. Para 
muitos tratamentos, aconselha-se o uso de um software especifico: 
SAEG, GENES ou outro disponível. 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
1) Considere um experimento instalado segundo o delineamento 
inteiramente casualizado (DIC) com 6 tratamentos e 3 repetições. 
As médias dos tratamentos foram A = 12,80; B = 9,70; D = 6,20; 
C = 6,00; E = 5,00 e F = 4,85. A análise de variância revelou um F 
significativo para tratamentos e o QMRes foi de 4,2570. Compare 
as médias pelo teste de Scott e Knott no nível de 5% de 
probabilidade. 
 
Solução: 
 Temos: 
Amˆ
= 12,80 
Bmˆ
= 9,70 
Dmˆ
= 6,20 
Cmˆ
= 6,00 
Emˆ
= 5,00 
Fmˆ
= 4,85 mˆ = 7,425 
 
As repartições das médias ordenadas em 2 grupos são as seguintes: 
 
 1a A versus B D C E F 
 2a A B versus D C E F 
 3a A B D versus C E F 
 4a A B D C versus E F 
 5a A B D C E versus F 
 
As somas dos quadrados em grupos são: 
   
6
4,85.....12,80
5
4,85....6,209,70
1
12,80
SQR1
222 



 
34,668750
6
44,55
5
31,75
1
12,80
SQR1
222

 
891875,43
6
44,55
4
22,05
2
22,50
SQR2
222

 
27,520417
6
44,55
3
15,85
3
28,70
SQR3
222

 
750000,18
6
44,55
2
9,85
4
34,70
SQR4
222

 
956750,7
6
44,55
1
4,85
5
39,70
SQR5
222

 
A máxima soma dos quadrados entre grupos é a referente à posição 
A B versus D C E F. Logo temos: 
 Bo = 43,891875 
     2
I
1i
i
2
2i ηI/mˆsηmˆmˆˆ 





 

22
0 
 
26
1i
i mˆmˆ


= 5,3752 + 2,2752 + (-1,225)2 + (-1,425)2 + (-2,425)2 + 
(-2,575)2 = 50,10875 
 
  1,4190
3
4,2570
J
QMRes
mˆs i
2 
 I = 6 
2η
 = 12 
    ,72983126/1,4190.1250,108750σˆ20 
 
 
   
16,19
3,7298
43,891875
.
23,14152
3,1415
σˆ
B
.
2π2
π
λ
2
0
0 




 
 
Para 
25,5
21415,3
6
2
I
v0 




, temos 
 
0,3811,07(5,25)χ
38,025,0*52,1(5,25)χ
52,159,12(6)χ
07,11(5)χ
2
0,05
2
0,05
2
0,05
2
0,05




 
(5,25)χ 20,05
= 11,4505. Logo, 
  ≥ 2 → rejeita-se Ho, ou seja, 
16,19λ
 é significativo. 
 
Consequentemente repetimos o processo com os dois grupos: A B e D 
C E F discriminados nesta fase. 
 
 Para o grupo A B a única partição possível é: 
 A versus B 
Temos, 
I = 2 
Amˆ
= 12,80 
Bmˆ
= 9,70 
mˆ
= 11,250 
 
Bo = SQR1 = 
8050,4
2
50,22
1
70,9
1
80,12 222

 
 
22
1i
i mˆmˆ


= 1,552 + (-1,55)2 = 4,8050 
    5534,1122/1,4190.124,8050σˆ20 
 
 
   
25,4
1,5534
4,8050
.
23,14152
3,1415
σˆ
B
.
2π2
π
λ
2
0
0 




 
 
Para 
75,1
21415,3
2
2
I
v0 




, temos 
 
(1,75)χ 20,05
= 5,454. Logo, 
  < 2 → não rejeita-se Ho, ou seja, 25,4λ não é significativo. 
 
