Notas de Aula de Análise III - Gastão de Almeida Braga - UFMG

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Notas de Aula de Análise III
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Gastão de Almeida Braga
Departamento de Matemática da UFMG
14 de Maio de 2007
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Notas de Aula - Departamento de Matemática da UFMG - 03 a 06/2006 e 03 a 06/2007
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Conteúdo
1 Topologia em Espaços Métricos 7
1.1 Noções de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Conjuntos Abertos e Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 O Completamento de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Funções Contínuas, Seqüências de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 O Espaço B(X) das Funções Limitadas 23
2.1 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Espaço das Funções Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Compacidade em B(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Subespaços Fechados de B(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 O Subespaço das Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 Funções Contínuas de Suporte Compacto . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 O Teorema de Aproximação de Weierstrass 33
3
4 CONTEÚDO
3.1 Polinômios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Prova do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 O Teorema de Arzelà-Ascoli 39
4.1 Eqüicontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Compacidade em C(X) e Famílias Eqüicontínuas . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Caracterização dos Compactos de C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Prova do Teorema de Arzelà-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Séries de Fourier: Definição e Exemplos 49
5.1 Integrabilidade de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Definição de Séries de Fourier e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Forma Complexa da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Os espaços Lp[0, 2pi] 55
7 Núcleos de Dirichlet e Convoluções 61
7.1 Somas Parciais de Fourier e Núcleo de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 O Teorema da Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8 O Teorema de Féjèr 67
8.1 Somabilidade de Cesáro e Núcleos de Féjèr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 O Teorema de Féjèr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3 Funções Monótonas e de Variação Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.4 Séries de Fourier para Funções de Classe Cp, p ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . 74
CONTEÚDO 5
9 Núcleos de Somabilidade e Convergência Uniforme 75
9.1 Núcleos de Somabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2 Polinômios Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Unicidade dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10 O Teorema de Fourier 81
10.1 Convergência Pontual de Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11 Convergência em L2[0, 2pi] 87
12 Integrais Múltiplas de Riemann 93
12.1 Integrabilidade de Riemann em Hipercubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.2 Medida Externa de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12.3 Critério de Lebesgue para Integrabilidade de Riemann . . . . . . . . . . . . 102
12.4 Mudança da Ordem de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.5 Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
13 Exercícios Resolvidos - Aulas do Rodrigo 113
13.1 O Problema Isoperimétrico - 04/05/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.2 O Conjunto de Cantor - 25/05/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.3 Demonstração do Teorema ??? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14 Exercícios da Primeira Semana 125
15 Exercícios da Segunda Semana 129
6 CONTEÚDO
16 Exercícios da Terceira Semana 131
17 Exercícios da Quarta Semana 139
18 Exercícios da Quinta Semana 143
19 Exercícios da Sexta Semana 147
Capítulo 1
Topologia em Espaços Métricos
1.1 Noções de Espaços Métricos
Dado um conjunto de pontos M, mede-se a distância entre dois de seus pontos x e y
usando-se uma �função distância� d(x, y), a que chamaremos de métrica ou de distância.
Do ponto de vista topológico, se pudermos associar uma métrica d(·, ·) a um conjunto
M então poderemos falar de subconjuntos abertos, fechados e compactos. Do ponto de
vista analítico, poderemos falar de convergência de seqüências emM e, mais do que isto,
se f(·) for uma função entre dois conjuntos que têm métricas, então também poderemos
falar de limite e continuidade de funções. Este é o nosso objetivo neste capítulo. A seguir
damos alguns exemplos de conjuntos que possuem uma métrica associada:
Exemplo 1.1 Considere os seguintes exemplos:
1. M = R e distância dada pelo valor absoluto da diferença entre dois números reais:
d(x, y) = |x− y|;
2. M = R2 e distância entre os pontos ~x = (x1, y1), ~y = (x2, y2) dada pelo comprimento
da hipotenusa do triângulo retângulo de vértices (x1, y1), (x2, y2) e (x2, y1);
3. M = R2 e distância dada por: d(~x, ~y) =√(x1 − y1)2 + 4(x2 − y2)2.
Exercício 1.1 Baseando-se nos exemplos 1 e 2 acima, como você determinaria uma
mérica para Rn, com n ≥ 3? Seria possível usar o exemplo 3 também?
Definimos a seguir, e de modo geral, o que entendemos por uma métrica e por um espaço
métrico
7
8 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
Definição 1.1 Dado um conjunto de pontos M, uma função d(·, ·) :M×M→ R será
uma métrica se satisfizer às seguintes condições:
1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈M;
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈M.
Neste caso, dizemos que o par (M, d(·, ·)) é um espaço métrico.
A última desigualdade acima é chamada de desigualdade triangular. Segue das três
condições acima que:
0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y) ∀x, y ∈M.
Em particular, d(x, y) > 0 se x 6= y. De modo geral, é fácil encontrar funções que
satisfaçam às duas primeiras condições, sendo o problema mostrar que a terceira condição
é satisfeita. Qualquer função com essas três propriedades é chamada de métrica. Talvez a
métrica mais conhecida de um aluno da área de Ciências Exatas seja a métrica euclidiana
em Rn (veja o Exercício 1.1):
Exercício 1.2 Para x, y ∈ Rn, x = (x1, · · · , xn), defina
d(x, y) ≡
(
n∑
i=1
(xi − yi)2
) 1
2
.
Mostre que d(x, y) é uma métrica em Rn.
Observação: Embora não sendo o mais elegante, talvez a maneira mais instrutiva de
mostrar que d(·, ·) satisfaz à desigualdade triangular seja a seguinte: relembremos primeiro
que se x, y e z ∈ R então: i) |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|; ii) 2xy ≤ x2 + y2. Provar a
desigualdade triangular é equivalente a provar que:
n∑
i=1
(xi − yi)2 ≤
n∑
i=1
(xi − zi)2 +
n∑
i=1
(zi − yi)2 + 2
√√√√ n∑
i=1
(xi − zi)2
√√√√ n∑
i=1
(zi − yi)2.
Começando do lado esquerdo e usando o item i) acima, conclua que
n∑
i=1
(xi − yi)2 ≤
n∑
i=1
(xi − zi)2 +
n∑
i=1
(zi − yi)2 + 2
n∑
i=1
|xi − zi||zi − yi|.
Agora compare os lados direitos das duas últimas equações e use o item ii) acima para
concluir que o lado direito da segunda é uma cota inferior para o da primeira.
1.1. NOÇÕES DE ESPAÇOS MÉTRICOS 9
Exercício 1.3 Repita o Exercício 1.2, substituindo d por d1(x, y) =
∑
i |xi − yi| e por
d2(x, y) = maxi|xi − yi|.
Observação: É fácil verificar que se N ⊂ M e se (M, d) for um espaço métrico então
(N , d) também o é.Neste caso, dizemos que (N , d) é subespaço métrico do espaço (M, d).
Exercício 1.4 Considere o subespaço (Z2, d1) de R2 com a métrica d1(x, y) definida
no Exercício 1.3 e conclua que essa distância é igual ao "número mínimo de passos�
necessários para irmos de x a y.
Observação: De maneira análoga ao Exercício 1.4, podemos usar d1 para definir distân-
cias entre vértices de um grafo qualquer (qual é o grafo do exercício acima?). Veremos, no
próximo capítulo, que a métrica d2 definida no Exercício 1.3 pode ser usada para medir a
distância entre funções.
Dos exercícios (1.2) e (1.3) concluimos que, para um mesmo conjuntoM, podemos asso-
ciar várias métricas distintas (e, portanto, vários espaços métricos distintos). Os próximos
dois exercícios fornecem mais exemplos nesta direção, sendo que o primeiro deles gene-
raliza o item 3 do Exemplo 1.1.
Exercício 1.5 Seja Q uma matriz simétrica n×n e positiva definida (isto é, 〈x,Qx〉 ≥ 0
e 〈x,Qx〉 = 0 se e somente se x = 0, onde x ∈ Rn). Mostre que
d(x, y) ≡
√
〈(x− y), Q(x− y)〉
é uma métrica em Rn.
Sugestão: Suponha primeiro que Q seja uma matriz diagonal. Neste caso, os elementos
da diagonal principal são positivos (generalizando o item 3 do Exemplo 1.1), valendo
a observação após o Exercício 1.2. No caso em que Q não é diagonal, use o Teorema
Espectral para reduzir o problema ao caso diagonal. A métrica do Exercício 1.5 nos
permite definir distâncias sobre superfícies (e variedades, em geral).
Exercício 1.6 Denote por M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} e, para x1, x2 ∈ M, defina
d(x1, x2) = comprimento do menor arco que liga x1 a x2. Mostre que d é uma métrica.
Denotemos por Cn ao conjunto de pontos z da forma z = (z1, z2, · · · , zn), onde zi ∈ C
para todo i. Cn é um espaço métrico, como o próximo exercício nos mostra. Para fazê-lo,
use a versão complexa da observação após o Exercício 1.2, substituindo o item ii) por
2Re(z1z2) ≤ |z1|2 + |z2|2.
10 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
Exercício 1.7 Repita o Exercício 1.2, substituindo Rn por Cn e a métrica euclideana por
d(z, w) ≡
(
n∑
i=1
|zi − wi|2
) 1
2
,
onde zi, wi ∈ C para todo i e onde | · | representa o valor absoluto de um número complexo.
No capítulo ??? veremos que há uma maneira mais elegante de resolver os exercícios (1.2)
e (1.7) através do uso da Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Outros exemplos de espaços
métricos podem ser dados e cabe ao leitor das asas à sua imaginação para encontrá-los.
Daremos, como último exemplo, a esfera de Riemann.
Exercício 1.8 A esfera de Riemann
1.2 Conjuntos Abertos e Fechados
Daqui em diante vamos assumir que (M, d) é um espaço métrico dado. Veremos nesta
seção que várias noções topológicas que foram introduzidas no seu curso de Análise Real
podem ser generalizadas para espaços métricos.
Dados x ∈M e r > 0, definimos a bola aberta de centro x e raio r, que denotaremos por
B(x, r), como sendo o conjunto
{y ∈M : d(x, y) < r} ≡ B(x, r).
Exercício 1.9 Desenhe a bola aberta de R2 de centro 0 e raio r = 1 usando a métrica
euclidiana e as métricas definidas no Exercício 1.3.
Dizemos que o conjunto A ⊂ M é aberto se, para todo x ∈ A, existir r = r(x) > 0 tal
que B(x, r) ⊂ A. Segue desta definição que todo espaço métrico (M, d) é um conjunto
aberto. Um conjunto F ⊂ M é fechado se F c, o complementar de F em M, é aberto.
Então o conjunto vazio ∅ =Mc é um conjunto fechado poisM é aberto. Observe que os
conceitos de aberto e fechado dependem do conjunto (universo)M. O próximo exercício
ilustra esta dependência emM:
Exercício 1.10 SejamM = [0, 2) e d(x, y) = |x− y| . Determine a bola aberta, emM,
de centro 0 e raio 1. Essa bola difere da bola, em R, de mesmo centro e mesmo raio?
Repita o exercício para a bola aberta de centro 2 e raio 1.
1.2. CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS 11
A seguir, enunciamos uma proposição cujo conteúdo o leitor já conhece do seu curso de
Análise Real e cuja prova é deixada como exercício.
Proposição 1.1 i) Toda bola aberta emM é um conjunto aberto; ii) uma união (inter-
secção) qualquer de abertos (fechados) é um conjunto aberto (fechado); iii) a intersecção
(união) finita de abertos (fechados) é um conjunto aberto (fechado).
Exercício 1.11 Explique porque [1, 2) é um conjunto fechado fechado no espaço métrico
([0, 2), |x− y|) embora não o seja em (R, |x− y|).
