PLANO CARTESIANO

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PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano também é denominado de eixo de coordenadas cartesianas, em homenagem a René Descartes, filósofo e matemático. O plano cartesiano é formado pela intersecção perpendicular entre duas retas enumeradas. O ponto de encontro entre as duas retas forma a origem do plano cartesiano, isto é, o ponto de coordenadas (0,0). A intenção de criar o eixo de coordenadas teve como objetivo principal, a localização de pontos no espaço. Os eixos são nomeados da seguinte maneira: a reta horizontal é chamada de abscissa (x) e a reta vertical é denominada ordenada (y), portanto, todo ponto localizado no sistema possui abscissa e ordenada obedecendo à seguinte condição de apresentação (x; y) que denominamos de par ordenado.
Veja como localizar pontos no plano cartesiano:
Localizar o valor correspondente na abscissa (horizontal) traçando uma reta auxiliar paralela o eixo vertical.
Localizar o valor correspondente na ordenada (vertical) traçando uma reta auxiliar paralela o eixo horizontal.
A intersecção das retas auxiliares é a coordenada de localização do ponto.
Exemplo:
Localizar plano cartesiano os pontos (0,0), (2,3), (-3,3), (-1.5,-2.5).
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano denotado por A ´ B (lê-se A cartesiano B) é o conjunto de todos os pares ordenados cujos primeiros elementos (primeiras coordenadas) pertencem a A e cujos segundos elementos (segundas coordenadas) pertencem a B. 
Exemplos:
Se A = {1, 2, 3} e B = {5, 7} então:
AB = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (1, 7), (2, 7), (3, 7)}
BA = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}
FUNÇÕES
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.
Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções:
O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida.
A altura de uma criança é função de sua idade;
O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade.
Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.
A função é um modo especial de relacionar grandezas.
Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que:
x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado.
a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B.
os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.
Definição de função
Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a qual cada elemento x em um conjunto A está associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto B.
Não é função de A em B.
É função de A em B.
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a≠0.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a≠0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
	x
	y
	0
	-1
	
	0
	
	
  
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero da Função do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a≠0, o número real x tal que  f(x) = 0.
Vejamos alguns exemplos:
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                            f(x) = 0        2x - 5 = 0        
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                       g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
    
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
    h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5 
  
Crescimento e decrescimento
   
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
	x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	y
	-10
	-7
	-4
	-1
	2
	5
	8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
  valores de y também aumentam. Dizemos, então que a 
  função y = 3x - 1 é crescente.
   Observamos novamente seu gráfico: 
Regra geral:
A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). 
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
Sinal de uma Função de 1º grau
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
  1º) a > 0 (a função é crescente)
         y > 0       ax + b > 0         x > 
         y < 0      ax + b < 0         x < 
    	Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
          y > 0  ax + b > 0            x < 
         y < 0  ax + b < 0        x > 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.
 
Sistemas de equações lineares: solução geométrica.
Como cada equação do primeiro grau representa uma reta no plano, vamos verificar o que acontece quando temos um sistema de equações.
Resolvendo este sistema de equações encontramos como solução x = 1 e y = 1.
Construindo o gráfico que representa cada reta em um mesmo plano cartesiano, vemos que a reta se intercepta no ponto de cooredenada x = 1 e y = 1 (justamente a solução do sistema).
A solução de um sistema de equações do primeiro grau é a coordenada x e y do ponto de intersecção das retas das equações do sistema. 
Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.
Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;
Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;
Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.
Dominio, contra domínio e imagem
Uma função é dada por uma relação entre dois conjuntos, definida por uma lei de formação. Ao estudarmos uma função determinamos o domínio, o contradomínio e a imagem. Vamos através de diagramas de flechas demonstrar esses três elementos pertencentes ao estudo das funções.
Os elementos do conjunto A serão relacionados com os elementos do conjunto B através de uma lei de formação. Observe:
O conjunto A é formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos elementos {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Observe que os elementosdo conjunto A se relacionam com os elementos de B segundo a função de A → B (função de A em B) pela lei de formação f(x) = 2x + 1. Observe:
f(–1) = 2.(–1) + 1 = –2 + 1 = –1
f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(3) = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7
f(4) = 2.4 + 1 = 8 + 1 = 9 
Nessa relação, temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem relação com os elementos do conjunto A.
Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
Imagem: {–1, 1, 5, 7, 9}
Determinação do domínio de uma função. 
O domínio de uma função é o conjunto de valores que podemos atribuir a x, para que exista um único y.
Exemplo:
Determine o domínio da função real .
Neste exemplo temos só uma restrição: não existe divisão por zero. Então, o denominador deve ser diferente de zero, ou seja:
Logo, o domínio de nossa função será composto de todos os reais, menos o número -4, e isso se escreve:
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e 
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau: 
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
  
	
	Representação gráfica
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
	x
	y = x²
	-2
	4
	-1
	1
	0
	0
	1
	1
	2
	4
	3
	9
 	Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, 
devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
	
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
	
Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima e quando a<0, a parábola está voltada para baixo.
Exemplos:	
	y = f(x) = x² - 4
	
	a = 1 >0
	y = f(x) = -x² + 4
	
	a = -1 < 0
Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1
x²+2x+1=0
x=x`=-b/2a=-1
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
	
Quando o discrimintante é maior que zero
Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).
Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3
x²-4x+3=0
 
x=1, x`=3
Gráfico:
	
Quando o discriminante é menor que zero
Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.
Exemplo: y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
Gráfico:
	
Resumindo:
	
	
	
	
	
	
	a>0
	a>0
	a>0
	 
	
	
	
	
	
	
	a<0
	a<0
	a<0
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