Para o grupo D C E F (I = 4), as 4 – 1 = 3 repartições das médias 
ordenadas em dois grupos são: 
 1a D versus C E F 
 2a D C versus E F 
 3a D C E versus F 
 
As médias ordenadas são: 
Dmˆ
= 6,20 
Cmˆ
= 6,00 
Emˆ
= 5,00 
Fmˆ
= 4,85 
mˆ
= 5,5125 
 
As somas de quadrados entre grupos são: 
630208,0
4
22,050
3
15,850
1
6,20
SQR1
222

 
380625,1
4
050,22
2
9,85
2
12,200
SQR2
222

 
585208,0
4
050,22
1
85,4
3
20,71
SQR3
222

 
Logo, 
 Bo = 1,380625 
 
24
1i
i mˆmˆ


= 0,68752 + 0,48752 + (-0,5125)2 + (-0,6625)2 = 1,411875 
 
    15251σ ,124/1,4190.121,411875ˆ 20 
 
 
   
201
σπ
π
λ ,
1,1525
1,380625
.
23,14152
3,1415
ˆ
B
.
22 20
0 




 
 
Para 
5,3
21415,3
4
2
I
v0 




, temos 
(3,5)χ 20,05
= 8,652. Logo, 
 < 2 → não rejeita-se Ho, ou seja, 
201λ ,
 não é significativo. 
 
Como a não significância foi atingida, não há mais repartição a ser 
feita e o processo está concluído. Os resultados do teste estão 
apresentados no Quadro 1. 
 
QUDRO 1. Produções médias de matéria seca de 6 gramíneasno 
experimento em blocos casualizados com 3 repetições. 
 
GRAMINEAS MÉDIAS 
A 12,80 a 
B 9,70 a 
D 6,20 b 
C 6,00 b 
E 5,00 b 
F 4,85 b 
Médias seguidas de mesma letra são estatisticamente iguais pelo 
teste de Scott-Knott (p<0,05) 
 
 
 
 
 
2) Aplicar o teste de Scott e Knott às comparações múltiplas obtidas 
com as médias dos tratamentos analisados segundo o 
delineamento inteiramente casualisado (DIC). Concluir para o nível 
de 1% de probabilidade. 
r1 = r2 = r3 = 4 r4 = r5 = 3 SQRes. = 438,8631 
230,6mˆ1 
 
217,2mˆ2 
 
204,9mˆ3 
 
209,9mˆ4 
 
3,188mˆ5 
 
QMRes = 
13
8631,438 = 33,7587 
 
Solução: 
Temos: 
230,6mˆ1 
 
217,2mˆ2 
 
204,9mˆ3 
 
209,9mˆ4 
 
 
3,188mˆ5 
 
41,211mˆ 
 
 
As repartições das médias ordenadas em 2 grupos são as seguintes: 
 
 1a 1 versus 2 4 3 5 
 2a 1 2 versus 4 3 5 
 3a 1 2 4 versus 3 5 
 4a 1 2 4 3 versus 5 
 
As somas dos quadrados em grupos são: 
   
2205521
188188209
,
5
,3.....230,6
4
,3....,9217,2
1
230,6
SQR1
222





 
4613,627
5
9,0501
3
1,036
2
447,8
SQR2
222

 
72,614
5
9,0501
2
393,2
3
657,7
SQR3
222

 
418,598
5
9,0501
1
3,881
4
862,6
SQR4
222

 
A máxima soma dos quadrados entre grupos é a referente à posição 
1 2 versus 4 3 5. Logo temos: 
 Bo = 627,4613 
 
2



5
1i
i mˆmˆ
= 19,192 + 5,792 + (-6,51)2 + (-1,51)2 + (-23,11)2 = 980,5125 
 
     22
22
0
ˆˆˆˆ 





 

I/msmm
I
1i
i
2
i
 
 
  3774,9
3,6
33,7587
J
QMRes
mˆs i
2 
 I = 5 n2 = 13 
 
    4552,61135/3774,9.13980,5125σˆ20 
 
 
   
03,14
61,2455
627,4613
.
23,14152
3,1415
σˆ
B
.
2π2
π
λ
2
0
0 




 
 
Para vo = 5/(3,1415 – 2) = 4,38, temos 
(4,0)χ 20,01
= 13,28 e 
(5,0)χ 20,01
= 
15,09. 
96,13(4,38)χ 20,01 
. Logo,  > 2 → rejeita-se Ho, ou seja, 
14,03λ
 é 
significativo. Consequentemente repeti-se o processo com os dois 
grupos 1 2 e 4 3 5 discriminados nesta fase. 
Para o grupo 1 2 a única partição possível é: 
 