Exercício 1.12 Dê contraexemplos para as seguintes (falsas) afirmações: i) uma união
qualquer de fechados é um conjunto fechado; ii) a intersecção qualquer de abertos é um
conjunto aberto.
Um ponto x ∈ M é um ponto aderente de C ⊂ M se B(x, r) ∩ C 6= ∅ para cada r > 0.
Então, todo ponto de C é aderente. Quando um ponto x é aderente a C−{x}, dizemos que
ele é um ponto de acumulação. Então, um ponto de acumulação de C é necessariamente
aderente a C pois, como B(x, r)∩(C−{x}) 6= ∅ e C−{x} ⊂ C, temos que B(x, r)∩C 6= ∅.
Contudo, um ponto de acumulação não tem que estar necessariamente em C. Finalmente,
um ponto aderente que não seja de acumulação será um ponto isolado, isto é, existe r > 0
tal que B(x, r) ∩M = {x}.
Exemplo 1.2 No espaço métricoM = [0, 1]∪{2}, o ponto 2 é aderente aM mas não é
ponto de acumulação. No subconjunto C = [0, 1), o ponto 1 é de acumulação embora não
esteja no conjunto.
O fecho de C, denotado por C, é o conjunto de todos os pontos que são aderentes a C.
Então é claro que C ⊂ C pois todo ponto de C é aderente a C. O derivado de C, denotado
por C ′, é o conjunto dos pontos de acumulação de C. É claro que C ′ ⊂ C e, portanto,
C ∪ C ′ ⊂ C. Por outro lado, como um ponto aderente a C ou está em C ou, se não está
em C, é de acumulação, segue então que C ⊂ C ∪ C ′ e, portanto, C = C ∪ C ′. Temos a
seguinte proposição:
Proposição 1.2 Se C ⊂M então as seguintes afirmações são equivalente:
i) C é fechado emM;
ii)C contém todos os seus pontos aderentes;
iii)C contém todos os seus pontos de acumulação;
iv)C = C.
12 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
Observação Segue da proposição acima que todo espaço métricoM é fechado pois, por
definição,M′ ⊂M. Então, todo espaço métrico é, ao mesmo tempo, aberto e fechado, o
mesmo sendo verdadeiro também para o conjunto vazio.
Exercício 1.13 SejamM = Q e d(x, y) = |x−y|. Mostre que o Q∩ [0, 1] é um conjunto
fechado em Q. Ele seria fechado em R?
Antes de finalizar esta seção, enunciamos um resultado que caracteriza os abertos e fecha-
dos de um subspaço métrico através de abertos e fechados do espaço métrico inicial.
Proposição 1.3 Considere o subespaço (N , d) do espaço métrico (M, d) e seja A ⊂ N .
i) A é aberto em N se e somente se existir um aberto A ⊂M tal que A ∩N = A;
ii) A é fechado em N se e somente se existir um fechado A ⊂M tal que A ∩N = A.
Dizemos que um subconjunto A ⊂M é limitado se
sup
x,y∈A
d(x, y) <∞.
Um conjunto pode ser limitado segundo uma métrica mas pode ser ilimitado segundo
outra métrica. Por exemplo, R2 com a métrica euclideana não é um espaço métrico
limitado pois, dado qualquer número positivo R, é sempre possível encontrar um ponto
x ∈ R2 tal que d(0, x) > R. Contudo, deixamos para o leitor mostrar que
Exercício 1.14 R2 com a métrica da esfera de Riemann é um espaço métrico limitado.
Exercício 1.15 Um subconjunto S de M é limitado se e somente se existir x ∈ M e
R > 0 tal que d(x, y) < R para todo y ∈ S.
1.3 Seqüências
Consideraremos agora seqüências f(n) = xn : Z+ →M, onde (M, d) é um espaço métrico.
Também consideraremos seqüências indexadas por Z ao invés de Z+. Pode-se representar
uma seqüência de várias maneiras:
{xn}∞n=1, (xn), xn, n = 1, 2, · · ·
1.3. SEQÜÊNCIAS 13
Definição 1.2 Uma seqüência {xn}∞n=1 em (M, d) é convergente se existe x ∈ M tal
que, dado ε > 0, ∃ N > 0 tal que d(xn, x) < ε ∀ n > N . Neste caso, dizemos que x é
o valor limite e denotamos a convergência por lim
n→∞
xn = x ou xn → x quando n → ∞.
Uma seqüência é dita divergente se não éconvergente.
Exemplo 1.3 A seqüência xn = 1−1/n, n = 1, 2, · · · converge para 1 no espaço métrico
R com a métrica euclidiana enquanto que, se considerada no subespaço métrico [0, 1), ela
não converge!
Proposição 1.4 Se x ∈ M é ponto do fecho de F ⊂ M então existe uma seqüência
{xn} ⊂ F convergente para x.
Prova:
¥
Definição 1.3 (Ponto Limite) Dizemos que um ponto x ∈ M é ponto limite da se-
qüência {xn}, xn ∈ M para todo n, se existe uma subseqüência {xnk} convergente para
x.
Observação: Ponto limite de uma seqüência é quase o mesmo que ponto de acumulação
do conjunto formado pelos elementos da seqüência. A diferença é que a seqüência permite
repetição de elementos enquanto que o conjunto não.
Proposição 1.5 x ∈M é ponto limite da seqüência {xn} se e somente se toda vizinhança
de x contém infinitos pontos da seqüência.
Prova:
¥
Definição 1.4 (Seqüência de Cauchy) Uma seqüência {xn}∞n=1 é de Cauchy se, ∀ ε >
0, ∃ N > 0 tal que d(xn, xm) < ε ∀ m,n > N .
Proposição 1.6 Toda seqüência de Cauchy é limitada.
14 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
Prova: Se {xn} é de Cauchy então existe N inteiro positivo tal que d(xm, xn) < 1 para
todo m,n > N . Então, para quaisquer k, l:
d(xk, xl) ≤ 1 + sup
k>N, l≤N
d(xk, xl) + max
k,l≤N
d(xk, xl).
A terceira parcela acima é um número real não-negativo enquanto que a segunda parcela
é limitada superiormente por supk>N d(xk, xN+1) + maxl≤N d(xN+1, xl), sendo o máximo
um número real não negativo e o supremo limitado por 1.
¥
Exercício 1.16 Dê exemplos de seqüências limitadas que não sejam convergentes.
Proposição 1.7 Toda seqüência convergente é de Cauchy.
Prova: Para ² > 0 dado, seja M > 0 tal que d(xn, x) < ²/2 para n > M . Então:
d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(xm, x)
< ²
para quaisquer m,n > M .
¥
Segue das duas últimas proposições que toda seqüência convergente é limitada. Por outro
lado, nem toda seqüência de Cauchy em (M, d) é convergente pois o ponto limite, se exis-
tir, pode não estar emM. Considere, por exemplo, o espaço métricoM = [0, 1), d(x, y) =
|x − y|, e a seqüência {xn = 1 − 1n} em M. Então {xn} é de Cauchy pois, dado ε > 0,
basta escolher N tal que, para quaisquer m,n > N , valha:
|xn − xm| =
∣∣∣∣ 1n − 1m
∣∣∣∣ ≤ 1n + 1m ≤ 2N < ε.
Contudo, essa seqüência não é convergente emM pois o ponto limite, neste caso o 1, não
está emM.
Exercício 1.17 Mostre que a seqüência {(n, n)} ⊂ R2 é divergente na norma euclideana.
Mostre que a mesma seqüência é de Cauchy na norma da esfera de Riemann. Repita o
exercício para a seqüência xn = (0, n) ∈ R2.
1.3. SEQÜÊNCIAS 15
Definição 1.5 Um espaço métrico (M, d) é completo se toda seqüência de Cauchy é
convergente em M. Um subconjunto N ⊂ M é dito completo se o subespaço métrico
(N , d) for completo.
Um espaço métrico que não seja completo é dito incompleto. Um importante exemplo,
e que o leitor aprendeu no seu curso de Análise Real, é que (Q, d(x, y) = |x − y|) é um
espaço métrico incompleto. Por exemplo:
an =
(
1 +
1
n
)n
→ e quando n→∞
e é fácil ver que {an} é uma seqüência de números racionais enquanto que o seu limite,
o número e, é um número irracional. O leitor também aprendeu que (R, | · |) é um
espaço métrico completo. Finalmente, o espaço métricoM = [0, 1), d(x, y) = |x − y|, é
incompleto embora ele seja fechado.
Proposição 1.8 Se N é subconjunto completo deM então N é fechado.
Prova: Suponha, por contradição, que N não seja fechado, isto é, que N não contenha
todos os seus pontos de acumulação. Então existe x ∈ N c tal que B(x, 1/n)∩N 6= ∅ para
todo n. Para cada n, escolha algum xn ∈ B(x, 1/n) ∩ N . Por construção, a sequência
{xn} é de Cauchy e xn → x quando n → ∞. Como N é completo então x ∈ N , um
absurdo pois x ∈ N c.
¥
Observação Nem todo espaço métrico fechado é necessariamente completo. Por exemplo,
[0, 1) com a métrica euclidiana é fechado mas não é completo, o mesmo sendo verdadeiro
para R2 com a métrica da esfera de Riemann.
Proposição 1.9 Todo subconjunto fechado F de um espaço métrico completoM também
é completo.
Prova: Se {xk} uma seqüência de Cauchy em F então existe x ∈ M tal que xk → x
quando k →∞ poisM é completo. Segue que x é aderente a F e então, pela Proposição
1.3, x ∈ F . Como F é fechado então F = F e isto termina a prova.
¥
16 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
Finalmente, terminamos esta seção com o conceito demétricas equivalentes: duas métricas
d1 e d2, definidas no mesmo espaçoM, são equivalentes se existirem constantes positivas
C1 e C2 tais que
C1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ C2d1(x, y), ∀ x, y ∈M.
Exercício 1.18 Mostre que a métrica euclidiana d e as métricas d1 e d2, definidas no
Exercício 1.3, são equivalentes entre si.
Métricas equivalentes definem a mesma topologia, isto é, conjuntos abertos com a métri-
cas d1 serão abertas com a métrica d2 e vice-versa. Em particular, uma seqüência é
convergente na métrica d1 se e somente se for convergente na métrica d2.
Exercício 1.19 Mostre que a métrica de da esfera de Riemann e a métrica euclidiana d
estão relacionadas por de(z1, z2) ≤ d(z1, z2) = |z1 − z2|. Explique porque estas métricas
não são equivalentes. Observe que existem seqüências que são de Cauchy na métrica de
mas que não o são na métrica euclidiana.
1.4 O Completamento de Espaços Métricos
1.5 Conjuntos Compactos
Nesta seção vamos estudar os conjuntos compactos, que formam uma subclasse dos con-
juntos fechados que são limitados. A definição de compacto nos levará ao Teorema de
Weierstrass, que caracteriza um compacto pela convergência de subseqüências de elemen-
tos do conjunto.
Uma família F de sub-conjuntos de um espaço métrico (M, d(·, ·)) é um recobrimento, ou
cobertura, deM seM⊂ ∪A∈FA. Se todos os subconjuntos que formam a família F são
abertos então temos uma cobertura por abertos. Em particular, se M é não-vazio então
M admite uma cobertura por abertos pois, para qualquer r > 0, o conjunto de todas as
bolas abertas de centro em x ∈M e raio r é um recobrimento deM.
Definição 1.6 (Propriedade de Heine-Borel) Um espaço métrico (M, d(·, ·)) é com-
pacto se toda cobertura por abertos admite uma sub-cobertura finita.
1.5. CONJUNTOS COMPACTOS 17
Observe que a definição acima é válida para sub-conjuntos de um espaço métrico, vistos
como sub-espaços métricos do espaço que os contém. Observe também que, como um
aberto de um sub-espaço é necessariamente a intersecção de um aberto do espaço com o
sub-espaço, na definição acima os conjuntos abertos podem ser tomados no espaço ou no
sub-espaço.
Proposição 1.10 SeM é compacto entãoM é completo e limitado.
Prova: Como M é compacto então, fixado ² > 0, existe um número finito de pontos
x,x2, · · · , xN tal que M ⊂ ∪Nk=1B(xk, ²). Segue daí que M é limitado pois, dados dois
pontos quaisquer x, y ∈ M, existem índices i e j tais que x ∈ B(xi, ²) e y ∈ B(xj, ²).
Portanto, d(x, y) ≤ d(x, xi) + d(xi, xj) + d(xj, y) ≤ d(xi, xj) + 2² ≤ R + 2², onde R =
maxi,jd(xi, xj).
Antes de provar que M é completo, observamos que: i) podemos assumir que M é um
conjunto infinito pois, caso contrário, M seria trivialmente completo já que qualquer
sequência de Cauchy teria um número finito de pontos distintos (sendo, portanto, con-
vergente); ii) seja {xn} uma sequência de Cauchy em M. Sem perda de generalidade,
podemos assumir que essa sequência é infinita pois, caso contrário, nada teriamos a provar;
iii) suponha que y ∈ M não seja o ponto limite da sequência acima. Afirmamos que ex-
iste ² = ²(y) > 0 tal que a bola B(y, ²) contém somente um número finito de pontos da
sequência. De fato, ao negar que y seja o limite, podemos afirmar com certeza que existe
² > 0 e existem infinitos pontos xnk da sequência tal que d(y, xnk) > 2². Contudo, como
a sequência é de Cauchy então, para o epsilon acima, existe N tal que d(xn, xm) < ² para
todo m,n > N . Tomando k suficientemente grandede maneira que nk > N , teremos
d(y, xn) > d(y, xnk) − d(xnk , xn) > ² para todo n > N , isto é, a bola B(y, ²) contém
somente um número finito de pontos da sequência.
Para finalizar a prova, suponha queM seja compacto mas que não seja completo. Então
M possui pelo menos uma seqüência de Cauchy {xn} que não tem ponto limite emM.
Pelo que acabamos de provar no item iii) acima, para qualquer que seja y ∈ M, existe
² = ²(y) tal que a bola de centro y e raio ² contém somente um número finito de pontos
da seqüência {xn}. A união destas bolas forma uma cobertura por abertos deM e como
M é compacto, podemos extrair uma subcobertura finita de onde concluiriamos que a
seqüência {xn} é finita, o que é um absurdo.
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Observação: Pelas proposições 1.8 e 1.10 podemos concluir que todo espaço métrico
compacto é necessariamente fechado. Portanto, a Proposição 1.10 poderia ser enunciada
assim: seM é compacto entãoM é fechado e limitado. O leitor aprendeu no seu curso de
Análise Real que K ⊂ Rn é compacto se e somente se K é fechado e limitado. Contudo,
18 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
esta afirmação não é verdadeira, em geral. Por exemplo, [0, 1) com a métrica euclidiana
é fechado e limitado mas não é compacto pois não é completo como espaço métrico. No
capítulo ??? daremos outros exemplos de conjuntos fechados e limitados que não são
compactos.
Exercício 1.20 Mostre que R2 com a métrica da esfera de Riemann não é um espaço
métrico compacto.
Se substituirmos limitado por totalmente limitado então teremos uma caracterização de
compactos em qualquer espaço métrico.
Definição 1.7 Um espaço métrico (M, d) é totalmente limitado se, dado ² > 0, existem
pontos x1, x2, · · · , xn ∈ M, com n = n(ε), tal que {B(xk, ε) : k = 1, 2, · · · , n} é um
recobrimento deM.
Segue do primeiro parágrafo da prova da Proposição 1.10 que
Exercício 1.21 i) Todo espaço métrico compacto é totalmente limitado; ii) todo espaço
métrico totalmente limitado é limitado.
A recíproca do item ii) do exercício acima não vale em geral. De fato, daremos um
exemplo, no próximo capítulo, de um conjunto limitado que não é totalmente limitado.
Contudo, logo abaixo o leitor irá provar que, restrito a Rn, as noções de limitado e
totalmente limitado são equivalentes.
Exercício 1.22 Mostre que se S ⊂ Rn é totalmente limitado então S é limitado. Conclua
que, em Rn, um conjunto é limitado se e somente se ele é totalmente limitado.
Teorema 1.1 (Caracterização de Compactos) Um espaço métricoM é compacto se
e somente se ele for completo e totalmente limitado.
Prova: Se M é compacto então, pela Proposição 1.8, M é completo e, pelo Exercício
1.21, M é totamente limitado. Para provarmos a recíproca, suponha que M seja com-
pleto e totalmente limitado mas que não seja compacto, isto é, suponha que exista uma
cobertura F por abertos deM que não admita nenhuma subcobertura finita. Vamos, a
partir daí, chegar a uma contradição. Para cada n = 1, 2, · · · , defina εn = 1/2n. Como
1.5. CONJUNTOS COMPACTOS 19
M é totalmente limitado, dado ε1 existem pontos xk, k = 1, 2, · · · , kn tais que a família
{B(xk, ε1) : k = 1, 2, · · · , kn} forma um recobrimento deM. Por hipótese, alguma destas
bolas não admite subcobertura finita de F , a quem chamaremos de B(x1, ε1). construir
indutivamente uma sequencia de cauchy em M. Por hipotese, esta seq. con-
verge para um ponto y em M e que esta em algum U ∈ F . Como U é aberto
então existe uma bola aberta em U com centro em y e daí concluimos que
alguma das bolas B(xk, εk) está em U, o que é uma contradição pois nenhuma
destas bolas admite subcobertura finita de elementos de F
¥
Teorema 1.2 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Um espaço métricoM é compacto
se e somente se toda seqüência infinita possui um ponto limite emM.
Prova: Seja {xk} uma seqüência infinita (isto é, com infinitos pontos distintos) emM.
Assumindo que M seja compacto, vamos provar que a sequência dada possui uma sub-
sequência convergente e que, portanto, tem pelo menos um ponto limite. Usaremos, no
nosso raciocínio, a caracterização de compactos dada pelo Teorema 1.1. Para cada n ∈ N
defina εn = 1/2
n
. Como M é compacto então M é totalmente limitado e, tomando
² = ²1, existem y1, · · · , yN ∈ M tais que as bolas abertas de centro yl e raio ε1 recobrem
M. Uma dessas bolas, que chamaremos de B1, contém infinitos pontos da seqüência pois,
do contrário, a seqüência seria finita. B1 é totalmente limitado já que é um subconjunto
de M e então podemos recobri-lo com boas de raio ε2 e, repetindo o argumento ante-
rior, existe pelo menos uma bola de raio ²2, que chamaremos de B2, que possui infinitos
pontos da sequência. Procedendo por indução na construção dessas bolas, chamemos de
n1 ao primeiro inteiro para o qual (Bn1 − Bn1+1) ∩ {xn} 6= ∅. Tal inteiro existe pois
os conjuntos Bk são encaixantes e todos eles têm infinitos elementos da sequência dada.
Escolhamos um ponto qualquer nesta intersecção, a que chamaremos de xn1 . Procedendo
indutivamente na construção da subsequência, existem n1 < n2 < · · · < nk < · · · tais que
xnk ∈ (Bnk −Bnk+1)∩{xn} e Bnk+1 possui infinitos pontos da sequência. Por construção,
esta sequência e de Cauchy. Usando novamente queM é compacto e, portanto, completo,
concluimos que existe x ∈ M que é o limite da subseqüência, provando que a seqüência
infinita {xk} tem ponto limite emM.
Reciprocamente, assuma que toda seqüência infinita possui um ponto limite emM. Va-
mos, a partir daí, provar queM é completo e totalmente limitado, seguindo novamente do
Teorema 1.1 queM é compacto. Seja {xk} é uma seqüência de Cauchy emM. Podemos
assumir que esta seqüência é infinita pois, caso contrário, a seqüência ficaria constante a
partir de um certo valor de k, implicando que ela converge para um ponto deM. Como
a sequência é infinita, ela possui, por hipótese, uma subseqüência {xnk} convergente para
algum x ∈ M. Como {xk} é de Cauchy então ela é convergente para esse ponto x,
provando que M é completo. Para terminar a prova, suponha por contradição que M
20 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
não seja totalmente limitado. Então existe algum ² > 0 tal que um número finito de bolas
de raio ² não cobreM. Portanto, dado um ponto arbitrário x1 ∈M, a bola B(x1, ²) não
cobreM, implicando que existe x2 ∈ M− B(x1, ²). Considere a bola B(x2, ²) e conclua
que existe x3 ∈ M− B(x1, ²) ∪ B(x2, ²). Podemos, desta maneira, definir indutivamente
uma seqüência infinita {xn} tal que d(xn, xm) > ² para todo m 6= n, implicando que esta
seqüência infinita não tem subseqüência convergente, o que contradiz a hipótese inicial.
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1.6 Funções Contínuas, Seqüências de Funções
Nesta seção consideraremos funções f(·) :M→ N , onde (M, d1) e (M, d2) são espaços
métricos. Comecemos com a definição de continuidade. Observe a similaridade entre a
definição abaixo e a definição dada no seu curso de Análise.
Definição 1.8 Uma função f(·) :M→ N é contínua no ponto x ∈ M se, dado ² > 0,
existir δ > 0 tal que d2(f(y), f(x)) < ² sempre que d1(y, x) < δ.
Exercício 1.23 Mostre que uma função f(·) : Ω → Rq, onde Ω ⊂ Rp, é contínua em
x ∈ Ω se somente se as suas entradas, fi(·) : Ω→ R, i = 1, 2, · · · , q, são funções contínuas
em x.
Observe que continuidade é um conceito local, isto é, depende somente do ponto em
questão. Por outro lado, dizemos que f é contínua em M se f é contínua em todos os
pontos de M. O seguinte resultado caracteriza as funções que são contínuas em espaços
métricos:
Proposição 1.11 (Caracterização de Funções Contínuas) Uma função f(·) :M→
N é contínua emM se e somente se a imagem inversa de abertos em N é aberta emM.
Prova: Suponha que f seja contínua emM. Se AN é aberto em N então A ≡ AN ∩N é
aberto em f(N ) (visto como subespaço métrico de N ) e vice-versa. Portanto, sem perda
de generalidade, podemos pensar em abertos de f(N ). Então, seja A um aberto de f(N )
e B ≡ f−1(A). Queremos mostrarque B é aberto emM, isto é, queremos mostrar que
para cada x ∈ M existe δx > 0 tal que B(x, δx) ⊂ B. Como w ≡ f(x) ∈ A e como A é
aberto, existe ² > 0 tal que B(w, ²) ⊂ A. Como f é contínua emM, por hipótese, para
esse ² existe δx > 0 tal que, se y ∈ B(x, δ) então f(y) ∈ B(w, ²), isto é, B(x, δ) ⊂ B.
1.6. FUNÇÕES CONTÍNUAS, SEQÜÊNCIAS DE FUNÇÕES 21
Reciprocamente, se f é tal que B ≡ f−1(A) é aberto emM sempre que A for aberto em
f(N ) então, dado x ∈ M e dado ² > 0, o conjunto f−1(B(f(x), ²)) é aberto emM pois
a bola aberta B(f(x), ²) é um conjunto aberto de f(N ). Segue daí que existe δ > 0 tal
que B(x, δ) ⊂ f−1(B(f(x), ²)), isto é, d2(f(y), f(x)) < ² sempre que d1(y, x) < δ.
¥
Proposição 1.12 (Imagem Contínua de Compactos) Se f(·) : M → N é uma
função contínua e M é um espaço compacto então a imagem f(M) é um subconjunto
compacto de N .