 1 versus 2 
 
Temos, I = 2 
1mˆ
= 230,6 
2mˆ
= 217,2 
mˆ
= 223,9 
 
Bo = SQR1 = 
78,89
2
8,447
1
2,217
1
6,230 222

 
 
22
1i
i mˆmˆ


= 6,72 + (-6,7)2 = 89,78 
     2
I
1i
i
2
2i
2
0 I/mˆsmˆmˆˆ 





 

 
    1124,14132/3774,9.1389,78σˆ20 
 
 
   
75,8
14,1124
89,78
.
23,14152
3,1415
σˆ
B
.
2π2
π
λ
2
0
0 




 
 
Para vo = 2/(3,1415 – 2) = 1,75, temos 
(1,0)χ 20,01
= 6,63 e 
(2,0)χ 20,01
= 
9,21, para 
(1,75)χ 20,01
= 8,565. Logo,  > 2 → rejeita-se Ho, ou seja, 
75,8λ
 é significativo. 
 
Para o grupo 4 3 5 (I = 3), as 3 – 1 = 2 repartições das médias 
ordenadas em dois grupos são: 
 1a 4 versus 3 5 
 2a 4 3 versus 5 
 
As médias ordenadas são: 
209,9mˆ4 
 
204,9mˆ3 
 
3,188mˆ5 
 
mˆ
= 201,42 
 
As somas de quadrados entre grupos são: 
93,117
3
603,1
2
393,2
1
209,9
SQR1
222

 
2067,243
3
1,603
1
188,3
2
414,8
SQR2
222

 
Logo, 
 Bo = 243,2067 
 
24
1i
i mˆmˆ


= 3,482 + 8,482 + (-13,12)2 = 256,1552 
 
     vI/mˆsvmˆmˆˆ
I
1i
i
2
i
2
0 





 


 
    6288,23133/,37749.13256,1552σˆ20 
 
 
   
16,14
23,6288
243,2067
.
23,14152
3,1415
σˆ
B
.
2π2
π
λ
2
0
0 




 
Para vo = 3/(3,1415 – 2) = 2,63, temos 
(2,0)χ 20,01
= 9,21 e 
11,30 (3,0)χ 20,01 
. 
Logo,  > 2 → rejeita-se Ho, ou seja, 
16,14λ
 é significativo. 
 
Para o grupo 4 3 a única partição possível é: 
 
 4 versus 3 
Temos, 
I = 2 
204,9mˆ3 
 
209,9m4 ˆ
 
mˆ
= 207,04 
 
Bo = SQR1 = 
5,12
2
8,414
1
9,204
1
9,209 222

 
 
22
1i
i mˆmˆ


= (-2,14)2 + 2,862 = 12,7592 
     2
I
1i
i
2
2i
2
0 I/mˆsmˆmˆˆ 





 

 
    9776,8132/3774,9.1312,7592σˆ20 
 
 
   
92,1
8,9776
12,5
.
23,14152
3,1415
σˆ
B
.
2π2
π
λ
2
0
0 




 
 
Para vo = 2/(3,1415 – 2) = 1,75, temos 
(1,0)χ 20,01
= 6,63 e 
(2,0)χ 20,01
= 
9,21, para 
(1,75)χ 20,01
= 8,565. Logo,  < 2 → não rejeita Ho, ou seja, 
92,1λ
 não é significativo. 
Como a não significância foi atingida, não há mais repartição a ser 
feita e o processo está concluído. Os resultados do teste estão 
apresentados abaixo. 
 
 
 
 
TRATAMENTOS MÉDIAS 
1mˆ
 230,6 a 
2mˆ
 217,2 b 
3mˆ
 204,9 c 
4mˆ
 209,9 c 
5mˆ
 188,3 d 
Médias seguidas de mesma letra são estatisticamente iguais, ao nível 
de 1% de probabilidade, pelo teste de Scott-Knott (p<0,01). 
 