Prova: Como argumentado na prova da proposição anterior, podemos assumir, sem perda
de generalidade, que f(·) : M → f(N ), sendo f(N ) um subespaço métrico de N . Seja
F uma cobertura por abertos de f(N ). Então, pela Proposição 1.11, ∪A∈Ff−1(A) é uma
cobertura por abertos de M e como M é compacto então M ⊂ ∪1≤i≤nf−1(Ai), isto é,
f(M) ⊂ ∪1≤i≤nAi. Dessa maneira somos capazes de sempre extrair uma subcobertura
finita de qualquer cobertura por aberto de N , implicando que N é compacto.
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Definição 1.9 Uma função f(·) : M → N é uniformemente contínua em M se, dado
² > 0, existir δ > 0 tal que d2(f(x), f(y)) < ² sempre que d1(x, y) < δ.
Proposição 1.13 (Continuidade Uniforme e Compactos) Se f(·) :M→N é uma
função contínua no compactoM então f é uniformente contínua.
Prova: Dado ² > 0, para cada x ∈ M existe δx > 0 tal que d2(f(x), f(y)) < ²/2
sempre que d1(x, y) < δx. Recubra M com bolas de centro x ∈ M e raio δx/2. Como
M é compacto então M ⊂ ∪1≤i≤nB(xi, δxi/2). Defina δ ≡ mini{δxi/2} e tome x, y ∈
M tais que d1(x, y) < δ. Mas x ∈ B(xi, δxi/2) para algum i. Portanto, d1(xi, y) <
d1(xi, x)+d1(x, y) < δ+δxi/2 < δxi . Conseqüentemente, d2(f(x), f(y)) < d2(f(x), f(xi))+
d2(f(xi), f(y)) < ².
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Definição 1.10 (Convergência Pontual) Dizemos que a seqüência de funções fn(·) :
M → N converge (ou converge pontualmente) para a função f(·) : M → N se, dados
x ∈M e ² > 0, existir Nx > 0 tal que d2(fn(x), f(x)) < ² para todo n > Nx.
22 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM ESPAÇOS MÉTRICOS
Diremos que seqüência fn(·) : M → N converge uniformemente para f(·) : M → N se
o inteiro Nx, da definição acima, não depender de x, isto é, se for uniforme em x ∈ M.
Se a seqüência convergir uniformente então ela convergirá pontualmente mas a recíproca
pode não ser verdadeira. Por exemplo, considere a seqüência fn(x) = x
n
, n = 1, 2, · · · ,
definida no intervalo [0, 1] e seja f(x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f(1) = 1. Então, para cada
x ∈ [0, 1], a seqüência numérica {fn(x)} converge para f(x), isto é, a seqüência de funções
{fn} converge pontualmente para a função f . Contudo, esta convergência não é uniforme.
De fato, dados 0 < 2² < 1 e n inteiro positivo, defina x²,n = (2²)
1/n
. Então x²,n ∈ [0, 1) e
x²,n → 1 quando n→∞. Além disto, |fn(x²,n)− f(x²,n)| > ² para todo n, em particular
para n tal que x²,n é suficientemente próximo de 1. Em resumo, para 0 < 2² < 1 não é
possível encontrar N > 0 e δ > 0 tal que, para qualquer x no intervalo |x − 1| < δ, se
verifique |fn(x)− f(x)| < ².
Proposição 1.14 O limite uniforme de funções contínuas é uma função contínua.
Prova: Seja f(·) : M→ N o limite uniforme da seqüência de funções contínuas fn(·) :
M → N . Usando duas vezes a desiguldade triangular, obtemos que, para quaisquer
x, y ∈M
d2(f(x), f(y)) < d2(f(x), fn(x)) + d2(fn(x), fn(y)) + d2(fn(y), f(y)).
Dados ² > 0 e x, y ∈ M, a primeira e terceira parcelas do lado direito, acima, ficam a
menos de ²/3 se n > N , uniformemente em x e y. Fixados n > N e x ∈ M, existe
δ > 0 tal que a segunda parcela acima fica a menos de ²/3 sempre que y ∈ M é tal que
d1(x, y) < δ.
¥
Capítulo 2
O Espaço B(X) das Funções Limitadas
Vimos, no capítumo anterior, que podemos definir a convergência de seqüência de funções
fn(·) : M → N , n = 1, 2, · · · , tanto pontualmente quanto uniformemente. Contudo,
se quisermos estudar a convergência de séries de funções então precisamos exigir que
o espaço métrico N tenha propriedades algébricas que nos permitam somar os valores
{fn(x)}. Esta é uma das razões porque estudamos, neste capítulo, os espaços vetoriais
normados.
2.1 Espaços Vetoriais Normados
Seja N um espaço vetorial. Para que N seja também um espaço métrico, nós temos
que primeiro equipa-lo com uma �medida do comprimento de vetores� para, a partir daí,
definir uma métrica. É isto o que faremos a seguir:
Definição 2.1 Seja V um espaço vetorial sobre R (ou C). Dizemos que V é um espaço
vetorial normado se existir uma função sobre V, que denotaremos por ‖ · ‖ : V → R,
satisfazendo às seguintes condições:
1. ‖λx‖ = |λ|‖x‖ ∀ λ ∈ R(ou C);
2. ‖x‖ = 0⇔ x = 0;
3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
23
24 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO B(X) DAS FUNÇÕES LIMITADAS
Representamos o espaço normado por (V, ‖.‖). Segue das definições acima que
0 = ‖x− x‖ ≤ ‖x‖+ ‖x‖ = 2‖x‖,
implicando que ‖x‖ > 0 se x 6= 0. Para um aluno de graduação, talvez o exemplo mais
conhecido de um espaço vetorial seja o espaço Rn, munido da norma euclidiana
‖x‖ =
√√√√ n∑
i=1
|xi|2.
Contudo,
‖x‖2 =
n∑
i=1
|xi|, e ‖x‖3 = max
i
|xi|, i = 1, ..., n
também definem normas em Rn. Para o leitor se convencer de que estas funções são de fato
uma norma, lembre-se de que métrica euclidiana e as métricas d1, d2 do Exercício 1.3 foram
definidas como sendo ‖x− y‖, ‖x− y‖2 e ‖x− y‖3, respectivamente. Lembre-se também
que, para ser uma métrica, a desigualdade triangular tem que ser satisfeita, implicando
o mesmo para a norma. Nem sempre podemos construir uma norma a partir de uma
métrica, como os comentários acima poderiam induzir o leitor a pensar ser verdadeiro.
Contudo, toda norma gera uma métrica:
Proposição 2.1 Se (V, ‖.‖) é um espaço vetorial normado então ele é um espaço métrico,
com métrica dada por d(x, y) ≡ ‖x− y‖.
Prova: Observe que para provar que d(x, y) é uma métrica, basta provar a desigualdade
triangular, pois as outras propriedades seguem da definição. Então
d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖x− z + z − y‖
≤ ‖x− z‖+ ‖z − y‖
≤ d(x, z) + d(z, y)
¥
Proposição 2.2 Se ‖ · ‖ : V → R é uma norma no espaço vetorial V então ‖ · ‖ é uma
função contínua.
2.1. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 25
Prova: Temos que provar que, dado x ∈ V e ² > 0, existe δ > 0 tal que |‖y‖ − ‖x‖| < ²
sempre que ‖y − x‖ < δ. Mas como ‖x‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖y‖ e ‖y‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖x‖ então
|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖ e basta tomar δ = ².
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Considere agora uma seqüência de funções fn :M→ V , onde (M, d) é um espaço métrico
e (V, ‖ · ‖) é um espaço vetorial normado. Como V é um espaço vetorial, para cada n a
soma
Sn(x) =
n∑
k=1
fk(x)
define uma função deM em V e então tem sentido falar da seqüência de somas parciais
{Sn(x)}. Diremos que a série infinita
∞∑
n=1
fn(x)
converge se a seqüência de somas parciais {Sn(x)} convergir. Provaremos, a seguir, o
critério de Weierstrass para a convergência uniforme de {Sn(x)}. Contudo, antes disto
precisamos da seguinte definição:
Definição 2.2 Dizemos que um espaço vetorial normado (V, ‖·‖) é um espaço de Banach
se ele é completo como espaço métrico, com a métrica oriunda da norma ‖ · ‖.
Rn com a norma euclidiana, ou com as normas ‖ · ‖2, ‖ · ‖3 é um espaço de Banach. Na
próxima seção daremos outros exemplos de espaços de Banach.
Proposição 2.3 (Teste M de Weierstrass) Seja fn : M → V uma seqüência de
funções de um espaço métrico (M, d) num espaço de Banach (V, ‖ · ‖). Suponha que,
para cada n, exista um número real positivo Mn tal que ‖fn(x)‖ ≤ Mn para todo x ∈ M
e suponha que
∑
Mn <∞. Então existe uma função S :M→ V para a qual a seqüência
de somas parciais {Sn(x)} convergeuniformemente.
Prova: Como Sn(x) =
∑n
k=1 fk(x) então para todo m < n:
‖Sn(x)− Sm(x)‖ ≤
n∑
k=m+1
‖fk(x)‖ ≤
n∑
k=m+1
Mk.
Segue das desigualdades acima e da hipótese
∑
kMk < ∞ que dado ² > 0 existe um
inteiro N > 0 tal que
‖Sn(x)− Sm(x)‖ < ²/2 ∀ m,n > N, ∀ x ∈M, (2.1)
26 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO B(X) DAS FUNÇÕES LIMITADAS
isto é, a seqüência {Sn(x)} é uniformemente de Cauchy. Em particular, como V é de
Banach então limn→∞ Sn(x) ∈ V para cada x ∈ M, isto é, esse limite define uma função
de M em V que denotaremos por S(x). Para provar que S(x) é o limite uniforme de
{Sn(x)} temos que provar que dado ² > 0 existe um inteiro N tal que
‖Sn(x)− S(x)‖ < ² ∀ n > N, ∀ x ∈M. (2.2)
A Desigualdade 2.2 segue de (2.1) tomando o limite m → ∞. Para justificar matemati-
camente este passo temos que usar que ‖ · ‖ : V → R é uma função contínua, que foi
provado na Proposição 2.2.
¥
2.2 Espaço das Funções Limitadas
Observe que o domínioM de sequências de funções que convergem pontualmente (veja a
última seção do capítulo anterior e a seção anterior deste capítulo) não precisa ter uma
estrutura métrica. A métrica em M só será importante quando estivermos falando de
funções contínuas, por exemplo. Portanto, a seguir, denotaremos o domínio das nossas
funções por X, que representará um conjunto de pontos qualquer. Posteriormente o
veremos como espaço métrico.
Definição 2.3 Dizemos que f : X → V , onde V é um espaço vetorial normado sobre R
ou C é uma função limitada se existe M > 0 tal que ‖f(x)‖ ≤M ∀ x ∈ X.
Seja (V, ‖ · ‖) um espaço vetorial normado e denote por B(X) o conjunto de todas as
funções definidas e limitadas em X, isto é,
B(X) = {f : X → V : f é limitada}.
Estamos particularmente interessados nos casos V = Rq e V = Cq mas situações mais
gerais podem ser levadas em conta. B(X) é um espaço vetorial pois: i) a função identica-
mente nula é limitada e, portanto, está em B(X); ii) se f ∈ B(X) e λ ∈ R então segue da
definição de supremo que ‖λf‖∞ = supx |λf(x)| = supx(|λ||f(x)|) = |λ| supx |f(x)| =
|λ|‖f‖∞, isto é, λf ∈ B(X) se e somente se f ∈ B(X). De maneira análoga, se
f, g ∈ B(X) então αf + βg ∈ B(X) para quaisquer α, β ∈ R.
Vamos motrar agora que B(X) é um espaço normado, com norma (do sup ou infinito)
dada por
‖f‖∞ = sup
x∈X
‖f(x)‖. (2.3)
2.2. ESPAÇO DAS FUNÇÕES LIMITADAS 27
Proposição 2.4 (B(X), ‖ · ‖∞) é um espaço vetorial normado.
Prova: Como já provamos que B(X) é um espaço vetorial então só temos que provar
que ‖ · ‖∞ é uma norma. É fácil verificar que: i) ‖f‖∞ ≥ 0; ii) ‖f‖∞ = 0 ⇔ f(x) = 0
para todo x ∈ X. Portanto, só nos resta provar a desigualdade triangular. O leitor pode
verificar que ela segue das desigualdades abaixo:
‖f(x) + g(x)‖ ≤ ‖f(x)‖+ ‖g(x)‖
≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞, ∀ x ∈ X.
¥
A norma do sup mede o maior valor possível da diferença entre duas funções quando
calculadas no mesmo ponto. Por exemplo, a função f , que vale zero em todos os pontos
exceto num onde ela vale 1, tem norma do sup igual a 1, valor esse igual ao determinado
para a norma da função g, constante igual a 1. Contudo, a função f parece estar �muito
próxima"da função identicamente nula, cuja norma do sup é 0! Por outro lado, quando
duas funções estão próximas na norma do sup então elas estão próximas, uniformemente
em x ∈ X.
Vamos agora ver o espaço vetorial B(X) como sendo um espaço métrico, com a métrica
oriunda da norma do sup. O primeiro resultado é sobre a convergência de sequências
nesse espaço métrico.
Proposição 2.5 Uma seqüência {fn} em B(X) converge na norma do sup se e somente
se ela converge uniformemente em X.
Prova: Sejam fn, f ∈ B(X), para todo n, e suponha que fn → f quando n → ∞, a
convergência sendo na métrica oriunda da norma do sup. Então, dado ² > 0, existe um
inteiro positivo N tal que ‖fn− f‖∞ < ² para todo n > N . Pontualmente, isto quer dizer
que ‖fn(x) − f(x)‖ < ² para todo n > N e para todo x ∈ X, isto é, a convergência é
uniforme.
Reciprocamente, se a convergência é uniforme então, dado ² > 0 existe N tal que ‖fn(x)−
f(x)‖ < ²/2 para todo n > N e para todo x ∈ X. Tomando o supremo em x, obtemos a
convergência na norma do sup.
¥
Provaremos a seguir que B(X), munido da métrica oriunda da norma do sup, é um espaço
métrico completo. Teremos que assumir, contudo, que V é um espaço de Banach.
28 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO B(X) DAS FUNÇÕES LIMITADAS
Teorema 2.1 Seja B(X) o espaço das funções limitadas de X no espaço de Banach V .
Então B(X) é um espaço de Banach.
Prova: Temos que provar que se {fn}∞n=1 ⊂ B(X) é de Cauchy na norma do sup então
{fn} converge, na norma do sup, e que o ponto limite está em B(X). Contudo, segue da
Proposição 2.5 que se {fn} é de Cauchy na norma do sup então ela é uniformemente de
Cauchy, isto é, dado ε > 0 ∃N tal que
‖fm(x)− fn(x)‖ < ε
2
∀ x ∈ X, ∀ m,n > N.
Portanto, para cada x ∈ X, {fn(x)} é uma seqüência de Cauchy no espaço de Banach V
e, portanto, convergente. O limite define uma função de X em V que denotaremos por
f . Acima, tomando o limite quando m → ∞ e usando a continuidade da norma (vide
Proposição 2.2), teremos
‖f(x)− fn(x)‖ ≤ ε
2
∀ x ∈ X, ∀ n > N,
⇒ ‖f − fn‖∞ < ε ∀ n > N,
isto é, existe uma função para a qual a seqüência converge. Resta provar que f ∈ B(X).
Observe que, da última desigualdade acima, segue que f − fn ∈ B(X) para todo n > N .
Como f = f − fn + fn e como B(X) é espaço vetorial então basta tomar n > N para
concluir que f é limitada.
¥
2.3 Compacidade em B(X)
Vimos, no capítulo anterior, que o espaço métrico ([0, 1), d(x, y) = |x − y|) é fechado e
limitado mas não é compacto pois não é completo. Estamos agora em condições de dar
um exemplo de um conjunto que é completo e limitado mas que não é compacto. Este
exemplo completa, em certo sentido, o Teorema 1.1 pois mostra a importância do conceito
totalmente limitado.
Proposição 2.6 Seja S = {f ∈ B(X) : ‖f‖∞ = 1} a esfera unitária em B(X). Então
S é um cojunto completo e limitado mas não é totalmente limitado. Equivalentemente, S
não é compacto.
Prova: É claro que S é limitado. S também é completo pois se {fn} ⊂ S é de Cauchy
então, pelo Teorema 2.1, existe f ∈ B(X) que é limite de {fn}. Pela continuidade da
2.4. SUBESPAÇOS FECHADOS DE B(X) 29
norma (vide Proposição 2.2) concluimos que ‖f‖ = 1, isto é, f ∈ S. Para mostrar que S
não é totalmente limitado, vamos exibir um subconjunto de S com esta propriedade. Seja
{χn} a sequência de funções onde χn é a função caracteristica do intervalo [1/(n+1), 1/n],
n = 1, 2, · · · . Então ‖χn‖∞ = 1 para todo n e ‖χn − χm‖∞ = 1 para todo m 6= n. O
conjunto formado pelos elementos desta sequência é infinito e não é totalmente limitado
pois se ² < 1/2 então não conseguiremos cobrir este conjunto com um número finito de
bolas de raio ² já que cada uma dessas bolas terá, no máximo, um elemento do conjunto.
¥
Observação Poderiamos ter usado o critério de Bolzano-Weierstrass para concluir que S
não é compacto pois a sequência infinita {χn} não tem ponto ponto limite pois, se tivesse
então a sequência teria uma subsequência convergente, um absurdo pois para ² < 1 não
não existem pontos da sequência tais que ‖χn − χm‖∞ < ² < 1.
Exercício 2.1 Mostre que a bola fechada B(0, 1) é completa e limitada mas não é com-
pacta.
2.4 Subespaços Fechados de B(X)
Nesta seção nós vamos considerar subespaços de B(X) composto por funções contínuas.
Mas, para falar de funções contínuas, temos que exigir queX seja mais do que um conjunto
de pontos. Portanto, nesta seção, voltamos a exigir que o domínio seja um espaço métrico
que denotaremos por (X, d).
2.4.1 O Subespaço das Funções Contínuas
Seja (X, d) um espaço métrico e V é um espaço de Banach. Uma função contínua f :
X → V pode ser limitada ou não. Por exemplo, se X = (−1, 1) então f(x) = 1/(1− x2)
é contínua mas não é limitada enquanto que f(x) = x é contínua e limitada. O leitor
dar poderáoutros exemplos quando X = R. Se quisermos evitar trabalhar com funções
contínuas que não sejam limitadas, temos duas possibilidades: i) ou assumimos que X é
um espaço métrico compacto, o que implica, pela Proposição 1.12, que f é limitada; ii)
ou assumimos de antemão que f é contínua e limitada. Adotaremos, neste momento, a
segunda opção pois ela engloba o caso em que X não é limitado. Portanto, denote por
C(X) o conjunto das funções contínuas e limitadas f : X → V , onde X é um espaço
métrico e V é um espaço de Banach. C(X) é um subespaço vetorial de B(X) pois: i)
a função identicamente nula é contínua; ii) soma de funções contínuas é uma função
30 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO B(X) DAS FUNÇÕES LIMITADAS
contínua; iii) soma de funções limitadas é limitada. Podemos então considerar o espaço
vetorial normado (C(X), ‖ · ‖∞) e perguntar se ele é de Banach ou não. A resposta é
positiva pois se {fn} ⊂ C(X) é de Cauchy na norma do sup então ela converge para um
elemento de B(X) pois, pelo Teorema 2.1, esse espaço é de Banach. Pela Proposição
2.5, convergência em B(X) é equivalente a convergência uniforme e, pela Proposição
1.14, o limite uniforme de funções contínuas é uma função contínua. Daí concluimos
que o ponto limite f é uma função contínua. Dito de outra maneira, além de ser um
espaço vetorial normado, C(X) também é um espaço métrico completo segundo a métrica
d(f, g) = ‖f − g‖∞. Acabamos de provar o seguinte teorema
Teorema 2.2 Seja (X, d) um espaço métrico e denote por C(X) o conjunto das funções
contínuas e limitadas f : X → V , onde V é um espaço de Banach. Então C(X) é um
espaço de Banach.
2.4.2 Funções Contínuas de Suporte Compacto
Chamamos de suporte de f, e denotamos por suppf , ao fecho, na métrica deX, do conjunto
{x ∈ X : f(x) 6= 0}, isto é,
suppf = {x ∈ X : f(x) 6= 0}.
Então, suppf é o fecho do conjunto de pontos onde f não se anula. Diremos que f é de
suporte compacto se suppf for um conjunto compacto. Como, por definição, suppf é um
conjunto fechado então ele será completo se o espaço X também o for. Se este for o caso,
suppf será compacto se ele for totalmente limitado.
Denotaremos por C0(X) ao conjunto das funções contínuas de suporte compacto em X.
É claro que C0(X) ⊂ C(X) pois uma função pode ser continua sem que o seu suporte
seja necessariamente compacto. Contudo, podemos fazer uma afirmação um pouco mais
precisa:
C0(X) ⊂ C0(X) ⊂ C(X),
onde o fecho é tomado na métrica oriunda da norma do sup. A segunda inclusão é
verdadeira pois os pontos de acumulação de C0(X) são o limite uniforme de funções
contínuas. Também é claro que C0(X) é um espaço vetorial e, portanto, normado. De
maneira similar ao que foi feito a seção anterior, podemos perguntar se C0(X) é ou não
um espaço de Banach. Se X é compacto então afirmamos que C0(X) = C(X). De fato,
como suppf é fechado então ele é completo pois X o é. Além disto, como X é totalmente
limitado então suppf também o é pois suppf é um subconjunto de X. Concluimos daí
que suppf é compacto e, portanto, C(X) ⊂ C0(X). Então acabamos de provar o seguinte
resultado:
2.4. SUBESPAÇOS FECHADOS DE B(X) 31
Proposição 2.7 Se X é compacto então C0(X) = C(X). Em particular, C0(X) é um
espaço de Banach.
Quando X não é compacto, qual é o fecho de C0(X)? Para determiná-lo, fixemos atenção
no caso X = Rp. Se fn ∈ C0(X) para todo n e se fn → f quando n → ∞ na norma
do sup então afirmamos que f(x) → 0 quando ‖x‖ → ∞ (f se �anula� no infinito). De
fato, como ‖f(x)‖ ≤ ‖f(x)− fn(x)‖+ ‖fn(x)‖ e a primeira parcela à direita é menor do
que ² para algum n suficientemente grande, pois o limite é uniforme, e a segunda parcela,
fixado o valor de n, é igual a zero se x 6∈ suppfn. Então nós acabamos de provar o seguinte
resultado
Proposição 2.1 Se X = Rn então o fecho de C0(X) pela norma do sup é o conjunto
das funções contínuas tais que ‖f(x)‖ → 0 quando ‖x‖ → ∞, um subconjunto próprio de
C(X).
32 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO B(X) DAS FUNÇÕES LIMITADAS
Capítulo 3
O Teorema de Aproximação de
Weierstrass
Neste capítulo nós vamos nos restringir ao caso X = [a, b], um compacto da reta, e V = R.
Depois de entendido este caso o leitor não terá dificuldades em verificar que os mesmos
resultados valem se X = [a1, b1]× · · · [ap, bp] e V = Rq.