 
DECOMPOSIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS DE TRATAMENTOS 
EM CONTRASTES ORTOGONAIS 
 
Como nos testes de comparações múltiplas, a decomposição de 
tratamentos em contrastes ortogonais, traz informações detalhadas a 
respeito das comparações entre tratamentos, já que a conclusão do 
teste F está relacionada aos efeitos como um todo. 
Considere os contrastes 
21 YˆeYˆ
, serão os estimadores de contrastes 
entre médias de tratamentos, se satisfizerem às seguintes condições: 
0be0a
I
1i
i
I
1i
i  

 
Os dois contrastes serão ortogonais, ou seja, apresentarão 
independência linear nas comparações estabelecidas, se: 
0
r
ba
I
1i i
ii 

 
O cálculo das somas de quadrados dos estimadores dos contrastes é 
dado por: 



I
1i i
2
i
2
i
r
a
Yˆ
YˆSQ i 
Após a decomposição dos graus de liberdade pode-se aplicar a teste 
F a cada um dos componentes do desdobramento, ou seja, a cada um 
dos contrastes ortogonais com um grau de liberdade para cada 
contraste e nº de graus de liberdade do resíduo. Portanto, para I 
tratamentos podem ser estabelecidos, no máximo, (I – 1) contrastes 
independentes. 
Para o estabelecimento de cada contraste, procede-se da seguinte 
forma: 
1. Escrevem-se as médias dos tratamentos envolvidos na 
comparação; 
2. Atribui-se sinal positivo às médias de um grupo e negativo às 
médias do outro grupo; 
3. Verifica-se o total de parcelas (n1) do 1º grupo, e o número total 
de parcelas (n2) do 2º grupo. Calcula-se o m.m.c. entre n1 e n2. 
4. Dividir o m.m.c. por n1 e multiplicar os coeficientes obtidos pelo 
número de repetições da respectiva média. O resultado será o 
coeficiente de cada média do 1o grupo. 
5. Dividir o m.m.c. por n2 e multiplicar os coeficientes obtidos pelo 
número de repetições da respectiva média. O resultado será o 
coeficiente de cada média do 2o grupo. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Para comparar o crescimento de mudas de 5 espécies de eucalipto, 
um pesquisador tomou vinte e cinco parcelas similares e distribuiu, 
inteiramente ao acaso, cada uma 5 espécies em 5 parcelas 
experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é 
possível concluir que existe diferença significativa entre as espécies 
com relação ao crescimento das mudas, utilizando o nível de 
significância de 5%? 
 
Espécies 
E1 E2 E3 E4 E5 
21 25 31 22 33 
20 26 25 26 2919 20 28 28 31 
21 23 27 25 34 
19 21 24 29 28 
100 115 135 130 155 
20 23 27 26 31 
 
H0 : mA = mB = mC = mD = m 
H1 : não H0 
 
SQTrat = 
YX''βˆ
- C = 346,00 
 SQRes = 116,00 
 
544
323
54322
543211
mˆ - mˆ = Yˆ
mˆ mˆ = Yˆ
mˆ - mˆ - mˆ mˆ = Yˆ
 mˆ - mˆ - mˆ - mˆ - mˆ 4 = Yˆ


 
 
 
Para o cálculo das Somas de Quadrados é utilizado a seguinte 
formula: 


i
2
i
2
i
r
a
Yˆ
YˆSQ i 
Para o exemplo anterior, decompor a soma de quadrados de 
tratamentos em contrates ortogonais. 
53126mˆ - mˆ = Yˆ
42723mˆ mˆ = Yˆ
731262723mˆ - mˆ - mˆ mˆ = Yˆ
273126272320 . 4 mˆ - mˆ - mˆ - mˆ - mˆ 4 = Yˆ
544
323
54322
543211




 
25,182
5
)1()1()1()1(4
27
r
a
Yˆ
YˆSQ
22222
2
i
2
i
2
1
1 




 
25,61
5
)1()1()1()1(
7
r
a
Yˆ
YˆSQ
2222
2
i
2
i
2
2
2 




 
0,40
5
)1()1(
4
r
a
Yˆ
YˆSQ
22
2
i
2
i
2
3
3 




 
50,62
5
)1()1(
5
r
a
Yˆ
YˆSQ
22
2
i
2
i
2
4
4 




 
 
FV GL SQ QM F 
1Yˆ
 1 182,25 182,5 31,47 * 
2Yˆ
 1 61,25 61,25 10,46 * 
3Yˆ
 
4Yˆ
 
1 
1 
 
40,00 
62,50 
40,00 
62,50 
6,90 * 
10,76 * 
Trat 
Res 
4 
20 
346,00 
116,00 
86,50 
5,80 
14,91 
 
 
 F0,01(1; 20) = 4.35