Observamos que C[a, b] é um espaço vetorial de dimensão infinita pois o conjunto de
todos os polinômios p(x) : [a, b]→ R é um subconjunto de C[a, b] com infinitos elementos
linearmente independentes pois dois polinômios de graus distintos são, necessariamente,
linearmente independentes. O próximo teorema afirma que esse conjunto é denso em
C[a, b] segundo a norma do sup, isto é, qualquer função contínua no compacto [a, b] pode
ser arbitrariamente aproximada por polinômios na norma do sup.
comentar polinomios e series de taylor, resto na forma integral e diferencial,
estimativa de erros, exemplos e exercicios
Teorema 3.1 (Teorema da Aproximação de Weierstrass) Se a função f : [a, b]→
R é contínua então ela pode ser uniformemente aproximada por polinômios, isto é, dado
ε > 0 existe um polinômio p(x) tal que
|p(x)− f(x)| < ε ∀ x ∈ [a, b].
Dito de outra maneira:
Corolário 3.1 O conjunto de todos os polinômios é um conjunto denso em C([0, 1]) com
a métrica do sup.
33
34 CAPÍTULO 3. O TEOREMA DE APROXIMAÇÃO DE WEIERSTRASS
O Teorema da Aproximação de Weierstrass será provado usando-se os polinômios de
Bernstein, definidos a seguir.
3.1 Polinômios de Bernstein
Sem perda de generalidade, vamos assumir que f(x) : [0, 1]→ R pois, caso [a, b] 6= [0, 1],
basta considerar g(x) ≡ f(a + (b − a)x), x ∈ [0, 1]. O polinômio de Bernstein de grau n
associado à função f é definido como
B0(x, f) = 1, e para n ≥ 1 :
Bn(x, f) =
n∑
k=0
f
(
k
n
)(
n
k
)
xk(1− x)n−k
= f(0)(1− x)n + nf
(
1
n
)
x(1− x)n−1 + · · ·+ f(1)xn,
onde x ∈ [0, 1] e (n
k
)
= Cn,k, a combinação de n elementos k a k. Calcularemos, a seguir,
polinômios de Bernstein para algumas funções e, para isto, faremos uso do binômio de
Newton
(a+ b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
akbn−k. (3.1)
Exemplo 3.1 f(x) = 1 ⇒ Bn(x, 1) =
n∑
k=0
1.
(
n
k
)
xk(1− k)n−k = (x+ [1− x])n = 1, isto é,
Bn(x, 1) = 1 seja qual for o valor de n.
Exemplo 3.2 f(x) = x ⇒ Bn(x, x) =
n∑
k=0
(
k
n
) (
n
k
)
xk(1− k)n−k. Para n = 1:
B1(x, x) = 0 + 1.1.x
1(1− k)0 = x.
Para n = 2:
B2(x, x) = 0 +
1
2
.2.x.(1− x) + 1.1.x2
= x− x2 + x2 = x
Para n = 3: para casa.
3.1. POLINÔMIOS DE BERNSTEIN 35
Exemplo 3.3 f(x) = x2 ⇒ Bn(x, x2) =
n∑
k=0
(
k
n
)2 (n
k
)
xk(1 − k)n−k. Para n = 1, é fácil
verificar que B1(x, x
2) = x. Para n = 2:
B2(x, x
2) = 0 +
1
4
.2.x.(1− x) + 1.1.x2
=
x
2
− x
2
2
+ x2 =
x2 + x
2
Para n = 3 (para casa): B3(x, x
2) = 2x
2+x
3
.
Para n = 4 (para casa): B4(x, x
2) = 3x
2+x
4
Proposição 3.1 Sendo Bn(x, f) os polinômios de Bernstein definidos anteriormente,
temos
Bn(x, x) = x ∀ n ≥ 1;
Bn(x, x
2) =
(n− 1)x2
n
+
x
n
∀ n ≥ 1.
Prova: Para n ≥ 1 temos que
(x+ y)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
xkyn−k,
x(x+ y)n−1 =
n∑
k=0
(
k
n
)(
n
k
)
xkyn−k,
Onde a segunda igualdade vem da primeira após derivar com respeito a x. Fazendo
y = 1− x na segunda igualdade, teremos
x = Bn(x, x).
Se n ≥ 2 então derivamos a segunda igualdade com respeito a x:
(x+ y)n−1 + (n− 1)x(x+ y)n−2 = n
x
n∑
k=0
k
n
(
k
n
)(
n
k
)
xkyn−k
e fazendo y = 1− x, teremos
x
n
+
(n− 1)x2
n
= Bn(x, x
2), n ≥ 2.
Calculamos no Exemplo 3.3 o caso n = 1: x = B1(x, x
2).
¥
36 CAPÍTULO 3. O TEOREMA DE APROXIMAÇÃO DE WEIERSTRASS
3.2 Prova do Teorema 3.1
Agora estamos em condição de provar o Teorema de Aproximação de Weierstrass. Na
verdade, provaremos o seguinte teorema
Teorema 3.2 Dados f ∈ C[a, b] e ² > 0,existe um polinômio de Bernstein Bn(x, f) tal
que
‖Bn(·, f)− f(·)‖∞ < ².
A intuição por trás deste teorema é a seguinte: dado x ∈ [0, 1] e n, a ordem do polinômio,
considere aqueles valores de k para os quais f(k/n) ≈ f(x). Denote por I(x) esse conjunto
de valores de k e por J(x) o seu complemento em {0, 1, · · · , n}. Então, desprezando a
soma sobre k ∈ J(x) e usando a identidade (3.1) com a = x e b = 1− x, obtemos:
Bn(x, f) ≡
n∑
k=0
f
(
k
n
)(
n
k
)
xk(1− x)n−k =
∑
k∈I(x)
+
∑
k∈J(x)
≈ f(x)
∑
k∈I(x)
(
n
k
)
xk(1− x)n−k
≈ f(x).
O problema é mostrar de fato que a soma sobre J(x) é desprezível em algum sentido, e é
isto que faremos a seguir.
Prova do Teorema 3.2: Lembrando que f é uniformemente contínua pois é contínua no
compacto [0, 1], então dado ε > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)− f(y)| < ε/2 se |x− y| < δ.
Dado n inteiro, x ∈ [0, 1] e o δ acima, defina
I(x) =
{
k :
∣∣∣∣kn − x
∣∣∣∣ < δ}
e denote por J(x) o seu complemento, como acima. Então
|Bn(x, f)− f(x)| =
∣∣∣∣∣
n∑
k=0
f(k/n)
(
n
k
)
xk(1− x)k − f(x)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
n∑
k=0
[f(k/n)− f(x)]
(
n
k
)
xk(1− x)k
∣∣∣∣∣
≤
∑
k∈I(x)
| |+
∑
k∈J(x)
| |
< (ε/2)
∑
k∈I(x)
+
∑
k∈J(x)
≤ (ε/2) +
∑
k∈J(x)
3.2. PROVA DO TEOREMA ?? 37
onde a soma sobre I(x) é limitada por cima pela soma sobre todos os índices, que é igual
a 1. Então
|Bn(x, f)− f(x)| ≤ (ε/2) +
∑
k∈J(x)
|f(k/n)− f(x)|
(
n
k
)
xk(1− x)n−k
≤ (ε/2) + 2|f‖∞
∑
k∈J(x)
(
n
k
)
xk(1− x)n−k
onde usamos que
|f(k/n)− f(x)| ≤ |f(k/n)|+ |f(x)| ≤ 2‖f‖∞
pois f ∈ C[0, 1] ⊂ B[0, 1]. Agora vamos analisar a soma sobre k ∈ J(x):
k :
∣∣∣∣kn − x
∣∣∣∣ ≥ δ ⇒ (kn − x
)2
≥ δ2 ∀ k ∈ J(x)⇒(
k
n
− x)2
δ2
≥ 1.
Usando essa estimativa e usando a Proposição 3.1, obtemos∑
k∈J(x)
≤ 1
δ2
∑
k∈J(x)
(
k
n
− x
)2
xk(1− x)n−k
≤ 1
δ2
n∑
k=0
(
k
n
− x
)2
︸ ︷︷ ︸
=(k/n)2−2x(k/n)+x2
xk(1− x)n−k
≤ 1
δ2
[
n∑
k=0
(
k
n
)2(
n
k
)
xk(1− x)n−k − 2x
n∑
k=0
(
k
n
)(
n
k
)
xk(1− x)n−k
+x2
n∑
k=0
(
n
k
)
xk(1− x)n−k
]
≤ 1
δ2
[
Bn(x, x
2)− 2xBn(x, x) + x2
]
≤ 1
δ2
[
n− 1
n
x2 +
x
n
− 2x2 + x2
]
≤ 1
δ2
[
x
n
− x
2
n
]
≤ 2
δ2n
.
Portanto concluimos que
|Bn(x, f)− f(x)| < ε
2
+
4‖f‖∞
δ2n
e então basta escolher n grande o bastante para que 4‖f‖∞
δ2n
< ε
2
. Como a cota superior é
uniforme em x então o teorema está provado.
¥
38 CAPÍTULO 3. O TEOREMA DE APROXIMAÇÃO DE WEIERSTRASS
Capítulo 4
O Teorema de Arzelà-Ascoli
Neste capítulo nós iremos considerar subconjuntos de C(X), munido com a métrica
d(f, g) = ‖f − g‖∞, e caracterizar aqueles que são compactos segundo essa métrica.
Lembremo-nos de que C(X) é o conjunto das funções contínuas e limitadas de X em
Rq. Para caracterizar os conjuntos compactos nós seremos então levados ao Teorema de
Arzelá-Ascoli, que é o assunto deste capítulo.
4.1 Eqüicontinuidade
Vamos assumir, no momento, que X ⊂ M onde (M, d) é um espaço métrico. Pos-
teriormente, colocaremos condições em X para que possamos provar alguns resultados.
Começamos o capítulo com algumas definições
Definição 4.1 Dizemos que uma família F ⊂ C(X) é equicontínua no ponto x0 ∈ X se,
dado ε > 0, existe δ = δx0 > 0 tal que
d(x, x0) < δ ⇒ ‖f(x)− f(x0)‖ < ε ∀ f ∈ F .
A definição acima é necessária pois existe famílias de funções contínuas que não são
eqüicontínuas em ponto algum. Por exemplo, considere a família {fn = nx : [0, 1] → R :
n = 1, 2 · · · }. Esta família não é eqüicontínua em nenhum ponto do intervalo [0, 1] pois,
fixado x neste intervalo e tomando δ > 0 suficientemente pequeno, se y é tal que (δ/2) ≤
|y − x| ≤ δ nós obteremos |fn(x)− fn(y)| > n(δ/2) >> 1 para n suficientemente grande.
Por outro lado, é lógico que existem famílias eqüicontínuas. Considere, por exemplo, a
família {fn = e−nx : (0, 1) → R : n = 1, 2 · · · }. Fixado x, tome δ0 < min{x, 1 − x} e
39
40 CAPÍTULO 4. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI
y = x ± h, com δ0 > h > 0. Então |fn(x) − fn(x + h)| < e−n(x−δ0), que será menor que
² desde que n seja maior que o primeiro inteiro N = N(x) tal que e−N(x−δ0) < ². Agora,
para cada uma das N funções que ficaram de fora da estimativa acima e para o ² dado
existe um δk = δ(k, x) > 0 tal que |fk(x)− fk(y)| < ² se |x− y| < δk. Agora basta tomar
δ ≡ max{δ0, δ1, · · · , δN}.
Dizemos que a família F é eqüicontínua em X se ela for eqüicontínua em todos os pontos
x ∈ X. Dizemos que a família é uniformemente eqüicontínua se, na Definição 4.1, o δx0
é constante, isto é, não depende do ponto x0. Alguns autores chamam de eqüicontínuas
àquelas famílias que chamamos de uniformemente eqüicontínuas.
A família de funções exponenciais descrita acima representa uma família eqüicontínua que
não é uniformemente eqüicontínua pois, à medida que o ponto x se aproxima de 0 o δ0
será cada vez menor, sendo impossível torná-lo uniforme em x. Por outro lado, é lógico
que existem famílias uniformemente eqüicontínuas. Considere, por exemplo, a família
{fn = sen (nx)/n : [0, 1] → R : n = 1, 2 · · · }. Então |fn(x) − fn(y)| ≤ 2/n para todo n,
isto é, dado ² > 0 e N = [1/2²] + 1 teremos |fn(x) − fn(y)| < ² para todo n > N e para
todo x, y ∈ [0, 1]. As N funções restantes são contínuas no compacto [0, 1] e, portanto,
uniformemente contínuas, a escolha do δ sendo evidente daí.
Exercício 4.1 Mostre que se f ∈ F e F é uma família eqüicontínua em x0 (uniforme-
mente eqüicontínua) então f é uma função contínua em x0 (uniformemente contínua).
Definição 4.2 Dizemos que uma família F de funções em X é limitada no ponto x0 ∈ X
se existir uma constante positiva M =Mx0 > 0 tal que
‖f(x0)‖ < Mx0∀ f ∈ F .
Como feito acima, dizemos que a família F é limitada em X se ela for limitada em todos
os pontos x ∈ X. Dizemos que a família é uniformemente limitada se, na Definição 4.2,
o Mx0 é constante, isto é, não depende do ponto x0. Veremos, nas próximas seções, que
os conceitos importantes são os que são uniformes.
Dos exemplos dados acima, o de famílias de funções exponenciais e de funções periódicas
são uniformemente limitados. O de funções lineares não é limitado em ponto nenhum.
Resta dar um exemplo de uma família que limitada em todo ponto mas que não é uni-
formemente limitada. A construção da família é como se segue: para cada n = 1, 2, · · ·
defina fn como sendo uma função de suporte no intervalo [1/(2n), 3/(2n)]. Neste intervalo
o seu gráfico é um triângulo isóceles de base igual ao intervalo e de altura n. Então, à
medida que n cresce o fn se �aproxima� do eixo y. Fixado x, a partir de um certo valor
N , o ponto x estará fora do suporte de fn para todo n > N , isto é, fn(x) = 0 para
4.2. COMPACIDADE EM C(X) E FAMÍLIAS EQÜICONTÍNUAS 41
todo n > N . Então basta definir Mx ≡ max{1≤k≤N}{fk(x)}. Isto mostra que a família é
pontualmente limitada. Contudo, essa família não é uniformemente limitada pois o valor
máximo de fn é n.
4.2 Compacidade em C(X) e Famílias Eqüicontínuas
Estamos agora em condições de entender porque as definições da seção anterior são
necessárias caso queiramos caracterizar subconjuntos compactos de C(X). No restante
deste capítulo, subconjuntos de C(X) serão interpretados como famílias de funções con-
tínuas e vice-versa.
Proposição 4.1 Se F é um subconjunto compacto do espaço métrico (C(X), d), onde
d(f, g) = ‖f − g‖∞, e se X é compacto então F é uma família uniformemente eqüicon-
tínua.
Prova: Se F ⊂ C(X) é compacto então F é completo e totalmente limitado, isto é:
i) seqüências de Cauchy são convergentes para pontos de F ; ii) dado ² > 0, existem
f1, · · · , fn ∈ F tal que F ⊂ ∪nk=1B(fk, ²). Desenvolvendo o item ii): se f ∈ F então
f ∈ B(fk, ²) para algum k e então
‖f(x)− fk(x)‖ < ²/3, ∀ x ∈ X.
Como as funçõesf1, · · · , fn são contínuas no compacto X então elas são uniformemente
contínuas e, para o ² acima, existe δ > 0 tal que
‖fk(x)− fk(y)‖ < ²/3, ∀ x, y ∈ X, com d(x, y) < δ, ∀ k = 1, · · · , n.
Portanto, usando a desigualdade triangular e as desigualdades acima, nós concluimos que,
para qualquer f ∈ F e para quaisquer x, y ∈ X com d(x, y) < δ:
‖f(x)− f(y)‖ ≤ ‖f(x)− fk(x)‖+ ‖fk(x)− fk(y)‖+ ‖fk(y)− f(y)‖ < ².
¥
Observação: Se F é é compacto então F é limitado, isto é, existe uma constante positiva
M tal que ‖f‖∞ < M para todo f ∈ F . Juntando esta informação com a proposição
acima, concluimos que se F é um subconjunto compacto de C(X) então F é uma família
uniformemente limitada e uniformemente eqüicontínua.
42 CAPÍTULO 4. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI
Na proposição acima nós exigimos a compacidade de X. Poderiamos ter evitado esta
condição mas então precisariamos dizer que os elementos de F são funções uniformemente
contínuas. O comum é exigir que X seja compacto. O próximo resultado mostra que esta
condição pode ser ainda mais explorada.
Proposição 4.2 Se F é uma família eqüicontínua e limitada em X e se X é compacto
então F é uma família uniformemente eqüicontínua e uniformemente limitada.
Prova: Provaremos primeiro que F é uniformemente eqüicontínuo. Dado ² > 0, para
cada x ∈ X existe δx > 0 tal que
d(y, x) < δ ⇒ ‖f(y)− f(x)‖ < ε
2
∀ f ∈ F .
Como X é compacto então existem x1, · · · , xn ∈ X tal que X é coberto pela união
das bolas abertas B(xk, δk/2), k = 1, · · · , n. Defina δ ≡ mink{δk/2} e sejam x, y ∈ X
tais que d(x, y) < δ. O ponto x pertence a alguma bola B(xk, δk/2) e então d(y, xk) ≤
d(y, x) + d(x, xk) < δk. Portanto, se d(x, y) < δ então
‖f(y)− f(x)‖ ≤ ‖f(y)− f(xk)‖+ ‖f(xk)− f(x)‖ < ε ∀ f ∈ F ,
o que prova que a família F é uniformemente eqüicontínua.
Para provar que F é uniformemente limitada, tomemos ² = 1 acima. y ∈ X pertence a
alguma bola B(xk, δ) e portanto ‖f(y)‖ < 1+‖f(xk)‖ ≤ 1+M ondeM ≡ maxk{‖f(xk)‖}.
Em resumo, F é uma família uniformemente limitada pois
‖f(y)‖ ≤ 1 +M ∀ y ∈ X,
onde M ≡ maxk{‖f(xk)‖}.
¥
Se F ⊂ C(X) é uma famíla uniformemente limitada (eqüicontínua) então é óbvio que
F é uma família limitada (eqüicontínua) em X. Como vimos na proposição anterior, a
recíproca destas afirmações é verdadeira se assumirmos que X é compacto. Sendo assim,
podemos resumir as nossas conclusões da seguinte maneira
Corolário 4.1 Se X é compacto então F é uma família eqüicontínua e limitada em X
se e somente se F é uma família uniformemente eqüicontínua e uniformemente limtada.
4.3. CARACTERIZAÇÃO DOS COMPACTOS DE C(X) 43
4.3 Caracterização dos Compactos de C(X)
Definição 4.3 Dizemos que um subconjunto F de um espaço métrico completo M é
pré-compacto se toda seqüência tomada em F tem uma subseqüência convergente.
Observação: Na definição acima, o limite da subseqüência pode não estar em F . F é
pré-compacto pois o seu fecho F será compacto (F é um subconjunto fechado deM, um
espaço métrico completo por hipótese).
Como C(X), munido com a métrica do sup, é um espaço métrico completo, podemos
perguntar quando um subconjunto F de C(X) será pré-compacto. O Teorema de Arzelà-
Ascoli nos da condições suficientes para que isto aconteça.
Teorema 4.1 (Teorema de Arzelà-Ascoli) Se F ⊂ C(X) é uma família equicontínua
e limitada em X e se X é compacto então F é uma família pré-compacta.
Observação: Dito de outra forma, o Teorema de Arzelà-Ascoli nos diz que toda seqüência
infinita, retirada de uma família de funções eqüicontínuas e limitadas num compacto X,
possui uma subseqüência convergente, podendo o ponto-limite estar na família ou não. O
Teorema de Arzelà-Ascoli, junto com a Proposição 4.1, nos fornece uma caracterização
dos subconjuntos compactos de C(X):
Teorema 4.2 (Caracterização de Compactos em C(X)) Se X é compacto então F ⊂
C(X) é compacto se e somente se F for fechado, limitado e equicontínuo.
Prova: Se F é compacto então F é completo e, portanto, fechado. Que F é eqüicontínuo
e limitado em X vem da Proposição 4.1 já que F é compacto.
Reciprocamente, suponha que F seja fechado, eqüicontínuo e limitado em X e que X
seja compacto. Para provar que F é compacto usaremos o critério de Weierstrass para
compacidade, isto é, temos que provar que qualquer seqüência infinita em F tem uma
subseqüência convervegente para um ponto de F . Como F é eqüicontínuo e limitado e
como X é compacto então, pelo Teorema de Arzelà-Ascoli, F é pré-compacto e, portanto,
toda sequëncia infinita tomada em F tem ponto limite. Como F é fechado então o ponto
limite tem que estar em F e isto prova a compacidade de F .
¥
Provaremos o Teorema 4.1 na próxima seção. Terminaremos esta seção com um exemplo
de uma família pré-compacta de funções contínuas.
44 CAPÍTULO 4. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI
Exemplo 4.1 Seja F a família de funções da forma f(x) =
∞∑
n=1
an sin(npix) onde {an} é
tal que
∞∑
n=1
n|an| ≤ 1.
Vamos mostrar que F ⊂ C([0, 1]) e que F satisfaz às hipóteses do Teorema de Arzelà-
Ascoli.
Observe primeiro que F é uniformemente limitada pois, por hipótese,
|f(x)| ≤
∞∑
k=1
|ak| ≤
∞∑
k=1
k|ak| ≤ 1, ∀ x ∈ [0, 1].
Além disto, F 6= ∅ pois, definindo a1 = 0 e an = 1/n3 para n ≥ 2, temos que
∞∑
n=2
n|an| ≤
∫ ∞
1
1
x2
dx = 1.
Mostramos agora que qualquer função da forma acima é necessariamente contínua. De
fato, para n > m e para todo x ∈ [0, 1] :∣∣∣∣∣
n∑
k=m+1
aksen (kpix)
∣∣∣∣∣ = |Sn(x)− Sm(x)| ≤
n∑
k=m+1
|ak|
=
n∑
k=m+1
k|ak|
k
≤ 1
m+ 1
n∑
k=m+1
k|ak| ≤ 1
m+ 1
,
e segue daí que {Sn(x)} converge uniformemente, fornecendo que f(x) é uma função
contínua. De maneira análoga, podemos também concluir que F é eqüicontínua pois
|Sn(x)− Sn(y)| = |
n∑
k=1
ak[sin(kpix)− sin(kpiy)]| ≤ (
∞∑
k=1
k|ak|)|x− y|.
¥
Definição 4.4 Sejam (X, d1) e (Y, d2) espaços métricos. Dizemos que f : X → Y é de
Lipschitz em X (ou Lipschitz contínua em X) se ∃C ≥ 0 tal que
d2(f(x), f(y)) ≤ Cd1(x, y), ∀ x, y ∈ X.
4.4. PROVA DO TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI 45
Observe que, se f é uma função de Rp em Rq e a distância é a euclidiana então a condição
de Lipschitz se transforma em
‖f(x)− f(y)‖ ≤ C‖x− y‖.
Exemplo 4.2 f(x) = x2 : [0, 1]→ R é de Lipschitz em [0, 1] pois:
|x2 − y2| = |x+ y||x− y| ≤ 2|x− y|.
Exemplo 4.3 f(x) =
√
x : [0, 1]→ R não é de Lipschitz em [0, 1] pois
|√x−√y|
|x− y| =
1
|√x+√y| → ∞ se x e y → 0.
Proposição 4.3 Se f ′(x) é uniformemente limitada em (a, b) então f(x) é de Lipschitz
no mesmo intervalo.
Voltando ao Exemplo 4.1: podemos usar a proposição acima para concluir que F é
uma família eqüicontínua. De fato:
sen (npix)− sen (npiy) = npi cos(npic)(y − x), y < c < x,
|sen (npix)− sen (npiy)| = |npi cos(npic)||(y − x)|
≤ |npi||y − x| ⇒
|f(x)− f(y)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
n=1
an (sen (npix)− sen (npiy))
∣∣∣∣∣
≤ pi
( ∞∑
n=1
n|an|
)
|x− y|
≤ pi|x− y| ∀ f ∈ F .
¥
4.4 Prova do Teorema de Arzelà-Ascoli
Antes de iniciar a prova do Teorema de Arzelà-Ascoli, precisaremos de um resultado sobre
subconjuntos compactos de espaços métricos:
46 CAPÍTULO 4. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI
Proposição 4.4 Todo subconjunto compacto de um espaço métrico qualquer possui um
subconjunto denso enumerável.
Prova: Se X é um subconjunto compacto do espaço métrico (M, d) então temos que
provar que existe D ⊂ X enumerável tal que D = X, onde o fecho de D é tomado com
respeito à métrica d. Como X é compacto então, para qualquer n inteiro positivo, existem
l = l(n) pontos x1, · · · , xl tais que X ⊂ ∪lk=1B(xk, 1/n). Defina
D = ∪∞n=1{x1, · · · , xln}.
D é enumerável pois é uma união enuméravel de conjuntos enumeráveis. Afirmamos que
D é denso em X. De fato, se x ∈ X então x pertence a alguma bola B(xi, 1/n), onde o
índice i depende de n e n é arbitrariamente grande, isto é, dado ² > 0, existe n e xi ∈ D
tais qued(xi, x) < ² < 1/n.
¥
Como X é compacto e F é uma família eqüicontínua e limitada em X então segue da
Proposição 4.2 que F é uma família uniformemente eqüicontínua e uniformemente lim-
itada. Além disto, como X é compacto, segue da Proposição 4.4 que X possui um
subconjunto denso enumerável D = {x1, x2, · · · }. Seja {fn} uma seqüência infinita em
F . Como esta seqüência é uniformemente limitada então ‖fn(x)‖ ≤ M para todo x ∈ X
e para todo n. Fazendo x = x1, concluimos que a seqüência de vetores {fn(x1)} de Rq
posssui uma subseqüência convergente que chamaremos de {fn1(x1)}. Da mesma maneira,
{fn1(x2)} possui uma subseqüência convergente, que chamaremos de {fn2(x2)}. Observe
que a seqüência de funções {fn2(x)} converge nos pontos x1 e x2. De maneira análoga e
indutivamente, para cada k nós construimos uma seqüência de funções contínuas {fnk(x)}
tal que {fnk(xi)} é convergente se i ≤ k. Agora usamos o truque da diagonal, já explicado
anteriormente, e definimos uma subseqüência {gk(x)} de {fn(x)} da seguinte maneira:
gk é o k-ésimo elemento da k-ésima subseqüência construida acima. Observe que, por
construção, {gk(xi)} é convergente se xi ∈ D pois, para k ≥ i, gk(xi) é um elemento da
seqüência {fni(xi)} e esta seqüência é convergente. Então construimos uma seqüência de
funções contínuas {gn} que converge pontualmente num subconjunto denso de X.
Vamos agora provar que {gn} converge pontualmente em X. Para isto teremos que usar
que a a família em questão é uniformemente eqüicontínua, o que é verdade pois a familia
é eqüicontínua em X e X é compacto. Como {gn} ⊂ F então, por hipótese, dado ² > 0
existe δ > 0 tal que
‖gk(x)− gk(y)‖ < ²/3 para todo k = 1, 2, · · · e sempre que d(x, y) < δ. (4.1)
Na sequência, provaremos que {gn(x)} é de Cauchy seja qual for x ∈ X, isto é, provaremos
que dado ² > 0 existe um inteiro positivo N tal que ‖gn(x) − gm(x)‖ < ² para todo
4.4. PROVA DO TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI 47
m,n > N . Mas, dado x ∈ X, existe xi ∈ D tal que d(x, xi) < δ, onde o δ é tal que a
condição dado por (4.1) valha. Então, usando o truque ²/3:
‖gn(x)− gm(x)‖ ≤ ‖gn(x)− gn(xi)‖+ ‖gn(xi)− gm(xi)‖+ ‖gm(xi)− gm(x)‖,
e a primeira e terceira parcelas da soma à direita e acima são limitadas por ²/3 pois (4.1)
está safisfeita. Para a parcela do meio, lembrando que {gn(xk)} converge seja qual for
xk ∈ D, dado ²/3, existe um inteiro positivo N tal que ‖gn(xi) − gm(xi)‖ < ²/3 sempre
que m,n > N . Isto prova que {gn(x)} é de Cauchy seja qual for x ∈ X.
Seja g(x) o limite pontual de {gn(x)}. Resta provar que g(x) é uma função contínua. Mas
isto segue novamente de (4.1) após tomar o limite k →∞ e após usar que a norma ‖ · ‖
é uma função contínua em Rq.
48 CAPÍTULO 4. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI
Capítulo 5
Séries de Fourier: Definição e Exemplos
5.1 Integrabilidade de Riemann
Neste capítulo denotaremos por R[a, b] ao conjunto das funções f : [a, b] → R que são
Riemann-integráveis no intervalo [a, b]. A integral de Riemann só é definida para funções
limitadas em intervalos limitados pois, em cada sub-intervalo Ik = [ak−1, ak] da partição
P = {a0 = a, a1, · · · , an = b} do intervalo [a, b], queremos que Mk = supx∈Ik f(x) e mk =
infx∈Ik f(x) estejam bem definidos e, com eles, definir as somas superior e inferior de f com
respeito à partição P , respectivamente: S(f, P ) =
∑
kMk∆xk e s(f, P ) =
∑
kmk∆xk.
Se P ⊂ Q (se Q refina P ) então
s(f, P ) ≤ s(f,Q) ≤ S(f,Q) ≤ S(f, P ). (5.1)
Dito de outra forma, se f é uma função limitada cujo domínio é um intervalo limitado
então o conjunto de todas as suas somas inferiores é limitado superiormente enquanto que
o conjunto de todas as suas somas superiores é limitado inferiormente e sempre teremos
que
sup
P
{s(f, P )} ≡
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
f(x)dx ≡ inf
P
{S(f, P )}.
Se a igualdade acima ocorrer então dizemos que f é Riemann integrável em [a, b]. Vamos
agora nos lembrar do critério de Lebesgue para integrabilidade de Riemann:
Teorema 5.1 (Critério de Lebesgue) Uma função limitada f é Riemann integrável
no intervalo [a, b] se e somente se o seu conjunto de descontinuidades tem medida nula.
Uma compreensão do teorema acima pressupõe uma compreensão do que significa dizer
que um conjunto D ⊂ R tem medida nula. Lembremo-nos de que um intervalo limitado
49
50 CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER: DEFINIÇÃO E EXEMPLOS
I de extremidades a < b tem comprimento l(I) igual a b − a, seja o intervalo aberto,
semi-aberto ou fechado.
Definição 5.1 Dizemos que um conjunto D ⊂ R tem medida zero (ou nula) se
inf
D⊂∪kIk
{
∑
k
l(k)} = 0,
onde o ínfimo é tomado sobre todas as coberturas por intervalos abertos de D. Repre-
sentaremos por µ(D) = 0 se o conjunto D tiver medida nula.
Exercício 5.1 Mostre que: i) o conjunto {x}, com x ∈ R, tem medida nula; ii) o con-
junto {x1, x2, · · · , xn}, com xi ∈ R para todo i, tem medida nula; iii) todo conjunto
enumerável de números reais tem medida zero. Em particular, µ(Q) = 0.
Exercício 5.2 Mostre que a função f , definida no intervalo [0, 1] e que vale 1 nos
racionais e 0 nos irracionais, não é Riemann-integrável no intervalo [0, 1]. Faça este
exercício primeiro usando a definição da integral e depois usando o critério de Lebesgue.
Exercício 5.3 i) Mostre que toda função contínua é Riemann-integrável.
Exercício 5.4 Mostre que R[a, b] forma um espaço vetorial sobre R. Qual é a dimensão
deste espaço vetorial?
Exercício 5.5 Mostre que o produto de funções Riemann-integráveis é uma função inte-
grável de Riemann.
Exercício 5.6 Mostre que se f ∈ R[a, b] então |f | ∈ R[a, b]. A recíproca é verdadeira?
Prove ou dê um contraexemplo.
5.2 Definição de Séries de Fourier e Exemplos
Neste capítulo e no próximo, fixaremos atenção em funções cujo domínio é o intervalo
[0, 2pi]. Não há nada de especial neste intervalo e o que falarmos a partir de agora vale
para qualquer intervalo [a, b] desde que as devidas modificações nos enunciados sejam
feitas.
5.2. DEFINIÇÃO DE SÉRIES DE FOURIER E EXEMPLOS 51
Definição 5.1 Seja f ∈ R[0, 2pi]. Definimos a série de Fourier de f como:
S(f ;x) ≡ a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(nx) + bnsen (nx)] , (5.2)
onde a0, an e bn são chamados de coeficientes de Fourier de f e são definidos assim:
an =
1
pi
∫ 2pi
0
f(x) cos(nx) dx n = 1, 2, 3, ...
bn =
1
pi
∫ 2pi
0
f(x)sen (nx) dx n = 1, 2, 3, ...
a0 =
1
pi
∫ 2pi
0
f(x)dx
Exercício 5.7 Explique porque os coeficientes a0, an e bn com n ≥ 1, estão bem definidos.
Neste momento a definição acima é formal pois não sabemos para que valores de x a série
à direita converge e, caso convirja, para que valor converge. Se possível, gostariamos de
determinar condições em f que garanta que S(f ;x) = f(x), isto é, condições que nos
permitam recuperar a função f uma vez conhecidos os seus coeficientes de Fourier. Mais
geralmente, gostariamos de saber se a convergência poderia ser obtida em alguma norma
(e, conseqüentemente, em algum espaço de funções). Como a série de Fourier é uma soma
de senos e cossenos e essas funções são periódicas de período 2pi, então faz sentido, na
definição acima, assumir que f é uma função periódica de período 2pi.
Exemplo 5.1 Seja f : R→ R tal que
f(x) =
{
0 se 0 ≤ x < pi
1 se pi ≤ x < 2pi,
e f(x) = f(x+ 2pi) ∀ x. Vamos determinar a série de Fourier desta função.
Temos que a0 =
1
pi
∫ 2pi
pi
dx = 1, e
an =
1
pi
∫ 2pi
pi
cos(nx) dx =
1
pi
sen (nx)
n
∣∣∣∣∣
2pi
pi
= 0 ∀ n 6= 0
bn =
1
pi
∫ 2pi
pi
sen (nx) dx =
1
pi
− cos(nx)
n
∣∣∣∣∣
2pi
pi
=
cos(npi)− 1
npi
∀ n 6= 0.
52 CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER: DEFINIÇÃO E EXEMPLOS
Portanto:
S(f ;x) =
1
2
+
∞∑
n=1
[
cos(npi)− 1
npi
]
sen (nx) =
1
2
− 2
∞∑
n=1
[
1
(2n+ 1)pi
]
sen (2n+ 1)x.
¥
Observação: Os coeficientes da série de Fourier obtida acima